Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge, v drugem pa odgovarja na teoretična vprašanja Če študent s kolokviji zbere več kot 50% vseh možnih točk in če pri vsakem zbere vsaj 35% možnih točk, potem je že opravil izpit Preko VISa se prijavi na prvi izpitni rok in jaz mu v indeks in elektronski indeks vpišem oceno Če študent s kolokviji ni uspel dobiti pozitivne ocene, ima možnost pozitivno oceno pridobiti na pisnem izpitu Izpitni roki so trije, eden v spomladanskem izpitnem obdobju in dva v jesenskem V zimskem izpitnem obdobju bo še en rok za ponavljalce Kandidati se morajo na izpit pravočasno prijaviti v sistemu VIS Na izpitu morajo zbrati vsaj 50% vseh možnih točk pri računskem delu in vsaj 50% tudi pri teoretičnem delu Prepisovanja ne bomo tolerirali Na spomladanskem roku je možno popravljati oceno iz kolokvijev tako, da se šteje boljši rezultat Pri nadaljnih poizkusih obvelja zadnja ocena izpita 1 Uvod Pred vami so zapiski, ki vam bodo omogočili lažjo pripravo na izpit iz Linearne algebre Te zapiske je mogoče razumeti kot minimalen katalog znanja, ki ga mora študent obvladati, da bi opravil izpit Nikakor pa niso ti zapiski primerni kot samostojen učbenik ali celo kot nadomestilo za predavanja Definicije in trditve so podane vse preveč suhoparno z namenom, da bi bili ti zapiski čim krajši Ideje niso razložene, dokazi trditev (ali vsaj njihove skice) niso podani Prav tako ni zgledov, ki bi utrdili razumevanje Študentom priporočam redno obiskovanje predavanj in vaj, kjer bo podana snov razložena, precej trditev dokazanih, definicije in izreki bodo ilustrirani s primeri in protiprimeri, z reševanjem nalog pa se bo še poglobilo razumevanje snovi 1
2 Vektorji v ravnini in prostoru Če na premici izberemo (različni) točki 0 in 1, potem smo na premici določili koordinatni sistem Ponavadi premico rišemo vodoravno in potem točko, ki predstavlja število 1, postavimo desno od točke 0 (izhodišče premice) Ko je premica opremljena s koordinatnim sistemom, vsaki točki T na premici pripada natanko določeno realno število x - imenujemo ga koordinata točke T Če leži točka T na isti strani izhodišča kot točka 1, potem je x oddaljenost točke T od izhodišča Če pa leži točka T na drugi strani izhodišča kot točka 1, potem je x oddaljenost točke T od izhodišča Korespodenca T x je povratno enolična (bijektivna) Naj bosta T in S točki na premici s koordinatama x in y Potem je razdalja med njima: d(t, S) = x y Urejen par realnih števil (x, y) je par realnih števil x, y, pri čemer vemo, katero od teh dveh števil je prva koordinata in katero druga Medtem, ko je {1, 2} = {2, 1}, pa sta seveda urejena para (1, 2) in (2, 1) različna Pravokotni koordinatni sistem v ravnini je določen z dvema premicama, ki se sekata pravokotno (abscisna in ordinatna os), in z izbiro enote na obeh oseh Vsaki točki T v ravnini potem pripada natanko določen urejen par realnih števil (x, y), ki ju imenujemo koordinati točke T (opiši povezavo med točko T in koordinatama x in y) Korespodenca T (x, y) je povratno enolična Torej, če je ravnina opremljena s pravokotnim koordinatnim sistemom, potem lahko množico vseh točk ravnine identificiramo z množico vseh urejenih parov realnih števil To množico imenujemo kartezični produkt množice realnih števil z množico realnih števil Oznaka: R R = R 2 = {(x, y) : x R in y R} Naj bosta T 1 in T 2 točki s koordinatami (x 1, y 1 ) in (x 2, y 2 ) Razdaljo med njima izračunamo po formuli: d(t 1, T 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Pravokotni koordinatni sistem v prostoru je določen s tremi premicami, ki se sekajo v isti točki, in so paroma pravokotne, ter z izbiro enote na vsaki od teh osi Vsaki točki T v prostoru potem pripada natanko določena urejena trojica realnih števil (x, y, z), ki jih imenujemo koordinate točke T (opiši povezavo med točko T in koordinatami x, y in z) Korespodenca T (x, y, z) je povratno enolična R R R = R 3 = {(x, y, z) : x R, y R in z R} Naj bosta T 1 in T 2 točki s koordinatami (x 1, y 1, z 1 ) in (x 2, y 2, z 2 ) Razdaljo med njima izračunamo po formuli: d(t 1, T 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 2
Definicija 21 Vektor v ravnini (prostoru) je usmerjena daljica Dva vektorja sta enaka, če sta vzporedna, enako dolga in imata isto smer Vektorje označujemo z malimi črkami: a, b, c, Vektor z začetno točko A in končno točko B označimo z AB Ničelni vektor 0 je vektor, pri katerem se začetna in končna točka ujemata, AA = 0 Definicija 22 Velikost (dolžina, norma) vektorja Oznaka: AB 0 = 0 Vektorju z dolžino ena rečemo enotski vektor AB je dolžina daljice AB Par točk A, B določa dva vektorja: vektorja, AB = BA AB in BA Pravimo jima nasprotna Trditev 23 Za vsak vektor a velja ( a) = a in a = a Koordinate vektorja: Naj bo a vektor v ravnini ali prostoru in naj bo ravnina (prostor) opremljena s pravokotnim koordinatnim sistemom Obstaja natanko ena taka usmerjena daljica z začetno točko v izhodišču 0 in končno točko T, da je a = 0T Potem so koordinate vektorja a kar koordinate točke T Vektor 0T se imenuje krajevni vektor točke T Naj bosta A in B točki v ravnini s koordinatami (a 1, a 2 ) in (b 1, b 2 ) Potem koordinati vektorja AB izračunamo po formuli AB = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Enotska vektorja na pozitivnih poltrakih koordinatnih osi označujemo z i in j, i = (1, 0) in j = (0, 1) Vektor a = (a 1, a 2 ) ima velikost a = a 2 1 + a2 2 Torej, če sta A in B točki v ravnini s koordinatami (a 1, a 2 ) in (b 1, b 2 ), potem je AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 K vektorju a = (a 1, a 2 ) nasprotni vektor ima koordinati a = ( a 1, a 2 ) Naj bosta A in B točki v prostoru s koordinatami (a 1, a 2, a 3 ) in (b 1, b 2, b 3 ) Potem koordinate vektorja AB izračunamo po formuli AB = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) 3
Enotske vektorje na pozitivnih poltrakih koordinatnih osi označujemo z i, j in k, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) in k = (0, 0, 1) Vektor a = (a 1, a 2, a 3 ) ima velikost a = a 2 1 + a2 2 + a2 3 Torej, če sta A in B točki v prostoru s koordinatami (a 1, a 2, a 3 ) in (b 1, b 2, b 3 ), potem je AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2 K vektorju a = (a 1, a 2, a 3 ) nasprotni vektor ima koordinate a = ( a 1, a 2, a 3 ) Definicija 24 Naj bosta dana vektorja a in b Vsota teh dveh vektorjev a + b je vektor, ki ga dobimo tako, da vektor b vzporedno premaknemo tako, da se končna točka vektorja a ujema z začetno točko vektorja b; vsota a + b je potem vektor z začetno točko v začetni točki vektorja a in končno točko v končni točki premaknjenega vektorja b Če sta vektorja a in b v ravnini podana s koordinatami a = (a 1, a 2 ) in b = (b 1, b 2 ), potem ima vsota koordinati a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) Če sta vektorja a in b v prostoru podana s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b1, b 2, b 3 ), potem ima vsota koordinate a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Seštevanje vektorjev je komutativno To pomeni, da za vsak par vektorjev a in b velja a + b = b + a Za vsako trojico vektorjev a, b, c velja ( a + b) + c = a + ( b + c); rečemo, da je seštevanje vektorjev asociativno Vektor 0 je nevtralni element za seštevanje - to pomeni, da za vsak vektor a velja a + 0 = a Za vsak vektor a je a + ( a) = 0 Definicija 25 Naj bosta dana vektorja a in b Razlika vektorjev a b je definirana s predpisom a b = a + ( b) 4
Če sta vektorja a in b v ravnini podana s koordinatami a = (a 1, a 2 ) in b = (b 1, b 2 ), potem ima razlika koordinati a b = (a 1 b 1, a 2 b 2 ) Če sta vektorja a in b v prostoru podana s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b1, b 2, b 3 ), potem ima razlika koordinate a b = (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) Definicija 26 Naj bo dan vektor a in skalar t R skalarjem t je vektor, ki Produkt vektorja a s je vzporeden vektorju a, ima isto smer kot a, če t > 0, in nasprotno smer kot a, če t < 0, ima velikost t a Oznaka: t a Če je vektor a v ravnini podan s koordinatama a = (a 1, a 2 ), potem je t a = (ta 1, ta 2 ) Če je vektor a v prostoru podan s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ), potem je t a = (ta 1, ta 2, ta 3 ) Za vsak par vektorjav a, b in vsak par skalarjev t, s R velja: 1 a = a, ( 1) a = a, 0 a = 0, t 0 = 0, in t(s a) = (ts) a, (t + s) a = t a + s a t( a + b) = t a + t b Definicija 27 Naj bosta dana vektorja a in b S ϕ označimo kot, ki ga oklepata a in b Potem je skalarni produkt a b teh dveh vektorjav enak a b = a b cos ϕ 5
Izraz a b beremo: a skalarno b Geometrijski pomen: skalarni produkt dveh vektorjev je velikost prvega vektorja pomnožena z (relativno) projekcijo drugega vektorja na prvega Za vsak vektor a velja a 2 = a a Če je vektor a neničelen, potem je 1 a a a enotski vektor na vektorju a Dogovorimo se, da je 0 pravokoten na vsak vektor vektorjev a in b velja: a b a b = 0 Za vsako trojico vektorjev a, b in c in vsak skalar t je Potem za vsak par in a b = b a, (t a) b = t( a b), a (t b) = t( a b) a ( b + c) = a b + a c ter ( b + c) a = b a + c a Če sta vektorja a in b v ravnini podana s koordinatami a = (a 1, a 2 ) in b = (b 1, b 2 ), potem je a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Če sta vektorja a in b v prostoru podana s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b1, b 2, b 3 ), potem je a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Definicija 28 Naj bosta a in b vektorja v prostoru Vektorski produkt a b je vektor določen z: a b je ploščina paralelograma napetega na vektorjih a in b, a b je pravokotem na a in b, a b ima smer gibanja desnosučnega vijaka, ki ga vrtimo od a proti b po krajši poti 6
Dogovorimo se, da je 0 vzporeden z vsakim vektorjem Potem za vse pare vektorjev a in b velja: a b a b = 0 Neposredno iz definicije dobimo i i = 0, j j = 0, k k = 0, i j = k = j i, j k = i, k i = j Za vsako trojico vektorjev a, b in c in vsak skalar t je in a b = b a, (t a) b = t( a b), a (t b) = t( a b) a ( b + c) = a b + a c ter ( b + c) a = b a + c a Če sta vektorja a in b v prostoru podana s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b1, b 2, b 3 ), potem je a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) Pri računanju vektorskega produkta si pomagamo s 3 3 determinanto Definicija 29 Naj bodo a, b in c vektorji v prostoru Mešani produkt ( a, b, c) je definiran z: ( a, b, c) = ( a b) c Za vsako trojico vektorjev a, b in c in vsak skalar t je (t a, b, c) = ( a, t b, c) = ( a, b, t c) = t( a, b, c) Rečemo, da je mešani produkt homogen v vseh faktorjih Je tudi distributiven v vseh faktorjih, to je, za vse vektorje a, a 1, a 2, b, b 1, b 2, c, c 1, c 2 imamo in ( a 1 + a 2, b, c) = ( a 1, b, c) + ( a 2, b, c), ( a, b 1 + b 2, c) = ( a, b 1, c) + ( a, b 2, c) ( a, b, c 1 + c 2 ) = ( a, b, c 1 ) + ( a, b, c 2 ) Če so vektorji a, b in c v prostoru podani s koordinatami a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b1, b 2, b 3 ) in c = (c 1, c 2, c 3 ), potem je ( a, b, c) = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 = 7
a 1 a 2 a 3 = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Absolutna vrednost mešanega produkta ( a, b, c) je volumen paralelepipeda napetega na vektorjih a, b in c Volumen tetraedra ABCD izračunamo po formuli: V = 1 6 ( AB, AC, AD) Enačba ravnine Σ je taka enačba z neznankami x, y, z, da koordinate točke T zadoščajo tej enačbi natanko tedaj, ko točka T leži na ravnini Σ Ponavadi ravnino določimo na enega od naslednjih dveh načinov: s točko T in normalo n, s tremi nekolinearnimi točkami Naj točka T s koordinatami (x 0, y 0, z 0 ) leži na ravnini in naj bo vektor n = (a, b, c) 0 pravokoten na ravnino Potem točka P s koordinatami (x, y, z) leži na ravnini natanko tedaj, ko sta vektorja T P in n pravokotna To pa se zgodi natanko tedaj, ko je njun skalarni produkt enak nič Od tod dobimo enačbo oblike ax + by + cz = d Taki enačbi pravimo linearna enačba za tri neznanke Če niso vsi koeficienti a, b, c ničelni, potem taka linearna enačba določa ravnino, (a, b, c) pa so koordinate normalnega vektorja na to ravnino Naj bo sedaj ravnina podana s tremi nekolinearnimi točkami T 1, T 2 in T 3 s koordinatami (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) in (x 3, y 3, z 3 ) Potem točka P s koordinatami (x, y, z) leži na ravnini natanko tedaj, ko je ( T 1 P, T 1 T 2, T 1 T 3 ) = 0 Ko izračunamo mešani produkt, ponovno pridemo do linearne enačbe Enačba premice p je tak sistem dveh linearnih enačb z neznankami x, y, z, da koordinate točke T zadoščajo obema enačbama natanko tedaj, ko točka T leži na premici p Ponavadi premico določimo na enega od naslednjih dveh načinov: s točko T in smernim vektorjem s, z dvema različnima točkama 8
Naj točka T s koordinatami (x 0, y 0, z 0 ) leži na premici in naj bo s = (p, q, m) 0 smerni vektor premice p Potem točka P s koordinatami (x, y, z) leži na premici natanko tedaj, ko obstaja tak skalar λ, da je oziroma in OP = OT + λ s, x = x 0 + λp y = y 0 + λq z = z 0 + λm Če so p, q, m vsi različni od nič, od tod dobimo enačbo premice x x 0 p = y y 0 q = z z 0 m Kaj pa naredimo, če je eden od p, q, m enak nič? Denimo, da je p = 0 Privzemimo najprej, da sta q in m neničelna Tedaj je enačba premice x = x 0, y y 0 q = z z 0 m In kaj se zgodi, če je p = q = 0? Tedaj je m 0 in enačba premice se glasi x = x 0, y = y 0 Naj bo sedaj premica podana z dvema različnima točkama A in B Potem je AB smerni vektor te premice Torej lahko postopamo kot v prejšnjem primeru 3 Vektorski prostori in matrike Z R n označimo množico vseh urejenih n-teric realnih števil, R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x 1, x 2,, x n R} Urejenim n-tericam (x 1,, x n ) bomo rekli vektorji, realnim številom t pa bomo rekli skalarji Na množici R n definiramo seštevanje: Vsakemu paru vektorjev x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) priredimo vsoto x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ) Definiramo še množenje vektorja s skalarjem: Vsakemu vektorju x = (x 1,, x n ) in vsakemu skalarju t priredimo produkt tx = (tx 1,, tx n ) 9
S C n označimo množico vseh urejenih n-teric kompleksnih števil, C n = {(x 1, x 2,, x n ) : x 1, x 2,, x n C}, in potem definiramo seštevanje vektorjev in množenje vektorjev s skalarji (= kompleksnimi števili) tako kot v realnem primeru Pogosto bomo obravnavali realne in kompleksne prostore urejenih n-teric skupaj Tedaj bo simbol F označeval obseg realnih števil ali obseg kompleksnih števil Operaciji seštevanja in množenja vektorjev s skalarji imata sledeče lastnosti: seštevanje je komutativno, to je, za vsak par vektorjev x, y F n velja x + y = y + x, seštevanje je asociativno, to je, za vsako trojico vektorjev x, y, z F n velja x + (y + z) = (x + y) + z, vektor 0 = (0, 0,, 0) je nevtralni element za seštevanje, to je, za vsak x F n velja x + 0 = 0 + x = x, za vsak vektor x = (x 1,, x n ) obstaja tak nasprotni vektor x, da je x + ( x) = ( x) + x = 0; seveda je x = ( x 1,, x n ), množenje vektorja s skalarjem je asociativno v skalarnem faktorju, to je, za vsak x F n in vsak par skalarjev t, s velja (ts)x = t(sx), množenje vektorja s skalarjem je distributivno v skalarnem faktorju, to je, za vsak x F n in vsak par skalarjev t, s velja (t + s)x = tx + sx, množenje vektorja s skalarjem je distributivno v vektorskem faktorju, to je, za vsak par vektorjev x, y F n in vsak skalar t velja t(x + y) = tx + ty, za vsak vektor x je 1x = x Urejene n-terice realnih (kompleksnih) števil znamo seštevati in množiti z realnimi (kompleksnimi) števili in ti dve operaciji imata zgoraj naštete lepe lastnosti Poleg usmerjenih daljic v ravnini in prostoru in urejenih n-teric pa poznamo še precej drugih matematičnih objektov, ki jih seštevamo in množimo s skalarji: polinomi, funkcije, zvezne funkcije, odvedljive funkcije, matrike, Zato bomo uvedli pojem vektorskega prostora nad obsegom realnih (kompleksnih) števil Definicija 31 Neprazno množico V, opremljeno z operacijo +, ki vsakemu urejenemu paru (x, y) V V priredi natanko določen element x + y V, in z zunanjo operacijo, ki vsakemu paru (t, x) F V priredi natanko določen element tx V, imenujemo vektorski prostor nad obsegom F, če velja: x, y V : x + y = y + x, 10
x, y, z V : x + (y + z) = (x + y) + z, 0 V : x V : x + 0 = x, x V : x V : x + ( x) = 0, x V, t, s F : (ts)x = t(sx), x V, t, s F : (t + s)x = tx + sx, x, y V, t F : t(x + y) = tx + ty, x V : 1x = x Elemente vektorskega prostora V imenujemo vektorje, elemente obsega F pa skalarje Operacijo + imenujemo seštevanje, zunanji operaciji pa rečemo množenje vektorjev s skalarji Če je F = R, potem rečemo prostoru V realen vektorski prostor, če pa je F = C, se V imenuje kompleksen vektorski prostor Izrek 32 Naj bo V vektorski prostor nad F Potem za vsak x V velja 0x = 0 in ( 1)x = x Definicija 33 Podmnožica U vektorskega prostora V je vektorski podprostor, če je vektorski prostor za operaciji iz V zoženi na U Izrek 34 Naj bo V vektorski prostor nad F in U V neprazna podmnožica Naslednji trditvi sta ekvivalentni: U je podprostor x, y U : x + y U in x U, t F : tx U Definicija 35 Naj bo V vektorski prostor in x 1,, x n V Linearna kombinacija vektorjev x 1,, x n je vsak vektor oblike kjer so t 1,, t n poljubni skalarji t 1 x 1 + t 2 x 2 + + t n x n = n t j x j, j=1 Izrek 36 Naj bo {U α prostora V Potem je vektorski podprostor : α J} neprazna družina podprostorov vektorskega α J U α 11
Izrek 37 Naj bo G podmnožica vektorskega prostora V Potem obstaja najmanjši podprostor W V, ki vsebuje G Rečemo, da je W podprostor generiran z G Definicija 38 Naj bo G podmnožica vektorskega prostora V Linearna ogrinjača množice G (oznaka: [G] ali Lin (G)) je množica vseh linearnih kombinacij vektorjev iz G, [G] = {t 1 x 1 + t n x n : n N, x 1,, x n G, t 1,, t n F} Očitno je [G] vektorski podprostor prostora V Izrek 39 Naj bo G podmnožica vektorskega prostora V Potem je [G] podprostor generiran z G Definicija 310 Naj bo V vektorski prostor Vektorji x 1,, x n V so linearno neodvisni, če je edina linearna kombinacija vektorjev x 1,, x n, ki je enaka nič, tista, pri kateri so vsi koeficienti enaki nič (= trivialna linearna kombinacija) Definicija 311 Vektorji x 1,, x n V so linearno odvisni, če niso linearno neodvisni Izrek 312 Naj bo V vektorski prostor in x 1,, x n V Naslednji trditvi sta ekvivalentni: x 1,, x n so linearno odvisni Vsaj eden izmed teh vektorjev se da izraziti kot linearna kombinacija ostalih Izrek 313 Naj bo V vektorski prostor, vektorji x 1,, x n V naj bodo linearno neodvisni in naj bo k naravno število, 1 k n Potem so vektorji x 1,, x k linearno neodvisni Izrek 314 Naj bo V vektorski prostor in naj bo eden izmed vektorjev x 1,, x n V ničelen vektor Potem so x 1,, x n linearno odvisni Izrek 315 Naj bo V vektorski prostor, naj bodo vektorji x 1,, x n V linearno odvisni in naj bodo y 1,, y k V poljubni vektorji Potem so vektorji x 1,, x n, y 1,, y k linearno odvisni Definicija 316 Vektorski prostor V je neskončno razsežen, če za vsako naravno število n obstajajo vektorji x 1,, x n V, ki so linearno neodvisni Definicija 317 Vektorski prostor V je končno razsežen, če ni neskončno razsežen 12
Definicija 318 Naj bo V vektorski prostor Vektorji x 1,, x n V tvorijo bazo vektorskega prostora V, če 1 se da vsak x V izraziti kot linearna kombinacija vektorjev x 1,, x n, in 2 so x 1,, x n linearno neodvisni Izrek 319 Naj bo B = {x 1,, x n } baza vektorskega prostora V Potem se da vsak x V izraziti kot linearna kombinacija vektorjev x 1,, x n na en sam način Izrek 320 Vsak neničelen končno razsežen vektorski prostor ima bazo Opomba: Od sedaj naprej bomo za vse vektorske prostore privzeli, da so končno razsežni Izrek 321 Naj bo V neničelen vektorski prostor in {e 1,, e n } njegova baza Naj bodo vektorji b 1,, b k V linearno neodvisni Potem je 1 k n, in 2 če v bazi {e 1,, e n } k primerno izbranih vektorjev nadomestimo z b 1,, b k, je dobljena množica vektorjev tudi baza prostora V Posledica 322 Vsako linearno neodvisno množico je mogoče dopolniti do baze Posledica 323 Naj bo V vektorski prostor Vse baze prostora V imajo enako število vektorjev Definicija 324 Naj bo V vektorski prostor Njegova dimenzija (razsežnost) je število elementov njegove baze Oznaka: dim V Trditev 325 Naj bo V vektorski prostor dimenzije n in naj bodo x 1,, x n+1 vektorji iz V Potem so x 1,, x n+1 linearno odvisni Trditev 326 Naj bo V vektorski prostor dimenzije n in naj bodo x 1,, x n linearno neodvisni vektorji iz V Potem vektorji x 1,, x n tvorijo bazo Trditev 327 Naj bo V vektorski prostor in W njegov podprostor Potem je dim W dim V Trditev 328 Naj bo V vektorski prostor in W tak podprostor prostora V, da je dim V = dim W Potem je W = V Definicija 329 Naj bo V vektorski prostor in W 1, W 2 V podprostora Vsoto teh dveh podprostorov definiramo s predpisom: W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 : w 1 W 1, w 2 W 2 } 13
Izrek 330 W 1 + W 2 je podprostor v V Naj bo k 2 naravno število in naj bodo W 1,, W k prostora V Potem njihovo vsoto definiramo kot: V podprostori k W j = W 1 + + W k = {w 1 + + w k : w j W j } j=1 Seveda je tudi vsota več podprostorov podprostor prostora V Definicija 331 Če sta W 1, W 2 V podprostora in W 1 W 2 = {0}, potem vsoto W 1 + W 2 imenujemo direktna vsota in jo označimo z W 1 W 2 Izrek 332 Naj bosta W 1 in W 2 podprostora prostora V Potem sta naslednji trditivi ekvivalentni: vsota W 1 + W 2 je direktna, za vsak x W 1 + W 2 obstajata enolično določena vektorja w 1 W 1 in w 2 W 2, da je x = w 1 + w 2 Definicija 333 Naj bo k 2 naravno število in naj bodo W 1,, W k V podprostori prostora V Vsota W 1 + + W k je direktna vsota, če za vsak x k j=1 W j obstaja natanko ena razčlenitev x = w 1 + + w k, kjer je w j W j, j = 1,, k V tem primeru to vsoto zapišemo W 1 W k = k j=1 W j Izrek 334 Vsota W 1 + + W k je direktna natanko tedaj, ko za vsak j, j = 1,, k, velja W j W i = {0} i j Naj bo V vektorski prostor in B = {e 1,, e n } njegova baza Vsak vektor x V je mogoče zapisati kot linearno kombinacijo baznih vektorjev na en sam način, x = t 1 e 1 + t n e n Skalarje t 1,, t n imenujemo koordinate vektorja x glede na bazo B Pišemo: x = (t 1,, t n ) Če ima vektor y V koordinate y = (s 1,, s n ) in je r poljuben skalar, potem je x + y = (t 1 + s 1,, t n + s n ) 14
in rx = (rt 1,, rt n ) Sedaj si bomo zastavili sledeči problem: Naj bodo dani vektorji a 1,, a m F n Radi bi poiskali dimenzijo linearne ogrinjače teh vektorjev in potem še kakšno bazo tega podprostora Pri reševanju tega problema bo pomembno vlogo igral naslednji izrek Izrek 335 Naj bo V vektorski prostor, k naravno število, i, j taki naravni števili, da je i j in 1 i, j k, t F skalar in x 1, x k vektorji iz V Potem velja Lin {x 1,, x k } = Lin {x 1,, x i 1, x i + tx j, x i+1,, x k } Za lažje manipuliranje z vektorji a 1,, a m iz gornjega problema pa bomo vpeljali še pojem matrike Definicija 336 m n matrika nad F je pravokotna shema m n elementov iz F razporejenih v m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Če so členi matrike a ij realna števila, govorimo o realni matriki, če pa so kompleksna števila, potem rečemo, da je to kompleksna matrika Ponavadi matrike označujemo z velikimi črkami: a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n = [a ij] a m1 a m2 a mn Številu a ij rečemo (i, j)-ti člen matrike; leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu Z M m n (F) označimo množico vseh m n matrik nad obsegom F; v primeru, ko je m = n pišemo kratko M n n (F) = M n (F) in tedaj govorimo o kvadratnih matrikah Pogosto (recimo, kadar bo kaka trditev veljala tako za realne kot za kompleksne matrike) bomo namesto M m n (F) pisali kar M m n Na množici M m n definiramo seštevanje s predpisom: Če je A = [a ij ] M m n in B = [b ij ] M m n, potem je vsota teh dveh matrik m n matrika: A + B = [a ij + b ij ] Naj bo A = [a ij ] m n matrika nad F, A M m n (F), in t F skalar Potem produkt matrike A s skalarjem t definiramo s predpisom: ta = [ta ij ] 15
Izrek 337 Množica M m n (F) opremljena s tema dvema operacijama je vektorski prostor nad F Naj bo A m n matrika, a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Z izrazom prva vrstica te matrike mislimo na 1 n matriko: [ a 11 a 12 a 1n ] in jo smatramo za element vektorskega prostora F n Podobno je za vsak k, 1 k m, k-ta vrstica matrike A element F n, [ a k1 a k2 a kn ] F n Definicija 338 Linearna ogrinjača prve vrstice, druge vrstice,, m-te vrstice matrike A se imenuje vrstični prostor matrike A To je podprostor prostora F n Podobno definiramo stolpični prostor matrike A, ki je podprostor v F m Definicija 339 Rang matrike A po vrsticah je dimenzija vrstičnega prostora matrike A Rang matrike A po stolpcih je dimenzija stolpičnega prostora matrike A Sedaj pa se vrnimo k našemu problemu Imamo m vektorjev v F n Najprej bi radi poiskali dimenzijo linearne ogrinjače teh vektorjev Vsakega od teh vektorjev pišemo kot 1 n matriko Potem tvorimo m n matriko A, katere vrstice so ravno ti vektorji Da bi rešili naš problem, moramo izračunati rang matrike A po vrsticah Za računanje ranga matrike po vrsticah rabimo naslednji trditvi Izrek 340 Rang matrike A po vrsticah je maksimalno število linearno neodvisnih vrstic Izrek 341 Rang matrike A po vrsticah se ne spremeni, če: zamenjamo dve vrstici, zamenjamo dva stolpca, prištejemo členom kake vrstice z istim skalarjem pomnožene člene kake druge vrstice 16
Posebej lahko je izračunati rang matrike A, ki ima obliko: a 11 a 12 a 1r a 1n 0 a 22 a 2r a 2n A = 0 0 a rr a rn, (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 pri čemer je r m, n, a 11 0, a 22 0,, a rr 0 Izrek 342 Rang zgornje matrike A po vrsticah je r Rang poljubne neničelne matrike A po vrsticah izračunamo tako, da jo s preobrazbami iz Izreka 341 prevedemo na obliko (1) Najprej dosežemo, da je (1, 1)-člen neničelen To lahko dosežemo z uporabo prve in druge preobrazbe Potem pa lahko z uporabo tretje preobrazbe dosežemo, da so vsi členi v prvem stolpcu pod diagonalnim členom enaki nič Imamo: A = a 11 0 A 1 0 Če je A 1 = 0, smo končali, sicer na tem manjšem kosu ponovimo postopek Dobimo: a 11 a 12 0 a 22 A = 0 0 A 2 0 0 Če je A 2 = 0, smo končali, sicer na tem manjšem kosu ponovimo postopek Sedaj pa se lotimo drugega dela zastavljenega problema Že spet imamo m vektorjev v F n in radi bi poiskali kakšno bazo njihove linearne ogrinjače Kot prej tvorimo m n matriko A Tokrat je naša naloga poiskati kakšno bazo vrstičnega prostora matrike A Pri tem bomo uporabljali naslednji izrek Izrek 343 Vrstični prostor matrike A se ne spremeni, če: zamenjamo dve vrstici, prištejemo kaki vrstici večkratnik kake druge vrstice 17
Neničelne vrstice matrike 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0 0 0 tvorijo bazo vrstičnega prostora te matrike Sedaj pa zastavljeni problem rešimo z uporabo podobnih idej, kot smo jih uporabili pri prvem problemu Izrek 344 Za vsako matriko je njen rang po vrsticah enak rangu po stolpcih Definicija 345 Naj bo A M m n Rang matrike A je rang matrike A po vrsticah (= rang matrike A po stolpcih) Sedaj pa definirajmo še množenje matrik Definicija 346 Naj bo B = [b ij ] r m matrika in A = [a ij ] m n matrika Potem je produkt BA r n matrika C = [c ij ] s členi c ij = m b ik a kj k=1 Produkt BA je definiran, če ima B toliko stolpcev kot ima A vrstic (i, j)- ti člen produkta je skalarni produkt i-te vrstice matrike B z j-tim stolpcem matrike A 18
4 Evklidski in unitarni prostori Definicija 41 Skalarni produkt na realnem vektorskem prostoru V je preslikava, ki vsakemu urejenemu paru vektorjev (x, y) V V priredi realno število x, y, pri čemer za vse x, y, z V in vsak t R velja: 1 x, y = y, x, 2 x + z, y = x, y + z, y, (distributivnost), 3 tx, y = t x, y, (homogenost), 4 x, x 0 in x, x = 0 x = 0, (stroga pozitivna definitnost) Definicija 42 V je evklidski prostor, če je V končno razsežen realen vektorski prostor opremljen s skalarnim produktom Definicija 43 Skalarni produkt na kompleksnem vektorskem prostoru V je preslikava, ki vsakemu urejenemu paru vektorjev (x, y) V V priredi kompleksno število x, y, pri čemer za vse x, y, z V in vsak t C velja: 1 x, y = y, x, 2 x + z, y = x, y + z, y, 3 tx, y = t x, y, 4 x, x 0 in x, x = 0 x = 0 Definicija 44 V je unitarni prostor, če je V končno razsežen kompleksen vektorski prostor opremljen s skalarnim produktom Izrek 45 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, x, y, z V in t F Potem je: x, y + z = x, y + x, z, x, x R, x, ty = t x, y Izrek 46 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in x V Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: za vsak y V je x, y = 0, x = 0 Definicija 47 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in x, y V Vektorja x in y sta ortogonalna, če je x, y = 0 19
Zapis: x y x, y = 0 Definicija 48 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in k naravno število Vektorji x 1,, x k V tvorijo ortogonalni sistem, če: x j 0, j = 1,, k, x j x m, 1 j, m k, j m Izrek 49 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in naj vektorji x 1,, x k V tvorijo ortogonalni sistem Potem so ti vektorji linearno neodvisni Posledica 410 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, dim V = n, in naj vektorji x 1,, x k V tvorijo ortogonalni sistem Potem je k n Definicija 411 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor Norma je preslikava : V R definirana s predpisom x = x, x, x V Izrek 412 (Cauchy-Schwarzeva neenakost) Naj bo V evklidski ali unitarni prostor Potem za vsak par vektorjev x, y V velja x, y x y in x, y = x y x, y sta linearno odvisna Izrek 413 (Lastnosti norme) Naj bo V evklidski ali unitarni prostor Potem za vsak par vektorjev x, y V in vsak t F velja: x 0 in x = 0 x = 0, tx = t x, x + y x + y Naj bo V evklidski prostor (ne unitaren!) in x, y V neničelna vektorja Potem kot med njima definiramo s predpisom: (utemelji dobro definiranost) cos ϕ = x, y x y Definicija 414 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, dim V = n Vektorji e 1,, e n tvorijo ortonormirano bazo prostora V, če: e j = 1, j = 1,, n, 20
e j e k, 1 j, k n, j k Opomba: Vsaka ortonormirana baza je baza Izrek 415 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, dim V = n, vektorji e 1,, e n V pa naj tvorijo ortonormirano bazo Koordinate vektorjev x, y V glede na to bazo naj bodo (t 1,, t n ) in (s 1,, s n ) Potem je x, y = t 1 s 1 + + t n s n in x = t 1 2 + + t n 2 Izrek 416 (Gram-Schmidtova ortogonalizacija) Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in e 1,, e k V linearno neodvisni vektorji Potem obstajajo taki vektorji g 1,, g k V, da je g j = 1, j = 1,, k, g j g m če j m, (torej g 1,, g k tvorijo ortonormiran sistem), Lin {e 1,, e k } = Lin {g 1,, g k } Posledica 417 Vsak evklidski in vsak unitarni prostor ima ortonormirano bazo Ideja Gram-Schmidtove ortogonalizacije: dovolj je poiskati tak ortogonalen sistem f 1,, f k, da je Lin {e 1,, e k } = Lin {f 1,, f k } Tak ortogonalen sistem poiščemo indukcijsko Najprej definiramo f 1 = e 1 Na r-tem koraku zapišemo f r = e r + t r 1 f r 1 + + t 1 f 1 in določimo skalarje t 1,, t r 1 tako, da vektorji f 1,, f r tvorijo ortogonalen sistem Dokažemo še, da je Lin {e 1,, e r } = Lin {f 1,, f r } 5 Sistemi linearnih enačb Sistem m linearnih enačb za n neznank ima obliko: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, kjer so a ij, b i F, 1 i m, 1 j n Če je F = R, govorimo o realnem sistemu linearnih enačb, ko pa je F = C, govorimo o kompleksnem sistemu 21
V posebnem primeru, ko je b 1 = b 2 = = b m = 0, sistem imenujemo homogen Rešitev sistema je vsaka urejena n-terica (p 1, p 2,, p n ) F n, za katero velja a 11 p 1 + a 12 p 2 + + a 1n p n = b 1 a 21 p 1 + a 22 p 2 + + a 2n p n = b 2 a m1 p 1 + a m2 p 2 + + a mn p n = b m Rešiti sistem pomeni poiskati vse rešitve ali pokazati, da sistem rešitve nima Matriki a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn rečemo osnovna matrika koeficientov, matriko a 11 a 12 a 1n b 1 a A r = 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m pa imenujemo razširjena matrika koeficientov Vpeljimo še oznaki x 1 b 1 x = in b = x n Potem lahko naš sistem m linearnih enačb za n neznank na kratko zapišemo: Ax = b b m Členi a 11, a 22, a 33, tvorijo glavno diagonalo m n matrike A = [a ij ] Matrika A je zgoraj trikotna, če so vsi členi pod glavno diagonalo ničelni, to je, a ij = 0 za vse i > j Definicija 51 Sistem m enačb za n neznank je zgoraj trikoten sistem, če je osnovna matrika koeficientov A zgoraj trikotna matrika in: so vsi členi na glavni diagonali neničelni, ali obstaja tako naravno število r, r < m in r < n, da je prvih r členov na glavni diagonali A neničelnih, vse vrstice od vključno (r + 1)-ve naprej pa so enake nič 22
Zgoraj trikotne sisteme rešujemo od spodaj navzgor možnosti: Oglejmo si vse m = n, a 11 a 12 a 1n b 1 0 a A r = 22 a 2n b 2, 0 0 a nn b n a 11 0, a 22 0,, a nn 0 Sistem ima natanko eno rešitev Utemelji in razloži, kako jo poiščemo m < n, a 11 a 12 a 1m a 1n b 1 0 a A r = 22 a 2m a 2n b 2, 0 0 a mm a mn b m a 11 0, a 22 0,, a mm 0 Sistem ima n m parametrično družino rešitev Utemelji in razloži, kako jo poiščemo m > n, a 11 a 12 a 1n b 1 0 a 22 a 2n b 2 A r = 0 0 a nn b n, 0 0 0 0 0 0 0 0 a 11 0, a 22 0,, a nn 0 Sistem ima natanko eno rešitev Utemelji in razloži, kako jo poiščemo m > n, a 11 a 12 a 1n b 1 0 a 22 a 2n b 2 A r = 0 0 a nn b n, 0 0 0 b n+1 0 0 0 b m a 11 0, a 22 0,, a nn 0, in vsaj eden od koeficientov b n+1,, b m je različen od nič Sistem nima rešitev Utemelji 23
obstaja tak r, r < m in r < n, da je a 11 a 12 a 1r a 1n b 1 0 a 22 a 2r a 2n b 2 A r = 0 0 a rr a rn b r, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 11 0, a 22 0,, a rr 0 Sistem ima n r parametrično družino rešitev Utemelji in razloži, kako jo poiščemo obstaja tak r, r < m in r < n, da je a 11 a 12 a 1r a 1n b 1 0 a 22 a 2r a 2n b 2 A r = 0 0 a rr a rn b r, 0 0 0 0 b r+1 0 0 0 0 b m a 11 0, a 22 0,, a rr 0, in vsaj eden od koeficientov b r+1,, b m je različen od nič Sistem nima rešitev Definicija 52 Dva sistema m linearnih enačb za n neznank sta ekvivalentna, če sta njuni množici rešitev enaki Izrek 53 Če v sistemu linearnih enačb zamenjamo dve enačbi, dobimo ekvivalenten sistem Torej, če v razširjeni matriki koeficientov zamenjamo dve vrstici, sta ustrezna sistema enačb ekvivalentna Izrek 54 Če v sistemu linearnih enačb kaki enačbi prištejemo večkratnik kake druge enačbe, dobimo ekvivalenten sistem Torej, če v razširjeni matriki koeficientov neki vrstici prištejemo večkratnik kake druge vrstice, dobimo ekvivalenten sistem Če v razširjeni matriki koeficientov zamenjamo i-ti in j-ti stolpec, i j, i, j n, potem rešitve prvotnega sistema dobimo tako, da pri vsaki rešitvi novega sistema zamenjamo i-to in j-to koordinato Z uporabo teh metod lahko vsak sistem enačb prevedemo na zgoraj trikotnega 24
6 Permutacije Definicija 61 Permutacija na n elementih je bijektivna preslikava množice {1, 2,, n} nase Permutacijo π dano s predpisom π(1) = α, π(2) = β,, π(n) = γ ponavadi zapišemo takole: ( ) 1 2 n α β γ Množico vseh permutacij na n elementih označimo s simbolom S n Namesto izraza kompozitum permutacij ponavadi uporabljamo izraz produkt permutacij Definicija 62 Permutacija π S n je transpozicija, če zamenja dve števili, vsa druga pa pusti na svojih mestih Zgled: ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 5 4 3 6 Krajši zapis: ( 3 5 ) Izrek 63 Vsaka permutacija se da zapisati kot produkt samih transpozicij Izrek 64 Nobena permutacija se ne da zapisati kot produkt sodega števila transpozicij in kot produkt lihega števila transpozicij Definicija 65 Permutacija je soda, če jo je mogoče zapisati kot produkt sodega števila transpozicij Sicer je liha 7 Linearne preslikave Definicija 71 Naj bosta U in V vektorska prostora nad F Preslikava A : U V (x Ax, x U) je linearna, če je aditivna: x, y U : A(x + y) = Ax + Ay, in je homogena: t F, x U : A(tx) = tax Izrek 72 Naj bo A : U V linearna preslikava, n naravno število, x, x 1,, x n U in t 1,, t n F Potem je A0 = 0, A( x) = Ax, A(t 1 x 1 + + t n x n ) = t 1 Ax 1 + + t n Ax n 25
Naj bosta U in V vektorska prostora nad F Množico vseh linearnih preslikav iz U v V označimo z L(U, V ) Za poljuben par A, B L(U, V ) in poljuben skalar t definiramo preslikavi A + B : U V in ta : U V s predpisoma (A + B)x = Ax + Bx in (ta)x = t(ax), x U Izrek 73 A + B in ta sta linearni preslikavi iz U v V Izrek 74 L(U, V ) opremljen s tema dvema operacijama je vektorski prostor Naj bodo U, V, W vektorski prostori nad F in A : U V in B : V W linearni preslikavi Preslikavo BA : U W definiramo s predpisom Izrek 75 BA L(U, W ) (BA)x = B(Ax), x U Linearno preslikavo A : V V imenujemo endomorfizem vektorskega prostora V Namesto L(V, V ) pišemo krajše L(V ) = L(V, V ) Torej je L(V ) množica vseh endomorfizmov vektorskega prostora V Ta množica je vektorski prostor Na tej množici imamo definirano še operacijo množenja; za vsak par A, B L(V ) je AB, BA L(V ) Za vsako trojico endomorfizmov A, B, C L(V ) in vsak skalar t F velja (AB)C = A(BC), in (A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB, (ta)b = A(tB) = t(ab) Zaradi vsega naštetega je L(V ) algebra nad obsegom F Definiramo preslikavo I : V V s predpisom Ix = x, x V Imenujemo jo identična preslikava ali identiteta Očitno je I L(V ) in za vsak A L(V ) je AI = IA = A Rečemo, da je I enota za množenje, L(V ) pa je algebra z enoto Pozor: množenje endomorfizmov ni komutativno Definicija 76 Naj bosta U in V vektorska prostora nad F in A : U V linearna preslikava Jedro preslikave Ker A in slika preslikave Im A sta definirana takole: Ker A = {x U : Ax = 0} in Im A = {y V : x U : Ax = y} Izrek 77 Jedro operatorja A je podprosor prostora U Slika operatorja A je podprostor prostora V Izrek 78 Naj bo A : U V linearna preslikava natanko tedaj, ko je Ker A = {0} Potem je A injektivna 26
Izrek 79 Naj bo A : U V linearna preslikava Če je A bijektivna, potem je A 1 : V U linearna preslikava Definicija 710 Bijektivno linearno preslikavo A : U V imenujemo izomorfizem prostora U na prostor V Bijektivno linearno preslikavo A : U U imenujemo avtomorfizem prostora U Definicija 711 Naj bo A : U V linearen operator Dimenzijo slike operatorja A imenujemo rang operatorja A, dimenzijo njegovega jedra pa defekt operatorja A Izrek 712 Naj bo A : U V linearen operator in dim U = n Potem je n = rang A + defekt A Posledica 713 Naj bo A : U V linearen operator in dim U = dim V Potem je A bijektiven natanko tedaj, ko je injektiven in to je natanko tedaj, ko je A surjektiven Definicija 714 Naj bosta U in V vektorska prostora nad F U in V sta izomorfna, če obstaja izomorfizem iz U v V Izrek 715 Naj bosta U in V vektorska prostora nad F Potem sta U in V izomorfna natanko tedaj, ko je dim U = dim V Posledica 716 Vsi vektorski prostori nad F dimenzije n so izomorfni F n Definicija 717 Naj bo U vektorski prostor nad F Vemo, da je L(U, F) vektorski prostor Imenujemo ga dualni prostor prostora U in ga označimo z U Elemente dualnega prostora imenujemo linearni funkcionali na U in jih označujemo z malimi črkami: f, g, h, Izrek 718 dim U = dimu Naj bo e 1,, e n baza prostora U definirani s predpisom Linearni funkcionali f 1,, f n : U F f i (e j ) = δ ij, 1 i, j n, tvorijo bazo dualnega prostora U Tej bazi rečemo dualna baza k bazi e 1,, e n Definicija 719 Naj bo A : U V linearna preslikava Adjungirano preslikavo A : V U definiramo s predpisom (A f)(x) = f(ax), x U, f V Opomba: Adjungirana preslikava je dobro definirana, saj je A f U za vsak f V 27
Izrek 720 A je linearen operator Izrek 721 Naj bodo U, V, Z vektorski prostori nad F, t F, A, B L(U, V ) in C L(V, Z) Potem je (A + B) = A + B, (ta) = ta, in (CA) = A C 8 Linearni operatorji in matrike Naj bosta U in V vektorska prostora nad F, A : U V linearna preslikava, vektorji e 1,, e n naj tvorijo bazo prostora U, vektorji f 1,, f m pa bazo prostora V Potem linearni preslikavi A priredimo m n matriko A = [a ij ] določeno z: m Ae j = a kj f k, j = 1,, n k=1 Pozor: matrika A pripadajoča linearnemu operatorju A je odvisna od izbire baz v prostorih U in V Če ima vektor x U koordinate x = (x 1,, x n ) glede na bazo e 1,, e n, in če s koordinatami vektorja x tvorimo n 1 matriko x, potem ima vektor Ax glede na bazo f 1,, f m koordinate, ki se nahajajo v m 1 matriki Ax Obratno, naj bosta U in V vektorska prostora nad F, vektorji e 1,, e n naj tvorijo bazo prostora U, vektorji f 1,, f m bazo prostora V, in naj bo dana m n matriko A = [a ij ] Potem tej matriki priredimo linearno preslikavo A : U V dano s predpisom n m n Ax = A x j e j = a ij x j f i j=1 i=1 j=1 Ker bomo linearne operatorje iz U v V identificirali z m n matrikami, vektorje iz U (iz V ) pa z n 1 matrikami (z m 1 matrikami), bomo za matriko, ki jo priredimo operatorju A, namesto oznake A uporabljali kar isto oznako A, in tudi namesto x bomo pisali kar x Izrek 81 Vektorski prostor L(U, V ) je izomorfen vektorskemu prostoru M m n (F) Izrek 82 Naj bodo U, V, in Z vektorski prostori nad F V vsakem od njih si izberemo in fiksiramo bazo Naj bosta A : U V in B : V Z linearni preslikavi V izbranih bazah naj jima pripadata matriki A in B Potem linearni preslikavi BA : U Z pripada matrika BA 28
Naj bo U vektorski prostor z bazo e 1,, e n Potem vsakemu endomorfizmu A : U U pripada kvadratna matrika A Posebej identiteti pripada identična matrika 1 0 0 0 1 0 I = 0 0 1 Matrika A je obrnljiva, če obstaja taka matrika B, da je AB = BA = I Tedaj matriko B označimo z B = A 1 in ji rečemo inverz matrike A Kvadratna matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko je pripadajoči endomorfizem A : U U obrnljiv, torej bijektiven, torej avtomorfizem Izrek 83 Naj bosta U in V vektorska prostora nad F Danemu linearnemu operatorju iz U v V naj v bazah e 1,, e n (baza prostora U) in f 1,, f m (baza prostora V ) pripada matrika A Temu istemu operatorju naj v bazah e 1,, e n (baza prostora U) in f 1,, f m (baza prostora V ) pripada matrika A Naj bo B = [b ij ] n n matrika določena z e j = b 1j e 1 + b 2j e 2 + + b nj e n, j = 1, n, in C = [c ij ] m m matrika določena z f j = c 1j f 1 + c 2j f 2 + + c mj f m, j = 1, m Potem je A = CAB Definicija 84 Matriki A, B M m n (F) sta ekvivalentni, če obstajata taki obrnljivi matriki P M m in Q M n, da je B = P AQ Izrek 85 Naj bo U vektorski prostor nad F Danemu endomorfizmu prostora U naj v bazi e 1,, e n pripada matrika A Temu istemu operatorju naj v bazi e 1,, e n pripada matrika A Naj bo B = [b ij ] n n matrika določena z e j = b 1j e 1 + b 2j e 2 + + b nj e n, j = 1, n Potem je A = B 1 AB Definicija 86 Matriki A, B M n (F) sta podobni, če obstaja taka obrnljiva matrika Q M n, da je B = Q 1 AQ Izrek 87 Dve m n matriki sta ekvivalentni natanko tedaj, ko imata isti rang 29
Izrek 88 Naj bo A m n matrika ranga r Potem je A ekvivalentna matriki 1 0 0 0 [ ] 0 1 0 0 I = r 0 r (n r) 0 0 0 0 0 (m r) r 0 (m r) (n r) 0 0 0 0 Definicija 89 Naj bo A = [a ij ] m n matrika Transponirana matrika A t je n m matrika, katere (i, j)-ti člen je a ji Izrek 810 Linearni transformaciji A : U V naj v izbranih bazah pripada matrika A Potem adjungiranemu operatorju A : V U v pripadajočih dualnih bazah pripada matrika A t Posledica 811 Naj bo A M m n in B M n p Potem je (AB) t = B t A t Posledica 812 Naj bo A M n obrnljiva matrika Potem je tudi A t obrnljiva matrika Posledica 813 Za vsako matriko A velja rang A = rang A t 9 Še enkrat o sistemih enačb Naj bo A m n matrika in b M m 1 Potem je Ax = b sistem m linearnih enačb za n neznank Matrika A porodi linearno preslikavo A : F n F m Očitno ima sistem rešitev natanko tedaj, ko je b Im A Torej: Izrek 91 Sistem Ax = b ima rešitev natanko tedaj, ko je rang razširjene matrike koeficientov enak rangu osnovne matrike koeficientov Posvetimo se najprej homogenim sistemom: Ax = 0 Množica rešitev je ravno jedro operatorja A Posebej ugotovimo, da ima vsak homogen sistem vsaj eno, to je trivialno rešitev: x 1 = = x n = 0 Množica rešitev homogenega sistema je vektorski podprostor prostora F n dimenzije n rang A Naj bo sedaj Ax = b nehomogen sistem linearnih enačb Denimo, da se ranga osnovne matrike koeficientov in razširjene matrike koeficientov ujemata Potem ima sistem vsaj eno rešitev Označimo jo z x p Tedaj je množica vseh rešitev sistema Ax = b enaka x p + Ker A = {x p + u : u Ker A} 30
10 Determinanta Definicija 101 Naj bo A = [a ij ] n n realna ali kompleksna matrika Determinanta matrike A je definirana s predpisom a 11 a 12 a 1n a det A = 21 a 22 a 2n = sgn (σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n), σ S n a n1 a n2 a nn kjer je sgn (σ) = 1, če je σ soda permutacija in sgn (σ) = 1, če je σ liha permutacija Opmba: v zgornji vsoti nastopa n! sumandov Zato je računanje determinante neposredno iz definicije zelo zamudno Naj bo A zgoraj trikotna matrika, Potem je a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n A = 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn det A = a 11 a 22 a nn V naslednjih izrekih so zajeta pravila za računanje determinante, ki omogočajo prevedbo na zgoraj trikotno obliko Izrek 102 det A = det A t Izrek 103 Če pomnožimo vse člene neke vrstice z istim faktorjem, je vrednost dobljene determinante enaka vrednosti prvotne determinante pomnožene s tem skupnim faktorjem Isto za stolpce Izrek 104 Če v determinanti zamenjamo dve vrstici, determinanta spremeni predznak Isto za stolpce Posledica 105 Determinanta z dvema enakima vrsticama ima vrednost 0 Isto za stolpce Posledica 106 Determinanta z dvema proporcionalnima vrsticama ima vrednost 0 Isto za stolpce 31
Izrek 107 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 a 22 a 2n = a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a = 21 a 22 a 2n a + 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Isto velja za i-to vrstico namesto prve vrstice, i = 2,, n Isto za stolpce Izrek 108 Determinanta ne spremeni vrednosti, če kakšni vrstici prištejemo s poljubnim skalarjem pomnoženo kako drugo vrstico Isto za stolpce Definicija 109 Naj bo dana determinanta a 11 a 12 a 1n a D = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn in naj bosta i, j naravni števili, 1 i, j n (i, j)-to poddeterminanto D ij dobimo iz D tako, da izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec ter dobljeno (n 1) (n 1) determinanto pomnožimo z ( 1) i+j Izrek 1010 Vrednost determinante se dobi tako, da se tvori skalarni produkt katerekoli vrstice (stolpca) z n-terico poddeterminant, ki ustrezajo tej vrstici (stolpcu) Izrek 1011 Skalarni produkt poljubne vrstice (stolpca) s poddeterminantami kake druge vrstice (stolpca) je 0 Izrek 1012 Naj bosta A in B poljubni n n matriki Potem je det(ab) = det A det B Definicija 1013 Kvadratna matrika A je singularna, če ni obrnljiva Izrek 1014 Naj bo A M n (F) Potem je A obrnljiva natanko tedaj, ko je det A 0 Tedaj je D 11 D 21 D n1 A 1 = 1 D 12 D 22 D n2 det A D 1n D 2n D nn 32
Izrek 1015 (Cramarejevo pravilo) Naj bo A kvadratna matrika in Ax = b sistem n linearnih enačb za n neznank Naj bo det A 0 Z D j, j = 1,, n, označimo determinanto, ki jo dobimo, če v determinanti matrike A j-ti stolpec nadomestimo s stolpcem b Potem ima sistem Ax = b natanko eno rešitev x 1 = D 1 det A, x 2 = D 2 det A,, x n = D n det A 11 Lastne vrednosti in lastni vektorji Definicija 111 Naj bo U vektorski prostor nad F in A : U U linearna preslikava Skalar λ je lastna vrednost operatorja A, če obstaja tak neničelen vektor x U, da velja Ax = λx Vsak tak vektor x imenujemo lastni vektor operatorja A (pripadajoč lastni vrednosti λ) Označimo L(λ) = {x U : Ax = λx} Očitno je L(λ) = Ker (A λi) podprostor prostora U Imenujemo ga lastni podprostor Definicija 112 Naj bo U vektorski prostor nad F in A : U U linearna preslikava Izberemo si bazo prostora U in v tej bazi preslikavi A priredimo matriko A Polinom p(λ) = det(λi A) imenujemo karakteristični polinom matrike A (linearnega operatorja A) Izrek 113 Karakteristični polinom je neodvisen od izbire baze v U Je polinom n-te stopnje z vodilnim koeficientom 1 Opomba: pogosto λi A zapišemo krajše λ A Izrek 114 Naj bo U vektorski prostor nad F, A : U U linearna preslikava in λ F Potem je λ lastna vrednost operatorja A natanko tedaj, ko je λ ničla karakterističnega polinoma operatorja A Torej lastne vrednosti operatorja A poiščemo tako, da izberemo bazo prostora U, zapišemo matriko operatorja A, izračunamo p(λ) = det(λi A) in poiščemo ničle polinoma p Razlika med R in C! Lastne vektorje k dani lastni vrednosti λ pa poiščemo tako, da 33
zapišemo matriko operatorja A glede na dano bazo, rešimo homogen sistem enačb (A λi)x = 0 Definicija 115 Naj bo U vektorski prostor nad F in A : U U linearna preslikava Naj bo W U podprostor W je invarianten podprostor operatorja A, če je AW W Izrek 116 Lastni podprostori operatorja A so invariantni podprostori operatorja A Definicija 117 Naj bo U vektorski prostor nad F, A : U U linearna preslikava in λ lastna vrednost operatorja A Geometrijska večkratnost lastne vrednosti λ (oznaka gm(λ, A)) je dim L(λ) Algebraična večkratnost lastne vrednosti λ (oznaka am(λ, A)) je stopnja ničle λ karakterističnega polinoma operatorja A Izrek 118 Naj bo U vektorski prostor, A : U U linearen operator, k naravno število, λ 1,, λ k paroma različne lastne vrednosti operatorja A, x 1,, x k pa pripadajoči neničelni lastni vektorji Potem so x 1,, x k linearno neodvisni Posledica 119 Naj bo U vektorski prostor, A : U U linearen operator in dim U = n Potem ima A kvečjemu n lastnih vrednosti Definicija 1110 Matrika A je diagonalizabilna, če je podobna diagonalni matriki Operator A : U U je diagonalizabilen, če mu pripada diagonalizabilna matrika Torej, A : U U je diagonalizabilen natanko tedaj, ko obstaja baza prostora U sestavljena iz samih lastnih vektorjev operatorja A Izrek 1111 n n matrika A je diagonalizabilna natanko tedaj, ko njen karakteristični polinom v F razpade na same linearne faktorje in za vsako lastno vrednost λ velja am(λ, A) = gm(λ, A) Izrek 1112 (Cayley-Hamiltonov izrek) Naj bo A n n matrika in p njen karakteristični polinom Potem je p(a) = 0 Definicija 1113 Naj bo A n n matrika Polinom q je minimalni polinom matrike A, če q(a) = 0, vodilni koeficient polinoma q je 1, če je k neničelni polinom in k(a) = 0, potem je stopnja polinoma k večja ali kvečjemu enaka stopnji polinoma q Izrek 1114 Naj bo A n n matrika, q njen minimalni polinom in k tak neničelen polinom, da je k(a) = 0 Potem polinom q deli polinom k Posledica 1115 Minimalni polinom matrike je enolično določen Minimalni polinom deli karakteristični polinom 34
12 Hermitsko adjungirane preslikave Definicija 121 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in S V poljubna podmnožica Ortogonalni komplement množice S je Izrek 122 S je podprostor v V S = {x V : x y za vsak y S} Definicija 123 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, U V podprostor in x vektor v V Če obstajata taka vektorja x 1 U in x 2 U, da je x = x 1 + x 2, potem x 1 imenujemo ortogonalna projekcija vektorja x na podprostor U Izrek 124 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor, U V podprostor in x vektor v V Potem obstaja natanko ena ortogonalna projekcija x na U Opomba: naj vektorji e 1,, e k tvorijo ortonormirano bazo podprostora U Potem je pravokotna projekcija vektorja x na U enaka x 1 = x, e 1 e 1 + + x, e k e k Posledica 125 Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in U V podprostor Potem je V = U U in zato dim V = dim U + dim U Izrek 126 (Rieszov izrek) Naj bo V evklidski ali unitarni prostor in f V Potem obstaja natanko en tak vektor y V, da je za vsak x V f(x) = x, y Definicija 127 Naj bosta U in V evklidska ali unitarna prostora in A : U V linearen operator Linearna preslikava A : V U je (hermitsko) adjungirana preslikava preslikave A, če velja za vsak u U in vsak v V Au, v = u, A v Izrek 128 Za vsako linearno preslikavo A : U V obstaja natanko ena adjungirana preslikava 35