Osnovni poji pri obravnavi periodičnih signalov Equation Section 6 Vsebina: Opis periodičnih signalov s periodo, frekvenco in krožno frekvenco. Razlaga pojov aplituda, faza, haronični signal. Določanje srednje, efektivne in userjene vrednosti periodičnih signalov. Poji faktor oblike, teenski faktor. ) Perioda signala. Času, v katere se začne funkcija ponavljati pravio perioda in jo označio z veliko črko. Za tako funkcijo velja f ( t) = f ( t + ). SLKA: Prier periodičnega signala s periodo. ) Frekvenca periodičnega signala je f =, njena enota je s -, pogosteje uporabio ekvivalentno enoto Hz (po Heinrichu Hertzu, ki je s svojii eksperienti prvi dokazal pravilnost Maxwellovih enačb). Pogosto uporabio za opis signala tudi krožna frekvenco (kotna frekvenca, v prieru vrtenja zanke kotna hitrost) ω, ki je enaka ω = f =. 3. Haronični, sinusni signal lahko zapišeo v obliki i( t) = sin( ωt ϕ), kjer je aplituda, ω krožna frekvenca in φ fazni kot. Prier: Prikažio na grafu signal i t =. Perioda signala je - ( ) / A sin(s t π/6) = = π s 3,4 s. ω /8
Pogosto naesto prikaza časa na abscisi uporabio kot spreenljivko produkt krožne frekvence in časa, kar predstavlja fazni kot. V te prieru je perioda signala določena pri vrednosti. Prednost tega prikaza je tudi v direktne odčitavanju faznega kota. V konkretne prieru je ϕ = π/6,5 rd. Haroničen signal je lahko sestavljen iz več sinusnih signalov različnih aplitud in frekvenc. Prikažio to na prieru haroničnega signala sestavljenega iz vsote signalov 5 5 i i i i t A = t in ( ) / sin(s - ) i t A = t : ( ) / sin(s - ) - - i( t) / A = sin(s t) + sin(s t). Zaniivo je, da je ogoče poljuben signal zapisati v obliki vsote sinusnih signalov, kar ienujeo Fourierova ok /A vrsta in se pogosto v praksi uporablja za analizo različnih oblik signalov (Fourierova analiza). -5 - -5.5.5.5 3 3.5 4 Cas / s 4. Fazni kot ed dvea signaloa, običajno ed napetostjo in toko. Vzeio prier signala toka i( t) = sin( ωt + ϕ ) in napetosti u( t) = U sin( ωt + ϕ ). Fazni kot ed napetostjo in toko je ϕ = ϕu ϕi. Če je fazni kot pozitiven, rečeo, da napetost prehiteva tok, če pa je negativen, pa, da tok prehiteva napetost. o seveda ne gre jeati dobesedno, saj iata oba signala ob poljubne času neko vrednost. Morda je najlažje določiti signal, ki prehiteva drugega tako, da pogledao na grafu, kateri signal doseže aksialno vrednost pred drugi. Pri te orao opazovati najkrajšo časovno razliko. i u /8
SLKA: Prier, ko napetostni signal prehiteva tokovnega. Fazni kot je pozitiven. 5) Srednja ali povprečna vrednost signala je določena s površino pod krivuljo signala v eni periodi deljena s periodo ali ateatično (za npr. tokovni signal) sr = i( t)dt (6.) a zapis pogosto za haronične signale preuredio tako, da naesto integracije po času zapišeo integracijo po kotu ω t. V te prieru je sr = i( t)d( ωt) (6.) Slika: Periodični signal in njegova povprečna vrednost, ki je enaka površini signala deljeni s periodo ntegral signala v eni periodi je torej enak. 3/8
6) Efektivna vrednost (ang. RMS root ean square) je določena kot koren iz srednje vrednosti kvadrata signala: = i ( t) dt (6.3) Efektivna vrednost signala je posebno poebna tedaj, ko nas zania povprečna oč ali energija signala, kar pa je v elektrotehniki pogosto. Slika: Razlika ed srednjo in efektivno vrednostjo signala. Prier: Določio srednjo in efektivno vrednost tokovnega signala oblike i = sin( ωt). π zračun: sr ωt ωt ( ωt ) = sin( )d( ) cos( ) = =. Srednja vrednost je očitno enaka nič, saj je sorazerna površini pod krivuljo, ki pa je enaka v pozitivni in negativni Y osi. Drugače pa je z efektivno vrednostjo, saj s kvadriranje postane signal izključno pozitiven. Pri izračunu upoštevao zvezo sin ( ωt) ( cos( ωt) ) ef ω ω π = : = sin ( t)d( t) = =. Dobio večini znan rezultat, da je efektivna vrednost haroničnega signala enaka aksialni vrednosti signala deljeni z. SLKA: Sinusni signal (polna črta) in kvadrat signala (črtkana črta). zris in izračun s prograo Matlab: =5e-3; o=*pi/; dt=/; t=:dt:3*; plot(t,sin(o.*t),t,(sin(o.*t)).^,'--') 4/8
7) Userjena vrednost (ang. rectified) je določena kot povprečje userjenega signala, torej kot povprečna vrednost absolutne vrednosti signala. r = i( t) dt 8) Faktor oblike (ang. for factor) pogosto uporabio za karakterizacijo oblike signala. Določen je kot kvocient efektivne in userjene vrednosti faktor oblike = FF =. (6.4) r * Merjenje efektivne vrednosti signala v praksi Cenejši erilni inštruenti ne erijo prave efektivne vrednosti, pač pa jo določajo iz userjene vrednosti ali pa iz aksialne vrednosti. V prieru signala sinusne oblike je ef =, userjena vrednost pa je π π r = sin( ωt) dt sin( ωt)d( ωt) ( cos( ωt) ),64 = π = =. Faktor oblike je π π / torej FF = =, 7. Merilni inštruent za izračun efektivne vrednosti torej r / π ponoži izerjeno userjeno vrednost signala s faktorje,7, pri čeer predvideva, da je signal sinusne oblike. Či je erjeni signal drugačne oblike, je prikazani rezultat efektivne vrednosti napačen. Boljši inštruenti erijo t.i. pravo efektivno vrednost (ang. true RMS). VEČ: http://cp.literature.agilent.co/litweb/pdf/5988-696en.pdf http://cp.literature.agilent.co/litweb/pdf/5988-553en.pdf http://us.fluke.co/usen/support/appnotes/default?category=a P_DMM(FlukeProducts)&parent=APP_NOES(FlukeProduct s)# SLKA: RUE RMS eter Fluke 4. Za erjenje prave efektivne vrednosti je ogoče uporabiti več etod. En od principov teelji na uporabi teristorja, ki eri spreebo teperature na eleentu, ta pa je neposredno povezana z efektivno vrednostjo toka. Na tržišču obstajajo tudi čipi, ki opravljajo noženje (kvadriranje) signala in s te očno olajšajo delo. Prier takega eleenta je čip AD836 podjetja Analog Devices, www.analog.co. Vse več inštruentov pa že zajea signale s poočjo analogno/digitalne pretvorbe, kjer je izračun efektivne vrednosti ogoč z enostavno nuerično integracijo kvadriranega signala. Vir: http://en.wikipedia.org/wiki/rue_rms_converter. 5/8
7) eenski faktor (ang. crest factor) je definiran kot kvocient aksialne in efektivne vrednosti teenski faktor = (6.5) ef Za sinusni signal je teenski faktor enak =, 44. / Prier: Določio periodo, frekvenco, srednjo vrednost in efektivno vrednost časovne oblike tokovnega signala na sliki. Signal je naraščajoč v 8% časa periode in v preostale času padajoč. zračun: Perioda signala je = 5 s, frekvenca je f 5 s = = = s = Hz. Za izračun srednje vrednosti orao signal zapisati v ateatični obliki in ga integrirati v času ene periode ter deliti s periodo. Ker je sestavljen iz preic (odsekoa zvezen), ora biti oblike y = k t + n. z zapisa v dveh skrajnih točkah od t = do t =, 8 5 s = 4 s velja = k + n in 3 = k 4 s -, od koder dobio enačbo i( t ) = A / s t - A. Podobno dobio za drugi del periode enačbo i( t ) = 4 A / s + 9 A. Sedaj uporabio enačbo za izračun srednje vrednosti in dobio 4 s 5 s sr = i( t)d t = ( A / s t - A)d t + ( 4 A / s t + 9 A)dt 5 s 4 s. Rešitev enačbe je: sr = ( 8 4 - (5-6) + 9(5-4) ) A s = A. Srednja vrednost tokovnega signala je A. Z 5 s izračuno efektivne vrednosti je nekaj več dela, saj je potrebno rešiti sledeči integral: 6/8
4 s 5 s = i( t)d t = (A / s t -A) d t + ( 4A / s + 9A) dt 5 s 4 s. Rešitev za vajo poskusite najti sai. Mi jo boo poiskali kar s prograo Matlab, ki da vrednost,575. 4 s 5 s Userjena vrednost je r = i( t) dt A / s t -A dt 4A / s 9A dt, 5 = + + = 5s 4 s faktor oblike = =,, r 3 teenski faktor = = =,964.,575 ef SLKA: Absolutna vrednost signala: iz te izračunao userjeno vrednost. zračun s prograo Matlab (signal izrišeo v treh periodah, zato tudi povprečje računao v treh periodah): =5e-3; o=*pi/; dt=/; t=:dt:3*; i=*sawtooth(o.*t,.8)+; plot(t,i); sr=trapz(i)*dt/(3*); hold on; plot([ 3*], [ ],'b--');=sqrt(trapz(i.^)*dt/(3*)); r=trapz(abs(i)*dt/(3*)); FF=/r Dodatno: Kolikšna oč se troši na breenu (uporu 3 kω), če gre skozi upor tok oblike na sliki (v aperih). zračun: renutna oč na uporu je p = P = p t = i R t = R i t = R d R d Rd R,ef. p = u i = i R. Povprečna oč pa bo Povprečno oč običajno označio z veliko črko P. Očitno je povprečna oč na uporu sorazerna kvadratu efektivne vrednosti toka. u se že kaže poebnost definiranja efektivne vrednosti: ed drugi določa povprečno oč na uporu pri izeničnih signalih. V konkretne prieru je povprečna oč na uporu enaka P R R,ef R R = = 3 kω,575 A = 7 kw. R 7/8
Če bi želeli preračunati oč, ki se na ohske breenu troši z erilniko, ki določa efektivno vrednost iz userjene vrednosti, bi dobili vrednost,5,7 =,3884 naesto pravilne vrednosti,575. Napaka prikaza bi bila 9, %. 8/8