Velika logična pošast Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb Dana je diofantska enačba ax+by=c. Enačbo rešujemo samo v primeru, če sta a in b medseboj tuji naravni števili.. 0x+y=4
2 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 2. 8x+35y=9 3. 7x+43y= 4. 7x+3y=8 5. 9x+22y=6 6. 30x+3y=8 7. 25x+49y=3 8. x+2y=9 9. x+35y=5 0. 26x+27y=3. 8x+9y=8 2. 5x+44y=5 3. 25x+29y=6 4. 6x+7y=5 5. 9x+43y=8 6. 23x+34y=2 7. 8x+9y=5 8. 3x+5y=6 9. 8x+9y=9 20. 25x+33y=9 2. 23x+24y=5
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 3 22. 23x+38y=6 23. 5x+44y=6 24. 28x+29y=4 25. x+47y=4 26. 7x+44y=3 27. 3x+49y=5 28. 9x+0y=2 29. 23x+3y=4 30. 20x+4y=8 3. 6x+7y=8 32. 27x+46y=3 33. 3x+42y=3 34. 25x+3y=9 35. 3x+22y=9 36. 0x+39y=4 37. 9x+43y=6 38. 20x+4y=3 39. 3x+26y=3 40. x+3y=3 4. 23x+47y=6
4 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 42. 29x+49y=9 43. 6x+45y=6 44. 20x+39y=6 45. 24x+25y=2 46. 7x+49y=8 47. 9x+26y=4 48. 8x+9y=2 49. x+35y= 50. 30x+3y=9 Rešitve: Enačba: 0x+y=4. 0 x + y = 4 x -y + ( 4-y ) z 4-y 0 0 y + (0 z) = 4 y = 4-0 z x = -4 + z Enačba: 8x+35y=9 y 4-0 z 2. 8 x + 35 y = 9 x -y + ( 8 9-7 y ) z 9-7 y 8 7 y + (8 z) = 9 y -z + ( 9-z ) s 9-z 7 7 z + (7 s) = 9 z = 9-7 s y = -9 + 8 s x = 8-35 s z 9-7 s
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 5 Enačba: 7x+43y= 3. 7 x + 43 y = x -2 y + ( 7-9 y ) z - 9 y 7 9 y + (7 z) = y -z + ( - 8 z ) s - 8 z 9 9 8 z + (9 s) = z -s + ( -s ) t -s 8 8 s + (8 t) = s = - 8 t z = - + 9 t y = 2-7 t x = -5 + 43 t Enačba: 7x+3y=8 s - 8 t 4. 7 x + 3 y = 8 x -y + ( 7 8-4 y ) z 8-4 y 7 4 y + (7 z) = 8 y -z + ( 8-3 z ) s 8-3 z 4 4 3 z + (4 s) = 8 z t 2-2 s 2-4 s + ( 2-2 s ) 3 3 2 s + (3 t) = 2 s - t + (- t 2 ) u - t 2 t + (2 u) = 0 t = -2 u s = + 3 u z = -2 + 7 u y = 3 + 7 u x = -5-3 u t -2 u
6 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 9x+22y=6 5. 9 x + 22 y = 6 x z (6-4 y) -2 y + ( (6-4 y)) 9 9 4 y + (9 z) = 6 y - 2 z + ( 2-z ) s 2-z 4 4 z + (4 s) = 2 z = 2-4 s y = -3 + 9 s x = 8-22 s Enačba: 30x+3y=8 z 2-4 s 6. 30 x + 3 y = 8 x -y + ( 8-y ) z 8-y 30 30 y + (30 z) = 8 y = 8-30 z x = -8 + 3 z Enačba: 25x+49y=3 y 8-30 z 7. 25 x + 49 y = 3 x -y + ( 25 3-24 y ) z 3-24 y 25 24 y + (25 z) = 3 y -z + ( 3-z ) s 3-z 24 24 z + (24 s) = 3 z = 3-24 s y = -3 + 25 s x = 6-49 s Enačba: x+2y=9 z 3-24 s 8. x + 2 y = 9 x -y + ( 9-y ) z 9-y y + ( z) = 9 y = 9 - z x = -9 + 2 z y 9 - z
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 7 Enačba: x+35y=5 9. x + 35 y = 5 x -3 y + ( 5-2 y ) z 5-2 y 2 y + ( z) = 5 y 2-5 z + ( -z ) s -z 2 2 z + (2 s) = z = - 2 s y = -3 + s x = 0-35 s Enačba: 26x+27y=3 z - 2 s 0. 26 x + 27 y = 3 x -y + ( 3-y ) z 3-y 26 26 y + (26 z) = 3 y = 3-26 z x = -3 + 27 z Enačba: 8x+9y=8 y 3-26 z. 8 x + 9 y = 8 x - y + (- y 8 ) z - y 8 y = -8 z x = + 9 z y + (8 z) = 0 Enačba: 5x+44y=5 y -8 z 2. 5 x + 44 y = 5 x -2 y + ( 5 5-4 y ) z 5-4 y 5 4 y + (5 z) = 5 y -z + ( 5-z ) s 5-z 4 4 z + (4 s) = 5 z = 5-4 s y = -5 + 5 s x = 5-44 s z 5-4 s
8 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 25x+29y=6 3. 25 x + 29 y = 6 x -y + ( (6-4 y)) z (6-4 y) 25 25 4 y + (25 z) = 6 y - 6 z + ( 2-z ) s 2-z 4 4 z + (4 s) = 2 z = 2-4 s y = - + 25 s x = 3-29 s Enačba: 6x+7y=5 z 2-4 s 4. 6 x + 7 y = 5 x -y + ( 5-y ) z 5-y 6 6 y + (6 z) = 5 y = 5-6 z x = -5 + 7 z Enačba: 9x+43y=8 y 5-6 z 5. 9 x + 43 y = 8 x z 8-7 y -4 y + ( 8-7 y ) 9 9 7 y + (9 z) = 8 y s - 2 z - z + ( - 2 z ) 7 7 2 z + (7 s) = z -3 s + ( -s ) t -s 2 2 s + (2 t) = s = - 2 t z = -3 + 7 t y = 5-9 t x = -23 + 43 t s - 2 t
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 9 Enačba: 23x+34y=2 6. 23 x + 34 y = 2 x -y + ( 23 2 - y ) z 2 - y 23 y + (23 z) = 2 y -2 z + ( 2-z ) s 2-z z + ( s) = 2 z = 2 - s y = -4 + 23 s x = 6-34 s Enačba: 8x+9y=5 z 2 - s 7. 8 x + 9 y = 5 x -y + ( 5-y ) z 5-y 8 8 y + (8 z) = 5 y = 5-8 z x = -5 + 9 z Enačba: 3x+5y=6 y 5-8 z 8. 3 x + 5 y = 6 x -y + ( 6-2 y ) z 6-2 y 3 3 2 y + (3 z) = 6 y 3-6 z + (- z 2 ) s - z 2 z + (2 s) = 0 z = -2 s y = 3 + 3 s x = -3 + 5 s Enačba: 8x+9y=9 z -2 s 9. 8 x + 9 y = 9 x - y + ( -y ) z -y 8 8 y = - 8 z x = 9 z y + (8 z) = y - 8 z
0 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 25x+33y=9 20. 25 x + 33 y = 9 x -y + ( 9-8 y ) z 9-8 y 25 25 8 y + (25 z) = 9 y - 3 z + ( -z ) s -z 8 8 z + (8 s) = z = - 8 s y = -2 + 25 s x = 3-33 s Enačba: 23x+24y=5 z - 8 s 2. 23 x + 24 y = 5 x -y + ( 5-y ) z 5-y 23 23 y + (23 z) = 5 y = 5-23 z x = -5 + 24 z Enačba: 23x+38y=6 y 5-23 z 22. 23 x + 38 y = 6 x -y + ( 23 6-5 y ) z 6-5 y 23 5 y + (23 z) = 6 y -z + ( 6-8 z ) s 6-8 z 5 5 8 z + (5 s) = 6 z -s + ( (6-7 s)) t (6-7 s) 8 8 7 s + (8 t) = 6 s -t + ( 6-t ) u 6-t 7 7 t + (7 u) = 6 t = 6-7 u s = -6 + 8 u z = 2-5 u y = -8 + 23 u x = 30-38 u t 6-7 u
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 5x+44y=6 23. 5 x + 44 y = 6 x z - 4 y - 8 y + ( - 4 y ) 5 5 4 y + (5 z) = y -z + ( -z ) s -z 4 4 z + (4 s) = z = - 4 s y = - + 5 s x = 0-44 s Enačba: 28x+29y=4 z - 4 s 24. 28 x + 29 y = 4 x -y + ( 4-y ) z 4-y 28 28 y + (28 z) = 4 y = 4-28 z x = -4 + 29 z Enačba: x+47y=4 y 4-28 z 25. x + 47 y = 4 x -4 y + ( 4-3 y ) z 4-3 y 3 y + ( z) = 4 y s - 2 z - 3 z + ( - 2 z ) 3 3 2 z + (3 s) = z -s + ( -s ) t -s 2 2 s + (2 t) = s = - 2 t z = - + 3 t y = 5 - t x = -2 + 47 t s - 2 t
2 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 7x+44y=3 26. 7 x + 44 y = 3 x z 3-2 y -6 y + ( 3-2 y ) 7 7 2 y + (7 z) = 3 y - 3 z + ( -z ) s -z 2 2 z + (2 s) = z = - 2 s y = -2 + 7 s x = 3-44 s Enačba: 3x+49y=5 z - 2 s 27. 3 x + 49 y = 5 x - 6 y + ( 2-y ) z 2-y 3 3 y + (3 z) = 2 y = 2-3 z x = -3 + 49 z Enačba: 9x+0y=2 y 2-3 z 28. 9 x + 0 y = 2 x -y + ( 2-y ) z 2-y 9 9 y + (9 z) = 2 y = 2-9 z x = -2 + 0 z y 2-9 z
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 3 Enačba: 23x+3y=4 29. 23 x + 3 y = 4 x -y + ( 4-8 y ) z 4-8 y 23 23 8 y + (23 z) = 4 y s (4-7 z) -2 z + ( (4-7 z)) 8 8 7 z + (8 s) = 4 z -s + ( 4-s ) t 4-s 7 7 s + (7 t) = 4 s = 4-7 t z = -4 + 8 t y = 2-23 t x = -6 + 3 t Enačba: 20x+4y=8 s 4-7 t 30. 20 x + 4 y = 8 x -2 y + ( 8-y ) z 8-y 20 20 y + (20 z) = 8 y = 8-20 z x = -6 + 4 z Enačba: 6x+7y=8 y 8-20 z 3. 6 x + 7 y = 8 x - y + ( 2-y ) z 2-y 6 6 y + (6 z) = 2 y = 2-6 z x = - + 7 z y 2-6 z
4 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 27x+46y=3 32. 27 x + 46 y = 3 x -y + ( 27 3-9 y ) z 3-9 y 27 9 y + (27 z) = 3 y -z + ( 3-8 z ) s 3-8 z 9 9 8 z + (9 s) = 3 z t 3-3 s -2 s + ( 3-3 s ) 8 8 3 s + (8 t) = 3 s - 2 t + (- 2 t ) u - 2 t 3 3 2 t + (3 u) = 0 t -u + (- u 2 ) v - u 2 u + (2 v) = 0 u = -2 v t = 3 v s = - 8 v z = -2 + 9 v y = 3-27 v x = -5 + 46 v Enačba: 3x+42y=3 u -2 v 33. 3 x + 42 y = 3 x -3 y + ( 3 3-3 y ) z 3-3 y 3 3 y + (3 z) = 3 y - 4 z + (- z 3 ) s - z 3 z + (3 s) = 0 z = -3 s y = + 3 s x = -3-42 s z -3 s
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 5 Enačba: 25x+3y=9 34. 25 x + 3 y = 9 x -y + ( 9-6 y ) z 9-6 y 25 25 6 y + (25 z) = 9 y - 4 z + ( 3-z ) s 3-z 6 6 z + (6 s) = 3 z = 3-6 s y = - + 25 s x = 4-3 s Enačba: 3x+22y=9 z 3-6 s 35. 3 x + 22 y = 9 x -y + ( 9-9 y ) z 9-9 y 3 3 9 y + (3 z) = 9 y - z + (- 4 z ) s - 4 z 9 9 4 z + (9 s) = 0 z -2 s + (- s 4 ) t - s 4 s + (4 t) = 0 s = -4 t z = 9 t y = - 3 t x = - + 22 t Enačba: 0x+39y=4 s -4 t 36. 0 x + 39 y = 4 x -3 y + ( 0 4-9 y ) z 4-9 y 0 9 y + (0 z) = 4 y -z + ( 4-z ) s 4-z 9 9 z + (9 s) = 4 z = 4-9 s y = -4 + 0 s x = 6-39 s z 4-9 s
6 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 9x+43y=6 37. 9 x + 43 y = 6 x -2 y + ( 9 (6-5 y)) z (6-5 y) 9 5 y + (9 z) = 6 y s - 4 z - 3 z + ( - 4 z ) 5 5 4 z + (5 s) = z -s + ( -s ) t -s 4 4 s + (4 t) = s = - 4 t z = - + 5 t y = 5-9 t x = - + 43 t Enačba: 20x+4y=3 s - 4 t 38. 20 x + 4 y = 3 x -2 y + ( 3-y ) z 3-y 20 20 y + (20 z) = 3 y = 3-20 z x = -6 + 4 z Enačba: 3x+26y=3 y 3-20 z 39. 3 x + 26 y = 3 x - 8 y + (- 2 y ) z - 2 y 3 3 2 y + (3 z) = 0 y -z + (- z 2 ) s - z 2 z = -2 s y = 3 s x = - 26 s z + (2 s) = 0 z -2 s
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 7 Enačba: x+3y=3 40. x + 3 y = 3 x -y + ( 3-2 y ) z 3-2 y 2 y + ( z) = 3 y - 5 z + ( -z ) s -z 2 2 z + (2 s) = z = - 2 s y = -4 + s x = 5-3 s Enačba: 23x+47y=6 z - 2 s 4. 23 x + 47 y = 6 x -2 y + ( 6-y ) z 6-y 23 23 y + (23 z) = 6 y = 6-23 z x = -2 + 47 z Enačba: 29x+49y=9 y 6-23 z 42. 29 x + 49 y = 9 x -y + ( 29 9-20 y ) z 9-20 y 29 20 y + (29 z) = 9 y -z + ( 9-9 z ) s 9-9 z 20 20 9 z + (20 s) = 9 z - 2 s + (- 2 s ) t - 2 s 9 9 2 s + (9 t) = 0 s -4 t + (- t 2 ) u - t 2 t + (2 u) = 0 t = -2 u s = 9 u z = - 20 u y = - + 29 u x = 2-49 u t -2 u
8 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: 6x+45y=6 43. 6 x + 45 y = 6 x -2 y + ( 6 6-3 y ) z 6-3 y 6 3 y + (6 z) = 6 y -z + ( 6-3 z ) s 6-3 z 3 3 3 z + (3 s) = 6 z 2-4 s + (- s 3 ) t - s 3 s + (3 t) = 0 s = -3 t z = 2 + 3 t y = -2 + 8 t x = 6 + 45 t Enačba: 20x+39y=6 s -3 t 44. 20 x + 39 y = 6 x -y + ( 20 6-9 y ) z 6-9 y 20 9 y + (20 z) = 6 y -z + ( 6-z ) s 6-z 9 9 z + (9 s) = 6 z = 6-9 s y = -6 + 20 s x = 2-39 s Enačba: 24x+25y=2 z 6-9 s 45. 24 x + 25 y = 2 x -y + ( 2-y ) z 2-y 24 24 y + (24 z) = 2 y = 2-24 z x = -2 + 25 z y 2-24 z
Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb 9 Enačba: 7x+49y=8 46. 7 x + 49 y = 8 x -2 y + ( 7 8-5 y ) z 8-5 y 7 5 y + (7 z) = 8 y -z + ( 8-2 z ) s 8-2 z 5 5 2 z + (5 s) = 8 z 4-7 s + (- s 2 ) t - s 2 s + (2 t) = 0 s = -2 t z = 4 + 5 t y = -4-7 t x = 2 + 49 t Enačba: 9x+26y=4 s -2 t 47. 9 x + 26 y = 4 x -y + ( (4-7 y)) z (4-7 y) 9 9 7 y + (9 z) = 4 y s (4-5 z) -2 z + ( (4-5 z)) 7 7 5 z + (7 s) = 4 z -s + ( 4-2 s ) t 4-2 s 5 5 2 s + (5 t) = 4 s 2-2 t + (- t 2 ) u - t 2 t + (2 u) = 0 t = -2 u s = 2 + 5 u z = -2-7 u y = 6 + 9 u x = -8-26 u Enačba: 8x+9y=2 t -2 u 48. 8 x + 9 y = 2 x -y + ( 2-y ) z 2-y 8 8 y + (8 z) = 2 y = 2-8 z x = -2 + 9 z y 2-8 z
20 Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb, prvi del.nb Enačba: x+35y= 49. x + 35 y = x -3 y + ( - 2 y ) z - 2 y 2 y + ( z) = y -5 z + ( -z ) s -z 2 2 z + (2 s) = z = - 2 s y = -5 + s x = 6-35 s Enačba: 30x+3y=9 z - 2 s 50. 30 x + 3 y = 9 x -y + ( 9-y ) z 9-y 30 30 y + (30 z) = 9 y = 9-30 z x = -9 + 3 z y 9-30 z