Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TENOLOGIJE Matematične znanosti, stopnja Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Magistrsko delo Mentor: prof dr Dragan Stevanović Koper, 0

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 I Ključna dokumentacijska informacija Ime in priimek: Naslov magistrskega dela: Kraj: Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Koper Leto: 0 Število listov: 7 Število slik: 3 Število tabel: 0 Število prilog: 0 Št strani prilog: 0 Število referenc: 3 Mentor: prof dr Dragan Stevanović UDK: 597(043) Ključne besede: Wienerjev indeks, hiper-wienerjev indeks, kvazi-wienerjev indeks, Kirchhoffov indeks, araryjev indeks, Szegedov indeks, Clujev indeks, Schultz indeks, molekularni topološki indeks, Wienerjev indeks višjega reda, teorija grafov Math Subj Class (000): 05C, 05C05, 05C50, 9E0 Izvleček Tema magistrskega dela je Wienerjev indeks in njemu podobni indeksi, ki temeljijo na razdaljah med točkami v grafu Tako so poleg Wienerjevega indeksa predstavljeni kvazi-wienerjev indeks, Schultzov indeks, hiper-wienerjev indeks, Kirchhoffov indeks, araryjev indeks, Szegedov indeks, Clujev indeks in število sprehodov v grafu

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 II Key words documentation Name and surname: Title of Master s degree: Place: Daliborko Šabić Wiener-like indices on graphs Koper Year: 0 Number of pages: 7 Number of figures: 3 Number of tables: 0 Number of additions: 0 Number of addition pages: 0 Number of references: 3 Advisor: prof dr Dragan Stevanović UDC: 597(043) Key words: Wiener index, hyper-wiener index, quasi-wiener index, Kirchhoff index, arary index, Szeged index, Cluj index, Schultz index, molecular topological index, Wiener-type numbers of higher rank, graph theory Math Subj Class (000): 05C, 05C05, 05C50, 9E0 Abstract The theme of the master work is about Wiener index and other indices based on distances between vertices in graph In addition to Wiener index we also present quasi-wiener index, Schultz index, hyper-wiener index, Kirchoff index, arary index, Szeged index, Cluj index and Walk numbers

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 III Kazalo Uvod Osnove teorije grafov 3 3 Wienerjev indeks 4 Wienerjeva matrika in hiper-wienerjev indeks 7 5 Kvazi-Wienerjev in Kirchhoffov indeks 6 6 araryjev indeks 33 7 Szegedov indeks 39 8 Clujev indeks 46 9 Število sprehodov: Wienerjevi tipi indeksov višjega reda 50 0 Schultzov indeks 56 Literatura 63

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 IV Slike Primer grafa 3 Primeri grafov, ki niso enostavni 4 3 Graf G 4 4 Primera poti v grafu 5 5 Primer cikla v grafu 5 6 Primer povezanega in nepovezanega grafa 6 7 Primer drevesa 6 8 Najkrajši razdalji med u in v v grafu G 6 9 Graf molekule -metilbutan 7 0 Stopnja točke deg(u) in deg(v) grafa G 8,,4,6-tetrametilheptan 0 Naftalen 0 3 Vse razdalje grafa G na sliki 9 3 Polna grafa in poti 3 4 Vrednosti N i,e in N j,e 7 4 Graf molekule,3-metilpentan 8 43 Zvezdi S 7 in S 9 9 44 Množici N i,p in N j,p 0 45 Graf molekule -metilpentan 46 Zgornja meja hiper-wienerjevega indeksa 5 5 Graf molekule isobutan 8 6 Graf molekule -metilbutan 33

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 V 6 Graf molekule 4-etil-,-dimetilciklobutan 34 63 araryjev indeks poti P n predstavlja spodnjo mejo 38 7 N i,e = 4 in N j,e = 3 39 7 Molekula etilbenzena in njen graf 4 73 Polna bipartitna grafa 4 74 N i,p = 4 in N j,p = 3 43 8 Graf etilbenzena 46 9 Graf molekule -metilpropan 5 0 Graf molekule,,4-trimetilpentana oziroma izooktana 56 0 Graf molekule butana 6

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 VI Credendo vides - Voyage of the Basset

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 Poglavje Uvod Dejstvo, da imajo molekule strukturo, je znano že od sredine 9 stoletja Od takrat je ena glavnih nalog kemije iskanje kemičnih in fizikalnih lastnosti substanc glede na molekularno strukturo Leta 947 je Wiener v članku Structural determination of paraffin boiling points [3] prvič prikazal relacijo med molekulami in teorijo grafov V tem članku je avtor uporabil svoj indeks W e za izračun vrelišča alkanov in sicer kot bp = αw e + βp + γ, kjer so α, β, γ konstante in P število parov točk na razdalji 3 Iz matematičnega vidika je najbolj zanimivo dejstvo, da je indeks W e izračunan s pomočjo grafa, in sicer kot vsota vseh razdalj med dvema točkama v grafu oziroma W e = u,v V d uv, kjer je V množica točk v enostavnem povezanem neusmerjenem grafu G, d uv pa je najkrajša razdalja med točkama u in v Kljub tako zanimivemu odkritju na tem področju dolgo časa ni bilo posebnega napredka Po letu 970 je sledil nenaden preobrat Wienerjev indeks je pridobil na popularnosti, kar se tudi odraža na številu objavljenih člankov Prav tako se je njegova popularnost odražala po letu 990, ko se je pojavilo več drugih indeksov, ki so temeljili na razdaljah med točkami v grafu in so bili v tesni povezavi z W e Med njimi so se pojavili tudi:

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 leto indeks leto indeks 989 kvazi-wienerjev indeks 989 Schultzov indeks 993 hiper-wienerjev indeks 993 Kirchhoffov indeks 993 araryjev indeks 994 Szegedov indeks 996 Clujev indeks 996 Število sprehodov Vse naštete indekse bomo spoznali v naslednjih poglavjih

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 3 Poglavje Osnove teorije grafov Definicija (Graf) Graf G = (V, E) je matematičen objekt, ki je sestavljen iz dveh množic in sicer iz množice V, ki vsebuje točke, in množice E, ki vsebuje povezave Primer Primer grafa lahko vidimo na sliki Množica V vsebuje pet točk in množica E vsebuje štiri povezave povezave točke Slika : Primer grafa - - Definicija (Enostaven graf) Naj bo G = (V, E) graf Graf G je enostaven, če: ima poljubna povezava e E dve različni krajišči (tj nima zank) in med poljubnima točkama u, v V obstaja največ ena povezava Primer Na sliki so primeri treh grafov, ki niso enostavni Na sliki 3 je prikazan primer enostavnega grafa - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 4 (a) Večkratne povezave med točkama (b) Zanka (c) Večkratne povezave med točkama in zanka Slika : Primeri grafov, ki niso enostavni Definicija 3 (Sprehod) Naj bo G = (V, E) graf Sprehod w v grafu G je zaporedje povezav, kjer se naslednja povezava začne v tisti točki, kjer se je prejšnja povezava končala Dolžina sprehoda je enaka številu povezav v sprehodu Definicija 4 (Sled in pot) Naj bo G = (V, E) graf in naj bo w sprehod v grafu G Če se nobena povezava e E v sprehodu w ne ponovi, potem je w enostaven sprehod ali sled Če je w enostaven sprehod in se tudi nobena točka ne ponovi, potem je w pot Primer 3 Oštevilčimo graf G tako kot smo prikazali na sliki 3 Če z e i,j E označimo povezavo med točkama i, j V, potem zaporedje povezav w = {e,3, e,4, e 4,5, e 3,5, e,3, e, } predstavlja sprehod, ne pa tudi sled, ker se v zaporedju dvakrat pojavi povezava e,3 Sprehod s = {e,, e,4, e 4,5, e 3,5, e,3 } je hkrati tudi sled, ker se nobena povezava ne ponovi 3 6 5 4 Slika 3: Graf G - - Primer 4 Na sliki 4(a) je z rdečo barvo označena pot dolžine in na sliki 4(b) pot dolžine 4 Seveda to nista edini poti v grafu - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 5 3 3 6 6 5 5 4 4 (a) Pot dolžine (b) Pot dolžine 4 Slika 4: Primera poti v grafu Definicija 5 (Sklenjeni sprehod) Naj bo s poljuben sprehod v grafu G = (V, E) in naj bosta u, v V krajišči sprehoda s Če velja u = v, potem je s sklenjeni sprehod Definicija 6 (Cikel) Naj bo p poljubna pot v grafu G = (V, E) in naj bosta u, v V krajišči poti p Če velja u = v, potem je p cikel Primer 5 Na sliki 5 je cikel označen z rdečo barvo Slika 5: Primer cikla v grafu - - Definicija 7 (Povezan graf) Naj bo G = (V, E) graf in naj bosta u, v V poljubni točki Če med vsako točko u in točko v obstaja pot, potem je graf povezan Primer 6 Primer povezanega in nepovezanega grafa lahko vidimo na sliki 6 - - Definicija 8 (Drevo) Naj bo G = (V, E) povezan graf Graf G, ki ne vsebuje ciklov, je acikličen graf oziroma drevo Primer 7 Graf na sliki 7 je aciklični graf oziroma drevo - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 6 (a) Povezan graf G (b) Nepovezan graf Slika 6: Primer povezanega in nepovezanega grafa Slika 7: Primer drevesa Definicija 9 (Razdalja med dvema točkama) Naj bo G = (V, E) graf in naj bosta u, v V poljubni točki v grafu G Razdalja med u in v je enaka dolžini najkrajše poti med tema dvema točkama v grafu G Razdaljo med u in v označimo z d u,v V grafu je lahko več različnih najkrajših poti med dvema točkama Primer 8 Na sliki 8 lahko vidimo, da za izbrani točki u in v obstajata dve najkrajši poti v v u u (a) (b) Slika 8: Najkrajši razdalji med u in v v grafu G - - V magistrskem delu smo se omejili samo na enostavne in povezane grafe Zato mora biti bralec pozoren pri nadaljnem branju

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 7 Do sedaj smo grafe predstavljali samo v vizualni obliki Graf pa lahko predstavimo tudi v matrični obliki Ena od takih predstavitev je matrika sosednosti, ki nam pove, kateri dve točki sta povezani Definicija 0 (Matrika sosednosti) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bosta točki v i, v j V za i =,, n in j =,, n Potem matriko A velikosti n n imenujemo matrika sosednosti in vsak element matrike [A] ij je definiran kot, če obstaja povezava med v i in v j, [A] ij = 0, sicer Primer 9 Če vzamemo kot primer graf na sliki 9 in točke oštevilčimo od do 5, je matrika sosednosti oblike A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Seveda je položaj ničel in enic odvisen od označevanja točk, vendar število le teh ostaja vedno enako 5 4 3 Slika 9: Graf molekule -metilbutan - - Podobno kot smo spoznali matriko sosednosti, predstavimo še matriko razdalj Definicija (Matrika razdalj) Na bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bosta točki v i, v j V definirani za i =,, n in j =,, n Potem matriko D velikosti n n imenujemo matrika razdalj in vsak element matrike [D] ij zavzema sledečo vrednost d ij, dolžina najkrajše poti med v i in v j, [D] ij =, sicer

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 8 Primer 0 Matrika razdalj D grafa prikazanega na sliki 9 je enaka D = 0 3 0 0 3 0 3 3 0 - - Definicija (Stopnja točke in vektor stopenj) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Stopnja (valenca) točke v V je število povezav e E, katerih krajišče je točka v Stopnjo točke v označimo z deg(v) Vektor stopenj S, je vektor, kjer je vsak element enak [S] i = deg(v i ), za vsako točko v i V, i =,, n Primer V grafu G prikazanem na sliki 0(a) je točka u krajišče dvem povezavam V drugem primeru 0(b) pa je točka v krajišče trem povezavam Vektor stopenj S je v tem primeru v u (a) deg(u) = (b) deg(v) = 3 Slika 0: Stopnja točke deg(u) in deg(v) grafa G

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 9 S = 3 3 - - Omenimo še eno vrsto predstavitve grafa s pomočjo matrike Definicija 3 (Laplaceva matrika) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bosta v i, v j V za i =,, n in j =,, n Elementi Laplaceve matrike L, ki je velika n n, so definirani kot [L] ij = deg(v i ), če je v i = v j,, če je v i sosedna v j in v i v j, 0, sicer Primer Laplaceva matrika grafa prikazanega na sliki 9 je L = 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - Ker imamo opravka s kemijski spojinami, predstavimo pojem molekularni graf Definicija 4 Molekularni graf je graf z ena na ena korespodenco glede na strukturo kemijske spojine in sicer tako, da vsaka točka v grafu predstavlja atom molekule in vsaka povezava med dvema točkama predstavlja eno ali več kemijskih vezi med dvema atomoma Definicija 5 (Topološki indeks) Topološki indeks je funkcija, ki molekularnemu grafu priredi število V magistrskem delu smo se omejili na molekularne grafe, kjer so atomi vodika () odstranjeni Primer pretvorbe molekul v grafe lahko vidimo na sliki in ang hydrogen-depleted molecular graph

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 0 C C C C C C C C C C C (a) Molekula (b) Graf Slika :,,4,6-tetrametilheptan C C C C C C C C C C C C (a) Molekula (b) Graf Slika : Naftalen

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 Poglavje 3 Wienerjev indeks Leta 947 je enry Wiener opazil zelo dobro povezavo med vreliščem alkanov in vsoto vseh razdalj med točkami v molekularnem grafu alkana [3] Na začetku je bil indeks definiran samo za drevesa in se je imenoval path number Definicija 3 (Wienerjev indeks) Naj bo G = (V, E) graf in naj bo množica ( V ) množica vseh neurejenih parov elementov iz množice V Potem je Wienerjev indeks W e grafa G definiran kot W e = u,v ( V ) d u,v Primer 3 Kot primer vzemimo graf na sliki 9 Na sliki 3 lahko vidimo, da ima graf 4 najkrajše poti dolžine (slike 3(a), 3(e), 3(f), 3(h)), 4 najkrajše poti dolžine (slike 3(b), 3(c), 3(g), 3(i)), najkrajši poti dolžine 3 (sliki 3(d), 3(j)) Wienerjev indeks grafa G je W e = d, + d,3 + d,5 + d 3,4 + d,3 + d,5 + d,4 + d 3,5 + d,4 + d 4,5 = + + + + + + + + 3 + 3 = 4 + 8 + 6 = 8 - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 5 5 5 4 4 4 3 3 3 (a) d, = (b) d,3 = (c) d,5 = 5 5 5 4 4 4 3 3 3 (d) d,4 = 3 (e) d,3 = (f) d,5 = 5 5 5 4 4 4 3 3 3 (g) d,4 = (h) d 3,4 = (i) d 3,5 = 5 4 3 (j) d 4,5 = 3 Slika 3: Vse razdalje grafa G na sliki 9

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 3 osoya je razširil definicijo Wienerjevega indeksa in ga definiral kot polovico vsote elementov matrike razdalj D grafa G Torej kot W e = n n [D] ij i= j= Za dokaz zgornje in spodnje meje moramo definirati pojma polni graf in graf poti Definicija 3 (Polni graf) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Grafu G pravimo, da je polni graf K n, če obstaja med vsakim parom točk u, v V povezava e E Definicija 33 (Pot) Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami Grafu G pravimo pot P n, če je v grafu najdaljša razdalja enaka n in za vsak v V velja deg(v) itro se lahko prepričamo, da polni graf K n vsebuje n(n ) povezav in pot P n vsebuje n povezav Primer 3 Primera polnih grafov K 6 in K 8 ter poti P 3 in P 4 vidimo na sliki 3 (a) K 6 (b) K 8 (c) P 3 (d) P 4 Slika 3: Polna grafa in poti - - Trditev 3 Naj bo K n = (V, E) poln graf z n točkami Wienerjev indeks W e polnega grafa K n je W e = n(n ) Dokaz Ker so vse točke med seboj povezane, velja W e = e E d e = e E = n(n ) = n(n )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 4 Trditev 3 Naj bo P n = (V, E) pot z n točkami Wienerjev indeks W e poti P n je W e = (n ) n (n + ) 6 Dokaz Wienerjev indeks poti P n je enak n W e = l= (n ) l+ kjer prva vsota predstavlja seštevek vseh povezav dolžine l in druga vsota predstavlja število vseh povezav k= l, dolžine k Sledi, da je W e = n l= = n l= = n l= (n ) l+ k= l(n l) ln n l l l= = n (n )n (n )n(n ) 6 = n(n ) 3n (n ) 6 = (n )n(n+) 6 Trditev 33 Naj bo G = (V, E) graf in naj bo e E povezava grafa G Naj bo graf G = (V, E \ {e}) povezan graf Označimo z W e Wienerjev indeks grafa G in z W e Wienerjev indeks grafa G Potem velja W e < W e Dokaz Naj ima povezava e za krajišči točki u, v V Za vsako najkrajšo pot med x, y V, ki vsebuje e velja, da je razdalja med x in y v G manjša od razdalje v G Ker je razdalja med u in v v grafu G manjša od razdalje v grafu G, potem velja W e < W e Zanimiva je tudi zgornja in spodnja meja Wienerjevega indeksa, ko poznamo število povezav v grafu Trditev 34 Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in m povezavami Naj bo W e Wienerjev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija n(n ) m W e n3 + 5n 6 6 m

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 5 Dokaz Da bi pokazali spodnjo mejo, moramo raziskati razdaljo med dvema točkama u, v V Če sta u in v sosedni točki, potem je razdalja enaka d uv = V nasprotnem primeru je razdalja d uv Ker imamo m povezav, to pomeni, da imamo natanko m neurejenih parov točk, ki so sosedne, in ( n ) m neurejenih parov točk, ki niso sosedne Sledi, da je m + (( ) ) n m = n(n ) m W e Zgornja meja se dokaže z indukcijo po n in n m ( n ) Za n = neenakost drži, ker je K edini graf in Wienerjev indeks je W e (K ) = 8+0 6 6 = Predpostavimo, da zgornja meja velja za vse povezane grafe z n točkami Naj bo T = (W, P) drevo z n + točkami in naj bo v W list Naj bo T drevo dobljeno iz drevesa T brez točke v Če z d T,v označimo vsoto d u,v, iz tega sledi u W W e (T ) = W e (T ) + d T,v n3 +5n 6 6 (n ) + n i = (n+)3 +5(n+) 6 6 n Predpostavimo, da neenakost drži za vse povezane grafe z n točkami in m n povezavami Vzemimo graf G z n točkami in m + povezavami Ker graf G ni drevo, vsebuje tako povezavo e, kjer je graf G = (V, E \ {e}) povezan graf Po trditvi 33 velja W e (G) < W e (G ) Ker predpostavka velja za G, i= potem velja W e (G) < W e (G ) n3 + 5n 6 6 m Trditev 35 (Zgornja in spodnja meja) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo W e Wienerjev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija n(n ) W e (n )n(n + ) 6 Dokaz Spodnjo mejo dokažemo s pomočjo trditve 33 Če vse točke v grafu povežemo, bo Wienerjev indeks zagotovo najmanjši Sledi, da je spodnja meja W e enaka Wienerjevemu indeksu polnega grafa W e (K n ) Torej W e (K n ) = n(n ) W e

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 6 Zgornjo mejo izpeljemo s pomočjo trditve 34 Ker je v grafu n m povezav, potem velja W e n3 +5n 6 6 m n3 +5n 6 6 (n ) = n3 +5n 6 6 6n 6 6 = n3 n 6 = (n )n(n+) 6 Sledi, da je zgornja meja enaka Wienerjevemu indeksu poti W e (P n ) S tem smo dokazali, da velja W e (K n ) W e W e (P n )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 7 Poglavje 4 Wienerjeva matrika in hiper-wienerjev indeks Definicija 4 (Vrednost N i,e ) Naj bo graf G = (V, E) drevo Naj bo e E povezava in naj bosta i, j V krajišči povezave e Če iz grafa G odstranimo povezavo e, potem z N i,e označimo moč množice točk, ki so povezane z točko i, in z N j,e moč množice točk, ki so povezane s točko j Točki sta povezani, ko med njima obstaja sprehod (slika 4) N i,e N j,e i e j Slika 4: Vrednosti N i,e in N j,e Ena od možnosti izračuna indeksa je s pomočjo števila poti, ki potekajo skozi določeno povezavo Trditev 4 (Wienerjev indeks) Naj bo graf G = (V, E) drevo in naj bo e E povezava, katere krajišči sta i, j V Potem je Wienerjev indeks enak W e = e E ( Ni,e N j,e )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 8 6 4 3 5 7 Slika 4: Graf molekule,3-metilpentan Dokaz Ker je G drevo, potem med poljubnima dvema točkama iz V obstaja enolično določena pot Tako lahko za vsako povezavo e izračunamo število poti, ki potekajo skozi povezavo in sicer kot N i,e N j,e Torej vsota število poti, ki potekajo skozi določeno povezavo, mora biti Wienerjev indeks W e Definicija 4 (Wienerjeva matrika) Naj bo graf G = (V, E) drevo z n točkami Potem so elementi Wienerjeve matrike M We velikosti n n enaki N i,e N j,e, če sta točki i in j sosedni in i j, [M We ] ij = 0, sicer Tako lahko Wienerjev indeks W e izračunamo tudi s pomočjo Wienerjeve matrike M We in sicer kot W e = n n [M We ] ij (4) i= j= Primer 4 Izračunajmo Wienerjev indeks za graf prikazan na sliki 4 Najprej izračunajmo Wienerjevo matriko M We M We = 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 9 in nato Wienerjev indeks po formuli 4 W e = 7 7 [M We ] ij = 46 (4) i= j= Da bi pokazali zgornjo in spodnjo mejo Wienerjevega indeksa za drevesa, potrebujemo sledečo definicijo - - Definicija 43 (Zvezda) Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami Grafu G rečemo zvezda S n, če je v grafu najdaljša razdalja med točkama enaka Primer 4 Primera zvezd S 7 in S 9 vidimo na sliki 43 (a) S 7 (b) S 9 Slika 43: Zvezdi S 7 in S 9 - - Trditev 4 Naj bo S n = (V, E) zvezda z n točkami Wienerjev indeks W e zvezde S n je W e = (n ) Dokaz Wienerjev indeks zvezde S n je W e = ( ) Ni,e N i,e e E = ( (n )) e E = (n ) ( (n )) = (n )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 0 Trditev 43 (Zgornja in spodnja meja) Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami in naj bo W e Wienerjev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija (n ) W e (n )n(n + ) 6 Dokaz Dokaz za zgornjo mejo smo že dokazali v trditvi 35 Ostane nam, da dokažemo še trditev za spodnjo mejo Ker je v grafu n = m povezav, potem po trditvi 34 velja W e n(n ) m = n(n ) (n ) = (n ) = W e (S n ) S tem smo dokazali, da velja W e (S n ) W e W e (P n ) Definicija 44 (Vrednost N i,p ) Naj bo graf G = (V, E) drevo in naj bo p pot v grafu G, ki ima za krajišči točki i, j V Odstranimo pot p iz grafa G tako, da odstranimo vse točke poti p razen krajišč ter povezave, ki so povezane z odstranjenimi točkami Potem z N i,p označimo množico točk, ki so povezane s točko i, in z N j,p množico točk, ki so povezane s točko j Množici sta bolj nazorno prikazani na sliki 44 N i,p N j,p i p j Slika 44: Množici N i,p in N j,p Definicija 45 (iper-wienerjev indeks) Naj bo graf G = (V, E) drevo z n točkami Naj bo p najkrajša pot v drevesu G in naj bosta i, j V krajišči poti p Potem je hiper-wienerjev indeks enak W p = p G ( Ni,p N j,p ) Definicija 46 (iper-wienerjeva matrika) Naj bo graf G = (V, E) drevo z n točkami Potem so elementi

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 hiper-wienerjeve matrike M Wp velikosti n n enaka [ MWp ] ij = N i,p N j,p, če sta točki i in j krajišči poti p in i j, 0, sicer Tako lahko hiper-wienerjev indeks W p izračunamo tudi s pomočjo hiper-wienerjeve matrike M Wp in sicer kot W p = n n [ ] MWp i= j= ij (43) Primer 43 Kot primer vzemimo graf na sliki 45 iper-wienerjeva matrika M Wp za graf je 6 4 3 5 Slika 45: Graf molekule -metilpentan M Wp = 0 5 3 5 0 9 6 3 5 3 9 0 8 4 3 6 8 0 5 3 4 5 0 5 3 0 in hiper-wienerjev indeks je enak W p = 6 6 [ ] MWp = 58 ij i= j= Randić, Klein, Lukovits in Gutman so v članku [8, 7] pokazali, da obstaja relacija med W e in W p - - Trditev 44 Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami in naj bodo W p hiper-wienerjev indeks, W e Wienerjev

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 indeks in D matrika razdalj grafa G Potem velja kjer je D + = n i= j=i n [D] ij Dokaz Zmnožek v formuli (43) W p = D+ + W e, N i,p N j,p = t p predstavlja število poti p, ki vsebujejo pot p (tj p p ) Za vsak p dolžine k obstaja k = m + notranjih poti p dolžine m Skupaj je k + (k ) + + = k(k+) = t p notranjih poti dolžine krajše ali enake k Ker je poljubna pot v drevesu enolično določena s krajiščema i in j, lahko pot p predstavimo kot p ij oziroma ij Tako lahko formulo (43) zapišemo kot W p = i<j t ij (44) Podobno velja tudi t p = t ij, kjer je t ij = d ij(d ij + ) (45) itro lahko vidimo, da velja t ij = ij ij t ij, (46) ker se vsaka zunanja pot p dolžine d ij pojavi d ij (d ij +) krat Zato sta vsoti vseh notranjih in zunanjih poti enaki Iz enačb (44), (45) in (46) sledi, da je W p = n n i= j=i+ d ij (d ij + ) = n n i= j=i+ ( d ij + d ij ) = n i= j=i+ n dij + n n d ij (47) i= j=i+ Prvi člen vsote predstavlja nenormalizirani sekundarni moment razdalje D + in drugi člen predstavlja Wienerjev indeks W e O D + si bralec lahko prebere več v članku [8] Tako lahko formulo zapišemo kot W p = D+ + W e Za dokaz trdive o zgornji in spodnji meji potrebujemo naslednji trditvi

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 3 Trditev 45 Naj bo S n = (V, E) zvezda z n točkami iper-wienerjev indeks W p grafa S n je W p = (n )(3n 4) Dokaz Prvi člen v enačbi predstavlja vse poti od centra zvezde do preostalih točk Drugi člen pa predstavlja vse poti dolžine med poljubnima dvema točkama iz V W p = n i= = n i= ( (n )) + n n i= j=i+ (n ) + n (n i) i= ( ) = (n ) + (n )(n ) (n )(n ) = (n ) (n )+(n ) = (n )(3n 4) Trditev 46 Naj bo P n = (V, E) pot z n točkami iper-wienerjev indeks W p grafa P n je W p = (n ) n (n + ) (n + ) 4 Dokaz Dokaz je direkten, tj W p = n n i i (n i (l )) i= l= = n i 3 i n i +in +in i= = (n )n(n+)(n+) 4 Trditev 47 (Zgornja in spodnja meja) Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami in naj bo W p hiper-wienerjev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija (n )(3n 4) W p (n ) n ((n + ) (n + ) 4 Dokaz Najprej dokažimo spodnjo mejo Naj bo m število povezav v grafu in naj bo hiper-wienerjev indeks definiran tako kot je v trditvi 44 V grafu G je natanko m parov točk med katerimi je razdalja

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 4 Vsi preostali n(n ) m pari pa imajo razdaljo večjo od Sledi, da velja ( ) ( ) n(n ) n(n ) W e m + m in D + m + m Če vstavimo podatke v originalno formulo in pri tem upoštevamo m = n, dobimo W p = D+ +W e = (m +( n(n ) m) )+(m +( n(n ) m) ) n(n ) m +( m) 3 = m + 3 = 3n(n ) m ( n(n ) m = 3n(n ) (n ) = (n ) 3n 4 ) = (n )(3n 4) = W p (S n ) Sedaj pa dokažimo zgornjo mejo Naj bo F graf z vsaj dvema točkama in r točka grafa F Naj bosta a in b celi števili za kateri velja 0 a b V dokazu uporabimo razdalje med točkami v različnih grafih Vpeljemo oznako R d i,j, ki predstavlja razdaljo med točko i in točko j v grafu R Oznako R nadomestimo s primerno oznako grafa Ustvarimo graf tako, da točko r povežemo s krajiščem poti P a+ in P b Označimo drugo krajišče poti P a+ z x, tako kot je prikazano na sliki 46(a) Ustvarimo graf tako, da točko r povežemo s krajiščem poti P a in P b+ Tokrat označimo drugo krajišče poti P b+ z x, tako kot je prikazano na sliki 46(b) Vse poti v razliki Sz e ( ) Sz e (), razen tistih, ki vsebujejo točko x, se izključujejo Poti med točko x in preostalimi točkami v drugi veji so enake in se izključujejo Edino kar ostane so poti z enim krajiščem x in z drugim krajiščem y v grafu F brez točke r Razliko lahko zapišemo kot W p ( ) W p () = ( dx,y + ) d x,y ( dx,y + ) d x,y kjer gre vsota čez vse točke v grafu F r Za te točke velja d x,y = G d r,y + b + d x,y = G d r,y + a + Če podatke vstavimo v razliko, dobimo W p ( ) W p () = (b a) y ( Gd r,y + a + b + 3 )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 5 Ker je vsak člen v vsoti pozitiven, je vsota tudi pozitivna in ker je b > a, je tudi razlika b a pozitivna Iz tega sledi, da je W p ( ) > W p () To pomeni, če premaknemo točko s krajše veje na daljšo vejo, se bo hiper-wienerjev indeks povečal Z večkratnim premikanjem točk iz ene na drugo vejo, dobimo na koncu pot P n, ki predstavlja zgornjo mejo za hiper-wienerjev indeks S tem smo dokazali, da je hiper-wienerjev indeks med W p (S n ) W p W p (P n ) x x a b a b r r F F (a) Graf (b) Graf b a F (c) Slika 46: Zgornja meja hiper-wienerjevega indeksa

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 6 Poglavje 5 Kvazi-Wienerjev in Kirchhoffov indeks Definicija 5 (Kvazi-Wienerjev indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo L Laplaceova matrika grafa G in λ < λ λ n lastne vrednosti matrike L Kvazi-Wienerjev indeks q W je enak Ne smemo pozabiti, da je λ vedno enak 0 q W = n n i= λ i (5) Mohar, Babić in Trinajstić so v članku [] pokazali sledečo relacijo za drevesa Trditev 5 Naj bo G = (V, E) drevo z n točkami Naj bo q W kvazi-wienerjev indeks in W e Wienerjev indeks za drevo G Potem velja q W = W e Dokaz Označimo z L Laplaceovo matriko grafa G in naj bo p L (x) = x n + c n x n + + c x + c 0 karakteristični polinom matrike L (glej knjigo [3]) Sledi, da so ničle polinoma p L (x) enake λ < λ λ n, kjer je λ = 0 Po Vietovi formuli obstaja relacija med ničlami in koeficienti poljubnega polinoma in sicer kot s i = ( ) i c n i c n za i =,, n, kjer s i predstavlja vsoto vseh zmnožkov (n i)-teric sestavljenih iz ničel polinoma

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 7 Najprej razvijemo vsoto v kvazi-wienerjevemu indeksu n i= λ i = λ λ 3 λ n + λ λ 4 λ n + + λ λ 3 λ n λ λ 3 λ n S pomočjo Vietove formule lahko zgornjo vsoto zapišemo kot n i= λ i = c c Prav tako obstaja relacija med koeficienti in strukturo podgrafov (glej knjigo [3]) c i = ( ) n i F i γ (F i ), kjer F i predstavlja število vpetih dreves grafa G s k komponentami T i, pri čemer vsaka komponenta vsebuje n i točk in γ (F i ) = n n n i Iz tega sledi, da je c = ( ) n n in c = ( ) n e E N i,e N j,e, kjer sta i, j V krajišči povezave e Vrednosti c in c vstavimo nazaj v formulo in dobimo n λ i = c c i= n ( ) n N i,e N j,e e E λ i = ( ) n n i= n n λ i = N i,e N j,e i= e E q W = W e Primer 5 Laplaceova matrika L za graf prikazan na sliki 5 je enaka L = 3 0 0 0 0 0 0

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 8 Lastne vrednosti matrike L so λ = 0, λ =, λ 3 = ter λ 4 = 4 Po formuli 5 je kvazi-wienerjev indeks enak q W = n n i= λ i ( ) = 4 λ + λ 3 + λ 4 = 4 ( + + ) 4 = 4 4+4+ 4 = 9 - - Klein in Randić [0] sta raziskovala upor na razdalji med točkami v grafu, nekako tako, kot bi iskali upor med točkami v električnem omrežju Vsota vseh uporov na razdalji med točkami je topološki indeks, ki so ga s časom poimenovali Kirchhoffov indeks Da bi definirali Kirchhoffov indeks moramo najprej definirati Moore-Penrosov psevdoinverz [, 3, 4] Definicija 5 (Moore-Penrosov psevdoinverz) Naj bo M matrika velikosti n m Potem je matrika M + Moore-Penrosov psevdoinverz matrike M, velikosti m n, če zadošča naslednjim pogojem: MM + M = M, M + MM + = M +, (MM + ) T = MM +, (M + M) T = M + M Matrika M + je enolično določena [] Definicija 53 (Kirchhoffov indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo L Laplaceova matrika grafa G in naj bo L + Moore-Penrosov psevdoinverz matrike L Kirchhoffov indeks je definiran kot Kf = n tr(l + ) (5) 3 4 Slika 5: Graf molekule isobutan

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 9 Primer 5 Kot primer vzemimo graf na sliki 5 V tem primeru smo pokazali, da je Laplaceova matrika za graf enaka L = 3 0 0 0 0 0 0 Moore-Penrosov psevdoinverz Laplaceve matrike L je L + = 3 6 6 6 6 6 6 5 6 6 5 6 5 6 6 5 6 5 6 6 5 6 6 Po formuli 5 je Kirchhoffov indeks enak Kf = n tr(l + ) = 4 ( 3 6 + 3 ) 6 = 4 36 6 = 9 - - Trditev 5 Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo q W kvazi-wienerjev indeks in naj bo Kf Kirchhoffov indeks grafa G Potem velja sledeča relacija q W = Kf Dokaz Naj bo L Laplaceova matrika grafa G Naj bodo λ < λ λ n lastne vrednosti in e, x,, x n pripadajoči lastni vektorji matrike L Spomnimo se, da je λ = 0 in e je njegov lastni vektor Naj bo L + psevdoinverz matrike L Ker je L simetrična kvadratna matrika, potem je LL + ortogonalni projektor za vektorski prostor {x,, x n }, saj je (LL + ) e = (L + L) e = 0 in (LL + ) x i = (L + L) x i = x i za i =,, n itro se lahko prepričamo, da je LL + = I ee T,

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 30 kjer je I identična matirka velikosti n n Velja ( I ee T ) e = Ie ( ee T ) e = e e ( e T e ) = e e = 0 in ( I ee T ) y = Iy ( ee T ) y = e e ( e T y ) = y e0 = y Naj bo U = [x x 3 x n e] unitarna matrika, ki diagonalizira L Potem velja UU T = U T U = I in lahko zapišemo U T LU = Λ Matriko L lahko zapišemo kot L = UΛU T, ker je UΛU T = U ( U T LU ) U T = ( U T U ) L ( UU T ) = ILI = L Naj bo Moore-Penrosov psevdoinverz matrike L enak L + = UΛ + U T, kjer je Λ + = λ n 0 0 0 λ n 0 λ 0 0 0 0 Najprej preverimo, da velja L + = UΛ + U T Tako za LL + velja LL + = ( UΛU T ) ( UΛ + U T ) = UΛ ( U T U ) Λ + U T = UΛIΛ + U T = UJU T,

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 3 kjer je J = 0 0 0 0 0 0 0 0 Ostane nam samo, da pokažemo, da je UJU T ortogonalni projektor prostora {x,, x n } oziroma, da velja UJU T = I e T e Torej moramo pokazati, da je ( UJU T ) e = 0 in ( UJU T ) x i = x i za i =,, n Ker je e ortogonalen na ostale lastne vektorje matrike L, je potem e T U = e T [x x n e] = [ e T x e T x n e T e ] = [0 0 ] Kar pomeni, da je J ( e T U ) T = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 = 0 in je ( UJU T ) e = U ( J ( e T U ) T ) = U0 = 0 Sedaj pa še pokažimo, da je ( UJU ) T x i = x i za i =,, n Vsak x lahko zapišemo v obliki x = n kjer so α,, α n skalarji Ker so lastni vektorji matrike L ortogonalni, potem velja i= α i y i, x T y i = α i in x T e = 0 Ker je x T U = x T [x x 3 x n e] = [α α n 0],

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 3 lahko zapišemo ( UJU T ) x = U (J ( x T U ) T ) = U 0 0 0 0 0 0 0 α α n 0 = U α α n 0 = [x x 3 x n e] α α n 0 = n i= α i y i = x Ker so λ,, λ n lastne vrednosti L +, potem velja tr L + = n i= n tr L + = n n λ i, i= Kf = q W λ i,

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 33 Poglavje 6 araryjev indeks V člankih [4, 6] so avtorji predstavili araryjev indeks, ki je zgrajen na podlagi recipročne matrike najkrajših razdalj Definicija 6 (Recipročna matrika najkrajših razdalj) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo D matrika najkrajših razdalj grafa G Potem je recipročna matrika najkrajših razdalj D enaka [ D ] ij = 0, [D] ij = 0 [D] ij, [D] ij 0 za i =,, n in j =,, n Primer 6 Matrika najkrajših razdalj D grafa prikazanega na sliki 6, je enaka 3 4 5 Slika 6: Graf molekule -metilbutan

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 34 D = 0 3 0 3 0 0 3 3 0 in njena recipročna matrika najkrajših razdalj D je D = 0 0 3 3 0 3 0 3 0 - - Definicija 6 (araryjev indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo D matrika najkrajših razdalj grafa G in D recipročna matrika najkrajših razdalj matrike D araryjev indeks je enak = n n [ D ] ij (6) i= j= Primer 6 Matrika najkrajših razdalj za graf prikazanega na sliki 6 je 7 5 8 4 6 3 Slika 6: Graf molekule 4-etil-,-dimetilciklobutan

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 35 D = 0 3 0 3 4 0 3 3 0 3 0 3 4 3 0 3 4 3 3 3 0 3 4 4 4 0 Recipročna matrika matrike najkrajših razdalj D je D = 0 6 6 4 0 6 6 6 4 3 6 0 4 4 6 6 6 0 6 6 6 6 4 6 0 6 4 3 6 4 6 6 0 4 3 6 4 6 4 4 0 4 3 6 6 3 3 0 Po formuli 6 je araryjev indeks enak = n i=0 n [ D ] ij = 65 390 = 4 j=0 - - Za določitev spodnje in zgornje meje potrebujemo sledeče trditve Trditev 6 Naj bo P n = (V, E) pot z n točkami araryjev indeks grafa P n je = n i= n i i

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 36 Dokaz Če z D označimo recipročno matriko najkrajših razdalj, potem je ta enaka D = 0 n 0 0 n 0 in araryjev indeks za pot P n je enak = n i=0 n j=0 [ D ] n ij = i= n i i Trditev 6 Naj bo K n = (V, E) poln graf z n točkami araryjev indeks grafa K n je = n(n ) Dokaz Ker sta poljubni točki iz V na razdalji, sta matrika najkrajših razdalj D in recipročna matrika najkrajših razdalj D enaki D = D = 0 0 0 0 araryev indeks polnega grafa je (K n ) = n i=0 n [ D ] ij = (n n) = j=0 n(n ) Trditev 63 Naj bo G = (V, E) graf in naj bo e E povezava Naj bo graf G = (V, E \ {e}) povezan graf Označimo s araryjev indeks grafa G in s araryjev indeks grafa G Potem velja <

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 37 Dokaz Naj ima povezava e za krajišči točki u, v V Za vsako najkrajšo pot med x, y V, ki vsebuje e velja, da je razdalja med x in y v grafu G manjša od razdalje v G Ker je razdalja med u in v v grafu G manjša od razdalje v G, potem velja < Posledica te trditve je, da je araryjev indeks poljubnega grafa z n točkami večji ali enak od araryjevega indeksa poljubnega drevesa z n točkami Trditev 64 (Spodnja in zgornja meja) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo araryjev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija n i= n i i n(n ) Dokaz Najprej dokažimo zgornjo mejo Element recipročne matrike najkrajših razdalj je [D ] ij = d ij, kjer je d ij razdalja med točko i in točko j, in velja d ij je n n i= j=,i j = Največjo vrednost, ki jo araryjev indeks doseže, n(n ) = (K n ) Graf z n točkami, pri katerem araryjev indeks doseže najmanjšo vrednost, je pot P n To trditev bomo dokazali s pomočjo indukcije Naj bo F graf, ki ga dobimo s pomočjo poti P n tako, da pripnemo novo točko x na eno od točk, ki ni krajišče poti P n Z a označimo število točk od x do enega od krajišč in z b število točk od x do drugega krajišča poti P n ter naj velja a b > 0 Naj bo F graf, ki ga dobimo s pomočjo poti P n tako, da pripnemo novo točko x na eno od krajišč Grafa F in F sta prikazana na sliki 63 Naj bo (P n ) araryjev indeks grafa P n Po predpostavki velja (P n ) + a j + b j= k= a j + b j= k= a j a j + b j= j= k= b > k= k > (P n ) + n k > n i= k > n i i a i= j= k > n i=a i i= j i Število členov na levi in desni strani je enako Vsi členi na levi strani so večji od členov na desni strani Kar pomeni, da je araryjev indeks za pot P n najmanjši med vsemi grafi z n točkami S tem smo dokazali, da velja (P n ) (K n )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 38 a x b x n n (a) Število točk v podgrafu grafa F (b) Število točk v podgrafu grafa F Slika 63: araryjev indeks poti P n predstavlja spodnjo mejo V primeru, da želimo le približno oceno za spodnjo mejo, si lahko pomagamo s spodnjo mejo za harmonično vrsto ln (n + ) < n i= i < ln n + V tem primeru je spodnja meja araryjevega indeksa enaka n i= n i i n = n (n ) > n ln(n + ) (n ) = n ln n n + i i= Primer 63 araryjev indeks grafa G z 8 točkami je med 3, 749 < < 8 Das, Zhou, Trinajstić in Cai [3, 4] so obravnavali različne meje araryjevega indeksa Med njimi je tudi zgornja in spodnja meja araryjevega indeksa za graf z n točkami in m povezavami, ki je enaka - - n i= n i i + m n + n(n ) 4 + m

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 39 Poglavje 7 Szegedov indeks Leta 995 je bil prvič objavljen članek o Szegedovem indeksu [5] Szegedov in hiper-szegedov index predstavljata razširitev Wienerjevega in hiper-wienerjevega indeksa na grafe, ki vsebujejo tudi cikle Definicija 7 (Vrednost N i,e ) Naj bo G = (V, E) graf in naj bo e E povezava, ki ima za krajišči točki i, j V Če odstranimo povezavo e iz grafa G, potem z N i,e označimo moč množice točk, ki so bližje točki i kot točki j in z N j,e označimo moč množice točk, ki so bližje točki j kot točki i Točk, ki so enako oddaljene od točke i in točke j ne upoštevamo Primer 7 Kot primer vzemimo graf na sliki 7, kjer izberemo poljubno povezavo e Tako je moč množice točk, ki so bližje točki i enaka N i,e = 4, in moč množice točk, ki so bližje točki j je enaka N j,e = 3 Pri tem nismo upoštevali ene točke, ki je enako oddaljena od krajišč povezave e in smo jo označili s sivo barvo N j,e N i,e i e j Slika 7: N i,e = 4 in N j,e = 3 - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 40 Definicija 7 (Szegedov indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo e E in naj bosta i, j V krajišči povezave e Potem je Szegedov indeks enak Sz e = e E ( Ni,e N j,e ) Trditev 7 Naj bo G = (V, E) drevo in naj bo Sz e Szegedov indeks in W e Wienerjev indeks grafa G Potem velja Sz e = W e Dokaz Ker je G drevo, med poljubnima točkama obstaja samo ena enolično določena pot V tem primeru je vrednost N i,e po definiciji 7 enaka vrednosti N i,e po definiciji 4 Definicija 73 (Szegedova matrika) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo e E povezava in naj bosta i, j V krajišči povezave e Potem so elementi Szegedove matrike M Sze velikosti n n enaki N i,e N j,e, če sta točki i in j sosedni in i j, [M Sze ] ij = 0, sicer Tako lahko Szegedov indeks Sz e izračunamo tudi s pomočjo Szegedove matrike M Sze in sicer kot Sz e = n n [M Sze ] ij, (7) i= j= kjer je n število točk v grafu Primer 7 Vzemimo kot primer graf na sliki 7 Matrika M Sze je v tem primeru enaka M Sze = 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 5 0

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 4 in Szegedov indeks je enak Sz e = 8 8 [M Sze ] ij = 8 = 09 i= j= - - C C C 3 C C 4 8 C C 5 7 C 6 (a) Molekula (b) Graf Slika 7: Molekula etilbenzena in njen graf Za dokaz spodnje in zgornje meje potrebujemo sledeče definicije Definicija 74 (Poln bipartiten graf) Naj bo G = (V +V, E) graf z n točkami za katerega velja V V = Naj bo a moč množice V in naj bo b moč množice V Graf G je poln bipartiten graf K a,b, če je vsaka točka iz V povezana z vsako točko iz V in pri tem nobena točka ni povezana s katero drugo točko iz iste množice Primer 73 Primer dveh polnih bipartitnih grafov lahko vidimo na sliki 73 (a) Zvezda S 8 je graf K,7 (b) Graf K 5,3 Slika 73: Polna bipartitna grafa

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 4 - - Trditev 7 Naj bo K a,b poln bipartiten graf z a + b = n točkami Szegedov indeks Sz e grafa K a,b je Sz e = a b Dokaz Za vsako povezavo e E s krajiščema i in j je zmnožek N i,e N j,e = a b Ker je v grafu m = a b povezav, je Szegedov indeks enak Sz e = e E a b = m (a b) = (a b) (a b) = (ab) Trditev 73 Naj bo K n = (V, E) poln graf z n točkami in naj bo Sz e Szegedov indeks grafa K Szegedov indeks polnega grafa je Sz e = n(n ) Dokaz Ker so od poljubnih sosednih točk i in j (povezanih s povezavo e) vse preostale točke enako oddaljene, je zmnožek vedno enak N i,e N j,e = Sledi, da je Szegedova matrika polnega grafa K n enaka M Sze (K n ) = 0 0 0 0 in Szegedov indeks za poln graf K n je enak Sz e (K n ) = n n [M Sze ] ij = ( n n ) i= j= Klavžar [7] je ugotovil, da je Wienerjev indeks W e grafa G manjši ali enak od Szegedovega indeksa Sz e istega grafa (torej W e Sz e )

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 43 Trditev 74 (Spodnja in zgornja meja) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo Sz e Szegedov indeks grafa G Potem velja sledeča relacija n(n ) Sz e p 4 6, n je sod, (p ) 6, n je lih Dokaz Najprej dokažimo spodnjo mejo Naj bo W e Wienerjev indeks grafa G Ker velja Sz e W e in W e n(n ), potem je Sz e W e n(n ) = Sz e (K n ) Dokaz za zgornjo mejo je preobsežen in si ga bralec lahko prebere v članku [] Torej velja Sz e (K n ) Sz e Sz e (K n n+ ) Poleg Szegedovega indeksa obstaja tudi hiper-szegedov indeks Definicija 75 (Vrednost N i,p ) Naj bo G = (V, E) graf in naj bo p najkrajša pot v grafu G, ki ima za krajišči točki i, j V Odstranimo pot p iz grafa G tako, da odstranimo vse točke poti p razen krajišč ter povezave, ki so povezane z odstranjenimi točkami Potem z N i,p označimo moč množice točk, ki so bližje točki i kot točki j, in z N j,p označimo moč množice točk, ki so bližje točki j kot točki i Točk, ki so enako oddaljene od točke i in točke j ne upoštevamo Primer 74 Kot primer vzemimo graf na sliki 74, kjer izberemo poljubno pot p Tako je moč množice točk, ki so bližje točki i enaka N i,p = 3, in moč množice točk, ki so bližje točki j enaka N j,p = 3 V tem primeru ni nobenih točk, ki bi bile enako oddaljene od krajišč poti p N j,p N i,p i j Slika 74: N i,p = 4 in N j,p = 3 - - Definicija 76 (iper-szegedov indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo p najkrajša pot v

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 44 grafu G in i, j V krajišči poti p Potem je hiper-szegedov indeks enak Sz p = p G ( Ni,p N j,p ) Definicija 77 (iper-szegedova matrika) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo p najkrajša pot in i, j V krajišči poti p Potem so elementi hiper-szegedove matrike M Szp velikosti n n enaki [ MSzp ] ij = N i,p N j,p, če obstaja pot med točko i in točko j ter i j, 0, sicer za i =,, n in j =,, n Tako lahko hiper-szegedov indeks Sz p izračunamo tudi s pomočjo hiper-szegedove matrike M Szp in sicer kot kjer je n število točk v grafu Sz p = n n [ ] MSzp i= j= ij, (7) Primer 75 Vzemimo kot primer še enkrat graf na sliki 7 iper-szegedova matrika je M Szp = 0 7 6 8 5 8 7 0 6 6 9 6 6 6 0 5 8 5 8 5 6 5 0 5 8 5 4 8 6 8 5 0 5 4 5 5 9 5 8 5 0 5 8 8 6 8 5 4 5 0 5 6 5 4 5 8 5 0 Sledi, da je hiper-szegedov indeks enak Sz p = 8 8 [M Szp ] ij = 66 = 308 i= j= - - Tako kot obstaja relacija med Sz e in W e obstaja tudi relacija med Sz p in W p Trditev 75 Naj bo graf G = (V, E) drevo Naj bo Sz p hiper-szegedov indeks grafa G in W p hiper-

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 45 Wienerjev indeks grafa G Potem velja Sz p = W p Dokaz Ker drevo ne vsebuje nobenih ciklov obstaja samo ena pot med i in j Iz tega sledi, da sta vrednosti N i,p in N j,p po definiciji 75 in 44 enaki Posledično sta Wienerjeva in Szegedova matrika enaki, prav tako pa tudi indeksa Obstaja tudi relacija med M Sze in M Szp Trditev 76 Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo A matrika sosednosti grafa G Naj bosta M Sze Szegedova matrika in M Szp hiper-szegedova matrika grafa G Potem velja sledeča relacija [M Sze ] ij = [A] ij [M Szp ] ij za i =,, n in j =,, n Dokaz Naj bosta i, j V Če je [A] ij = 0, potem točka i ni sosedna točki j in ustreza definiciji Szegedove matrike Če je vrednost [A] ij =, potem je razdalja d ij = in takrat je vrednost N i,p = N i,e in N j,p = N j,e

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 46 Poglavje 8 Clujev indeks M Diudea je v člankih [7, 8] predstavil Clujev indeks Definicija 8 (Nesimetrična Clujeva matrika) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo p ij najkrajša pot med točko i in j v grafu G Z G označimo graf, ki ga dobimo tako, da iz grafa G odstranimo vse točke poti p ij razen krajišč i in j Naj bo N i,pij število točk, ki so bližje točki i kot točki j v grafu G Potem so elementi Clujeve matrike M UCJ enaki [M UCJ ] ij = max N i,pij za i =,, n in j =,, n Ne smemo pozabiti, da je med točko i in j lahko več različnih najkrajših poti Primer 8 Vzemimo še enkrat kot primer graf molekule etilbenzena na sliki 8 V tem primeru je 3 4 8 5 7 6 Slika 8: Graf etilbenzena

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 47 nesimetrična Clujeva matrika enaka M UCJ = 0 7 0 6 6 0 5 4 4 4 5 4 4 3 0 5 4 4 3 3 3 0 5 3 3 0 3 3 3 5 0 3 4 3 3 4 4 5 0 - - Definicija 8 (Simetrična Clujeva matrika za povezave) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo M UCJ nesimetrična Clujeva matrika grafa G Naj bo A matrika sosednosti grafa G Potem so elementi simetrične Clujeve matrike M SCJe definirani kot [M SCJe ] ij = [A] ij [M UCJ ] ij [M UCJ ] ji za i =,, n in j =,, n V simetrični Clujevi matriki za povezave so tako neničelni elementi samo tisti elementi, kjer obstaja povezava med tistima dvema točkama, ki ju element predstavlja Primer 8 V primeru 8 smo pokazali nesimetrično Clujevo matriko grafa prikazanega na sliki 8 Iz tega sledi, da je simetrična Clujeva matrika za povezave enaka M SCJe = 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 5 0 - -

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 48 Definicija 83 (Clujev indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo M SCJe simetrična Clujeva matrika za povezave grafa G Potem je Clujev indeks definiran kot CJ e = n n [M SCJe ] ij i= j= Primer 83 Če nadaljujemo primer 8, je Clujev indeks za graf G enak CJ e = 8 i= 8 j= [M SCJe ] ij = 8 = 09 - - Trditev 8 Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bosta CJ e Clujev indeks in Sz e Szegedov indeks grafa G Potem velja CJ e = Sz e Dokaz Torej moramo dokazati, da je M SCJe = M Sze Če točki i, j V nista sosedni, potem sta elementa [M SCJe ] ij in [M Sze ] ij enaka 0 V primeru, da sta i in j sosedna, potem obstaja natanko ena najkrajša pot med i in j dolžine Sledi, da je [M SCJe ] ij = [M Sze ] ij max N i,pij max N j,pij = N i,e N j,e N i,e N j,e = N i,e N j,e Sledi, da so elementi v obeh matrikah enaki in zaradi tega velja CJ e = Sz e Trditev 8 (Spodnja in zgornja meja) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo CJ e Clujev indeks grafa G Potem velja sledeča relacija n(n ) CJ e p 4 6, n je sod, (p ) 6, n je lih Dokaz Dokaz sledi direktno iz trditve 8 in trditve 74 Definicija 84 (Simetrična Clujeva matrika za poti) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami in naj bo M UCJ nesimetrična Clujeva matrika grafa G Potem so elementi simetrične Clujeve matrike za poti M SCJp definirani kot [ MSCJp ] ij = [M UCJ] ij [M UCJ ] ji

Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 0 49 za i =,, n in j =,, n Primer 84 V primeru 8 smo izračunali nesimetrično Clujevo matriko za graf na sliki 8 Sledi, da je simetrična Clujeva matrika za poti enaka M SCJp = 0 7 6 4 3 3 3 4 7 0 8 6 4 6 6 6 0 5 8 8 8 5 4 8 5 0 5 8 8 4 3 6 8 5 0 5 4 8 3 4 8 8 5 0 5 8 3 6 8 8 4 5 0 5 4 6 5 4 8 8 5 0 - - Definicija 85 (iper-clujev indeks) Naj bo G = (V, E) graf z n točkami Naj bo M SCJe simetrična Clujeva matrika za poti grafa G Potem je hiper-clujev indeks enak CJ p = n n [ ] MSCJp i= j= ij Primer 85 Če nadaljujemo primer 84, je hiper-clujev indeks za graf G enak CJ p = n i= n j= [ MSCJp ]ij = 45 = 6 - - Trditev 83 Naj bo T = (V, E) drevo Naj bodo CJ e Clujev indeks, Sz e Szegedov indeks, W e Wienerjev indeks grafa T in naj bosta CJ e hiper-clujev indeks, W e hiper-wienerjev indeks grafa T Potem veljata sledeči relaciji CJ e = Sz e = W e in CJ p = W p Dokaz Relacije CJ e = Sz e = W e izhajajo iz trditve 8 in trditve 7 Relacija CJ p = W p izhaja iz dejstva, da med poljubnima točkama iz V obstaja natanko ena pot Zato sta matriki M SCJp in M Wp enaki in posledično tudi CJ p in W p