KOTNE FUNKCIJE Kotne funkije uporljmo le z prvokotni trikotnik! Sinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu nsprotne ktete in hipotenuze. sin α = Kosinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu priležne ktete in hipotenuze. os α = Tngens kot α je enk rzmerju dolžin kotu nsprotne ktete in priležne ktete. tn α = Kotngens kot α je enk rzmerju dolžin kotu priležne in nsprotne ktete. ot α = Povezve med kotnimi funkijmi! tn α = = sin α osα ot α = = osα sin α tn α ot α = = + =, ( ) + ( ) = sin α + os α = Tel ntnčnih vrednosti kotnih funkij! funkij 0º 0 sinus α 0 30º /6 osinus α tngens α 0 3 45º /4 60º /3 otngens α 3 90º / 0º /3 0-35º 3 /4 - / - - 0-3 - - 50º 5 /6 3 80º 0-0 - - -/ sin α = os (90º- α) tn α = ot (90º- α) os α = sin (90º- α) ot α = tn (90º- α)
KOTNE FUNKCIJE V ENOTSKEM KROGU Velikost kotnih funkij lhko lepo ponzorimo v kotomernem li enotskem krogu, ktereg polmer je. Koordinti poljuneg poltrk ki sek enotsko krožnio st T(x,y). Ordint (y) predstvlj kotno funkijo sin α, sis (x) p kotno funkijo os α. (slik) Z ponzoritev ostlih dveh funkij n enotsko krožnio nrišemo tngenti v presečiščih krožnie z oem koordintnim osem, v točki, ki kže vrednost. (slik,3) Če se kot α več od 0º do 90º, se ordint točke n enotski krožnii več od 0 do. funkij sin α torej z kote od 0º do 90º (ostri koti) rste. Pri enki rsti kot α p se sis točke mnjš od do 0. zto funkij os α z ostre kote pd. Funkij tngens z ostre kote rste od 0 do neskončno, kotngens p pd od neskončno do 0.
KOTNE FUNKCIJE ZA POLNE KOTE Kotne funkije lhko definirmo tudi z kote večje od 90º. V resnii je kot, kot neodvisn spremenljivk kotne funkije lhko poljuno velik. - če je premično krk kot v II. kvdrntu, lhko o pomoči skldnih trikotnikov vidimo, d je sinus topeg kot enk sinusu suplementrneg ostreg kot; topi kot zpišemo kot rzliko iztegnjeneg kot in ostreg kot α: 80º - α in doimo: sin (80º α) = sin α os (80º α) = os α tn (80º α) = tn α ot (80º α) = ot α - z kote kterih premični krk je v III. kvdrntu, zpišemo kot vsoto iztegnjeneg kot in ostreg kot: 80º + α in doimo: sin (80º + α) = sin α os (80º + α) = os α tn (80º + α) = tn α ot (80º + α) = ot α - kote, ki jih določ premični krk v IV. kvdrntu zpišemo kot rzliko polneg kot in ostreg kot: 360º α in doimo: sin (360º α) = sin α os (360º α) = os α tn (360º α) = tn α ot (360º α) = ot α 3
VEKTOR Dlji AB je usmerjen od točke A do točke B. temu prvimo vektor, ki je oznčen tko: AB. Vektorje pišemo tudi z mlimi črkmi:,,,... Velikost li tudi solutn vrednost vektorj AB je dolžin dlji od zčetke do končne točke, smer vektorj p je dn z lego premie v prostoru. Vektorj in st enk, če imt enko velikost, smer in usmerjenost! Če vektorju AB spremenimo usmerjenost, doimo nov vektor, ki g imenujemo nsprotni vektor, oznčimo g z AB in znj velj: AB = BA. Nsprotni vektor nsprotneg vektorj je: ( ) = Vektor pri kterem se zčetn točk ujem s končno, se imenuje ničelni vektor, ki nim smeri, ne usmerjenosti. Enotski vektor je vektor z velikostjo. 4
SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE VEKTORJEV Vsoto vektorjev in doimo tko, d njprej vzporedno premknemo, d se njegov zčetn točk ujem s končno točko vektorj. vsot teh dveh vektorjev je vektor, ki im zčetno točko v zčetni točki in končno točko v končni točki. vsoto vektorjev oznčimo z +. Ničelni vektor im pri seštevnju vektorjev podono vlogo kot število nič pri številih: + 0 =. Rzliko vektorjev in izrčunmo tko, d vektorju prištejemo nsprotni vektor vektorj : = + ( ) 5
MNOŽENJE VEKTORJA S ŠTEVILOM Vsoto dveh enkih vektorjev + zpišemo krjše. vektor im enko smer in usmerjenost kot vektor, le d im velikost dvkrt večjo. množenje vektorj : m m > 0 m je sklr KOLINERANI IN KOMPLANARNI VEKTORJI Vektorj in st vzporedn li kolinern, če ležit n vzporednih nosilkh. Ker st kolinern lhko njdemo tko relno število d je: = m Linern kominij: m + n ; m, n st relni števili Linern kominij je enk ničelnemu vektorju: m + n = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 Poznmo linerno odvisne vektorje in linerno neodvisne vektorje. Dv nekolinern vektorj določt rvnino v kteri ležit, rečemo jim zn vektorj, ker sestvljt zo rvnine. v = m + n Vektorji, in so komplnrni, kdr jih z vzporednim premikom lhko premknemo tko, d ležijo v isti rvnini. = m + n Linern kominij: m + n + p Linern kominij je enk ničelnemu vektorju: m + n + p = 0 + 0 + 0 = 0 Tri nekomplnrni vektorji določjo zo prostor, rečemo jim zni vektorji. 6
PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V PROSTORU Uporljmo g z določitev lege točke v prostoru. Njprej določimo koordintni izhodišče s točko O. Iz točke O potegnemo tri premie in sier tko, d st dve po dve premii prvokotni koordintne osi. Koordintne osi: - sis: os x - ordint: os y - plikt: os z Položj točke A v prostoru je določen s tremi koordintmi,, 3 A(,, 3 ) 7
VEKTORJI V PRAVOKOTNEM KOOR. SISTEMU Krjevni vektor točke je vektor, ki seg od koordintneg izhodišč do točke A. T vektor imenujemo tudi vektor točke A in g oznčimo z r A. Pomemni so trije krjevni vektorji: - prvi im končno točko v (,0,0), kže smer sisne osi i - drugi im končno točko v (0,,0) kže smer ordintne osi j - tretji im končno točko v (0,0,) kže smer pliktne osi k Vektorji i, j in k so enotski vektorji vrednost je. Krjevni vektor: r A = x A i + y A j + z A k A(x A, y A, z A ) RAZPOLOVIŠČE DALJICE AB r R = r A + AB = r A + ( + (- r A + r B ) =, +, 3+ 3 (r A + r B ) R AB : R ) TEŽIŠČE TRIKOTNIKA ABC Težišče trikotnik deli težiščnio v rzmerju :. r T = 3 (r A + r B + r C ) T + + ( 3, + + 3+ 3+ 3, 3 3 ) 8
SKALARNI PRODUKT Sklrni produkt dveh vektorjev, je produkt njunih dolžin in kosinus vmesneg kot. Kot med vektorjem je mnjši od oeh kotov, ki g vektorj oklept, ko imt skupno zčetno točko. sklrni produkt: ā os α sklr je relno število; α = kot(ā,) 0 α 80º Vektor vzporedno premknemo tko, d im z vektorjem skupno zčetno točko. LASTNOSTI SKALARNEGA PRODUKTA - homogenost: (m ) = m - distriutivnost: ( + ) = + Dolžin vektorj je enk kvdrtnemu korenu iz sklrneg produkt vektorj smeg s seoj. To velj zto, ker je: 9
= os0º = = SKALARNI PRODUKT 0