Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld onj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e
Zirko nlog so nisli Olg rnuš, rof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, rof., mg. rjo Feld, onj Frnce, rof., in sec. Mtej Škrlec, rof. MTEMTIK Zirk nlog z gimnzije Ilustrirl Fotogrfij n nslovnici Uroš Hrovt M.. Escher's»Moeius tri I«009 The M.. Escher omny-hollnd. ll rights reserved. www.mcescher.com Fotogrfije so risevli Olg rnuš, edenk & o,. n. o., in rhiv Z, d. d. Tehnične rise je izdell Ksenij Konvlink Rokois je jezikovno regledl Mj Nemec, rof. Uredil ory ternd Likovno-grfično uredil š Hnun Olikovl Ksenij Konvlink Oremo olikovl Ksenij Konvlink Glvn urednic Tnj Železnik Izvršn direktoric ivizije zložništev d de ost Petn Z, zložništvo in trgovin, d. d. (leto rve izdje 010) Vse rvice ridržne. rez isneg dovoljenj Zlože je reovedno reroducirnje, distriuirnje, djnje v njem, jvn riočitev, djnje n voljo jvnosti (internet), redelv li vsk drug uor teg vtorskeg del li njegovih delov v kkršnem koli osegu li ostoku, vključno s fotokoirnjem, tisknjem li shrnitvijo v elektronski oliki. Odstrnitev teg odtk je kzniv.
1. VEIN Nloge Rešitve Osnovni geometrijski ojmi.......................................... 5 Konveksne množice.................................................. 9 Merjenje.......................................................... 1 kldnost trikotnikov.............................................. 15 Vzorednost in rvokotnost...................................... 17 Toge reslikve.................................................... 1 Trikotnik........................................................... 6 Oodni in središčni kot............................................ 31 Štirikotniki......................................................... 36 Vektorske količine.................................................. 43 Vzoredni remik v rvnini........................................ 45 eštevnje in odštevnje vektorjev................................. 46 Množenje vektorj s številom...................................... 50 rediščni rzteg................................................... 5 Linern komincij vektorjev, z.............................. 54 Linern odvisnost vektorjev...................................... 57 Prvokotni koordintni sistem v rostoru.......................... 59 Od točk h krjevnim vektorjem.................................... 60 Podoni liki........................................................ 64 Podonost v rvokotnem trikotniku.............................. 70 Kotne funkcije ostrih kotov........................................ 74 Kotne funkcije oljunih kotov.................................... 80 klrni rodukt................................................... 8 klrni rodukt v rvokotnem koordintnem sistemu........... 87 Koreni oljunih stoenj........................................... 91 Potence z rcionlnim eksonentom............................... 95 Lstnosti funkcij................................................... 98 Trnsformcije n rvnini......................................... 105 Inverzn funkcij.................................................. 114 Potenčn funkcij z nrvnim eksonentom...................... 117 Potenčn funkcij z negtivnim celim eksonentom.............. 119 Modelirnje s otenčno funkcijo.................................. 11 Korensk funkcij................................................. 13 Kvdrtn funkcij................................................ 17 Ničle kvdrtne funkcije.......................................... 13 Prol in remic............................................... 137 Kvdrtn enč................................................. 140 Kvdrtn neenč.............................................. 146 Modelirnje s kvdrtno funkcijo................................. 153 Množic komleksnih števil....................................... 155 Rčunnje s komleksnimi števili................................. 157 eljenje komleksnih števil....................................... 159 solutn vrednost komleksneg števil........................ 161 Eksonentn funkcij............................................. 165 Modelirnje z eksonentno funkcijo.............................. 167 Eksonentn enč.............................................. 169 Logritmi......................................................... 171 Prvil z rčunnje z logritmi................................... 173 Logritemsk funkcij............................................. 175
Nloge Rešitve Prehod k novi osnovi........................................................ 180 Logritemske enče........................................................ 181 Modelirnje z logritemsko funkcijo......................................... 187 Rešitve....................................................................... 188 O rogrmu GEOGER..................................................... 90 LEGEN * Težk nlog ** Zelo težk nlog Posen znnj Rziskuj z rčunlnikom
1. ONOVNI Osnovni geometrijski ojmi 5 GEOMETRIJKI POJMI ljic je n oeh strneh omejen rvn črt. Poltrk je n eni strni neomejen rvn črt. k Premic je n oeh strneh neomejen rvn črt. Zveznic točk in je dljic. Nosilk dljice je remic, n kteri dljic leži. Rvnin je neomejen rvn loskev. W Polrvnin je del rvnine. Premic rzdeli rvnino n dve olrvnini. Leg dveh remic v rostoru Premici imt eno skuno točko. Premici se sekt. kuno točko imenujemo resečišče. Leg dveh rvnin v rostoru Rvnini imt skuno remico. P q Premici nimt skune točke. q W Premici st vzoredni li mimoežni. Vzorednici ležit v isti rvnini, mimoežnici ne. Rvnini nimt skune točke. q W W Rvnini se sekt. Rvnini st vzoredni. Leg remice in rvnine v rostoru Imt skuno točko. Nimt skune točke. Vsk točk remice leži v rvnini. W W W Premic sek (red) rvnino. kun točk je resečišče (reodišče). Premic in rvnin st vzoredni. Premic leži v rvnini. Točke 1,, 3 so kolinerne, če ležijo n isti remici, sicer so nekolinerne. E,,,, E so kolinerne.,,, so nekolinerne.
6 Osnovni geometrijski ojmi Točke 1,, 3, 4 so kolnrne (komlnrne), če ležijo n isti rvnini, sicer so nekolnrne (nekomlnrne). F E,,,, E, F so kolnrne.,,, so nekolnrne. 1.. 3. 4. N rvnini nriši nekolinerne točke, in. Nto nriši še: oltrk z izhodiščem, ki otek skozi, zveznico točk in, nosilko dljice, remico skozi točko, ki ne otek skozi točki in. V rvnini so dne točke,, in, izmed kterih noene tri niso kolinerne. Koliko rzličnih dljic, koliko rzličnih trikotnikov in koliko rzličnih štirikotnikov določjo? V rvnini so dne točke,,, in E, izmed kterih noene tri niso kolinerne. Koliko rzličnih dljic, koliko rzličnih trikotnikov in koliko rzličnih štirikotnikov določjo? n je kvder. Točk M je rzolovišče ro, točk N je središče loskve in točk K je rzolovišče ro. ) li so, M, kolinerne? ) li so, M, kolinerne? c) li so,,, kolnrne? č) li so,,, K kolnrne? e) li so M, N, K kolinerne? e) li so M, N, K, kolnrne? g) li so, N, kolinerne? g) li so,,,, M, N, K kolnrne? 5. n je 4-strn irmid V z vrhom V. Ziši vs oglišč, ki: ) niso kolinern s točkm in, ) niso kolnrn s točkmi, in. 6. n je okončn rviln 6-strn rizm EF E F. Koliko je: ) rzličnih remic, ki jih določjo oglišč rizme in so vzoredne rou, ) rzličnih remic, ki jih določjo oglišč rizme in so rvokotne n rvnino EF, c) rzličnih remic, ki jih določjo oglišč rizme in nimjo skune točke z rvnino EF, d) oglišč, ki so kolnrn s točkmi, in E, e) oglišč, ki niso kolnrn s točkmi, in? 7. kicirj in oiši možne lege: ) dveh remic v rvnini, ) treh remic v rvnini, c) dveh remic v rostoru, č) dveh rvnin v rostoru, e) treh rvnin v rostoru, e) rvnine in remice v rostoru. 8. Premice ostvljmo tko, d olikujejo čim več resečišč. Koliko je resečišč, če je število remic enko: ) 4 ) 5 c) 6 č) 10
Osnovni geometrijski ojmi 7 9. N remici zoredom ležijo točke 1,, 3 tko, d st rzdlji med oljunim sosednjim točkm enki. 1 1 3 4 5 Koliko rzlično dolgih dljic določjo tko ostvljene točke, če je število točk enko: ) 3 ) 4 c) 5 č) 10 10. Koliko remic lhko nrišemo skozi točke, izmed kterih so oljune tri nekolinerne, če je število točk enko: ) ) 3 c) 4 č) * 5 d) * 6 e) * n lj rzmišlj tkole Vse remice skozi 4 točke Premic skozi in Število remic = 4 3 elimo z, ker je vsk remic štet dvkrt, nr. in. 11. Koliko rvnin lhko nrišemo skozi točke, izmed kterih oljune štiri niso kolnrne, če je število točk enko: ) 3 ) 4 c) 5 č) * 6 d) * 7 e) * n Niko rzmišlj tkole Vse rvnine skozi 4 točke Premic skozi, in Število rvnin = 4 3 6 Vsk rvnin je štet 6-krt, nr.,,,, in. 1. Nriši rvokotnik. Nj o točk rzolovišče strnice. točk,,, in iziši vse trojice, ki enolično določjo rvnino. Izmed 13. slike rzeri, kj je v reseku ozirom uniji dnih množic. ) q ) Ω c) Ω č) q r d) r q W r q
8 Osnovni geometrijski ojmi 14. slike rzeri, kj je v reseku dnih množic. ) Ω Φ ) Φ c) q Φ č) q Φ d) (Φ ) (Ω r) W r q F 15. Z remico ter rvnini Ω in Φ velj (Ω Φ = {}) ( Φ). V kkšni legi st in Ω? 16. Z rvnini Ω in Φ ter remici in q velj (Ω Φ = ) (Ω q = q) (q = {}). V kkšni legi st in q? 17. Nriši in oiši množico točk v rvnini, ki so: ) z 3 enote oddljene od točke, ) z kvečjemu 3 enote oddljene od točke, c) z vsj enoti oddljene od dne točke, d) enko oddljene od točk M in N, e) z enoti oddljene od remice, f) z mnj kot enoti oddljene od remice q. 18. Oiši množico točk v rostoru, ki so: 19. ) z 3 enote oddljene od rvnine Ω, ) enko oddljene od vzorednih rvnin Ω in Σ, c) enko oddljene od točk in, d) z enoti oddljene od remice, e) z kvečjemu enoti oddljene od remice, f) z 3 enote oddljene od točke, g) z kvečjemu 3 enote oddljene od točke. N rvnini so tke tri remice, q in r, d vsk drug remic te rvnine odisi sek vse tri remice odisi nim skune točke z noeno izmed teh treh remic. Kkšn je medseojn leg remic, q in r?
. KONVEKNE Konveksne množice 9 MNOŽIE Množic točk rvnine je konveksn, če je vsk točk zveznice kterih koli dveh točk te množice tudi element te množice. Konveksni množici Nekonveksni množici Kot je množic točk rvnine med dvem oltrkom s skunim izhodiščem, vključno s točkmi n oeh oltrkih. kuno izhodišče imenujemo vrh kot. vrh V krk q krk kot Odnosi med koti osednj kot okot ovršn kot V Imt skuen krk. Presek njunih notrnjosti je rzn množic. V t sosednj kot, kterih krk, ki nist skun, ležit n isti remici. V t kot, ki imt skuen vrh, in se vsk krk eneg kot doolnjuje v remico s krkom drugeg kot. Vrste kotov Ničelni kot Prvi kot Iztegnjeni kot Polni kot Ostri kot je mnjši od rveg kot. Toi kot je večji od rveg kot in mnjši od iztegnjeneg kot. Konveksni n-kotnik Noen tri zoredn oglišč niso kolinern. F E trnic je zveznic dveh sosednjih oglišč. igonl je zveznic dveh nesosednjih oglišč. Število strnic: n n (n 3) Število digonl: strnic digonl
10 Konveksne množice 1. Kote, zisne s tremi točkmi, ziši z oznkmi s slike. ),,, M, M ),, E, E E j e d M g g d. Vsk oznčeni kot n sliki ziši z uoro točk, ki določjo krk kot. ) ) c) g d g j e 3. Ziši vsj dv r sosednjih kotov, vsj dv r sokotov, vsj dv ostr kot in vsj dv to kot. ) E ) E 4. li je nrisn množic konveksn? ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) )
Konveksne množice 11 5. Prvokotnik je konveksen lik. li st tudi unij in resek dveh rvokotnikov konveksn? Utemelji. 6. Koliko digonl im konveksni: ) 5-kotnik, ) 6-kotnik, c) 10-kotnik, č) 100-kotnik? Przn množic je konveksn. 7. Kteri konveksni večkotnik im: ) 9 digonl, ) 0 digonl, c) 35 digonl, č) 90 digonl? 8. 9. 10. 11. Koliko digonl im konveksni večkotnik, ki im 34 strnic? Kteri konveksni večkotnik im toliko digonl kot strnic? Kteri konveksni večkotnik im 1 strnic mnj kot digonl? Kteri konveksni večkotnik im 5-krt toliko digonl kot strnic? 1. 13. Neki konveksni večkotnik im 54 digonl. Koliko digonl im konveksni večkotnik, ktereg število oglišč je enko olovici števil oglišč dneg večkotnik? Šest žensk in štirje moški stojijo z okroglo mizo. Koliko je vseh rokovnj, če: ) se vsk osmeznik rokuje z vsemi, rzen s sosedom n levi in sosedom n desni, ) se vsk rokuje z vsemi, c) se rokujejo vse ženske med seoj in vsi moški med seoj? 14. N šhovskem tekmovnju je 5 skuin, v kterih so o trije tekmovlci. Koliko iger o odigrnih, če vsk tekmovlec: ) igr z vskim tekmovlcem, rzen s tistim, ki st v njegovi skuini, ) igr z vskim, torej tudi s tekmovlcem iz njegove skuine, c) igr z ntnko enim tekmovlcem iz vske skuine?
3. MERJENJE 1 Merjenje Merjenje dolžin. 1000. 1000. 1000 Merjenje kotov. 60. 60. 10. 10. 10 1 μm 1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 km : 1000 : 1000 : 1000 1 sekund ( ) 1 minut( ) 1 stoinj( ) : 60 : 60 Kot Ničelni Prvi Iztegnjeni Polni lik Velikost 0 90 180 360 Ostri kot je mnjši od 90, toi večji od 90 in mnjši od 180. Komlementrn kot ulementrn kot + = 90 + = 180 1. N sliki st dljici. Ntnčno ju nčrtj v zvezek ter nčrtj še njuno vsoto in rzliko.. N sliki st kot. Ntnčno ju nčrtj v zvezek ter nčrtj še njuno vsoto in rzliko. 3. Nriši oljuen trikotnik. Nčrtj: ) oltrk in n njem dljico, ki je dolg kot oseg trikotnik, ) kot, ki im enko velikost, kot je vsot velikosti kotov trikotnik. Kolikšn je vsot kotov trikotnik? 4. Nriši oljuen štirikotnik. Nčrtj: ) oltrk in n njem dljico, ki je dolg kot oseg štirikotnik, ) kot, ki im enko velikost, kot je vsot velikosti kotov štirikotnik. Kolikšn je vsot kotov štirikotnik? 5. Nriši oljun kot. Nčrtj še: ) njuno vsoto, ) rzliko med večjim in mnjšim kotom. 6. Nriši oljuen kot in njegov sokot. Nčrtj njuno vsoto in rzliko.
Merjenje 13 7. Nriši oljuen: ) rlelogrm in nčrtj vsoto kotov +, ) trez in nčrtj vsoto kotov + d. Kolikšn je vsot v oeh rimerih? 8. Nriši oljuen ostri kot in njemu komlementrni kot. Nčrtj njuno vsoto in rzliko. 9. Izrčunj. Rezultt reveri z ženim rčunlom. ) 34 0 + 55 35 ) 3 55 + 3 44 c) 53 35 + 133 5 d) 35 34 + 3 1 30 d) 1 56 36 + 30 e) 1 45 56 + 55 30 44 g) 34 45-1 35 g) 55 34-1 56 h) 34 8-33 49 j) 56 6 46-17 16 33 j) 155 3-34 57 39 k) 180 53-4 59 57 10. 11. Velikost kot, zisno v stoinjh, ziši v stoinjh, minuth in sekundh. Rezultt reveri z ženim rčunlom. ) 34,5 ) 5,1 c) 58,4 č) 36,15 d) 1,55 Velikost kot, zisno v stoinjh, minuth in sekundh, ziši v stoinjh n 4 decimln mest ntnčno. Rezultt reveri z ženim rčunlom. ) 34 0 ) 3 6 c) 5 1 5 č) 4 34 5 d) 3 55 11 1. Telo reriši v zvezek in jo izolni. Kot Zokroži n minuto ntnčno Zokroži n stoinjo ntnčno Zokroži n stotinko stoinje ntnčno 47 35 5 13 9 3 4 56 47 4,875 33,55 34,13 13. 14. Velikost kot je 6 4. Koliko st velik njemu komlementren in sulementren kot? Velikost kot je 83 5 16. Koliko st velik njemu komlementren in sulementren kot? 15. Izrčunj vsoto velikosti kotov x in y, oznčenih n sliki. 150 x y 16. 17. 18. Rzlik velikosti komlementrnih kotov je 43 8. Kolikšn st kot? Rzlik velikosti dveh sokotov je 110 46 3. Kolikšn st kot? Trikrtnik rzlike velikosti sulementrnih kotov je enk 183 1. Kolikšn st kot? 19. Kot e in j st komlementrn. Kot e je enk trikrtniku z zmnjšne velikosti kot j. Izrčunj e in j.
14 Merjenje 0. 1. Vsot komlementrneg in sulementrneg kot nekeg kot je z 14 večj od iztegnjeneg kot. Izrčunj velikost kot. Velikosti komlementrneg in sulementrneg kot nekeg kot st v rzmerju 7 : 16. Kolikšen je neznni kot?. * Kolikšen kot oklet urni in minutni kzlec o 1.15 uri in kolikšneg o 5.4? 3. * Kdj ost urni in minutni kzlec rvič o 14.00 uri oklel kot 180? 4. Notrnjost kot, velikeg 66, je rzdeljen z desetimi oltrki n enko velike kote. Koliko je velik osmezen kot? 5. Iztegnjeni kot rzdelimo s 4 oltrki n kote, kterih velikosti so v rzmerju : 3 : 4 : 5 : 6. Kolikšni so koti? 6. Okrog osestv ostvljjo ogrjo iz železnih lic, ostvljenih n rzdlji 5 m, med kterimi je net mrež iz žice. Koliko železnih lic in koliko metrov mreže je otrenih z ogrjo osestv n sliki? Ogrj Posestvo 5 m 5 m 5 m 5 m 100 m 40 m 450 m 30 m 7. Posestvo i rdi ogrdili s ciresmi. irese i sdili n rzdlji 0,5 m. Koliko cires i otreovli z 3 m ogrje, koliko z 13 m ogrje in koliko z ogrjo osestv n sliki? Ogrj iz cires Posestvo 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m 34 m 6 m 8. 9. 5 m N dljici, ki je dolg 54 cm, ležijo o vrsti točke, in E. Rzolovišči dljic in E st med seoj oddljeni 38 cm. Koliko st med seoj oddljeni rzolovišči dljic in E? N dljici ležijo o vrsti točke, in E. Rzolovišči dljic in E st med seoj oddljeni 7 cm, rzolovišči dljic in E 0 cm. Koliko je dolg dljic?
4. KLNOT kldnost trikotnikov 15 TRIKOTNIKOV Lik st skldn, če drug drugeg ntnko rekrijet. Trikotnik st skldn, če imt rom skldne strnice in rom skldne kote. Pri reverjnju skldnosti dveh trikotnikov je dovolj, če ugotovimo, li imt: rom skldne vse tri strnice, rom skldni strnici in rom sklden kot, ki g ti dve strnici oklet, rom skldno strnico in rom skldn tej strnici riležn kot, rom skldni strnici in rom sklden kot, ki leži dljši strnici nsroti. 1. Nčrtj kot. ) 30 ) 45 c) 75 č) 90 d),5 f) 150 f) 10 g) 47,5 h) 85 i) 315. Nčrtj trikotnik s rom skldnimi vsemi tremi strnicmi. 1 1 1 : 1 = 4 cm, 1 = 5 cm, c 1 = 6 cm : = 6 cm, = 4 cm, c = 5 cm Kkšn st trikotnik? Ziši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 3. Nčrtj trikotnik, ki imt rom skldno strnico in kot o njej. 1 1 1 : c 1 = 6 cm, α 1 = 30, β 1 = 75 : = 6 cm, γ = 30, α = 75 Kkšn st trikotnik? Ziši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 4. Nčrtj trikotnik s rom skldnim strnicm in kotom med njim. 1 1 1 : 1 = 6 cm, c 1 = 4 cm, β 1 = 60 : = 6 cm, c = 4 cm, α = 60 Kkšn st trikotnik? Ziši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 5. Nčrtj trikotnik s rom skldnim dvem strnicm in ) kotom, ki leži dljši strnici nsroti: ) kotom, ki leži krjši strnici nsroti: 1 1 1 : 1 = 6 cm, 1 = 3 cm, β 1 = 90 1 1 1 : 1 = 5 cm, 1 = 4 cm, α 1 = 30 : c = 6 cm, = 3 cm, γ = 90 : c = 5 cm, = 4 cm, β = 30 Kkšn st trikotnik od ) in kkšn od )? Ziši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 6. Nčrtj trikotnik z dnimi odtki. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 3 cm, = 5 cm, c = 5,5 cm ) = 5 cm, = 7 cm, c = 6 cm c) c = 6 cm, α = 75, β = 45 č) = 5 cm, γ = 90, α =,5 e) = 6 cm, = 5 cm, α = 75 e) = 4 cm, = 3 cm, β = 45 g) = 6 cm, α = 75, γ = 15 g) = 5 cm, α = 15, β = 60
16 kldnost trikotnikov 7. Nčrtj štirikotnik z dnimi odtki. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 5 cm, c = 6 cm, d = 4 cm, γ = 60, δ = 105 ) = 5 cm, = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm, e = 7 cm c) = 5 cm, = 4 cm, c = 3 cm, e = 7 cm, f = 6 cm d) = 7 cm, = 5 cm, c = 4 cm = 30, f = 8 cm e) = = c = d = 4 cm, β = 60 f) = 6 cm, d = 5 cm, β = 10, γ = 75, δ = 60 8. Trikotnik n sliki st skldn. Koliko je velik kot n sliki? 10 cm 89 44 10 cm 89 9. Iz skldnih enkostrničnih trikotnikov sestvljmo trikotnike. 1. kork. kork 3. kork Koliko mjhnih trikotnikov uorimo v tretjem korku, koliko v četrtem in koliko v dvjsetem korku? 10. Trikotnik in st skldn. Točki in ležit n strnich ozirom tko, d st kot in skldn. okži, d je =. 11. N sliki je E = G, kot in FEG st skldn, rv tko st skldn kot in EGF. okži, d st trikotnik in EGF skldn. E G F 1. Točke,,, E in F ležijo, kot kže slik: =, F E, E F. okži, d je F = E. F E
5. VZPORENOT Vzorednost in rvokotnost 17 IN PRVOKOTNOT Kot z vzorednimi krki st enk li sulementrn. Če vzorednici sekmo s remico, doimo re kotov z vzorednimi krki. 180-180 - 180-180 - 180-180 - Prvokotn rojekcij točke n remico je točk, v kteri rvokotnic skozi točko n remico sek remico. Prvokotn rojekcij dljice n remico je zveznic rvokotnih rojekcij krjišč in n remico. imetrl dljice je remic, rvokotn n nosilko dljice, ki otek skozi rzolovišče dljice. imetrl kot je oltrk, ki rzolvlj kot. Vsk točk simetrle je enko oddljen od točk in. Vsk točk simetrle je enko oddljen od oeh krkov. 1. Puščice kžejo smer sončnih žrkov. like reriši v zvezek in jih doolni s senco vrne Ivne. V rimerih (i) in (iv) gre z rvokotno rojekcijo, sj so žrki rvokotni n odlgo. (i) (ii) (iii) (iv). Puščice kžejo smer sončnih žrkov. like reriši v zvezek in jih doolni s senco lice, ki jo neset vrn Ivn in vrn Žn. V rimerih (i), (iii) in (iv) gre z rvokotno rojekcijo, sj so žrki rvokotni n odlgo. (i) (ii) (iii) (iv)
18 Vzorednost in rvokotnost 3. liko reriši n krirst ir. Nriši rvokotni rojekciji točke n remici in q. Projekcijo n remico oznči, n remico q q. ) ) c) q q q 4. liko reriši n krirst ir. Nriši rvokotno rojekcijo dljice n remico. ) ) c) d) e) f) 5. n je točk M(, 4). Ziši koordinte točke: ), ki je rvokotn rojekcij točke M n ordintno os, ), ki je rvokotn rojekcij točke M n scisno os, c), ki je rvokotn rojekcij točke M n remico x = 1, d), ki je rvokotn rojekcij točke M n remico y =, e) E, ki je rvokotn rojekcij točke M n simetrlo lihih kvdrntov. 6. Točki (3, 5) in (, 6) st oglišči dljice. Kolikšn je dolžin dljice: 7. 8. ) 1 1, ki je rvokotn rojekcij dljice n scisno os, ), ki je rvokotn rojekcij dljice n ordintno os, c) 3 3, ki je rvokotn rojekcij dljice n remico x = 1, d) 4 4, ki je rvokotn rojekcij dljice n remico y = -, e) 5 5, ki je rvokotn rojekcij dljice n simetrlo lihih kvdrntov? Točk je od remice oddljen 14 cm. Točk je od remice oddljen 10 cm, od točke 5 cm. Izrčunj dolžino rvokotne rojekcije dljice n remico. Točk je od remice oddljen cm. Točk leži n nsrotni strni remice in je od nje oddljen 6 cm, od točke 10 cm. Izrčunj dolžino rvokotne rojekcije dljice n remico. 9. 10. Nriši dljico, dolgo 5 cm, in konstruirj njeno simetrlo. Nriši trikotnik, ktereg strnice so dolge 5 cm, 5 cm in 4 cm, ter konstruirj simetrle njegovih strnic.
Vzorednost in rvokotnost 19 11. 1. Nriši kot velikosti 105 in konstruirj njegovo simetrlo. Nriši trikotnik s strnicmi, dolgimi 4 cm, 5 cm in 7 cm, ter konstruirj simetrle njegovih kotov. 13. oloči velikosti neznnih kotov. r ) ) c) s t q 4 q 138 q r s t q r r 8 s q q s q d) q e) q f) 13 106 q 70 110 q q r s 47 n q, r s, n s 14. oloči x. ) r ) x 1x + 7 q 7x q q 5x + 3 r q 15. Nriši točko n rvnini. Nriši množico točk, ki so od oddljene: ) 1 cm, ) njveč cm, c) več kot cm. 16. Nriši remico n rvnini. Nriši množico točk, ki so od remice oddljene: ) 1 cm, ) mnj kot 1 cm, c) vsj cm. 17. Nriši kot velik 75. Nriši točko, ki je od: 18. 19. 0. ) oeh krkov oddljen 1 cm, ) eneg krk oddljen cm, od drugeg 3 cm. Tink je nrisl kot velik 60. N enem krku je izrl točko K. Prvokotno rojekcijo točke K n drugi krk je oznčil L. Nto je točko L rvokotno rojicirl n rvi krk in njeno rojekcijo oznčil M. Kolikšen je kot MLK? Premici in q se sekt od kotom 3, remici r in od kotom 7. Kolikšen je ostri kot med remicm r in q? Uoštevj vse možnosti. Nriši rvokotnik s odtki: = 6 cm in = 3 cm. Nj o rvokotn rojekcij točke n digonlo, nj o rvokotn rojekcij točke n strnico. Nriši točki in.
0 Vzorednost in rvokotnost 1. n je rvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm in = cm. Koliko je dolg rvokotn rojekcij: ) digonle n strnico, ) digonle n strnico, c) strnice n strnico, č) strnice n strnico?. n je kvdrt s strnico, dolgo 6 cm. Koliko je dolg rvokotn rojekcij: ) digonle n strnico, ) strnice n digonlo, c) strnice n strnico? 3. n je enkostrnični trikotnik s strnico, dolgo 10 cm. Koliko je dolg rvokotn rojekcij: 4. 5. 6. 7. 8. 9. 30. ) strnice n strnico, ) strnice n višino v c? n je rvokotni trikotnik s hiotenuzo, dolgo c. Kolikšn je vsot dolžin rvokotnih rojekcij oeh ktet n hiotenuzo? Vzorednici in q st med seoj oddljeni 3 cm. Nj ležit točk P n remici in točk Q n remici q tko, d je dolžin dljice PQ enk 5 cm. Kolikšn je rzdlj med točko P in rvokotno rojekcijo točke Q n remico? Premici in q st vzoredni. Premic s sek q od kotom 4, remic t je rvokotn n, remic u je rvokotn n s. Izrčunj kot med remicm u in t. Premic rzdeli rvnino n dve olrvnini Φ in Π. N olrvnini Φ nčrtj točko, ki je od remice oddljen 3 cm. ) Nčrtj točki M in N, ki st od točke oddljeni cm, od remice,5 cm. ) N olrvnini Π nčrtj točki in, ki st od remice oddljeni cm, od rvokotne rojekcije točke n remico 4 cm. c) N olrvnini Π izeri točko K, ki je od remice oddljen 1 cm ter ne leži n remici, ki otek skozi in rvokotno rojekcijo točke n remico. Nčrtj točko T n remici, ki je enko oddljen od točk in K. Nriši remico in točko, ki ne leži n. Nčrtj rvokotnico n remico, ki otek skozi točko. N krkih ostreg kot nriši enko dolgi dljici E in F. Poljuno točko n simetrli teg kot oveži z E in F. okži, d je E = F. n je kot z vrhom. Nriši simetrlo teg kot in n njej izeri točko. Prvokotnic n simetrlo skozi sek krk kot v točkh in. Pokži: trikotnik je enkokrk.
6. TOGE Toge reslikve 1 PRELIKVE Zrcljenje čez remico 1.. 3. 4. Vrtenje 1.. 3. O O O Zrcljenje čez točko 1.. 3. 4. O O O O Množic je simetričn glede n remico, če je enk svoji sliki ri zrcljenju čez remico. Premic je tedj simetrl množice M. simetrl Množic je simetričn glede n točko O, če je enk svoji sliki ri zrcljenju čez točko O. Tog reslikv je reslikv, ki ohrnj rzdlje. Zrcljenje čez remico, vrtenje in zrcljenje čez točko so togi remiki li izometrije. 1. like reriši n krirst ir v zvezek. Nriši zrclne slike likov glede n nrisno remico.
Toge reslikve. like reriši v zvezek. Nriši zrclne slike glede n remico. 3. 4. 5. 6. V rvokotnem koordintnem sistemu nriši točko (3, 4). Nriši še točke: 1, ki je zrcln slik točke glede n os x,, ki je zrcln slik točke glede n os y, 3, ki je zrcln slik točke glede n simetrlo lihih kvdrntov, 4, ki je zrcln slik točke glede n simetrlo sodih kvdrntov, in ziši koordinte teh točk. V rvokotnem koordintnem sistemu nriši dljico s krjiščem (3, -) in (6, 1). Nriši dljice: 1 1, ki je zrcln slik dljice glede n os x,, ki je zrcln slik dljice glede n os y, 3 3, ki je zrcln slik dljice glede n simetrlo lihih kvdrntov, 4 4, ki je zrcln slik dljice glede n simetrlo sodih kvdrntov, in ziši koordinte krjišč teh dljic. V rvokotnem koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (- 4, -1), (3, -) in (1, ). Nriši trikotnik: 1 1 1, ki je zrcln slik trikotnik glede n remico x = 4,, ki je zrcln slik trikotnik glede n remico y = -3, in ziši koordinte oglišč teh trikotnikov. V rvokotnem koordintnem sistemu nriši kvdrt z oglišči (- 6, -3), (-, -3), (-, 1) in (-6, 1). Nriši kvdrt: 1 1 1 1, ki je zrcln slik kvdrt glede n remico x = -1,, ki je zrcln slik kvdrt glede n remico y = 4, in ziši koordinte oglišč teh kvdrtov. 7. V koordintni sistem nriši zveznico dnih točk in ziši enčo simetrle doljene dljice. ) (3, 6) in (3, -6) ) (-3, ) in (3, ) c) (1, 4) in (1, ) d) Č(-3, 5) in Č (-1, 5) d) (, 3) in (3, ) e) E(-3, 4) in E (-4, 3) 8. Nriši: ) trikotnik s odtki = 5 cm, = 4 cm in c = 4 cm ter g rezrcli čez strnico c, ) enkostrnični trikotnik s 3 cm dolgo strnico ter g rezrcli čez strnico, c) kvdrt s strnico, dolgo cm, in g rezrcli čez strnico, d) rvokotnik s strnicm, dolgim = 4 cm in = cm, in g rezrcli čez digonlo.
Toge reslikve 3 9. like reriši n krirst ir. Nriši vse simetrle. 10. like reriši n krirst ir. Nriši vse simetrle. Uoštevj tudi rve. 11. Kter slik rikzuje vse simetrle: ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. Noen izmed nvedenih. c) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. d) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. e) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. 1. like reriši n krirst ir. Zvrti lik: ) z 90 ) z 90 okrog, okrog, c) z -180 okrog, d) z 90 okrog Č, e) z -90 okrog. Č
4 Toge reslikve 13. 14. V koordintnem sistemu nriši točko (3, 0). Nriši točko: 1, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 90 okrog koordintneg izhodišč,, ki jo doiš, če zvrtiš točko z -90 okrog koordintneg izhodišč, 3, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 180 okrog koordintneg izhodišč, 4, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 90 okrog točke (3, 4), 5, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 180 okrog točke T(, 0), in ziši koordinte doljenih točk. V koordintnem sistemu nriši dljico s krjiščem (, 1) in (4, 1). Nriši dljico: 1 1, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 90 okrog koordintneg izhodišč,, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z -180 okrog koordintneg izhodišč, 3 3, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 90 okrog točke (3, 1), 4 4, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 180 okrog točke M(-, 1), in ziši koordinte krjišč doljenih dljic. 15. Nriši: ) trikotnik s odtki = 6 cm, = 4 cm in c = 5 cm ter g zvrti z 30 okrog oglišč, ) enkostrnični trikotnik s 5 cm dolgo strnico ter g zvrti z 45 okrog oglišč, c) rvokotnik s odtki = 6 cm in = 3 cm ter g zvrti okrog središč z 10, d) kvdrt s 4 cm dolgo strnico ter g zvrti z 60 okrog oglišč. 16. Koliko rotcijskih simetrij imjo nslednje figure? Rotcijskih simetrij je toliko, kolikor je kotov, velikih njveč 360, ri kterih doimo figuro, enko dni figuri, ko jo zvrtimo z tk kot. 17. Koliko rotcijskih simetrij imjo dne figure? 18. like reriši n krirst ir. Nriši središče vrtenj in določi kot vrtenj, ki reslik modri lik v rjveg. ) ) c) d) 19. like reriši n krirst ir in figure rezrcli čez točko M. ) ) c) d) M M M M 0. V koordintnem sistemu nriši kvdrt z oglišči (4, 1), (5, 1), (5, ) in (4, ). Prezrcli g čez ordintno os in zrclno sliko oznči. Nto kvdrt rezrcli čez scisno os in sliko oznči. Ti dve zrcljenji lhko ndomestimo z vrtenjem. Ziši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo.
Toge reslikve 5 1.. 3. 4. 5. V koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (3, 1), (1, 1) in (, ). Zrcli g čez scisno os, sliko zvrti z 90 okrog koordintneg izhodišč in novo sliko rezrcli čez scisno os. Ktero vrtenje i ndomestilo vse tri reslikve? Ziši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo. V koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (-4, -3), (-1, -1) in (-, 5). Prezrcli g čez remico x = 1 in sliko oznči. Trikotnik rezrcli čez remico y = 1 in sliko oznči. Ti dve zrcljenji lhko ndomestimo z vrtenjem. Ziši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo. Zmisli si oljuno točko M v koordintnem sistemu. Nj o M 1 zrcln slik točke M glede n simetrlo lihih kvdrntov. Nj o M zrcln slik M 1 glede n scisno os. Nj o M 3 točk, ki jo doimo, če zvrtimo M z -90 okrog koordintneg izhodišč. Nj o M 4 zrcln slik M 3 glede n koordintno izhodišče. Kkšn je točk M 4? Pokži. Zmisli si oljuno točko M v koordintnem sistemu. Nj o M 1 zrcln slik točke M glede n ordintno os. Nj o M točk, ki jo doimo, če zvrtimo M 1 z 90 okrog koordintneg izhodišč. Nj o M 3 zrcln slik točke M glede n simetrlo sodih kvdrntov. Kkšn je točk M 3? Pokži. n je kvdrt. Točko rezrcli čez točko. Tko doljeno točko oznči z E. okži, d st trikotnik E in E skldn. Kkšen je trikotnik E? 6. * Krog rzdelimo s remicmi, q, r, s n osem enko velikih omočij, ki jih oznčimo, kot rikzuje slik. Nj o M oljun točk v omočju, oznčenim s številko 8. V kterem omočju je slik točke M, če: ) 100-krt izvedemo zrcljenje, in sicer njrej točko M rezrclimo čez remico, njeno sliko rezrclimo čez q, novo sliko čez r, doljeno sliko čez s, novo sliko čez, njeno sliko čez q, ) točko M zvrtimo z 9090 v ozitivni smeri okoli središč krog, c) točko M zvrtimo 63-krt z 30 v negtivni smeri okrog središč krog? s 4 5 r 3 6 7 1 8 q 7. * ekle je n zčetku 1 m dolge grede rož in je od nje oddljeno 6 m, fnt n koncu grede, in je od nje oddljen 3 m. ekle mor iti do grede, utrgti rožo in jo dti fntu. Kolikšn je njkrjš ot, ki jo mor rehoditi dekle? 6 m 1 m 3 m 8. * Vsko rotcijo lhko ndomestimo z dvem zrcljenjim čez remico. Pokži.
6 Trikotnik 7. TRIKOTNIK Notrnji koti so α, β, γ: α + β + γ = 180 Zunnji koti so α 1, β 1, γ 1 : α 1 = 180 α, β 1 = 180 β, γ 1 = 180 γ, α 1 + β 1 + γ 1 = 360 Nsroti njdljši strnici leži njvečji kot, nsroti njkrjši njmnjši kot. γ 1 γ Vsk strnic je krjš od vsote dolžin drugih dveh strnic. Vsk strnic je dljš od solutne vrednosti rzlike dolžin drugih dveh strnic. α 1 α c β β 1 Znmenite črte trikotnik Težiščnic Višin imetrl strnice imetrl kot v c t c c c je dljic od rzolovišč strnice do nsrotneg oglišč. je dljic, rvokotn n nosilko strnice in otek od nosilke te strnice do nsrotneg oglišč. c c je remic, rvokotn n strnico in otek skozi rzolovišče te strnice. α α je oltrk, ki rzolvlj kot. Znmenite točke trikotnik Težišče T Višinsk točk V redišče očrtne krožnice O c t c T t c t je resečišče težiščnic. Težišče deli težiščnico v rzmerju 1 :. v c O v V v c c je resečišče nosilk višin. je resečišče simetrl strnic. redišče včrtne krožnice V α α γ γ V je resečišče simetrl kotov. β β 1. V trikotniku je α = 36 15 kotov. in γ = 3 33. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih. V trikotniku je 1 = 19 13 in g = 7 4. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih kotov. 3. 4. Kot o vrhu enkokrkeg trikotnik je velik 4 45. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih kotov. n je trikotnik. Notrnji kot trikotnik o oglišču je velik 5 rveg kot, zunnji kot ri oglišču 3 rveg kot. Koliko so veliki osmezni notrnji in zunnji koti? Izrzi v stoinjh.
Trikotnik 7 5. 6. Prvokotni trikotnik s hiotenuzo c in kotom = 40 rzdelimo z v c n dv trikotnik. Izrčunj velikosti kotov nstlih dveh trikotnikov. Nriši sliko. Velikosti notrnjih kotov trikotnik so v rzmerju : 3 : 4. Kolikšn je rzlik med velikostjo njvečjeg zunnjeg in njmnjšeg notrnjeg kot teg trikotnik? 7. Pokži, d je trikotnik, ktereg velikosti kotov so v rzmerju : 7 : 9, rvokoten. 8. 9. 10. Velikosti ostrih kotov rvokotneg trikotnik st v rzmerju : 7. oloči velikosti notrnjih kotov trikotnik. Kot trikotnik je z 0 večji od kot, kot g je z 1 mnjši od dvkrtnik kot. Izrčunj velikosti notrnjih in zunnjih kotov trikotnik. Notrnji kot ri oglišču trikotnik je enk olovici zunnjeg kot ri. Zunnji kot ri oglišču je enk štirikrtniku notrnjeg kot ri oglišču. Izrčunj velikosti notrnjih in zunnjih kotov trikotnik. 11. Koti,, g, d, e so oznčeni n sliki. Izrčunj + + g + d - e. g d e 1. Pokži: ) vsot velikosti notrnjih kotov trikotnik je enk 180, ) vsot velikosti zunnjih kotov trikotnik je enk 360. 13. li ostj trikotnik s odtki: ) = 6 cm, = 8 cm, c = 15 cm, ) = 36 cm, = 38 cm, c = 45 cm, c) = 100 cm, = 145 cm, c = 40 cm, č) = 4 cm, = 4,5 cm, c = 8 cm? 14. 15. 16. trnice trikotnik so dolge celo število centimetrov. trnic je dolg 6 cm, strnic c je z cm krjš. oloči vse možne dolžine strnice. Ziši vse možne celoštevilske dolžine strnice trikotnik s odtkom c = 18 cm in = 10 cm. N vrvici je enkomerno rzorejenih 7 vozlov. Koliko rzličnih trikotnikov lhko nredimo iz vrvice, če morjo iti v ogliščih trikotnik vozli in je oseg trikotnik enk dolžini vrvice?
8 Trikotnik 17. * N vrvici so enkomerno rzorejeni vozli. Iz vrvice olikujemo enkokrke trikotnike, kterih oglišč so lhko le v vozlih in je oseg trikotnik enk dolžini vrvice. Koliko enkokrkih trikotnikov lhko sestvimo, če je n vrvici: 18. ) 5 vozlov, ) 6 vozlov, c) 7 vozlov, č) 8 vozlov, d) 15 vozlov? Geotrikotnik ni mogoče odirti z enim rstom tko, kot je rzvidno s slike, d i il v rvnovesju. Kko imenujemo točko, v kteri se rst dotik geotrikotnik, ko je le-t v rvnovesju? 19. N sletu oišči zemljevid lovenije, g ntisni in izreži. Vzemi iglo, vnjo nelji nit in n nit riveži utež. Šlono lovenije n več koncih reodi tik o rou, drži le iglo, d se zemljevid in nitk ostvit v rvnovesno lego, in nriši, kje otek vrvic. Ko nrišeš vsj dve tki črti, doiš težišče lovenije. Ktero mesto je težišče lovenije? 0. 1. Nriši štiri skldne trikotnike s strnicmi, dolgimi 5 cm, 4 cm in 6 cm. Prvemu konstruirj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtno krožnico in četrtemu včrtno krožnico. Nriši štiri skldne trikotnike s odtki = 3 cm, = 60, c = 7 cm. Prvemu konstruirj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtno krožnico in četrtemu včrtno krožnico.. 3. 4. 5. n st kot = 45 in = 68 trikotnik. Kolikšen kot oklet simetrli kotov s in s g? n st kot = 43 in g = 55 trikotnik. Kolikšen ostri kot oklet v c in v? imetrl kot g trikotnik sek strnico v točki. Nj o = 40 in = 70. Izrčunj. Pokži, d st simetrl notrnjeg kot in simetrl zunnjeg kot o istem oglišču trikotnik rvokotni. 6. Nčrtj trikotnik s odno višino. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 5 cm, v c = 3 cm, = 75 ) = 6 cm, v = cm, g = 90 c) c = 5 cm, v c = 3 cm, = 4 cm č) = 5 cm, = 3 cm, v = cm e) v = 4 cm, = 60, g = 75 e) = 6 cm, v c = 4 cm, =105 g) = 5 cm, v = 4 cm, v c = 3 cm g) v = 3 cm, v c = 4 cm, = 60 7. Nčrtj trikotnik s odno težiščnico. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 6 cm, c = 3 cm, t = 4 cm ) = 5 cm, t = 4 cm, g = 30 c) c = 6 cm, t c = 4 cm, v c = 3 cm č) t c = 5 cm, v = 6 cm, = 75 e) t c = 5 cm, v c = 4 cm, = 4,5 cm e) t c = 5 cm, v = 4 cm, = 30
Trikotnik 9 8. Nčrtj trikotnik s odnim odsekom simetrle kot v trikotniku. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 5 cm, = 75, s = 4 cm ) = 4 cm, g = 90, s = 4,5 cm 9. Nčrtj trikotnik s odnim olmerom očrtne krožnice. Niši ostoek nčrtovnj. 30. 31. 3. ) R = 3 cm, = 5 cm, = 3 cm ) R = 4 cm, c = 6 cm, v c = cm c) R =,5 cm, = 4 cm, g = 30 č) R = 3 cm, =, c = 4 cm Nčrtj enkokrki trikotnik ( = ) z dnimi odtki, ri čemer je r olmer trikotniku včrtne krožnice. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 4 cm, v c = 5 cm ) v c = 4 cm, g = 60 c) r = 3 cm, g = 75 Nčrtj rvokotni trikotnik (rvi kot ri ) z dnimi odtki. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 3 cm, c = 5 cm ) = 3 cm, s = 3,5 cm Nčrtj enkostrnični trikotnik z dnim odtkom, ri čemer je r olmer trikotniku včrtne krožnice, R olmer očtrtne krožnice. Niši ostoek nčrtovnj. ) v = 3 cm ) R = 3 cm c) r = cm 33. * Nčrtj trikotnik z dno vsoto dolžin strnic. Niši ostoek nčrtovnj. ) + c = 10 cm, = 30, = 4 cm ) + c = 10 cm, g = 30, = 4 cm c) + c = 8 cm, = 60, = 45 č) + c = 7 cm, v = 3 cm, = 4 cm e) + + c = 1 cm, = 30, = 75 e) + + c = 10 cm, v c = 4 cm, = 75 34. * Nčrtj trikotnik z dno rzliko dolžin strnic. Niši ostoek nčrtovnj. ) c - = cm, = 30, v c = 4 cm ) - c = cm, g = 30, v = 4 cm c) - c = 1 cm, g = 60, = 3 cm č) - c = 1 cm, g = 45, = 75 35. 36. okži, d je nosilk težiščnice n strnico trikotnik enko oddljen od oglišč in. okži, d st višini n krk enkokrkeg trikotnik enko dolgi. 37. 38. V trikotniku je =. imetrl kot sek strnico v točki E, simetrl kot strnico v točki F. ljici E in F se sekt v točki. Izrzi z notrnje kote štirikotnik EF. V trikotniku je = 4. imetrl kot sek strnico v točki E, simetrl kot E strnico v točki, simetrl kot E strnico v točki F. Izrzi z notrnje kote trikotnikov EF in F. 39. Izrčunj velikost kot, če je = E, E = 40, zunnji kot o oglišču trikotnik je velik 150. 40. Izrčunj velikost kot, če je = E, E = 50, zunnji kot o oglišču trikotnik je velik 140. E E
30 Trikotnik 41. okži, d st dljici in skldni, če je = E, = E ter st kot in sulementrn. E F 4. Nriši trikotnik. Konstruirj še težišče T, višinsko točko V, očrtno krožnico in njeno središče, včrtno krožnico in njeno središče I. Vse omožne točke, remice, dljice in oise skrij. Premikj oglišč in oiši trikotnik, v kterem: ) ležijo vse štiri znčilne točke trikotnik n isti remici, ) vse štiri znčilne točke trikotnik sovdjo, c) je višinsk točk izven trikotnik, T I V d) je središče očrtne krožnice izven trikotnik. ljico z ogliščem in V imenujemo Eulerjev dljic. Premikj oglišč trikotnik in oskušj ugotoviti: e) kkšn je leg točke T glede n Eulerjevo dljico, f) kolikšno je rzmerje T : T V. 43. 44. 45. 46. imetrl rveg kot in višin n hiotenuzo rvokotneg trikotnik oklet kot 15. Kolikšn st ostr kot trikotnik? Višin iz oglišč enkokrkeg trikotnik z vrhom rzdeli kot ri oglišču tko, d je eden izmed nstlih kotov z 30 večji od drugeg. Kolikšni so koti trikotnik? Velikosti zunnjeg kot o osnovnici in zunnjeg kot o vrhu enkokrkeg trikotnik st v rzmerju 5 :. Kolikšni so koti teg trikotnik? N odljšku osnovnice enkokrkeg trikotnik izeri oljuno točko. Pokži, d rzlik med oddljenostm točke od nosilk krkov trikotnik ni odvisn od izire točke. 47. * N rvnini st nrisni sekjoči se remici in q ter točk, ki ne leži n teh remich. Nčrtj trikotnik z ogliščem, ktereg nosilki simetrl notrnjih kotov ri in st remici in q. 48. * N rvnini st nrisni sekjoči se remici in q ter točk, ki ne leži n teh remich. Nčrtj trikotnik, ktereg nosilki težiščnic iz oglišč in st remici in q, je rzolovišče strnice. 49. ne nekolinerne točke, E in F so rzolovišč strnic trikotnik. Nčrtj trikotnik. 50. ne so nekolinerne točke, E in T. Točki in E st rzolovišči dveh strnic, T je težišče trikotnik. Nčrtj trikotnik.
8. OONI Oodni in središčni kot 31 IN REIŠČNI KOT Koti v krogu rediščni kot je dvkrt tolikšen kot oodni kot nd istim lokom. Vsi oodni koti nd istim lokom so enko veliki. Kot v olkrogu je rvi kot. Tetiv in tngent Tetiv je zveznic dveh točk n krožnici. Tngent je remic, ki se dotik krožnice. imetrl tetive otek skozi središče krožnice. Tngent je rvokotn n olmer, ki ovezuje središče krožnice in dotiklišče tngente. 1. Nriši tri oodne kote M, L in K nd istim lokom ter rimerjj njihove velikosti. ) Koliko st velik kot L in M, če je kot K velik 30? ) Kkšni so oodni koti nd istim lokom? M c) Točki in nstvi tko, d o kot K velik 30. Točko M renesi n krjšeg izmed oeh lokov med in. Tko je M oodni kot nd dljšim izmed oeh lokov s krjiščem L in. Koliko je tedj velik kot M? d) Kkšn zvez velj med oodnim kotom nd mnjšim lokom, ki g določt dve točki, in oodnim kotom nd večjim lokom, ki g določt isti dve točki? K. Nriši središčni in oodni kot nd istim lokom ter rimerjj njuni velikosti. ) Kolikšen je središčni kot, če je oodni kot nd istim lokom velik 40? ) Kolikšen je oodni kot, če je središčni kot nd istim lokom velik 40? c) Kkšn je zvez med središčnim in oodnim kotom nd istim lokom?
3 Oodni in središčni kot 3. Nriši kot v olkrogu ter ozuj njegovo velikost. V ) Kolikšen je kot v olkrogu? ) Kje leži središče rvokotnemu trikotniku očrtne krožnice? Kolikšen je njen olmer? c) Kolikšn je dolžin težiščnice n hiotenuzo v rvokotnem trikotniku? 4. Kot v rdinih ziši s stoinjmi. ) π ) 3π 4 c) 7π 6 č),3 d) 1,5 e) 0, 5. Kot v stoinjh ziši z rdini. ) 30 ) 45 c) 135 č) 1 d) 360 e) 70 Zunnji kot ri oglišču trikotnik je velik 11π 18, zunnji kot ri oglišču 13π 6.. Kolikšni so 18 notrnji koti trikotnik? 7. oloči velikost kot. ) ) c) d) 3 80 7 81 e) f) g) h) 50 180 46 0 100 i) j) k) l) 0 30 10 60 100 8. Vsot velikosti središčneg in oodneg kot nd istim lokom je 56 30. Koliko je velik vsk izmed njiju? 9. 10. 11. Velikosti središčneg in oodneg kot nd istim lokom se rzlikujet z 45 3 3. Koliko je velik vsk izmed njiju? N krožnici ležit točki in, ki jo delit n dv lok, kterih dolžini st v rzmerju 4 : 5. Kolikšen središčni kot rid večjemu loku in kolikšen oodni kot rid mnjšemu loku? Krjišči tetive delit krožnico n dv lok, kterih dolžini st v rzmerju 1 : 4. Koliko je velik oodni kot nd mnjšim izmed oeh lokov?
Oodni in središčni kot 33 1. 13. 14. 15. 16. 17. Trikotniku očrtmo krožnico. Oglišč, in rzdelijo krožnico n tri loke, kterih dolžine so v rzmerju 3 : 4 :. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. Enkokrkemu trikotniku z vrhom očrtmo krožnico. Krku rid središčni kot 50. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. N krožnici izeremo štiri točke,, in. Rzmerje dolžin lokov je enko : : : = 5 : 11 : 10 : 10. Izrčunj velikosti notrnjih kotov štirikotnik. V krogu s olmerom 3 cm nrišemo 3 cm dolgo tetivo. Pod kolikšnim kotom jo vidimo iz točk n dljšem loku in od kolikšnim iz točk n krjšem loku? Točki in rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju : 7. Kolikšen je njmnjši neničelni kot, od kterim vidimo dljico iz točk n krožnici? Točki in rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju 4 : 5. Kolikšen je njvečji kot, od kterim vidimo dljico iz točk n krožnici? 18. Nriši 5 cm dolgo dljico. Nto nriši vse točke, iz kterih vidimo dljico od dnim kotom. ) 60 ) 10 19. 0. Zslon v kinu je širok 5 m. Nriši, kje nj sedijo gledlci, d odo videli zslon od kotom 30. Riši tloris, in sicer v rzmerju 1 : 100. Nriši rvokotni trikotnik s rvim kotom ri in s odno višino n hiotenuzo. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 5 cm, v c = cm ) R = 3 cm, v c = cm c) t c = 4 cm, v c = 3 cm 1. * Nriši trikotnik. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v = 4 cm, v = 5 cm ) = 6 cm, v c = 5,5 cm, v = 5 cm. * Nriši trikotnik s odno strnico in nsrotnim kotom. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v c = cm, g = 60 ) = 5 cm, t = 4 cm, = 30 c) = 5 cm, v = 1 cm, = 10 č) = 6 cm, t =,5 cm, = 105 3. Iz točke M nrišemo tngenti t 1 in t n krožnico s središčem. Tngenti se dotikt krožnice v točkh in. oloči velikost kot. ) ) c) d) t 5 M t 1 6 M t 1 t 60 M t 1 t 1 t 70 M t 4. Vzemi kozrec z okroglo odrtino, ostvi g n ir in nriši krožnico. Nčrtj središče krožnice. Niši ostoek nčrtovnj.
34 Oodni in središčni kot 5. Nriši 3 oljune nekolinerne točke. Nčrtj krožnico, ki otek skoznje. 6. Nriši remico. Konstruirj krožnici s olmerom cm in 3 cm, ki se remice dotikt v isti točki in ležit n nsrotnih regovih remice. 7. Nriši krožnico s olmerom, dolgim 3 cm. N njej izeri točko M. V točki M nčrtj tngento. 8. Nriši 7 cm dolgo dljico in krožnico s središčem in olmerom 4 cm. Iz točke nčrtj tngenti n krožnico. 9. Nriši krožnico s olmerom, dolgim 3 cm. Nčrtj tngenti n krožnico, ki oklet kot 60. 30. Krjišči tetive določt središčni kot 66. Izrčunj velikost ostreg kot, ki g okle tetiv s tngento n krožnico v točki. 31. Nčrtj kot 75 in krožnico s remerom, dolgim 6 cm, ki se dotik oeh njegovih krkov. 3. Iz točke st nrisni tngenti n krožnico (središče krožnice je v točki ). Tngenti se dotikt krožnice v točkh M in N. N ) okži, d st dljici M in N skldni. ) Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik MN, če je kot MN velik 80. M 33. N krožnici s središčem in remerom je tk točk, d je kot velik 30. kozi točko je nrisn tngent n krožnico, ki sek nosilko dljice v točki. Kolikšni so koti trikotnik? Pomgj si s sliko. Nčrtj iz točke še drugo tngento z dotikliščem E. Kolikšen je kot E? 34. n je tetiv krožnice s središčem. V točki je nrisn tngent. Nrisn je rvokotnic n olmer skozi, ki sek tngento v točki, nosilko tetive v točki. Kot je velik 4. okži, d je =. Pomgj si s sliko. li je = tudi, če je velikost kot drugčn? 35. Točke M, N in T ležijo n krožnici s središčem v točki. Nj o MN = 8, MT = MR. Izrčunj velikosti notrnjih in zunnjih kotov trikotnik MRT. T M N R
Oodni in središčni kot 35 36. * n je krožnic s središčem in olmerom, dolgim 10 cm. Iz točke, ki je od točke oddljen 0 cm, nrišemo tngento n krožnico. otiklišče oznčimo z. Koliko je rvokotn rojekcij točke n dljico oddljen od točke? 37. * n je krožnic s središčem in olmerom r. Nj o oljun tetiv te krožnice. Tetivo odljšmo z dolžino r in krjišče oznčimo z E, tko d leži med in E. Nosilk dljice E sek krožnico v točki F tko, d leži med F in E. okži, d je velikost kot E enk tretjini velikosti kot F. 38. n je krožnic s središčem in olmerom r = M. ljico M odljšj z r = MN tko, d M leži med N in. Iz točke N oloži tngenti n krožnico. Kolikšen je kot med tngentm? 39. * n je krožnic K. Nj o njen remer, tk točk n krožnici, d je kot med dljico in dljico enk 30. V točki oložimo tngento n krožnico. T sek nosilko dljice v točki. Izrčunj velikost kot. Kkšne vrste trikotnik je? 40. 41. Kot, ki g oklet višin in težiščnic n hiotenuzo rvokotneg trikotnik, je enk rzliki velikosti ostrih kotov teg trikotnik. okži. Eden izmed kotov rvokotneg trikotnik je velik 15. Kolikšno je rzmerje med dolžino hiotenuze in dolžino višine n hiotenuzo teg trikotnik? 4. * Pokži: Kot med tetivo in tngento n krožnico skozi krjišče tetive je enk oodnemu kotu nd tetivo. tetiv tngent
36 Štirikotniki 9. ŠTIRIKOTNIKI TRPEZ PRLELOGRM ROM d c s f e f e je 4-kotnik, ki im en r vzorednih strnic, in c st osnovnici, in d st krk, s je srednjic trez. je trez, ki im dv r vzorednih strnic, digonli se rzolvljt. PRVOKOTNIK KVRT ELTOI d d je rlelogrm, ki im vse 4 kote rve, digonli se rzolvljt in st enko dolgi. d d je rvokotnik, ki im vse 4 strnice enko dolge, je rom, ki im vse štiri kote rve, digonli st rvokotni, enko dolgi in se rzolvljt. je rlelogrm, ki im 4 enko dolge strnice, digonli se rzolvljt in sekt rvokotno. f e e e f e je 4-kotnik, ki im dv r enko dolgih sosednjih strnic, nosilk digonle, ki je simetrijsk os deltoid, rzolvlj drugo digonlo. TETIVNI ŠTIRIKOTNIK TNGENTNI ŠTIRIKOTNIK PRVILNI n-kotnik d d c g je 4-kotnik, ki mu lhko očrtmo krožnico, velj: + g = + d. d c je 4- kotnik, ki mu lhko včrtmo krožnico, velj: + c = + d. F E je n-kotnik, ki im vse strnice enko dolge in vse notrnje kote enko velike. α = (n) 180 n 1. oloči logično vrednost izjve. ) Vsk trez je rlelogrm. ) Vsk rlelogrm je trez. c) Vsk rlelogrm s skldnimi strnicmi je rom. d) igonl vskeg enkokrkeg trez rzdeli t trez n dv skldn trikotnik.
Štirikotniki 37. e) Vsk rlelogrm s skldnimi koti in skldnimi strnicmi je kvdrt. f) Če st nsrotni strnici štirikotnik vzoredni, je štirikotnik rlelogrm. g) Nsrotni strnici rlelogrm st vzoredni in skldni. h) Kot o isti strnici rlelogrm st sulementrn. i) igonl rlelogrm rzolvlj kot o ogliščih, ki ju ovezuje. j) igonl rom rzolvlj kot o ogliščih, ki ju ovezuje. k) igonli rlelogrm se rzolvljt. oloči neznne velikosti kotov: ) rlelogrm, ) trez, c) enkokrkeg trez, d 4 13 c g d c 135 d d 50 d) deltoid, e) rvokotnik, f) rom. e d g 65 140 110 15 3. Izrčunj dolžine strnic enkokrkeg trez z osegom 6 cm, v kterem je strnic z cm dljš od strnice c, dolžin strnice je enk olovici dolžine strnice c. 4. Nčrtj kvdrt. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 5 cm ) = e = 6 cm c) * e = + cm č) * e + = 8 cm 5. Nčrtj rvokotnik. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 6 cm, = cm ) = 5 cm, e = 6 cm c) = 6 cm, (e, f) =60, > č) e = 6 cm, (e, f) =60, > e) = 3 cm, = 30 e) = 6 cm, = 15 g) * + = 10 cm, e = 8 cm g) * - = cm, e = 5 cm i) * + e = 10 cm, = 3 cm i) * e - = cm, = 6 cm 6. Nčrtj rlelogrm. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 6 cm, = cm, = 60 ) = 6 cm, = cm, = 75 c) = 6 cm, = cm, e = 7 cm č) = 5 cm, = 4 cm, f = 6 cm e) = 6 cm, = 4 cm, v = 3 cm e) e = 6 cm, = 10, v = 3 cm g) = 5 cm, e = 6 cm, f = 8 cm g) * = 6 cm, v = 3 cm, = 30 i) * f = 6 cm, = 60, e = 10 cm i) * e = 10 cm, f = 6 cm, = 45 k) * + = 10 cm, v = 3 cm, = 30 k) * - = 3 cm, v = 3 cm, e = 6 cm m) * + f = 8 cm, = 10, v = 3 cm m) f - = 3 cm, = 60, = 6 cm
38 Štirikotniki 7. Nčrtj rom. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 4 cm, = 60 ) = 5 cm, e = 3 cm c) = 4 cm, f = 5 cm č) e = 4 cm, f = 6 cm e) = 4 cm, v = 3 cm e) e = 6 cm, v = cm g) e = 6 cm, = 75 g) * e + = 6 cm, = 60 i) * = 4 cm, e + f = 10 cm i) * f - = cm, = 10 8. Nčrtj trez. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 7 cm, v = 3 cm, = 3,5 cm, d = 4,5 cm ) = 6 cm, = 4 cm, = 60, d = 3 cm c) = 7 cm, = 4 cm, e = 6 cm, c = 3 cm d) = 6 cm, = 45, g = 10, v = 3 cm e) = 8 cm, = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm f) = 6 cm, = 45, = 60, c = 3 cm g) * = 7 cm, v = 3 cm, c = 4 cm, = 60 h) * = 7 cm, v = 4 cm, e = 7 cm, = 75 i) * + c = 10 cm, = 75, = 60, v = 3 cm j) * + + d = 10 cm, = 60, = 45, v = cm k) * = d, - e = 1 cm, v = 4 cm, = 60 l) * = d, = 6 cm, v = 4,5 cm, = 60 9. Nčrtj deltoid s simetrlo. Niši ostoek nčrtovnj. ) = 6 cm, = 3 cm, = 10 ) = 5 cm, = 4 cm, e = 6 cm c) e = 4 cm, f = 6 cm, = 3 cm č) = 5 cm, e = 4 cm, f = 7 cm e) = 5 cm, = 3 cm, f = 6 cm e) f = 7 cm, = 30, d = 60 g) e = 5 cm, = 30, d = 60 g) * e = 3 cm, f = 7 cm, = 10 i) * + e = 8 cm, = 3 cm, = 30 i) * - = 3 cm, f = 7 cm, = 10 10. Nčrtj trikotnik. Niši ostoek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v c = 3 cm, t = 4 cm ) = 4 cm, t = 5 cm, = 75 c) = 4 cm, c = 4 cm, t = 3,5 cm č) = 5 cm, = 3 cm, t c = 3 cm 11. Izrčunj neznne velikosti kotov v tetivnem štirikotniku. ) ) d d g 10 130 91 11
Štirikotniki 39 1. Izrčunj neznno dolžino strnice v tngentnem štirikotniku. ) ) d = 7 cm d = 5 cm = 6 cm c c = 3 cm = 5 cm 13. Izrčunj velikost kot x. ) ) c) x E 130 100 d) e) f) x 150 = cm 65 x = 30 = x 50 46 x x 0 = 14. Pokži, d je štirikotnik KLM tetivni. K L M N 15. * Krožnici K 1 in K se sekt v točkh in. kozi točko oložimo remico, ki sek krožnico K 1 v točkh in, krožnico K v točkh in. kozi točko oložimo remico, ki sek krožnico K 1 v točkh E in, krožnico K v točkh F in. okži, d st dljici E in F vzoredni. 16. 17. Nj o K ostrokotnemu trikotniku očrtn krožnic. Nosilk višine n strnico c sek krožnico v točki, višino n strnico v točki E. okži, d je trikotnik E enkokrk. Tdej ovld kuhnje. Lonec ostvi n mizo, mu risloni dve enko dolgi slmici, nož in kuhlnico tko, d se njihovi zčetki in konci stikjo, kot rikzuje slik. Koliko je dolg slmic, če je nož dolg 13 cm, kuhlnic 31 cm?
40 Štirikotniki 18. lj, Lin, Jk in Niko se ostvijo v krog, kot rikzuje slik. Jk in Lin držit neto črno vrvico, Jk in Niko držit neto modro vrvico, Jk in lj rjvo vrvico. lj vidi modro vrvico od zornim kotom 40, črno vrvico od zornim kotom 100. Pod kolikšnim kotom: Niko Lin ) Lin vidi modro vrvico, ) Niko vidi črno vrvico, c) Lin vidi modro vrvico, če stoi n sredino krog? Jk lj 19. * n je krožnic s središčem. Iz točke st n krožnico nrisni tngenti, ki se krožnice dotikt v točkh in. Točk je oljun točk n mnjšem izmed oeh lokov, ki ju določt in. Tngent skozi sek nrisni tngenti v točkh E in F. okži, d velikost kot FE ostj enk, če točko remikmo o krjšem loku. E F 0. Koliko je velik notrnji kot rvilneg: ) 5-kotnik, ) 10-kotnik, c) 66-kotnik? 1. Kteri rvilni n-kotnik im notrnji kot velik 17?. Koliko je velik zunnji kot rvilneg: ) 7-kotnik, ) 1-kotnik, c) 60-kotnik? 3. Kteri rvilni n-kotnik im zunnji kot velik 36? 4. n je rvilni 17-kotnik. ) Izrčunj število digonl. ) Izrčunj velikost notrnjeg kot. 5. Kolikšen je notrnji kot rvilneg večkotnik, ki im 104 digonle? 6. n je rvilni 9-kotnik EFGHI. Nj o M tk točk v njegovi notrnjosti, d je trikotnik M enkostrnični. Izrčunj velikost kot M. 7. 8. Nriši dve krožnici s olmerom 4 cm. Prvi včrtj rvilni 6-kotnik, drugi očrtj rvilni 6-kotnik. Nriši dve krožnici s olmerom 4 cm. Prvi včrtj rvilni 8-kotnik, drugi očrtj rvilni 8-kotnik. 9. * n je kvdrt s strnico. Nj o zrcln slik točke ri zrcljenju čez točko, točk zrcln slik točke ri zrcljenju čez točko, točk zrcln slik točke ri zrcljenju čez točko in točk zrcln slik točke ri zrcljenju čez točko. Kteri lik redstvlj štirikotnik? Izrčunj njegovo loščino. 30. N krožnici s središčem st dni točki M in R tko, d je RM = 80. V teh dveh točkh nrišemo tngenti n krožnico, resečišče tngent je točk V. Presečišče krožnice in dljice V je točk P. Izrčunj velikosti notrnjih kotov štirikotnik MPRV.
Štirikotniki 41 31. Nriši krožnico s olmerom r in središčem. ljic nj o tetiv dolžine r. imetrl tetive sek krožnico v točkh E in G. Izrčunj velikosti kotov štirikotnik EG. 3. V rvnini st dni dljic MN in točk P. kico reriši. Nj o rzolovišče dljice MN. N ) Prezrcli točko P čez točko v točko R. ) Prezrcli točko P čez nosilko dljice MN v točko U. P c) okži, d je trikotnik MPU enkokrk. M d) okži, d je lik RMPN rlelogrm. 33. 34. 35. 36. 37. 38. Točki in n krožnici s središčem rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju : 7. kozi točki in otekt tngenti n krožnico, resečišče tngent je točk E. ) Izrčunj kote štirikotnik E. ) Nosilk dljice E sek krožnico v dveh točkh. Nj o tisto resečišče, ki določ konveksni štirikotnik E. Izrčunj velikosti kotov teg štirikotnik. n je štirikotnik, z ktereg velj: = in =. okži, d je dljic rvokotn n. Krogu st včrtn rvilni etkotnik in rvilni šestkotnik. Kolikšni st vsoti velikosti notrnjih kotov oeh večkotnikov? Prvilni osemkotnik im oglišč 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik 3 6 7. Oglišč rvilneg dvnjstkotnik oznčimo s številkmi od 1 do 1. oloči kot med remico skozi oglišči 3 in 1 ter remico skozi oglišči 4 in 7. Nčrtj rlelogrm s odtki: = 6 cm, = 4 cm, e = 8 cm. imetrl kot sek dljico v točki E, dljico v točki F. ljico EF rezrcli reko nosilke dljice. Krjišči tko doljene dljice ter točki E in F so oglišč konveksneg štirikotnik. Kteri štirikotnik je nstl? 39. Lik n sliki je rlelogrm, krožnic im središče v resečišču digonl. okži, d je E = F. Izrčunj velikost kot GE, če st velikosti ostreg in toeg kot med digonlm rlelogrm v rzmerju 1 :. F G H E 40. olžin rvokotnik je z 6 cm dljš od širine. Zveznic rzolovišč dveh sosednjih strnic rzdeli rvokotnik n trikotnik in etkotnik, ri čemer je oseg etkotnik z 30 cm dljši od oseg trikotnik. Izrčunj dolžini strnic rvokotnik. 41. * rednjic trez je dolg 3 cm. igonl trez rzdeli srednjico n dv del tko, d je eden z 8 cm dljši od drugeg. Koliko st dolgi osnovnici trez? 4. Osnovnic enkokrkeg trez z osegom 83 cm je dolg 61 cm. igonl teg trez rzolvlj kot. Koliko je dolg osnovnic?
4 Štirikotniki 43. imetrl ostreg kot rlelogrm, ktereg oseg je 48 cm, sek odljšek strnice v točki E tko, d je E = 5 cm. Koliko so dolge strnice rlelogrm? 44. * V enkokrk rvokoten trikotnik, ktereg hiotenuz je dolg 45 cm, včrtmo rvokotnik, ktereg dolžini strnic st v rzmerju 5 :. ve oglišči rvokotnik ležit n hiotenuzi, o eno oglišče n vski kteti trikotnik. Izrčunj oseg rvokotnik. 45. * Nd strnico kvdrt nčrtmo enkostrnični trikotnik E tko, d točk E leži v notrnjosti kvdrt. Koliko je velik kot E? 46. * trnic rvokotnik je dolg 0 cm. Oglišče je od digonle oddljeno 1 cm. Izrčunj oseg in loščino rvokotnik. 47. * olžini sosednjih strnic rlelogrm se rzlikujet z 7 cm. Prvokotnic iz oglišč n digonlo rzdeli digonlo n dljici, dolgi 15 cm in 6 cm. Koliko st dolgi strnici rlelogrm? 48. * V trikotniku nrišemo vse tri višine. Njihov nožišč oznčimo s točkmi P, Q in R. Trikotniku PQR rečemo edlni trikotnik. Pokži, d je višinsk točk trikotnik središče včrtne krožnice trikotnik PQR. 49. * n je remic ter točki in E, ki ne ležit n njej. Nčrtj trikotnik, če je remic nosilk strnice, točki in E st nožišči višin trikotnik iz oglišč in. 50. * N rvnini so dne nekolinerne točke, T in U. Nčrtj kvdrt, ktereg središče je točk, ri čemer st točki T in U vsk n eni izmed nosilk nsrotnih strnic kvdrt. 51. * N rvnini so dne tri vzorednice, q in r. Nčrtj kvdrt, ktereg oglišč, in ležijo n remich, q in r. 5. * N rvnini so dne tri nekolinerne točke T, U in V. Nčrtj štirikotnik, ki im tri strnice enko dolge, če so dne točke rzolovišč teh treh strnic.
10. VEKTORKE Vektorske količine 43 KOLIČINE Vektor je količin, določen s smerjo, z usmerjenostjo in dolžino. Ponzorimo g z usmerjeno dljico. zčetn točk končn točk Vektorj st enk, če se ujemt v: dolžini, smeri (st vzoredn), usmerjenosti. olžino vektorj oznčimo. Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Zčetn in končn točk teg vektorj sovdt. Enotski vektor je vektor z dolžino 1. Nsrotni vektor vektorj je vektor, ki im enko dolžino in smer kot, je nsrotno usmerjen. Oznčimo g. 1.. 3. Nriši kvdrt s strnico, dolgo 4 cm, in ziši vse vektorje, ki jih določjo njegov oglišč. ) Kteri izmed zisnih vektorjev so enko dolgi kot vektor? ) Kteri izmed zisnih neničelnih vektorjev imjo enko smer kot? c) Kteri izmed zisnih vektorjev so enki vektorju? d) Kteri izmed zisnih vektorjev so nsrotni vektorju? Nriši rvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo 3 cm, in ziši vse vektorje, ki jih določjo njegov oglišč. ) Kteri izmed zisnih vektorjev so enko dolgi kot vektor F? ) Kteri izmed zisnih vektorjev so enki vektorju? c) Kteri izmed zisnih neničelnih vektorjev imjo enko smer kot vektor F? d) Kteri izmed zisnih vektorjev so nsrotni vektorju EF? Nriši rvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm in = 4 cm. redišče rvokotnik oznči s točko. Ziši vse vektorje, ki jih določjo oglišč in središče rvokotnik. ) Kteri izmed zisnih vektorjev so enko dolgi? ) Kteri izmed zisnih neničelnih vektorjev imjo enke smeri? c) Kteri izmed zisnih vektorjev so enki vektorju? d) Kteri izmed zisnih vektorjev so nsrotni vektorju?
44 Vektorske količine 4. 5. n je kvder z roovi = 1 cm, = 3 cm in = 10 cm. Kteri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določjo oglišč kvdr: ) so enko dolgi kot vektor, ) imjo enko smer kot vektor, c) so nsrotni vektorju, d) so enotski vektorji? n je rviln tristrn rizm z roovi osnovne loskve, dolgimi = = = 1 cm in višino = 5 cm. Kteri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določjo oglišč rizme: ) so enotski vektorji, ) imjo enko smer kot vektor, c) so nsrotni vektorju? 6. * n je rvilni n-kotnik 1 n. Koliko vektorjev, ki jih določjo oglišč 1, n : ) je enko dolgih kot 1, ) je enkih vektorju 1, če je n liho število, in koliko, če je n sodo število, c) ovezuje nesosednj oglišč? 7. N remici zoredom ležijo točke 1,, 3 n, (n N) tko, d je rzdlj med zorednim točkm enk 1. 8. ) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 4? ) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 5? c) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 50? N remici leži 0 točk. Rzdlj med sosednjim točkm je 1 cm. Vsk r točk n remici določ vektor. Koliko izmed teh vektorjev: ) je enotskih, ) je dolgih cm, c) je dolgih 3 cm? 9. Koliko vektorjev določ dno število točk? 10. 11. ) točki ) 3 točke c) 8 točk Točke,, in so kolinerne. Rzdlj med točkm in je enk 1 cm. Točki in ležit med točkm in, tko d velj : = 1 : 3 in : = 1 :. Kteri izmed vektorjev, ki imjo z krjišči dve izmed točk,, in, so enotski? Točke,,, in E so kolinerne. Rzdlj med točkm in E je enk 0 cm. Točke, in ležijo med točkm in E, tko d velj : E = 1 : 4 in : E = 1 : 4 ter : E = 1 : 5. Kteri izmed vektorjev, ki imjo z krjišči dve izmed točk,, in, so enki?
11. VZPORENI Vzoredni remik v rvnini 45 PREMIK V RVNINI Vzoredni remik (trnslcij) z vektor je reslikv, ki vsko točko v rvnini remkne z vektor. Vzoredni remik je tog reslikv, sj ohrnj rzdlje med točkmi. 1. Preriši n krirst ir in remkni z vektor : ) točko, ) dljico, c) trikotnik, d) kvdrt, e) rvokotnik, f) krog.. V kj reslik vzoredni remik: 3. ) točko, ) remico, c) dljico, č) večkotnik? Nriši trez s strnicmi, dolgimi = 6 cm, = 4 cm, = cm, = 3 cm. Vzoredno g remkni z vektor. Premknjeni trez oznči. 4. 5. Nriši rvokotni trikotnik s ktetm, dolgim = 3 cm in = 4 cm. Trikotnik vzoredno remkni z vektor v trikotnik. Trikotnik vzoredno remkni z vektor v trikotnik. Kteri vzoredni remik reslik trikotnik v trikotnik? Poljuen trikotnik vzoredno remkni z vektor v trikotnik. Nto vzoredno remkni trikotnik z vektor v trikotnik. Kter tog reslikv reslik trikotnik v trikotnik? 6. 7. 8. Točke (- 4, -1), (5, 1) in (, 6) so oglišč trikotnik. Trikotnik vzoredno remkni tko, d se oglišče remkne v točko (8, ). Ziši koordinte oglišč remknjeneg trikotnik. Vzoredni remik reslik točko (-, 1) v točko (3, 1). Km reslik isti vzoredni remik točko (-5, 6)? ktero izmed reslikv v rvnini, vrtenjem, vzorednim remikom, zrcljenjem čez remico, zrcljenjem čez točko, lhko rvokotnik P reslikmo v rvokotnik R? ) ) c) R R P R P P
1. EŠTEVNJE 46 eštevnje in odštevnje vektorjev IN OŠTEVNJE VEKTORJEV Vsoto vektorjev + nrišemo tko, d vektorj in vzoredno remknemo, tko d je zčetek eneg v koncu drugeg. Vsot je vektor od zčetk rveg vektorj do konc drugeg vektorj. + Rzliko vektorjev nrišemo tko, d vektorju rištejemo vektor. 1. Nrišemo vektor -. -. eštejemo in -. Rzlik vektorjev in z isto zčetno točko je vektor, ki ovezuje končni točki oeh vektorjev in je usmerjen h končni točki vektorj, od ktereg se odštev. - - - 1. Vektorj reriši n krirst ir in nriši njuno vsoto. ) ) c) d) e) f) g) h). Vektorj reriši n krirst ir in nriši rzliko. ) ) c) d)
eštevnje in odštevnje vektorjev 47 e) f) g) h) 3. Nriši vektorj = in = ter njuno vsoto +. Izmeri dolžine vseh treh vektorjev. Premikj točke, in ter ozuj, kko se s sreminjnjem vektorjev sreminj vsot +. ) Oiši vektorj, kterih vsot je enk 0. ) Kolikšn je dolžin vsote rvokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kko izrčunmo dolžino vsote dveh rvokotnih vektorjev? = c) Kolikšn je njvečj dolžin vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Oiši oložj vektorjev z njdljšo vsoto. d) Kolikšn je njmnjš dolžin vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Oiši oložj vektorjev z njkrjšo vsoto. 4. Nriši vektorj = in = ter njuno rzliko. Izmeri dolžine vseh treh vektorjev. Premikj točke, in ter ozuj, kko se s sreminjnjem vektorjev sreminj rzlik. ) Kolikšn je njvečj dolžin rzlike vektorjev dolžin 5 in 3? Oiši oložj vektorjev z njdljšo vsoto. ) Kolikšn je njmnjš dolžin rzlike vektorjev dolžin 5 in 3? Oiši oložj vektorjev z njkrjšo vsoto. c) Oiši vektorj, kterih vsot je enk 0. = d) Kolikšn je dolžin rzlike rvokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kko izrčunmo dolžino rzlike dveh rvokotnih vektorjev? vsot rzlik 5. Vektorje reriši n krirst ir in nriši njihovo vsoto. ) + + c ) + + c c) + + c + d d) + + c + d c c c d d c 6. Vektorje reriši n krirst ir in nriši: ) + c ) c c) + c d d) + c d c c d c d c
48 eštevnje in odštevnje vektorjev 7. Ziši enkost, ki velj z vektorje n sliki. ) ) c) d) d c d c d c e c e 8. Nriši rvokotnik s strnicm, dolgim = 6 cm in = 4 cm. Nriši vektor +. 9. Nriši trikotnik s strnicmi, dolgimi = 4 cm, = 4 cm, c = 6 cm. Nriši vektor + +. Kolikšn je vsot + +? 10. Nriši rvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo cm. Nriši vektorj in. Kkšn st? 11. Izrčunj vsoto vseh vektorjev, ki imjo zčetno točko v središču rvilneg n-kotnik s sodim številom oglišč, končno točko v oglišču teg n-kotnik. 1. Točke,,,, E, F so oglišč rvilneg šestkotnik. Kteri vektor je enk: ) +, ) F + F? 13. Točke,,,,, so oglišč rvilne tristrne rizme. Kteri vektor je enk: ) + +, ) + + + +? 14. Poenostvi. ) + c + ( ) + ) + + ( c )+( ) + + c + + ( ) + c 15. Izrzi vektor x. ) + x = c ) + + ( c )+( d) + x = c + N slikh so vektorji,, 16. c, d, e, z ktere velj = 1, =, c = 3, d = 5, e = in f = 1. Vektorje n sliki reriši v zvezek in nriši njihovo vsoto rezultnto. Izrčunj dolžino rezultnte. ) ) c) d) 60 f f 10 f c e) f) e 45 60 d
eštevnje in odštevnje vektorjev 49 17. Ines, Tdej, Ktj in Mris otiskjo vto s srednje strni s silmi 10 N, 150 N, 00 N in 0 N, Mtej, Uroš in Luk z zdnje strni s silmi 300 N, 50 N in 00 N. li se o vto remknil nrej li nzj li o mirovl, če je sil leenj n vto enk 100 N? 18. v konj vlečet voz, vsk s silo 500 N, tko d njuni smeri oklet kot 60. kolikšno silo vlečet o skuj? 19. N telo delujet sili 100 N in 300 N, tko d njuni smeri oklet kot 90. Kolikšn je rezultnt oeh sil? 0. len otisk zoj s silo 150 N roti severu, Mih s silo 10 N roti vzhodu, Žn s silo 140 N roti jugu in Kristjn s silo 160 N roti zhodu. Kolikšn rezultnt sil deluje n zoj? li se o zoj gil severovzhodno, severozhodno, jugovzhodno li jugozhodno? 1. * edek vleče vrv s silo 70 N, ic s 60 N, oče s 50 N, mm s 40 N, sestr s 30 N, jz z 0 N in kuž Fifi z 10 N. Kteri izmed nštetih nj vlečemo en konec vrvi in kteri drugi konec, d o vrvic mirovl? V vlečenju vedno sodelujemo vsi. Iziši vse možnosti.
13. MNOŽENJE 50 Množenje vektorj s številom VEKTORJ ŠTEVILOM Množenje vektorj s številom k, k = 0 k > 1 k = 1 0 < k < 1 k k k k < -1 k = -1-1 < k < 0 k k k Enotski vektor e v smeri neničelneg vektorj je enk e 1 =. 1. Nriši vektor, dolg 3 cm. Nriši še vektorje: ) 1 ) 4 c) 3 č) 3 d) 5 e) 7 f) 3 g) 8 3 5 7 4 4 5 5 3 i) i) 5 j) 7 k) 10 l). Vektorj reriši n krirst ir. Nriši še: ) + 3 ) + 1 3 c) + 4 3 4 m) 6 7 n) 1 3 15 o) 8 d) 3 3 e) 1 f) + 3 3 3. 4. 5. Nriši trikotnik s odtki: = 4 cm, = 6 cm, c = 7 cm. Nriši še 1 +. 3 Nriši rvokotnik s odtki: = 6 cm, = cm. Nriši še +. 3 Nriši rvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo cm. Nriši še 1 F E. 6. Poenostvi izrz. ) + 1 ) 4 + 3 + 5 + 6 3
Množenje vektorj s številom 51 7. * Izrčunj vsoto vseh vektorjev olike k, kjer je = 0 in k nrvno število, mnjše od 100. 8. Nj o = 0. Z ktere vrednosti sklrj k velj dn enkost? ) + k = 6 ) (k + )+4 = c) (k + 1) (k ) + k = č) (k + ) k 3k + + 5 = 0 9. 10. Nj o m = + 3 in n =. Izrzi vektor m 1 n z vektorjem in. Nriši rvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm, = 3 cm. Nriši enotski vektor e v smeri vektorj in enotski vektor f v smeri vektorj. Ziši enotsk vektorj e in f z vektorjem in. 11. Nriši rvilni osemkotnik EFGH s olmerom očrtne krožnice, dolgim cm. Nriši enotski vektor e v smeri vektorj in enotski vektor f v smeri vektorj F. 1. N remici so dne točke,, in, kot rikzuje slik. ) Izrzi vektorj in z vektorjem. ) Izrzi vektorj in z vektorjem. c) Izrzi vektorj in z vektorjem. 0 1 3 4 5 13. 14. Nriši dljico, dolgo 6 cm. N njej nriši tko točko M, d velj M : M = 1 :, in tko točko N, d velj N : = 1 :. Vektorj M in N izrzi z vektorjem. V rvokotniku oznčimo = in =. Nj o točk M rzolovišče strnice in točk N rzolovišče strnice. Z vektorjem in izrzi vektorje M, N in NM. 15. V trikotniku oznčimo = in =. Točk M leži n strnici tko, d velj M : M = : 3. Točk N leži n strnici tko, d velj N : = : 3. Z vektorjem in izrzi vektorje M, N in NM. 16. 17. 18. 19. V trezu oznčimo = in =. olžin osnovnice je enk olovici dolžine osnovnice. Nj točk M leži n strnici, d je M : M = 1 : 3. Nj točk N leži n strnici, d je N : = 1 : 3. Z vektorjem, izrzi vektorj in MN. V rvilnem 6-kotniku EF oznčimo = in =. Z vektorjem in izrzi vektorje, ter E. V kocki oznčimo =, = in c =. Nj o rzolovišče ro. Točk P nj leži n rou, d je P : P = 1 : 4. Točk R nj leži n rou, d velj : R =3:. Z vektorji, in c izrzi vektorje, P in RP. V kvdru oznčimo =, = in c =. Nj o središče loskve in točk T središče kvdr. Točk P nj leži n rou, d je : P =4: 1. Z vektorji, in c izrzi vektorje, T, P in T P. V tetredru oznčimo =, 0. * = in c =. Nj o središče loskve in M točk n tretjini višine tetredr. Z vektorji, in c izrzi vektor M.
14. REIŠČNI 5 rediščni rzteg RZTEG rediščni rzteg (homotetij) s središčem v točki O z fktor k, k = 0, reslik oljuno točko T rvnine v točko T, tko d je OT = k OT. k > 0 k < 0 O O O O rediščni rzteg ni tog reslikv, sj ne ohrnj dolžin. Ohrnj rzmerj dolžin strnic: O O = O O = k 1. Preriši n krirst ir in rztegni lik iz točke O z dni fktor. ) ) - c) 1 3 O O O d) 3 e) -3 f) 1 O O O. 3. 4. Nriši kvdrt s strnico, dolgo cm. Njrej g rztegni v kvdrt iz oglišč z fktor. Nto kvdrt rztegni še v kvdrt iz oglišč z fktor 1. Nriši ostrokotni trikotnik s odtki c = 3 cm, =,5 cm in v c = cm. Iz oglišč g rztegni z fktor -, iz oglišč z fktor 3. Nriši rvilni šestkotnik s strnico, dolgo 3 cm. Nj o O njegovo središče. Šestkotnik rztegni z fktor 3 iz točke O in z fktor 5 iz točke O.
rediščni rzteg 53 5. Preriši n krirst ir. oloči fktor ter nriši središče rzteg, ki modri lik reslik v rjveg. ) ) c) 6. 7. V koordintnem sistemu nriši kvdrt s središčem v koordintnem izhodišču in s strnicmi dolžine 4 enote, ki so vzoredne koordintnim osem. Ziši koordinte njegovih oglišč. Nto kvdrt rztegni z fktor 1 in središčem v koordintnem izhodišču v kvdrt. Ziši koordinte oglišč kvdrt. V koordintnem sistemu nriši rvokotnik, ktereg strnici st vzoredni s koordintnim osem, dve izmed oglišč st točki (, 1) in (5, 4). Prvokotnik rztegni z fktor in središčem v zrclni sliki točke čez scisno os. Rztegnjen rvokotnik oznči. 8. V rvokotnem koordintnem sistemu nriši kvdrt z ogliščem (1, 4). Nosilk digonle kvdrt je simetrl sodih kvdrntov. Kvdrt rztegni z fktor in središčem 3 O(0, -3) v kvdrt. 9. Nek središčni rzteg reslik točko (5, 6) v (7, 8) in točko (9, 6) v (15, 8). Km reslik t rzteg točko (5, 8)? 10. * Krjišči Eulerjeve dljice st središče očrtne krožnice O in višinsk točk V trikotnik. okži, d n Eulerjevi dljici leži tudi težišče T, tko d je O T : T V = 1 :. Nmig: okži, d središčni rzteg s središčem v težišču T z fktor - 1 reslik točko V v točko O. V T o
15. LINERN 54 Linern komincij vektorjev, z KOMINIJ VEKTORJEV, Z z remice zo remice tvori en neničelni vektor, ki leži n tej remici. Vsk vektor n izrni remici lhko izrzimo kot linerno komincijo zneg vektorj. k = k z rvnine zo rvnine tvorit dv neničeln vektorj, ki ne ležit n isti remici. Vsk vektor v rvnini lhko izrzimo kot linerno komincijo teh dveh vektorjev. l k = k + l z rostor zo rostor tvorijo trije neničelni vektorji, ki ne ležijo n isti rvnini. Vsk vektor v rostoru lhko izrzimo kot linerno komincijo teh treh vektorjev. c mc l k = k + l + m c 1. zn vektorj in reriši n krirst ir. Nriši zisno linerno komincijo. ) + 3 ) 1 + c) 3 5. liko reriši n krirst ir. Vektor c nriši in ziši kot linerno komincijo znih vektorjev in. ) ) c) c c c
Linern komincij vektorjev, z 55 3. Nj ost vektorj in zn vektorj v rvnini. Nj ost vektorj m in n enk m = + 3 in n = + 5. Vektor 4 m 6 n ziši v dni zi. 4. 5. 6. 7. Nj odo vektorji, in c zni vektorji v rostoru. Vektorj m in n st enk m m = + 3 + c in n = 1 + + c. Vektor m n ziši v dni zi. Točke,,,, E, F, G, H in I ležijo n remici, kot rikzuje slik. Rzdlj med vskim sosednjim točkm je enk. Nj o = E. Ziši vektorje, EI in H kot linerno komincijo vektorj. E F G H I Točke,,, in E ležijo n remici tko, d je : : : E =3: : 1 : 3. Točki in ležit med in, točk med in E. Nj o vektor = E zni vektor. Z vektorjem izrzi vektorje, in E. Točk M je rzolovišče dljice rvokotnik, vektorj = in = st zn vektorj. Z in izrzi vektorje, M, M in M. 8. M je točk n strnici rlelogrm, d velj M : M = : 1. Nj ost = in = zn vektorj. Z in izrzi vektorje M, M, M in M. 9. M je točk n dljici rlelogrm, d velj M : M = 1 :, in N tk točk n dljici, d je N : = 1 :. Nj ost = in = zn vektorj. Z in izrzi vektorje M, N, MN in NM. 10. Točk P je rzolovišče ro kvdr, točk R točk n rou, d je : R =4: 3. Nj odo =, = in c = zni vektorji. Z znimi vektorji izrzi vektorje P, R, R in P R. 11. Točk je središče loskve kocke, točk T središče kocke. Nj odo =, = in c = zni vektorji. Z znimi vektorji izrzi vektorje, T, in T. 1. 13. okži: če je EF rvilni 6-kotnik, velj enkost: + E = F + F E. Točk je središče osnovne loskve tetredr, točk V rzolovišče višine tetredr. okži, d je V = 1 6 + 1 6 1 6. 14. N strnich rlelogrm so dne točke I, J in K, tko d je I = IJ = J in K = K. Točk L je rzolovišče dljice I, točk M rzolovišče dljice LJ. L I ) n st vektorj = in =. Izrzi vektor MK z vektorjem in. ) Nj ost zn vektorj LI = u in LM = v. Izrzi vektorj in z vektorjem u in v. M J K
56 Linern komincij vektorjev, z 15. Točk U je rzolovišče ro tetredr, točk T težišče trikotnik. Izrzi vektor T U z znimi vektorji =, =, = c. 16. ilo F, veliko 100 N, rzstvi n vektorj F 1 in F. Vektor F 1 leži n rjvi remici, vektor F n modri remici. Nlogo reši grfično ter izrčunj velikost sil F 1 in F. ) ) c) F F 30 F 30 30 60 60 d) 45 e) f) F 30 F 60 F 17. mojed enkomerno vlečet sni, ki se uirjo s silo 100 N. meri ginj smojedov oklet s smerjo ginj sni kot 30. kolikšno silo vleče osmezni smojed, če vlečet o z enko silo? 30 30 18. lik, težk 30 N, je oešen n zid z vrvico, ki ri želju okle kot 10. kolikšno silo je net vrvic? 10