UNIVERZ V RIBRU FUE Z NRVSVJE IN EI elek z mtemtiko i rčulištvo iplomsko elo NEERE PSEBNE VRSE RI etoric: oc r j Fošer itk: rt Butole rior,
UNIVERZ V RIBRU FUE Z NRVSVJE IN EI IZJV Popis rt Butole, roje julij, štuetk Fkultete z rvoslovje i mtemtiko Uiverze v rioru, smer mtemtik kemij, izjvljm, je iplomsko elo z slovom Nektere posee vrste mtrik, pri metorici oc r ji Fošer, vtorsko elo V iplomskem elu uporljei viri i litertur so korekto veei, teksti iso pisi rez vee vtorjev rt Butole rior,
PRGR IPSEG E Nslov iplomskeg el: Nektere posee vrste mtrik itle: Some specil types of mtrices iplomsko elo j orvv osove lstosti igolih, trikotih, permutcijskih, oeplitzovih i simetričih x kompleksih mtrik Pri vski vrsti mtrik j o pourek poseih lstostih itertur: R Hor, C R Johso trix lysis Cmrige Uiversity Press Cmrige, urep Viš lger Školsk kjig Zgre, E esm, R Hestes ier lger for mthemtics, sciece egieerig Prctice Hll Itertiol, oc r j Fošer rior,
RE PVZEE VSEBINE V prvem elu iplomskeg el z slovom Nektere posee vrste mtrik so orvvi osovi pojmi mtrik: osove lstosti mtrik, osove opercije z mtrikmi i rčuje etermite mtrik pis je tui ekost mtrik, trspoirje i potecirje mtrik ter iverz mtrik V rugem elu so zjete posee vrste mtrik: igole mtrike, trikote mtrike, simetriče mtrike, simetriče oeplitzove mtrike i permutcijske mtrike Pri teh mtrikh so veee jihove posee lstosti Poseej so okzi osovi izreki, ki vključujejo te mtrike JUČNE BESEE: mtrik, vrstic, stolpec, igol, trspoir mtrik, iverz mtrik, etermit, igol mtrik, trikot mtrik, zgorje trikot i spoje trikot mtrik, simetrič mtrik, oeplitzov mtrik, permutcijsk mtrik th Suj Clss ):, SHR SURY I the first prt of the iplom, title few specil types of mtrices we iscuss the sic cocepts of mtrices: sic qulities, sic opertios with mtrices clcultig mtrix etermits We lso escrie the mtrix equlity, trspositio, iverse mtrix I the seco prt we iscuss specil types of mtrices: igol mtrices, trigulr mtrices, symmetricl mtrices, symmetricl oeplitz mtrices permuttio mtrices We specify their specil qulities We focus o proves of sic theorems tht ivolve these mtrices EY WRS: mtrix, row, colum, igol, trspose of mtrix, iverse mtrix, etermit, igol mtrix, trigulr mtrix, upper lower trigulr mtrix, symmetric mtrix, oeplitz mtrix, permuttio mtrix
zlo RIE efiicij mtrike Ekost mtrik Ietič mtrik sove opercije z mtrikmi Seštevje mtrik števje mtrik Proukt mtrike s sklrjem ožeje mtrik Potecirje mtrik rspoirje mtrik etermit mtrike ior i kofktor Rzvoj etermite etermit mtrik re x etermit mtrik re x etermit mtrik višjih reov Iverz mtrik PSEBNE VRSE RI igole mtrike efiicij igole mtrike etermit igole mtrike ožeje igolih mtrik ožeje kvrtih mtrik z igolimi mtrikmi ožeje ozirom proukt veh igolih mtrik Bločo igole mtrike Bloče mtrike efiicij ločo igole mtrike etermit ločo igole mtrike ožeje ločo igolih mtrik ožeje kvrtih mtrik z ločo igolimi mtrikmi ožeje ločo igolih mtrik
rikote mtrike Zgorje trikot mtrik Spoje trikot mtrik Simetriče mtrike efiicij simetriče mtrike Simetriče oeplitzove mtrike Permutcijske mtrike
RIE efiicij mtrike trik je prvokot tel relih li kompleksih števil, rzvrščeih v vrstice i stolpce trike ozčujemo z velikimi tiskimi črkmi:, B, C,, X N primer:, B, H, [ ] C, trik im vrstici:, -, i, -, ter stolpce:,, Sploše zpis mtrike: mtrik, z imezijo m i i i m m m Zpis mtrike v skrjši oliki: i j m Prvi potek m pove število vrstic mtrike, rugi potek p število stolpcev mtrike m, N) skupj oločt imezijo mtrike ozirom rzsežost mtrike ozirom re mtrike Elemet ij i m, j ) je elemet mtrike, ki je križišču i-te vrstice i j-teg stolpc i teče po mtriki o zgorj vzol, j p teče o leve proti esi stri mtrike) Ureje -terk i, i,, i )i m) je i-t vrstic, ureje m-teric j, j,, mj ) j,) p j-ti stolpec mtrike ožico vseh mtrik z m vrsticmi i stolpci ozčimo z R m Elemetom R m rečemo mtrike re m x ožico vseh mtrik z eim stolpcem ečimo z možico vektorjev, to je R m R m, možico R z R
trikm iz možice R rečemo kvrte mtrike imezije vrt mtrik im torej eko število stolpcev i vrstic m ) Zpišemo jo v simoliči oliki : V kvrti mtriki pozmo tui pojem igole, ki jo tvorijo vsi elemeti ij z i j orej elemeti,,,, igoli elemeti v mtriki Y so -,, Ekost mtrik Primerjmo lhko le mtrike ekih rzsežosti efiicij: triki i B st me seoj eki, če se ujemt vseh istoležih mestih, tj če so vsi istoleži elemeti ozirom koeficieti eki i st ekih imezij Zpis v simoliči oliki: i st mtriki : ij, B m ij m B ij ij, z vse i,,, m i j,,, Ietič mtrik vrto mtriko I imeujemo ietič eotsk) mtrik, ki im po igoli sme eice, vsi ostli elemeti p so ičle r je iz eseil rzvio, zpisujemo I kr z I li E) Sploše zpis: I ; i j ; sicer
Primer : I sove opercije z mtrikmi Seštevje mtrik Seštevje je izveljivo le me mtrikmi eke imezije Pri seštevju veh mtrik seštevmo istoleže elemete oeh mtrik) i rezultt je poovo mtrik eke imezije kot mtriki, ki ju seštevmo efiicij: Vsot mtrik ij i B ij je mtrik C, C [ c ij ] m x cij zpiso ljši či: B ij ij m m z vsk ustreze pr ieksov i i j ozirom m m m m efiicij seve opušč posplošitev poljuo kočo število mtrik eke imezije! Primer : Seštejmo poi mtriki i B: m m i B, potem je B Pri seštevju mtrik veljjo sleje lstosti: B B komuttivost ) BC) B)C socitivost ) evtrli elemet pri seštevju je ičel mtrik - mtrik smih ičel) B) B -)-)
pom: -) imeujemo sprot mtrik mtrike i jo oimo tko, sproto prezčimo vse elemete mtrike ozirom -) števje mtrik Pri oštevju mtrik prv tko oštevmo le mtrike ekih imezij, tui rezultt je mtrik eke imezije kot mtrike, ki jih oštevmo ui tukj oštevmo smo istoleže elemete ih mtrik efiicij: Rzlik mtrik ij i B ij je mtrik C, m m C [ ij ] m x c cij z vsk ustreze pr ieksov i i j ij ij Primer : štejmo poi mtriki i B: i B, potem je B Pri oštevju mtrik veljjo sleje lstosti: - - evtrli elemet pri oštevju je prv tko ičel mtrik) - B) - B pom: Pri oštevju mtrik zko komuttivosti e velj velj smo pri seštevju mtrik) Proukt mtrike s sklrjem efiicij: triko poljue imezije pomožimo s sklrjem tko, vsk je elemet pomožimo s tem sklrjem β R li C Sploše zpis: β β m m m β β β m β β β m β β β m [ β ij ] mx
Primer : β i, potem je stosti, ki veljjo pri možeju mtrik s sklrjem so sleje: I α α α β ) α β) α ± B) α ± αb α ± β) α ± β komuttivost) socitivost) istriutivost glee mtriči fktor) istriutivost glee sklri fktor) α ) α pom: α, β st poljui reli li kompleksi) števili, i B st poljui mtriki ekeg re ožeje mtrik Proukt ostj tko tkrt, ko se ujem število stolpcev prve mtrike s številom vrstic ruge mtrike sicer proukt i efiir) Če im mtrik tko toliko stolpcev, kolikor im mtrik B vrstic, lhko mtriki i B zmožimo Nj ost R m i B R p ve mtriki Potem zju efiirmo proukt: B k k k k k mk k k k k k k k k mk k k k k k k k k mk kp kp kp Proukt je mtrik B R m p imezijo oloč št vrstic prve mtrike i št stolpcev ruge mtrike) i, j)-ti elemet proukt B je ek k ik kj i j i j i j
V skrjši oliki je t zpis sleeč: m x B x p Cm x p, cij k ik kj Primer : Poi st mtriki i B:, B Proukt o ov mtrik C, z imezijo x B C ; tričo možeje v splošem i komuttivo: B B r ostjt o proukt i st ek, prvimo mtriki komutirt B B ) stosti, ki veljjo pri možeju mtrik i B ter poljuim številom α R so sleje: mx xp α B ) α) B homogeost z vse R, B R i α R ) B ) C BC) socitivost z vse mx xp pxq R, B R i C R ) B C) B C es istriutivost z vse mx xp R i B, C R ) B) C C BC lev istriutivost z vse B ) B je ičel mtrik) B R i C R mx xp, ) I I I je eotsk mtrik ustreze imezije i je evtrli elemet pri možeju mtrik) okz: ) okžimo, velj prv lstost: α B ) α) B Nj o mtrik imezije m x i mtrik B imezije x p ej imt mtriki G α B) i H α) B imezijo m x p Poleg teg je z vsk mogoči i i j g ij α k ik kj k α ik kj h ij k α orej je vselej g ij hij i omeje lstost je okz ik kj
) okžimo še rugo lstost: B ) C BC) Nj o mtrik imezije m x, mtrik B imezije x p, mtrik C p imezije p x r zčimo B G i BC H trik G im imezijo m x p, mtrik H p x r Poleg teg je ij g i ik kj ks k j p h kj c js Postvimo še B ) C GC U i BC) H V Potem st U i V mtriki imezije m x r i je z vsk i o o m i vsk s o o r u is p j g ij c js p k j ik kj c js v is k ik h ks p k j ik kj c js o okzuje, je mtričo možeje socitivo c) okžimo še eo lstost i sicer istriutivost: B) C C BC triki i B j imt imezijo m x, mtrik C p imezijo x p Postvimo B) C G i C BC H triki G i H st eke imezije: m x p, poleg teg p je z vsk i,, m i j,, p g ij k k ) c c c, ik ik kj ik kj k ik kj h ij k ik c kj k R Jmik, temtik, J, ) ik c kj orej je vselej g ij hij i omeje lstost res velj Potecirje mtrik Potecirje mtrik ozirom možeje mtrike sme s seoj je izveljivo le v primeru, ko je mtrik kvrt, sicer možeje i izveljivo iz imezijskih rzlogov N ek či kot pri možeju s sklrjem lhko z kvrto mtriko poljueg re efiirmo potece:, N) krt k m k m Pri potecirju mtrik velj icijski izrek:, prv tko tui, k k kvrt mtrik komutir s kterokoli svojo poteco:, k N
rspoirje mtrik triki prireimo trspoiro mtriko tko, v mtriki vrstice zpišemo v stolpce ozirom stolpce v vrstice Z opercijo trspoirj velj, vkrto trspoirje vre prvoto mtriko, ) Sploše zpis: m, m m m m m rjši zpis je p sleeč: [ ij ] m x, [ ji ] x m Primer : Poiščimo trspoiro mtriko poe mtrike : Potem je i ) Pri trspoirju mtrik veljjo sleje lstosti: ) ) α α ± B) ± B B ) B okz: Prve štiri lstosti trspoirj mtrik so okj očite, zto jih e omo okzovli ) okzli p omo zjo lstost: B ) B B Nj o mtrik [ ij ] i m x [ ij ] x p Če upoštevmo efiicijo proukt mtrik i efiicijo trspoirke eke mtrike, lhko levo str eče zpišemo kot B) ikkj cij m x p c k [ ] [ ji ] p x m m x p
Izrčujmo še eso str eče B ) B Po efiiciji trspoirke eke mtrike je:, B [ ji ] x m [ ji ] p x Po efiiciji proukt mtrik p: B jkki [ c ji ] p x m k p x m Iz točke i točke izhj veljvost eče B ) B S Iihr, stišek, rih, temtik z ekoomiste- el, B, ) pom: Če pomožimo mtriko s svojo trspoiro mtriko, je rezultt kvrt mtrik tričo možeje v splošem i komuttivo: B B i to velj tui z možeje s trspoirimi mtrikmi: etermit mtrike Poo immo relo kvrto mtriko re, pr mtriko : i i i [ ij ] x Prireili ji omo število, ki g imeujemo etermit etermit kvrte mtrike je zgrje iz elemetov poe mtrike, pr mtrike, ozk z etermito je et Zpis je sleeč: et R ij x etermit mtrike je torej preslikv: R x R, ki reli li p kompleksi kvrti mtriki prirei eoličo relo li p komplekso število
ior i kofktor ior je poetermit etermite ki jo oimo tko, izpustimo eko število vrstic i stolpcev Če v etermiti izpustimo i-to vrstico i j-ti stolpec, potem oljei mior ozčimo z ij Če tko oljeo etermito pomožimo z -) ij, oimo kofktor, ki p g ozčujemo z zkom ij : ij ) ij ij z i, j,,, Primer : V etermiti,,,, poiščimo ekj miorjev i kofktorjev! ) ), ) ), ) Rzvoj etermite: Z etermito et velj: ) rzvoj etermite po i-ti vrstici: et i i i i i i k ik ik, z i,,, ) je rzvoj etermite po j-tem stolpcu: et j j j j j j k kj kj, z j,,, Izrek lhko iterpretirmo tui tko: etermit e kvrte mtrike je ek sklremu prouktu poljue vrstice z orom pripjočih kofktorjev
orej z uporo teg izrek prvimo, rzvijmo etermito po eki vrstici hko p rzvijmo etermito tui po poljuem stolpcu, sj se vreost etermite e spremei Z rzvoj etermite vzmemo tisto vrstico ozirom stolpec, ki im jveč ičel, sj k sklremu prouktu prispevjo smo eičeli fktorji V primeru, ko immo ičel v vrstich i stolpcih, z opercijmi, ki e spremeijo vreosti etermite, ustvrimo ičle v vrstich ozirom stolpcih Primer : Z rzvojem po prvem stolpcu izrčujmo etermito et ) ) )! ) ) ) ) Pomi: vrt mtrik je sigulr, če je et i esigulr regulr li eizroje), če je et etermit mtrik re x etermito izrčumo tko, o proukt elemetov ozirom koeficietov glvi igoli oštejemo proukt elemetov, ki e ležit jej Sploše zpis:, potem je et c c Primer : je mtrik C Potem je etc etermit mtrik re x etermito mtrike re x jlžje izrčumo z slejo tehiko: esi stri etermite opišemo prvi i rugi stolpec; tko oimo shemo treh troštevilčih igol, ki pjo o leve proti esi i tri, ki se vigjo o leve proti esi izrčumo proukte vseh igol spremeimo prezke rstočim igolm seštejemo i oštejemo oljee proukte
Primer : Po je mtrik ety Y Izrčujmo et Y! ) ) ) ) etermit mtrik višjih reov etermite višjih reov lhko rčumo s pomočjo etermit ižjih reov, ti poetermit miorjev) Z izrču etermit kvrtih mtrik višjih reov veljjo slej prvil: Če mtriko trspoirmo, se vreost etermite e spremei: et et ) etermit mtrike je ek, če so vsi elemeti vrstice ozirom stolpc eki etermit mtrike je ek, če je e vrstic mogokrtik ruge etermit mtrike je ek, če st ve vrstici li v stolpc v mtriki ek Če v mtriki zmejmo ve vrstici li v stolpc, se je etermit pomoži z -), solut vreost etermite p ostj ek Če eo vrstico ozirom e stolpec v mtriki pomožimo s poljuim sklrjem α i oimo mtriko ', se s tem sklrjem pomoži tui vreost etermite: et α et Če h kterikoli vrstici prištejemo s poljuim fktorjem pomožeo eko rugo vrstico, se vreost etermite e spremei Če mtriko pomožimo s sklrjem, potem velj: et α ) α et Če je v kki vrstici li v kkem stolpcu poljue kvrte mtrike vsk elemet vsot veh števil, lhko jeo etermito zpišemo kot vsoto etermit veh mtrik, ki se ujemt s prvoto mtriko v vseh elemetih, rze v opzovi vrstici li stolpcu u im prv mtrik prve sume, rug p ruge Z upoštevjem teh prvil osežemo, so elemeti mtrike čim mjši po soluti vreosti S tem si oljšmo rčuje etermite mtrike
okz: ) okz prve lstosti izhj eposreo iz izrek o rzvoju etermite po i-ti vrstici li po j-tem stolpcu Glej poglvje Izrek o rzvoju etermite, str ) ) okz lstosti : Če st v kvrti mtriki poljui vrstici eki, primer i-t i k-t, potem je, j,,, Zto lhko i-to i k-to vrstico zmejmo i oimo ij kj mtriko ', torej je et et Če upoštevmo lstost, ki prvi, je zri zmejve vrstic et et, je torej et et to p izhj, je et c) okzli omo še šesto lstost: et α et Pomožimo vse elemete i-te vrstice mtrike s številom α i izrčujmo etermito ove mtrike ' z rzvojem po i-ti vrstici: et α ik ) ik α ik ik ) α ik ik α et k k k S Iihr, stišek, rih, temtik z ekoomiste- el, B, ) Iverz mtrik vrt mtrik im iverzo mtriko je orljiv) tko tej, ko je je etermit rzlič o esigulr mtrik) Če mtrik i kvrt, potem iverz mtrik e ostj zk z iverzo mtriko je trik je i v e r z mtrik mtrike, če velj: I eotsk mtrik) Iz te zhteve vtomtičo slei, je tui kvrt mtrik re, sj rugče sploh e i ostjl o proukt Iverzo mtriko e kvrte mtrike poiščemo ozirom izrčumo tko, z recipročo vreostjo etermite mtrike pomožimo trspoiro mtriko kofktorjev: i i i et i i i
i i i i i i Elemeti,,, so kofktorji elemetov ij etermite kvrte mtrike Z izrču iverze mtrike uporljmo sleji postopek: izrčumo et, z vsk elemet mtrike izrčumo pripjoči kofktor i iz jih sestvimo mtriko kofktorjev, trspoiro mtriko kofktorjev pomožimo z recipročo vreostjo etermite mtrike Primer : Poi mtriki X izrčujmo X! X ; et X ker je etx, ostj X ) Formul z izrču kofktorj je: ij ) ij ij ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
X Pri mtrikh imezije oimo iverzo mtriko tko, : izrčumo etermito mtrike me seoj zmejmo igol elemet i spremeimo prezk izveigolim elemetom preolikovo mtriko pomožimo z recipročo vreostjo etermite Primer : Izrčujmo, et stosti iverze mtrike: poe mtrike! Iverz mtrik iverze mtrike je ek prvoti mtriki: ) Iverz mtrik trspoire mtrike je ek trspoiri mtriki iverze mtrike: ) ) Iverzo mtriko proukt veh mtrik oimo tko, oe iverzi mtriki zmožimo v ortem vrstem reu: B ) B okz: ) okžimo prvo lstost iverze mtrike: ) ) I ) ) ) ) ) I J Čiej, temtik z posloveže- el, J, ) ) okžimo še tretjo lstost: B) I B) B B B) B) ) B) B) B ) B B B IB) B) B J Čiej, temtik z posloveže- el, J, ) I: Z mtriki B i B preverimo veljvost I B ) B ) BB ) I I ) B) B)
B ) B) B ) B B IB B B I S Iihr, stišek, rih, temtik z ekoomiste- el, B, ) pom: okz lstosti se hj v poglvju Simetriče mtrike, str
PSEBNE VRSE RI igole mtrike efiicij igole mtrike igol mtrik je kvrt mtrik, v kteri so vsi izveigoli koeficieti eki i j i, j,,,,) ij igolo mtriko oičjo ozčimo z ig,,, ) Elemeti, oz, oz,, oz R Primer : ; ig,,,, ) r so vsi igoli elemeti mtrike pozitiv eegtiv) rel števil, rečemo mtriki pozitiv eegtiv) igol mtrik Primer pozitive igole mtrike je eotsk mtrik ozirom ietič mtrik I Primer : I igol mtrik, kjer so vsi igoli elemeti ozirom koeficieti eki, se imeuje sklr mtrik ) Sklro mtriko oimo, če eotsko mtriko I pomožimo s poljuim sklrjem R
I Primer : I r je torej, je to ietič ozirom eotsk mtrik I pom: Posee primer pozitive igole mtrike tui sklre) je ičel mtrik sestvlje je iz smih ičel) z ozko Vsk igol mtrik je oeem zgorje trikot i spoje trikot rspoirk igole mtrike je ist mtrik:, pr:, etermit igole mtrike etermit igole mtrike je ek prouktu vseh jeih igolih elemetov Izrek: Nj o polju igol mtrik: Potem je etermit igole mtrike proukt vseh jeih igolih elemetov: et i ii
Primer : Po je igol mtrik B Izrčujmo etb! B, etb ) okz: Nj o polju igol mtrik: Po prvilu z rzvoj etermite je: et ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) orej je: et ii i Z ostoj iverze mtrike igole mtrike velj eko prvilo kot z splošo mtriko: ostj tko tej, ko je et o p je tkrt, ko so vsi igoli elemeti ii stosti igolih mtrik i : je igol mtrik prouktα je igol mtrik, α R proukt je prv tko igol mtrik
ožeje igolih mtrik ožeje kvrtih mtrik z igolimi mtrikmi ožeje poljuih kvrtih mtrik z igolimi mtrikmi potek v či i sicer: ) možeje z leve stri B) možeje z ese stri ) Njprej si omo ogleli možeje mtrik z igolimi mtrikmi z leve stri Poi st ve mtriki i : je polju kvrt mtrik re, je igol mtrik re ), Pri možeju z leve stri mtriko pomožimo z mtriko z leve stri jprej zpišemo mtriko, ki jo pomožimo z mtriko ): ot viimo, je proukt mtrik, ki jo oimo tko, i-to vrstico iz mtrike pomožimo z ii igolim elemetom iz mtrike, i,,, B) Pri možeju mtrik z igolimi mtrikmi z ese stri p mtriko pomožimo z mtriko z ese stri jprej zpišemo mtriko, ki jo pomožimo z mtriko ): Proukt je mtrik, ki jo oimo tko, i-te stolpce iz mtrike pomožimo z ii igolim elemetom iz mtrike, i,,,
pom: Pri možeju kvrte mtrike z igolo mtriko z leve stri zpišemo mtriko levo str, pri možeju z ese stri p zpišemo mtriko eso str Primer : Poi st mtriki i Izrčujmo proukt teh veh mtrik z leve stri, z ese stri ter poglejmo li st mtriki komuttivi!, ;, mtriki ist komuttivi! pri možeju mtrik komuttivost e velj, je zpiso že v poglvju, pri orvvih osovih opercijh z mtrikmi ožeje mtrik) st mtriki komuttivi pri možeju z leve i ese stri, mor iti: ) igol mtrik sklr ) i polju kvrt mtrik ) v mtriki ij z vse i i j, z ktere je jj ii v mtriki i orto) Primer : oločimo tkšo mtriko, ost mtriki i komuttivi možeje z leve i ese stri)! trik je po V pomoč m o zgorj točk ), ker je:,,,,,,
stle elemete mtrike izeremo poljuo ; i Viimo, je proukt, torej mtriki i komutirt ožeje ozirom proukt veh igolih mtrik Proukt veh igolih mtrik je spet igol mtrik ožeje izveemo tko, me seoj pomožimo pripjoče igole elemete, tj ii elemet iz prve mtrike pomožimo z ii elemetom iz ruge igole mtrike Primer : Izrčujmo proukt poih igolih mtrik ig!, G ; G Če zmejmo vrsti re možej igolih mtrik, se proukt e spremei orej st ve poljui igoli mtriki pri možeju komuttivi: G G kr je rzvio iz zgorjeg primer ) igolo mtriko p lhko možimo tui smo s seoj igolo mtriko potecirmo tko, potecirmo ozirom možimo jihove pripjoče igole elemete pom: Vemo, pri potecirju kvrte mtrike velj, kvrt mtrik komutir s kterokoli svojo poteco: k k, N k i poljui poteci iste mtrike komutirt: m k k m, N m k, Primer : Potecirjmo mtriko iz zgorjeg primer: ;,,
Bločo igole mtrike Bloče mtrike trik, ki im z elemete mesto sklrjev mtrike z uskljeimi rzsežostmi, je loč mtrik eseoji oos rzsežosti je oloče tko: r r r trike,,, r so loki Primer : Primer loče mtrike [ ] [ ] [ uv ] r x, kjer je uv [ ij ] mu x v, u,,, r i v,,, Uskljeost rzsežosti lokov je tko ogovorje, oimo»vo«mtriko, če»izrišemo oglte oklepje«v loči mtriki er st loč mtrik i pripjoč v mtrik oločei z isto urejeo možico sklrjev, ju ozčimo z istim simolom Zto omo poeostvljeo rekli: loč mtrik je le posee zpis»ve«mtrike Primer : Bloč mtrik iz primer spremeje v vo: Seve lhko tui orti postopek izvjmo rez težv triko rzelimo z»voorvimi i vpičimi črtmi«loke Primer : triko iz primer spremeimo v ločo mtriko
efiicij ločo igole mtrike vrt mtrik olike, v kteri je kk se imeuje ločo igol mtrik x i R i, i,,,k i ii k i i, ko mtriko pogosto pišemo tui kot krjši zpis p je sleeč: k ii i kk, Primer : ;, [ ], [ ], ; x ločo igolim mtrikm spjo tui igole mtrike, ki so posee primer ločo igolih mtrik, kjer so loki ozirom mtrike ii, i,,,k, velikosti Primer : ; [ ], [ ], [ ]
etermit ločo igole mtrike Če izrčumo etermito poi mtriki : po prvilu z rčuje etermite, postopek potek tko: et ) V splošem p velj, rčumo etermito z poljuo ločo igolo mtriko po sleji formuli: k k et et ii et ii i i Primer : Izrčujmo etermito z zgorj poo mtriko po formuli z izrču etermite ločo igole mtrike! ; et et ii et et et i Viimo, st vreosti oeh etermit eki, torej et Če je et, potem z ločo igolo mtriko ostj iverz mtrik velj ek pogoj z ostoj iverze mtrike, kot pri kvrtih mtrikh) p je et, morjo iti vse etermite posmezih lokov rzliče o
ožeje ločo igolih mtrik ožeje kvrtih mtrik z ločo igolimi mtrikmi ko kot pri igolih mtrikh, pozmo tui pri ločo igolih mtrikh možeje kvrtih mtrik z ločo igolimi mtrikmi: ) z leve stri B) i z ese stri ) Njprej si omo ogleli možeje z leve stri Poi st ve mtriki i : je polju kvrt mtrik, je ločo igol mtrik) kk k k k k, kk Pri možeju z leve stri jprej levo str zpišemo ločo igolo mtriko, ki jo pomožimo z mtriko : kk kk k kk k kk k k ot viimo, je proukt mtrik, ki jo oimo tko, z igolimi loki mtrike, torej z loki ii, i,,,k pomožimo i-to vrstico lokov mtrike Bloki morjo iti ekih velikosti Primer : Poi st mtriki i :, Izrčujmo proukt poih mtrik z leve stri! V mtriki viimo, immo lok mtrik:,
S tem vem lokom mormo pomožiti loke mtrike i sicer sleeč či:,,, Zj smo zključili možeje prveg lok i zčemo možeje z rugim lokom :,,, oljee proukte lokov vpišemo v mtriko: B) ožeje kvrtih mtrik z ločo igolimi mtrikmi z ese stri p potek tko, oljei proukt prestvlj mtrik, ki jo oimo tko, i-ti stolpec lokov mtrike pomožimo z lokom ii, i,,,k Sploše zpis možej z ese stri je sleeč: k k k k kk kk kk kk Primer : Izrčujmo proukt mtrik i iz primer z ese stri ter poglejmo li st mtriki komuttivi, ;
,,,,,, er, torej mtriki i e komutirt ožeje ločo igolih mtrik ožeje ločo igolih mtrik me seoj potek tko, zmožimo prom pripjoče si loke ii i B ii, ki p morjo iti ekih velikosti Proukt veh ločo igolih mtrik je spet ločo igol mtrik Sploše zpis je sleeč: i st ločo igoli mtriki i B: kk, B B B B kk, proukt B je ek: B B B kk B kk
i proukt B je ek: B kk kk B B B Viimo, st proukt pri splošem zpisu ek Primer : Izrčujmo o proukt poih ločo igolih mtrik i B i ju primerjjmo!, B ; B i B B B Iz zgorjeg primer je rzvio, v splošem možeje ločo igolih mtrik i komuttivo kkor tui i komuttivo mtričo možeje v splošem) Pri ločo igolih mtrikh velj, mtriki komutirt tko tej, ko komutirt ii i ii B, i,,,k, seve p mor iti vsk pr ii, ii B ) eke velikosti ui pri ločo igolih mtrikh lhko izvjmo potecirje le teh i sicer potecirmo posmeze loke ii, i,,,k Sploše zpis potecirj je sleeč: kk, potem je kk
Primer : Poo immo ločo igolo mtriko : Izrčujmo! rikote mtrike Zgorje trikot mtrik triko olike imeujemo zgorje trikot mtrik i jo ozčimo z pr trik je torej zgorje trikot, če so vsi jei elemeti po igolo eki : ko je > ij j i ožico vseh zgorje trikotih mtrik v R ozčujemo z Z Primer : stosti zgorje trikotih mtrik, B so sleeče: B je zgorje trikot mtrik proukt α je zgorje trikot mtrik, α R proukt B je prv tko zgorje trikot mtrik
pom: triko olike imeujemo strogo zgorje trikot mtrik vsi elemeti po igolo i tui igoli elemeti so sme ozirom ij j i ) Primer : Izrčujmo vsoto poih zgorje trikotih mtrik B,!, B ; B lstost velj glejmo si še primeru, kj se zgoi, kr zgorje trikoto mtriko trspoirmo Primer : Poiščimo trspoirko zgorje trikote mtrike, ki je po! ; Ugotovimo, je trspoirk zgorje trikote mtrike ejsko spoje trikot mtrik i t lstost velj z trspoirje kterekoli zgorje trikote mtrike orej m trspoirje spremei zgorje trikoto mtriko v spoje trikoto mtriko
Spoje trikot mtrik trik je spoje trikot, če so vsi jei elemeti igolo eki : ko je < ij j i orej, če je olike i jo ozčimo z pr S S ozčimo možico vseh spoje trikotih mtrik v R Primer : pom: triko olike p imeujemo strogo spoje trikot mtrik vsi elemeti igolo so ičle i prv tko tui vsi igoli elemeti ozirom ij i j ) Eke lstosti kot z zgorje trikoti mtriki veljjo tui z spoje trikoti mtriki i B: B je spoje trikot mtrik proukt α je spoje trikot mtrik, α R proukt B je prv tko spoje trikot mtrik Primer : Izrčujmo proukt poih spoje trikotih mtrik i B :, B ; B lstost velj
Če trspoirmo spoje trikoto mtriko, m t opercij spoje trikoto mtriko pretvori v zgorje trikoto mtriko o lstost m zoro prikže sleji primer Primer : rspoirjmo poo spoje trikoto mtriko! Pri trspoirju proukt spoje trikotih mtrik velj: S B,, potem Z B, ker Z B, je potem S B B B ) ) ) pom: posee primer trikotih mtrik so igole mtrike, ki so opise v poglvju etermit trikote mtrike je proukt elemetov glve igole eko kot pri igoli mtriki): et z li Primer : Z poo immo mtriko izrčujmo etermito mtrike:, ) et ;
Simetriče mtrike efiicij simetriče mtrike triko x R imeujemo simetrič mtrik, če je i orto: mtrik, z ktero velj, je simetrič) ozirom simetriče mtrike so tiste kvrte mtrike, pri kterih so elemeti simetriči glee glvo igolo eki orej je mtrik simetrič, če z vsk i i j velj: ji ij ekost mor veljti z vse pre i, j o vključo o vključo ) Z simetriče mtrike je očito zčilo, zmejv oeh ieksov e spremei elemet orej lhko rečemo tui tko: mtrik je simetrič, kr je j-t vrstic ek j- temu stolpcu j,,,) Sploše zpis simetriče mtrike re : l k g k h f c g f e c Primer : i i i i Primer : Po je mtrik Prireili ji omo trspoirko i ugotovili li je mtrik simetrič! ),, torej mtrik i simetrič ) ;, ker je, je mtrik simetrič
Izrek: Z poljuo mtriko st mtriki i veo simetriči okz: Z okz uporimo slejo lstost trspoirj: preverimo li je : ) ) i ) ) B ) B i Primer : Poglejmo, li je proukt mtrik : simetrič mtrik, če je po i proukt je simetrič mtrik pom: Vsk igol mtrik je simetrič ritev: Če je mtrik simetrič, potem je tui simetrič mtrik okz: Zgorjo tritev okžemo eko, kot lstost iverze mtrike: ) ) Vemo, velj I Zj trspoirmo ekost I i oimo: ) I i upoštevmo prvilo z možeje proukt pri trspoirju ) I I Eko postopmo tui z rugim elom ekosti ) I ) I I Zj primerjmo o rezultt trspoirj: ) I I i ) I I I ter ugotovimo, je mtrik ) ort ozirom iverz mtrik mtrike Zto je ) ) S Iihr, stišek, rih, temtik z ekoomiste- el, B, ) I: Izhjmo iz efiicije iverze mtrike: o ekost trspoirmo: ) I I i oimo: ) I
Zj oljeo ekost možimo z ) I ) I / ) ) ) ) ) I I ) z leve stri: ) ) J Čiej, temtik z posloveže- el, J, ) Primer : Poi mtriki poiščimo i iverzo mtriko trspoirjmo Nto še mtriki poiščimo jeo trspoirko i iverzo mtriko trspoirke ter primerjjmo o rezultt ; prvi el loge: ostj, če je et et, torej je potreo jprej preveriti t pogoj et, et, ostj ) Zj mormo olikovti mtriko kofktorjev, formul z izrču kofktorj je: ij ) ij ij ), ) ), ) ), ), ), ) ), ), ) ), ) ;
) ; rugi el loge:, ) ) et Še ekrt olikujemo mtriko kofktorjev: ), ) ), ) ), ), ), ) ), ), ) ), ) ;
) Primerjmo še o rezultt: ) ) Simetriče oeplitzove mtrike efiicij: Simetrič oeplitzov mtrik je kvrt mtrik, torej imezije x, z ktero velj: Iz zpis mtrike viimo, tvorijo elemeti te mtrike pjoče igole, ki so vzporee h glvi igoli Elemeti posmezi igoli so me seoj eki: j ij i Simetriči oeplitzovi mtriki imezije x i x st torej mtriki, ki jih zpišemo v sploši oliki tko: c e c c c c e c i c e f c e c c c c e c f e c
Primer : Primeri oeplitzovih mtrik: I, B, pom: e oeplitzove mtrike spjo tui eotske mtrike I, pr: I N primeru si oglejmo, kj oimo pri možeju poljue mtrike X s oeplitzovo mtriko z leve i ese stri Primer : Poi st mtriki X i :, X X, X ker proukt ist ek, možeje z leve i ese stri i komuttivo X X ) Primer oeplitzovih mtrik st tui mtriki B i F: B i F, ki jih imeujemo»ckwr shift «i»forwr shift«
Primer : Poi st mtriki B i F ter polju mtrik X: B, F, X Pomožimo mtriko X z B i F z leve i ese stri ter zpišimo ugotovitve! ožeje z leve: X B, X F Ugotovimo, se pri možeju mtrike X s oeplitzovo mtriko z leve stri vrstice mtrike X premkejo ozirom vigejo ožeje z ese: B X F X Pri možeju mtrike X s oeplitzovo mtriko z ese stri p ugotovimo, se premkejo stolpci mtrike X Proukt z leve i ese stri tui ist ek, torej mtriki B, F e komutirt z mtriko X
Permutcijske mtrike Permutcijsk mtrik je kvrt mtrik, ki im v vskem stolpcu i vski vrstici tko eo eico, vse ostle vreosti p so ič Primer : P pom: e permutcijske mtrike spjo tui eotske mtrike I ožeje s tkimi mtrikmi povzroči permutcijo vrst li stolpcev možee mtrike Če pomožimo mtriko P z mtriko, oimo: P Ugotovimo, je proukt permutcij vrst možee mtrike, kjti prv vrstic mtrike je rugem mestu, rug vrstic mtrike je prvem mestu, metem, ko je tretj vrstic ohril svoj položj Če zmejmo vrsti re možej mtrik P i, oimo: P Pri tem prouktu p ugotovimo, se je zmejl položj stolpcev v mtriki i sicer: prvi stolpec mtrike je rugem mestu, rugi stolpec je prvem mestu, tretji stolpec i spremeil svojeg položj N splošo: levo možeje permutcijske mtrike P Є R x z mtriko Є R xm, permutir vrsto mtrike, metem, ko eso možeje mtrike Є R mx s permutcijsko mtriko P Є R x permutir stolpec mtrike Iz zgorjeg primer tui ugotovimo, možeje s permutcijskimi mtrikmi z leve i ese stri i komuttivo tui splošo možeje mtrik i komuttivo) orej P P Poskusimo izrčuti še etermito z permutcijsko mtriko P iz zgorjeg primer :
P ; et P Primer : Izrčujmo etermito poe mtrike P: ) P, et P ; ) P, et P N osovi primerov ugotovimo, je etermit permutcijskih mtrik ± tko e vsot je eičel) Z zgorjo ugotovitev omo poli le skico okz: et ± P Vzemimo permutcijsko mtriko re : P Vemo, im permutcijsk mtrik v vski vrstici i vskem stolpcu tko eo eico, ostli elemeti mtrike so Zto je smiselo uporiti z okz rzvoj etermite po i-ti vrstici li po j-tem stolpcu sj so vsi rugi člei v sklrem prouktu eki -z ičele elemete v etermiti sploh i tre rčuti kofktorejev) Recimo, vzmemo rzvoj etermite po j-tem stolpcu: et j j j j j j k kj kj, z j,,, Če zj uporimo rzvoj etermite po prvem stolpcu z permutcijko mtriko, viimo, je
et P ) S prvim korkom smo prišli o rčuj poetermite re -) Z izrču te poetermite postopek poovimo i oimo: et P ) ) V rugem korku se je rčuje poetermite zižlo re -) Če s postopkom ljujemo, se poetermiti re postopom zižuje vse o re i to o re : et P ) ) ) ) i ) ) i ) et P ± pom: er je et P, potem ostj tui iverz mtrik mtrike P Z izrču P potreujemo mtriko kofktorjev ofktorje še izrčumo z primer ): P ) ) P ) ) P ) ) P ) ) P ) ) P ) )
) ) P ) ) P ) ) P et P P P P P P P P P P P Permutcijsko mtriko P še trspoirjmo: P, P Ugotovimo, je P P i t lstost velj z vse permutcijske mtrike Primer : Zpisli omo permutcijsko mtriko P, ki izhj iz poe permutcije π : ) π, π P ) π, π P
c) π, π P Primer : Zpisli omo permutcijo π, ki izhj iz poe permutcijske mtrike P: ) π P, π ) π P, π c) π P, π Primer : Zmožimo poi mtriki P imezije m x m) i imezije m x ): P, P
IERUR rih,, stišek, i Vukm, J ) temtik I el rior: Ekoomsko poslov fkultet Butir, B ) temtik el rior: Fkultet z kemijo i kemijsko tehologijo Čiej, J ) temtik z posloveže el julj: Uiverz v julji Grsselli, J i Vl, ) ier lger, iero progrmirje julj: ruštvo mtemtikov, fizikov i stroomov Sloveije Hor, R i Johso, C R ) trix lysis Cmrige: Cmrige Uiversity Prees Iihr, S, stišek, i rih, ) temtik z ekoomiste el rior: Ekoomsko-poslov fkultet Jmik, R ) temtik julj: Prtizsk kjig rižič, F ) Vektorji, mtrike, tezorji julj: lisk kjig urep, ) Viš lger Zgre: Školsk kjig esm, E i Hestes, R ) ier lger for mthemtics, sciece egieerig Prctice Hll Itertiol itriović, S i ihjlović, ) ier lger, litičk geometrij, Poliomi Beogr: Grđevisk kjig uzić, Z P ) etermite, mtrice, vektori, litičk geometrij z stuete tehičkih fkultet Beogr: Grđevisk kjig mlič, V ) Upor liere lgere v sttistiki julj: Fkultet z ružee vee Schmit, i rekler, G ) oere trix-lger Spriger- Verlg Berli Heielerg Viv, I ) Višj mtemtik I julj: ruštvo mtemtikov, fizikov i stroomov Sloveije Viv, I ) lger julj: ruštvo mtemtikov, fizikov i stroomov Sloveije