Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32
Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12 Diferencialne enačbe 2012/13 Zgodovina matematike 2013/14 Matematične teme z didaktiko 2014/15 2 / 32
Matematične tehnologije 2011/12 Na pojem določenega integrala naravno pridemo, če se na primer vprašamo, kako izračunati ploščino lika, omejenega z grafom te funkcije, osjo x in premicama x = a in x = b. Določeni integral lahko povežemo s primitivno funkcijo F funkcije f (F = f ): b f (x)dx = F (x) b a = F (b) F (a). a Poglejmo naslednji primer. Iz svoje vpisne številke študent vzame zadnje tri števke in jih označi s p, q in r po sledečem vrstnem redu: Potem iz teh treh števk zapiše P = 1 0 x 4 (1 x 8 ) 5 dx + p = 4, q = 8, r = 5. 1 0 x 8 (1 x 5 ) 4 dx + 1 0 x 5 (1 x 4 ) 8 dx. Uporabi program derive in dobi rezultat: P = 262144 4393935. 3 / 32
Ploščina lika pod parabolo 4 / 32
Primer izračuna integrala Ploščina lika pod parabolo y = f (x) = x 2 na intervalu [0, a]. Interval [0, a] razdelimo na n enakih delov: 0 < a n < 2a n < 3a n <... < na n = a, x k = a n, I k = [(k 1)a/n, ka/n]. m k = inf{f (x), x I k } = ((k 1)a/n) 2, M k = sup{f (x), x I k } = (ka/n) 2. 5 / 32
Spodnja integralska vsota Spodnja integralska vsota: S n = (f (0) + f (a/n) + f (2a/n) +... + f ((n 1)a/n)) (a/n) = = ((a/n) 2 + (2a/n) 2 +... + ((n 1)a/n) 2 ) (a/n) = = (a/n) 3 (1 2 + 2 2 +... + (n 1) 2 ) = ( 1 1 n = a3 (n 1)n(2n 1) = a3 n3 6 6 ) ( 2 1 n ). 6 / 32
Zgornja integralska vsota Zgornja integralska vsota: S n = (f (a/n) + f (2a/n) +... + f (na/n)) (a/n) = = ((a/n) 2 + (2a/n) 2 +... + (na/n) 2 ) (a/n) = = (a/n) 3 (1 2 + 2 2 +... + n 2 ) = ( 1 + 1 n = a3 n(n + 1)(2n + 1) = a3 n3 6 6 ) ( 2 + 1 n ). 7 / 32
Limitni prehod Nazadnje imamo: lim S a 3 n n = lim n 6 lim S a 3 n = lim n n 6 S n S n = a3 n, lim (S n S n n ) = 0, ( 1 1 n a 0 ) ( 2 1 ) = a3 n 3, ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 n n x 2 dx = a3 3. ) = a3 3. 8 / 32
Newton Leibnizeva formula začetek izpeljave Naj bo F primitivna funkcija funkcije f na intervalu [a, b], kar pomeni F = f. Vzamemo poljubno delitev intervala [a, b]: a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b. Označimo Zapišemo: x k = x k x k 1, ϱ = max 1 k n x k. n F (b) F (a) = F (x n ) F (x 0 ) = (F (x k ) F (x k 1 )). k=1 9 / 32
Newton Leibnizeva formula nadaljevanje in konec izpeljave Uporabimo Lagrangev izrek: F (b) F (a) = V limiti, ko ϱ 0 dobimo n F (ξ k ) x k = k=1 F (b) F (a) = b a n f (ξ k ) x k. k=1 f (x) dx. To je osnovna formula integralskega računa ali Newton Leibnizeva formula. Običajno jo zapišemo v obliki b a f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a). 10 / 32
Funkcije več spremenljivk 2011/12 Telo G je omejeno s ploskvama: z = 1 a (x 2 + y 2 ) in z = c 1 b (x 2 + y 2 ), pri čemer so a, b in c pozitivne konstante. 1 Skicirajte telo G. 2 Določite pravokotno projekcijo D telesa G na ravnino z = 0. Skica! 3 Izrazite prostornino V (G) telesa G z dvojnim integralom. 4 V dobljeni dvojni integral vpeljite polarne koordinate. 5 Preverite, da je V (G) = πabc2 2(a + b). 11 / 32
Telo v prostoru 12 / 32
Telo v prostoru anaglifna slika 13 / 32
Telo v prostoru osni presek 14 / 32
Telo v prostoru kot vrtenina prostornina po srednješolsko Presečišče: y = x 2 a, y = c x 2 b. x 2 a = c x 2 b, x 2 = abc a + b, x 0 = y0 V 1 = π c V 2 = π x 2 dy = πb y 0 0 y0 x 2 dy = πa c 0 abc a + b, y 0 = bc a + b. y dy = πay 2 0 2, (c y) dy = πb(c y 0) 2 y 0 2 V = V 1 + V 2 = π 2 (ay 2 0 + b(c y 0 ) 2 ) = πabc2 2(a + b)., 15 / 32
Natečaj za najboljšo novoletno jelko 16 / 32
Diferencialne enačbe 2012/13 17 / 32
Verižnica Diferencialna enačba: y = 1 a 1 + y 2. Rešitev: y = a cosh x x 0 a + y 0. 18 / 32
Chaos 19 / 32
Zgodovina matematike 2013/14 Izračunajte na egipčanski način 1 949 567. Rešitev Manjši faktor 567 zlahka zapišemo kot 567 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32 + 512. Nato zapišemo preglednico: 1949 1 1 949 2 3 898 4 7 796 8 15 592 16 31 184 32 62 368 64 124 736 128 249 472 256 498 944 512 997 888 1949 567 1 105 083 Odgovor: 1 949 567 = 1 105 083. 20 / 32
Otvoritev razstave plakatov junij 2014 A 21 / 32
Otvoritev razstave plakatov junij 2014 B 22 / 32
Otvoritev razstave plakatov junij 2014 C 23 / 32
Otvoritev razstave plakatov junij 2014 D 24 / 32
Matematične teme z didaktiko 2014/15 y.. 0 < q < 1 Q. S 4 S 3 S 2 T 3 q 2 T 2 S 1... q T 1 S 0 1 O T 0... x 25 / 32
Vsota geometrijske vrste Na geometrijski način smo izračunali: 1 + q + q 2 + q 3 +... = 1, q < 1. 1 q Rezultat smo uporabili pri izračunu ploščin na poseben način pobarvanih kvadratov. 26 / 32
Enakorazmerno temperirana lestvica α = 12 2. 27 / 32
Kaj zna GeoGebra 3D 28 / 32
Kaj zna GeoGebra 3D anaglifne slike 29 / 32
30 / 32
Hvala za vašo prisotnost in pozornost! 31 / 32
32 / 32