Mtemtik Rešitve 9. sklop log Nedoločei itegrl (4) Izrčuj itegrle trigoometričih fukcij: 5 + 4 cos, si + cos, cos (c) + si. Rešitev: Pri itegrlih tip R(cos, si ), kjer je R rciol fukcij, si pomgmo z uiverzlo trigoometričo substitucijo tg = t. Z uporbo trigoometričih ekosti lhko izrzimo: = dt + t, cos = t + t, si = t + t, kr m problem prevede itegrirje rciolih fukcij. 5 + 4 cos : 5 + 4 cos = = 5 + 4 t +t dt + t = t + 9 dt = rc tg 3 dt 5( + t ) + 4( t ), ) + C. ( 3 tg si + cos : Uiverzl trigoometrič substitucij s sicer vedo pripelje do rezultt, vedr p v primeru, ko stopt si i cos v itegrdu v višjih potech, hitro pridemo do
komplicirih rciolih fukcij. Zto se m splč zčetku s pomočjo dicijskih izrekov čimbolj zižti potece v itegrdu. si + cos = + cos = = + cos + 3. cos + Sedj uvedimo ovo spremeljivko = u i to še tg u = t. Sledi si + cos = cos + 3 = du cos u + 3 = ( ) dt = t + = rc tg tg + C. t + 3 +t dt + t, (c) cos + si : T itegrl lhko izrčumo brez uporbe uiverzle trigoometriče substitucije, če poskusimo z ovo spremeljivko t = + si. Potem je dt = cos i cos dt + si = = l t + C = l + si + C. t (5) Izrčuj itegrle irciolih fukcij:, +, + 3 (c) + 4 Rešitev: Itegrle tip p() +b+c itegrirmo sledji či: () Če je poliom p kostte, itegrl prevedemo eeg izmed itegrlov: ( ) = rc si + C, >, = l + + C, >, ( + = l + ) + + C, >. () Če je p poljube poliom, uporbimo stvek p() + b + c = p() + b + c + C + b + c, kjer je C kostt, poliom p p im stopjo eo mjšo kot p.
+ : Med rčujem bomo uvedli ovo spremeljivko t = +, kr m d = dt i = dt + ( ) = = l + t t + t 4 + C, 4 4 = l + + + + C. : Pri tem primeru bomo uvedli ovo spremeljivko t =, kr m spet d = dt. Sledi = ( ) + = dt t = rc si t + C = rc si ( ) + C. (c) + 3 + 4 : V tem primeru bomo uporbili stvek + 3 + 4 = A + 4 + B + 4. Z odvjjem te ekosti dobimo + 3 + 4 A( + ) = + 4 + B + 4 = A( + ) + B + 4. S primerjvo koeficietov poliomov v števcu pridemo do sistem dveh ečb z dve ezki: A =, A + B = 3, ki im rešitev A = B =. Tko dobimo: + 3 + 4 = + 4 + + 4 = + 4 + = + 4 + l + + + 4 + C. ( + ) 4, Zdji itegrl lhko izrčumo z uvedbo ove spremeljivke t = +. 3
Določei itegrl () Izrčuj določei itegrl s pomočjo prevedbe Riemovo vsoto. Rešitev: Določei itegrl b f() zveze, pozitive fukcije f itervlu [, b] lhko geometričo iterpretirmo kot ploščio lik med grfom fukcije i bsciso osjo. S pomočjo Riemovih vsot lhko določei itegrl b f() izrčumo tkole: Njprej rzdelimo [, b] s točkmi i = + i b z i ekih delov. b f() b f( i )... približ vredost. b i= f() = lim b f( i )... toč vredost. i= Lik proksimirmo z uijmi prvokotikov, to p pogledmo limito proksimcij, pri kterih so širie prvokotikov čedlje mjše. Sedj bomo izrčuli ploščio lik pod kvdrto prbolo itervlu [, ]. 5 5 3 5 4 5 Izrčujmo jprej približek z ploščio, ki g dobimo, če itervl [, ] rzdelimo ekih delov. Ker je fukcij f() = tem itervlu rščjoč, bo t približek večji od dejske ploščie. i= f( i) = i= ( i ) = 3 i= i = 3 ( + )( + ) 6 = ( + )( + ) 6. Pri izrčuu smo uporbili formulo z vsoto kvdrtov prvih rvih števil i ( + )( + ) =, 6 i= ki jo lhko dokžemo z idukcijo. Ntč vredost ploščie lik p je ek = lim ( + )( + ) 6 = 3. 4
() Izrčuj določe itegrl s pomočjo Newto-Leibizeve formule: π π cos, + cos. Rešitev: Določei itegrl je s pomočjo Riemovih vsot prvilom zelo težko izrčuti, zto g običjo rčumo s pomočjo Leibizove formule. Nj bost f i F zvezi fukciji [, b], z kteri velj F () = f() z (, b). Potem velj b f() = F F. π π ( cos + cos = = + ) π si = π. 4 Opomb: N t itegrl pogosto letimo, zto se splč zpomiti sledjo lstost. Velj b b si k = cos k = b, če je dolži itervl [, b] večkrtik periode fukcij si k ozirom cos k. To pomei, d je b = π z eko rvo število. k Z izrču teg itegrl jprej opomimo, d velj + cos = { cos ; [, π cos = ], cos ; [ π, π]. Tko dobimo π + cos = π cos π π cos = si π si π π = ( ) =. (3) S trpezo metodo z = 4 i Simpsoovo metodo z = približo izrčuj itegrl π si. Rešitev: Pri tej logi bomo spozli dve umeriči metodi z približi izrču določeeg itegrl, e d bi dejsko pozli edoločei itegrl. To je še posebej uporbo, ko immo oprvk s fukcijmi, kterih edoločei itegrli iso elemetre fukcije. Kot primer si bomo pogledli fukcijo f() = si. Rečemo ji tudi sic fukcij, uporblj p se pri filtrirju siglov. 5
y..5 5 5 5 Pri trpezi metodi lik, ki g določ fukcij f [, b], proksimirmo z uijo trpezov. Pri tem uporbljmo sledji lgoritem: Rzdeli [, b] s točkmi i = + i b f() = b (y + y + y + + y + y ) + R. (b ), z i, delov i piši y i = f( i ). Izrz R je pk proksimcije, ki jo lhko oceimo vzgor s formulo R (b )3 m f (). [,b] Vsk izmed dobljeih trpezov im višio eko b, izrz v oklepju p predstvlj dvkrtik vsote jihovih sredjic. V šem primeru bomo lik, ki je pod grfom fukcije f() = si itervlu [, π], proksimirli s štirimi trpezi. y..5 3 3 4 Vidimo, d se š približek le mlo rzlikuje od dejskeg lik. Njprej pišimo tbelo vredosti: π π 3π i π 4 4 y i..9.636.3. Od tod dobimo proksimcijo π si π ( + (.9 +.636 +.3) + ) =.835. 8 Pri Simpsoovi metodi lik, ki g določ fukcij f [, b], proksimirmo z uijo likov, ki so od zgorj omejei s kvdrto prbolo, ki iterpolir po tri zporede točke. V tem primeru vzmemo delilih točk. Določei itegrl je potem ek b f() = b 6 (y + 4y + y + + 4y + y ) + R, 6
kjer lhko pko proksimcije oceimo s formulo R (b )5 88 4 m f (4) (). [,b] V tem primeru bomo lik, ki je pod grfom fukcije f() = si itervlu [, π], proksimirli z dvem likom, ki st omeje z grfom prbol, ki iterpolirt točke {(, f( )), (, f( )), (, f( ))} ozirom {(, f( )), ( 3, f( 3 )), ( 4, f( 4 ))}. Sledi π si π ( + 4(.9 +.3) +.636 + ) =.85. Ntč vredost teg itegrl, zokrožeeg tri decimlke, je ek π si =.85. Vidimo, d je proksimcij s Simpsoovo metodo precej dobr. Opomb: Fukcij Si() = je edoloče itegrl fukcije f() = si. Imeujemo jo itegrlski sius. Je omeje, s pomočjo metod komplekse itegrcije p lhko pokžemo, d velj Poglejmo še je grf. si t t dt lim Si() = si t dt = π t. y (4) Izrčuj izlimitir itegrl: e l., >, 7
Rešitev: Določei itegrl je v osovi verziji defiir z zveze fukcije kočem zprtem itervlu. Njegovim posplošitvm fukcije, ki imjo pole, li p eomeje območj rečemo izlimitiri itegrli. Če želimo izrčuti tkše itegrl, itegrcijsko območje jprej rzkosmo itervle, tko d bomo vskem itervlu imeli sigulrost v jveč eem krjišču li p d bo itervl eomeje le v eo smer. Nj bo f zvez fukcij itervlu [, b), ki je eomeje v okolici točke b. V tkših primerih lhko defiirmo izlimitiri itegrl b f() = lim ϵ + b ϵ f(), če limit desi obstj. Geometričo to pomei, d lhko ploščio lik, ki je sicer eomeje, poljubo dobro proksimirmo s ploščimi omejeih likov. Če je f zvez fukcij itervlu [, ), defiirmo izlimitiri itegrl s predpisom f() = lim c c f(), če limit desi obstj. Alogo defiirmo tudi izlimitire itegrle v primeru, ko je itegrcijski itervl odprt levi stri. : Fukcij, ki jo itegrirmo, je eomeje v okolici deseg krjišč. Njprej se spomimo, d velj Od tod dobimo: = rc si + C. ϵ ( = lim = lim rc si ) ϵ, ϵ + ϵ + = lim ϵ + ( rc si( ϵ ) rc si ), = π. 8
e l : V tem primeru itegrirmo zvezo fukcijo po itervlu, ki je eomeje. Pri rčuju bomo uvedli ovo spremeljivko t = l. e l = lim c c e l = lim c Vidimo, d t itegrl e kovergir. l c dt t = lim l t l c = lim l(l c) =. c c (5) Povpreč hitrost molekul kisik pri temperturi T je ek v = ( m ) 3 4π πkt v 3 e m kt v dv, kjer je k =.38 3 J i m = 5.3 K 6 kg. Izrčuj povprečo hitrost molekul kisik pri temperturi T = 3K. Rešitev: Mwell-Boltzmov porzdelitev hitrosti molekul kisik je pod z gostoto p(v) = ( m ) 3 4πv e m kt v πkt z v >. S k ozčimo Boltzmovo kostto, z m mso molekule kisik, s T p temperturo kisik. Pri tej logi si bomo pogledli, kko se izrču povpreč hitrost molekul pli z uporbo izlimitireg itegrl...5..5 Z grf gostote lhko preberemo, d im veči molekul kisik hitrost ekje med i metri sekudo. Nektere molekule imjo tudi višjo hitrost, jih je reltivo mlo. Hitrost molekul lhko zvzme le eegtive vredosti, zto bomo itegrirli po itervlu [, ), povprečo hitrost p bomo ozčili z v. Le t je ek v = vp(v) dv = ( m ) 3 4π πkt v 3 e m kt v dv. Pišimo = m. Potem v bistvu rčumo edoločei itegrl v 3 e v dv. Če uvedemo kt ovo spremeljivko t = v, je dt = v dv i v 3 e v dv = te t dt = ( te t ) e t dt = ( te t e t) + C. 9
Zdji itegrl smo izrčuli z itegrcijo po delih z izbiro u = t i e t dt = dv. upoštevmo zvezo med v i t, od tod dobimo v 3 e v dv = ( v e v e v) + C = v + + C. e v Sedj dobimo v 3 e m kt v dv = v + e v v Pri smo upoštevli dejstvo, d je lim + v e v prvil. Povpreč hitrost molekul kisik je tko ek v = ( m ) 3 4π πkt ( m = πkt = ( ) =. Če =, ki sledi z uporbo L Hospitloveg ) 3 π ( kt m ) = 8kT mπ. Če upoštevmo podtke k =.38 3 J K, m = 5.3 6 kg i T = 3K, dobimo povprečo hitrost v = 445 m s. (6) Ugotovi, li izlimitir itegrl kovergirt li divergirt: + 3 +, l +. Rešitev: Izlimitirih itegrlov prvilom e zmo vedo izrčuti. Včsih p je korist že zgolj iformcij, li di itegrl sploh kovergir. Le-to lhko dobimo s pomočjo sledjih kriterijev: Nj bo g zvez fukcij [, b]. b b g() kovergir, če je s <. ( ) s g() divergir, če je s i g. ( ) s Nj bo g zvez i omeje fukcij [b, ). b b g() s kovergir, če je s >. g() s divergir, če je s i g() > m > z vse od ekje dlje.
Pri določju kovergece izlimitirih itegrlov tko povdi jprej ugemo, kter izmed zgorjih možosti stopi, to p poskušmo itegrd zpisti v ustrezi obliki. + 3 + : Itegrd je zvez fukcij eomejeem itegrcijskem itervlu [, ). Zto mormo ugotoviti li di posplošei itegrl kovergir v eskočosti. Zpišimo + 3 + + = 3 + i defiirjmo g() = +. Tko defiir fukcij g je zvez itervlu [, ), 3 + je limit pri p je + lim g() = lim 3 + Iz obstoj limite v eskočosti i p zvezosti sklepmo, d je fukcij g omeje itervlu [, ). Poleg teg je s =, zto di posplošei itegrl kovergir. =. l + : Pri tem itegrlu mormo obrvvti dve limiti. Itegrd im sigulrost pri =, poleg teg p še itegrirmo po eskočem itervlu. = : Zpišimo l / l + = +. / Defiirjmo g() = / l +. Potem lhko g zvezo rzširimo v =, če predpišemo g() =. Velj še s = / <. Torej izlimitiri itegrl kovergir v okolici =. : Sedj zpišimo l 3/ l + = +. 3/ Če defiirmo g() = 3/ l, bo fukcij g zvez i omeje poljubem itervlu + [b, ] z b >. Omejeost sledi iz dejstv, d je lim g() =, ki g lhko preverimo s pomočjo L Hospitloveg prvil. Ker je s = 3/ >, itegrl kovergir tudi pri. Opomb: Sedj, ko vemo, d obstjt itegrl l i + sledji trik. Vzemimo v drugem itegrlu ovo spremeljivko l + = l(t ) dt + t t = l, lhko uporbimo + l t + t dt. = t. Sledi = dt t i
Torej je l + = l + + l + = l + l t dt =. + t