Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko določeno število f (x) R. f : D f R x f (x) Če D f ni podano, je največja množica, kjer ima predpis f smisel. x neodvisna spremenljivka y = f (x) odvisna spremenljivka f (A) = {f (x) ; x A} slika množice A D f Z f = f (D f ) zaloga vrednosti funkcije f
Graf funkcije f : D f R, D f R je krivulja v ravnini: Γ(f ) = {(x, f (x)) ; x D f } R R Graf funkcije seka poljubno navpično premico največ v eni točki. Projekcija grafa na os x je D f, projekcija grafa na os y pa je Z f. Predpis lahko podamo na več načinov. eksplicitno: y = f (x), denimo y = 1 x 2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1.0 0.5 0.5 1.0 implicitno: F (x, y) = 0, denimo x 2 + y 2 1 = 0, y 0 parametrično: x = x(t), y = y(t), denimo x = cos t, y = sin t, t [0, π]
Primera: 1. f (x) = x 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 3 D f = R, Z f = [0, ) 1, x > 0 2. g(x) = sign(x) = 0, x = 0 1, x < 0 D f = R, Z f = { 1, 0, 1} Funkcija f (x) je soda, če je f ( x) = f (x) za vsak x D liha, če je f ( x) = f (x) za vsak x D. Primeri: f (x) = x, g(x) = x 2k, k Z h(x) = cos x so sode funkcije f (x) = sign(x), g(x) = x 2k+1, k Z, h(x) = sin x so lihe funkcije f (x) = e x, g(x) = ln x, h(x) = x 2 + 2x + 1 niso ne sode in ne lihe funkcije
Velja: graf sode funkcije je simetričen glede na os y, graf lihe pa glede na koordinatno izhodišče vsota sodih funkcij je soda funkcija, vsota lihih je liha funkcija produkt dveh sodih ali dveh lihih funkcij je soda funkcija, produkt lihe in sode funkcije je liha funkcija Funkcija f : D f R je injektivna, če različni točki x y D f preslika v različni vrednosti f (x) f (y) Z f. Graf injektivne funkcije seka poljubno vodoravno premico v največ eni točki. Funkcija f : D f R je surjektivna, če je Z f = R. Vsaka vodoravna premica seka graf surjektivne funkcije v vsaj eni točki. Funkcija f : D f R je bijektivna, če je injektivna in surjektivna.
Funkcije lahko sestavljemo: Naj bo f : D f R in g : D g R. Če je Z f D g, potem funkcijo g f : D f R, definirano s predpisom (g f )(x) = g(f (x)), in imenujemo kompozitum funkcij g in f. V splošnem f g g f. Naj bo f : D f R injektivna funkcija. Potem funkcijo f 1 : Z f D f, za katero velja (f 1 f )(x) = x za vsak x D f = Z f 1 in (f f 1 )(x) = x za vsak x Z f = D f 1, imenujemo inverzna funkcija funkcije f. Ekvivalentno: f 1 (x) = y f (y) = x. Definicijsko območje in zaloga vrednosti se zamenjata: D f 1 = Z f, Z f 1 = D f. Inverzno funkcijo f 1 eksplicitno podane funkcije f izračunamo tako, da zamenjamo vlogi spremenljivk y = f (x), torej x = f (y), in nato izrazimo y kot funkcijo x. Graf inverzne funkcije f 1 dobimo tako, da prezrcalimo graf funkcije f prek simetrale lihih kvadrantov.
S funkcijami lahko računamo: Naj f : D R in g : D R. (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) f g f (x) (x) = g(x), kjer je g(x) 0 za vsak x D. Transformacija funkcije g(x) = f (x a) g(x) = f (x) + c g(x) = f ( x a ) g(x) = cf (x) g(x) = f (x) g(x) = f ( x) Transformacija grafa vodoravni permik za a v desno navpični premik za c navzgor vodoravni razteg za faktor a navpični razteg za faktor c zrcaljenje preko osi x zrcaljenje preko osi y
Denimo, da znamo narisati graf funkcije y = f (x). f (x) + 1 f (2x) 1.5 2 1.0 0.5 1 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1 1.0 f (x 1) 1.5 2f (x) 2 2 1 1 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 1 1 2 Zanima nas, kaj se dogaja z vrednostjo f (x), ko se x približuje a, torej za vrednosti x na nekem intervalu (a δ, a + δ), δ > 0 (kjer a ni nujno element D f. y f (a) + ε f (a) f (a) ε a δ a a + δ x
Število L je limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je f (x) L < ε, če je 0 < x a < δ. Torej je L limita funkcije f v točki a, če je vrednost f (x) poljubno blizu L, če je le x dovolj blizu a (a ne enak a). Pišemo: L = lim x a f (x) Limita funkcije f v točki a ni odvisna od vrednosti funkcije f v točki a. Ali obstajajo limite naslednjih funkcij v točki 0, torej L = lim x 0 f (x)? 1. f (x) = x 2 2. f (x) = 3. f (x) = x2 +x x { 1, x Z, 0, x / Z. 4. f (x) = sign(x)
Število L je leva limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je f (x) L < ε, če je a δ < x < a. Označimo: L = lim x a f (x). Število L je desna limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je f (x) L < ε, če je a < x < a + δ. Označimo: L = lim x a f (x). Funkcija f ima v točki a limito natanko tedaj, ko ima v točki a tako levo kot desno limito in sta ti dve limiti enaki. Kakšna je zveza me limito funkcije in limitami zaporedij? Izrek Funkcija f ima v točki a limito L natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (a n ) n, ki konvergira proti a, velja lim n f (a n) = L. Za računanje limit veljajo enaka pravila kot pri zaporedjih. Naj bo lim f (x) = L in lim g(x) = K. Potem je x a x a lim (f (x) + g(x)) = L + K x a lim (αf (x)) = αl za vsak α R x a lim f (x)g(x) = LK x a če je K 0, je lim x a f (x) g(x) = L K.
3 y 2 1 x 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2. lim x 0 (1 + x) 1 x 3. lim x 0 sin x x = 1 = e
Oznake za asimptotične vrednosti: Če za vsako število M R obstaja tak δ > 0, da je f (x) > M, če le a δ < x < a, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ > 0, da je f (x) < m, če le a δ < x < a. Če za vsako število M R obstaja tak δ > 0, da je f (x) > M, če le a < x < a + δ, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ > 0, da je f (x) < m, če le a < x < a + δ. Oznaka lim x f (x) = L pomeni, da je število L limita funkcije f, ko gre x čez vse meje, torej da za vsak ε > 0 obstaja tako število M, da je f (x) L < ε za vsak x > M. Podobno definiramo s simbolom lim f (x) = L, da za vsak ε > 0 x obstaja tako število m, da je f (x) L < ε za vsak x < m.
Funkcija f je zvezna v točki a natanko tedaj, ko je lim f (x) = f (a) = lim f (x). x a x a Če velja samo leva enakost, je funkcija zvezna z desne, če velja samo desna enakost, pa je zvezna z leve. Izrek Funkcija f : D R je v točki a D zvezna, natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je če je x a < δ. f (x) f (a) < ε, Določimo tak a, da bo funkcija f (x) = { sin x x ; x 0 a ; x = 0 zvezna v točki x = 0.
Ali lahko določimo f (0) = a tako da bo f zvezna v točki 0, če je { sin 1 1. f (x) = x ; x 0 a ; x = 0 { x sin 1 2. f (x) = x ; x 0 a ; x = 0 Graf zvezne funkcije bo v točki (a, f (a)) nepretrgana krivulja. Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.če je f zvezna v točki a potem se vrednost f (x) v bližnjih točkah malo razlikuje of f (a). Če vrednost f (a) ni definirana, vendar obstaja L = lim x a f (x), lahko funkcijo f razširimo, tako da definiramo f (a) = L. Tako razširjena funkcija je zvezna v točki a. Če sta f in g zvezni funkciji v točki a, potem so tudi αf, f + g, fg zvezne v točki a, funkcija f g pa je zvezna v a, če je g(a) 0.
Izrek Če je lim x a g(x) = L in je funkcija f zvezna v točki L, je lim (f g)(x) = f (L). x a Torej lahko zamenjamo vrsti red računanja limite in vrednosti zvezne funkcije. Če sta f in g zvezni funkciji, sta zvezna tudi kompozituma f g in g f. Izračunajmo limito lim x 0 e x 1 x.
Definicija Funkcija je zvezna na odprtem intervalu (a, b), če je zvezna v vsaki točki x (a, b). Funkcija je zvezna na zaprtem intervalu [a, b], če je zvezna v vsaki točki x (a, b), v točki a je zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve. Primer: funkcija f (x) = arcsin x je zvezna na zaprtem intervalu [ 1, 1]. Izrek Če je f zvezna na zaprtem omejenem intervalu [a, b] in je f (a)f (b) < 0, potem obstaja točka c (a, b), kjer je f (c) = 0. Dokaz z bisekcijo:...
Primer: x 4 5x + 1 = 0 Rešujemo enačbo f (x) = 0 na intervalu [a, b], kjer je f zvezna, poiščemo rekurzivno zaporedje (x n ), ki konvergira k rešitvi. Red konvergence: število pravilnih decimalk, ki jih pridobimo na vsakem koraku, x k+1 L konvergenca reda α: lim = α k x k L Bisekcija metoda reda 1/2 Sekantna metoda a = x0 in b = x 1 začetna približka, xn = x n 1 f (x n 1)(x n 1 x n 2 ) f (x n 1 ) f (x n 2 ) red metode: α = 1 + 5 1.618 (zlati rez). 2 Splošna iteracija Enačbo zapišemo v obliki g(x) = x (na primer f (x) + x = x). Če je rekurzivno zaporedje x0, x n = g(x n 1 ) konvergentno, konvergira proti eni od rešitev. Red metode (in konvergenca) je odvisen od odvoda funkcije g(x) v rešitvi.
f zvezna na zaprtem intervalu [a, b] f je omejena na [a, b], tj. obstajata M = sup{f (x) ; x [a, b]}, m = inf{f (x) ; x [a, b]} obstajata x m, x M [a, b], kjer je f (x m ) = m in f (x M ) = M, za vsako vrednost y med m in M, m y M, obstaja točka x y [a, b], kjer je f (x y ) = y. Drugače povedano, zvezna funkcija f preslika omejen zaprt interval [a, b] v omejen zaprt interval: f ([a, b]) = [m, M]. Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije f. Primeri: f (x, y) = sin x + sin y g(x, y) = 1 x 2 y 2 h(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2
Γ = {(x, y, f (x, y )) : (x, y ) Df }... je ploskev v R3. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y 2 5 1 0 0 5-1 2-5 -2 0 0-5 -2 0 0-2 -5 2 5 Nivojska krivulja funkcije f (x, y ) je krivulja v Df R2, podana z enac bo f (x, y ) = c. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y 10 3 2 5 1 0 0-1 -5-2 -10-3 -10-5 0 5 10-3 -2-1 0 1 2 3
Nivojske krivulje so tudi I izohipse (nivojske krivulje nadmorske vis ine na geografskih kartah) I I izobare (nivojske krivulje tlaka na vremenskih kartah) izoterme (nivojske krivulje temperature na vremenskih kartah) Nivojske krivulje doloc ajo razslojitev definicijskega obmoc ja D: vsaka toc ka (x, y ) D lez i na natanko eni nivojski krivulji. Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk so ploskve v R3, podane z enac bo f (x, y, z) = c. Nivojske ploskve funkcije f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 so sfere
L je limita funkcije f : R 2 R v točki (a, b), če je vrednost f (x, y) poljubno blizu L, če je le (x, y) dovolj blizu (a, b) (a nujno ne enak (a, b)). Formalno: Število L je limita funkcije f (x, y) v točki (a, b), če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je f (x, y) L < ε, za vsako točko (x, y) v krogu s polmerom δ okrog točke (a, b). Krog s polmerom δ okrog (a, b) je množica vseh takšnih točk (x, y), da velja (x a) 2 + (y b) 2 < δ 2. Funkcija f (x, y) je zvezna v točki (a, b), če je lim f (x, y) = f (a, b). (x,y) (a,b) Pri računanju limit si lahko pomagamo s polarnimi koordinatami: lim (x,y) (0,0) 2x 2 y x 2 +y 2. x lim 2 y 2 (x,y) (0,0) x 2 +y 2