Seminr Feynmnov interpretcij kvntne mehnike in primeri re²evnj problemov Avtor: Gl Lemut Mentor: prof. dr. Anton Rm²k 31. mj 016, Ljubljn Povzetek Vsi poznmo kvntno mehniko predstvljeno s Schrödingerjevo en bo in vlovno funkcijo, vendr to ni edini n in r unnj v kvntnem svetu. Tudi meri²ki zik Richrd Feynmn je predstvil svojo formulcijo kvntnme mehnike s pomo jo popotnih integrlov. T nm sicer ne predstvlj novih re²itev, temve le drug en pogled n ºe znne probleme, kot so nprimer prosti delec, hrmonski osciltor in Ahron-Bohmov pojv.
Kzlo 1 Uvod Popotni integrl 3.1 Riemnnov integrl.................................... 3. Feynmnov popotni integrl............................... 3.3 Produktno prvilo z se²tevnje............................. 5 3 Prosti delec 6 4 Jedro in vlovn funkcij 8 4.1 Feynmnovo jedro kot integrlsk oblik Schrödingerjeve en be.......... 8 4. Propgtor in Evklidsk strtegij........................... 10 4.3 Izpeljv klsi ne Schrödingerjeve en be....................... 10 5 Potencil in hrmonski osciltor 1 5.1 Izr un jedr in Gussovi integrli........................... 1 5. Jedro z hrmonski osciltor.............................. 13 6 Ahron-Bohmov pojv 16 7 Zklju ek 17 8 Dodtek: Primer z rvni vl 18 1
1 Uvod še od smeg z etk kvntne mehnike, je bil rzlg njenih rezulttov vedno pod vpr²jem. Tko se je kvntn mehnik v z etku obrvvnvl n dv rzli n n in. Vzporedno st se rzvijli Heisenbergov mtri n formulcij in Schrödingerjev diferenciln oblik. Pribliºno 0 let ksneje p je meri²ki zik Richrd Feynmn predstvil tudi tretjo lterntivno formulcijo s pomo jo popotneg integrl. T je osnovn n principu klsi ne kcije, kjer z rzliko od klsi ne zike, upo²tevmo vse moºne poti. Kljub temu, d je t teorij lºje povezljiv s klsi no mehniko, je zrdi kompleksnosti popotneg integrl v ve ini primerov uporb Schrödingerjeve en be z izr un vlovnih funkcij precej enostvnej². Vseeno p je Feynmnov interpretcij zelo pomembn z globlje rzumevnje kvntne mehnike in numeri no re²evnje dolo enih problemov. V tem seminrju bom predstvil formulcijo Feynmnovih jeder in njihove osnovne zn ilnosti. Posvetili se bomo nliti nemu n inu re²evnj problemov, kot st prosti delec in Hrmonski osciltor, ter si pogledli njune re²itve. Slik 1: Richrd Feynmn. 1
Popotni integrl.1 Riemnnov integrl Z rzumevnje popotneg integrl se njprej spomnimo Riemnnove denicije integrl, pri kterem smo poizku²li izr unti plo² ino pod poljubno krivuljo. y = f(x) : R R (1) Pri tem smo rzdelili intervl [, b] n n intervlov ter vskemu intervlu pripisli vrednost x n, nɛ[0, N 1]. Tko smo denirli integrl kot limito, ko gre n v neskon nost in velikost intervlov proti 0. b N 1 f(x)dx = lim f(x n ) () N n=0. Feynmnov popotni integrl Pri popotnem integrlu je rzmislek podoben, le d ºelimo se²teti vse moºne poti med dvem to km. Slik : Primeri rzli nih poti med to km A in B. Njprej denirmo pot med dvem to km. Rzdelimo sovni intervl [t, t b ] n N delov z dolºino ɛ in z vsk s t n izberemo to ko x n. Vsk pot bo, tko tekl po neki mnoºici 3
} to k {x 0, x 1, x..., x N 1. S tem smo zdj denirli mnoºico poti in lhko po njih se²tevmo z { } integrcijo po spremenljivkh x n z n 0, 1,, 3..., (N 1) v vski to ki t n kjer velj: 3, 4 t b t = nɛ (3) t n+1 = t n + ɛ t 0 = t, t N 1 = t b x 0 =, x N 1 = b. Slik 3: Delitev poti n intervle t n pri pozicijh x n ob tem su. 5 Tko dobimo N -krtni integrl, ker st to ki x 0 in x N 1 pritrjeni n poziciji in b. K(b, )... φ[x(t)]dx 1 dx...dx N (4) Zdj mormo N poslti v neskon nost, d dobimo res vsoto po vseh poteh. Tko kot pri Riemnovem integrlu, mormo tudi tu denirti normlizcijski fktor, ki bo odvisen od ɛ, d bo t limit sploh lhko obstjl. Fktor A p n ºlost ne moremo v splo²nem denirti, vendr se z n²e primere, kjer uporbljmo en bo klsi ne kcije izkºe, d je t normlizcijski fktor kr A (N 1) kjer z A velj: 3, 4 Zdj lhko splo²no denirmo popotni integrl med in b. A = ( πi ɛ m ) 1 (5) b 1 F (b,) [(x(t)]dx = lim ɛ 0 A... F (b,) [(x(t))] dx 1 A dx A...dx N A (6) 4
V Feynmnovi formulciji kvntne mehnike uporbimo popotni integrl z denicijo jedr, ki nm pove verjetnostno mplitudo, d je nek delec pri²el iz to ke v to ko b. V izpeljvo te formule se v tem seminrju ne bomo poglbljli in jo bomo le zpisli kot: K(b, ) = b kjer S[b, ] predstvlj klsi no kcijo po poti med in b. e ( i )S[b,] Dx (7) S[b, ] = tb t L(ẋ, x, t)dt (8).3 Produktno prvilo z se²tevnje Zdj, ko immo zpisno prvilo z izr un verjetnostne mplitude, si poglejmo ²e, kko se te med seboj se²tevjo. Predstvljjmo si, d immo med z etnim som t in kon nim som t b ²e nek vmesni dogodek, ki se zgodi ob su t c. Potem lhko zpi²emo kcijo in jedro kot: 3 S[b, ] = S[c, ] + S[b, c] (9) K(b, ) = b e ( i )S[b,] Dx = b e ( i )(S[c,]+S[b,c]) Dx (10) Iz teg vidimo, d lhko njprej izvedemo integrcijo po poteh od do c, nto po poteh od c do b in nzdnje ²e po vseh vrednostih vmesne to ke c. K(b, ) = b c K(b, ) = e ( i )(S[c,]+S[b,c]) Dx(t)dx c (11) K(b, c)k(b, c) ƒe to prvilo posplo²imo z poljubno ²tevilo zporednih dogodkov dobimo: K(b, ) =... K(b, N 1)K(N 1, N )...K(i, i 1)...K(1, )dx 1 dx...dx N 1 (1) Tko lhko denirmo med to km in b, N vmesnih to k in dobimo jedr, lo en z zelo krtkimi sovnimi intervli: 5
xn 1 K(n, n 1) = e ( i )S[n,n 1] Dx (13) x n S[n, n 1] = ɛl( x n x n 1 ɛ, x n + x n 1, t n t n 1 ) (14) N t n in lhko zpi²emo skupno jedro med to km in b kot produkt mnj²ih jeder z n krtkih intervlov, ko limitirmo dolºino intervl ɛ 0. K(b, ) = lim ɛ 0 n=1 N K(n, n 1) (15) 3 Prosti delec No, p si poglejmo kko t formlizem deluje. funkcijo: 3 Vzemimo primer prosteg delc z Lgrngovo L = m ẋ (16) in denirmo kcijo z nek krtek intervl med x n in x n 1 kot S = m (x n x n 1 ) ɛ (17) s K 0. Tko lhko potem zpi²emo denicijo jedr z prosti delec, ki g bomo od zdj nprej ozn evli K 0 (b, ) = lim m ( ɛ 0 πi ɛ )(N/)... { im exp N (x n x n 1 ) } dx 1...dx N 1 (18) ɛ n=1 Tu mormo re²iti set Gussovih integrlov, kterih integrcijo lhko zpi²emo kot: { exp (x x 1 ) + (x 1 + x 0 ) } π dx 1 = e(x+x0) (19) ƒe to pomnoºimo z Gussovo funkcijo, ki vsebuje x 3, x in integrirmo po x nm enk postopek d rezultt: π 3 e(x3+x0) 6
Ko t postopek ponovimo (N 1)-krt z rekurzijo in upo²tevmo, d velj nɛ = (t b t ) dobimo rezultt, ki g lhko uporbimo z izr un jedr z prosti delec, ki se potem glsi: 3 m { K 0 (b, ) = πi (t b t ) exp im(xb x ) } (t b t ) (0) Slik 4: Odvisnost R( ik 0 ) od neke reltivne pozicije x pri predpostvki, d je z etn to k x 0 = 0 7
Slik 5: Odvisnost R( ik 0 ) od reltivneg s t pri predpostvki, d je ob z etni to ki s t 0 = 0 Slik 6: Odvisnost R( ik 0 )(t) z dlj²e se po pri kovnju upd. 4 Jedro in vlovn funkcij 4.1 Feynmnovo jedro kot integrlsk oblik Schrödingerjeve en be Zdj, ko ºe znmo po deniciji izr unti jedro z prosti delec, p si poglejmo, kj to jedro prvzprv predstvlj in kko se povezuje z vsem bolj poznno Schrödingerjevo vlovno funkcijo. Jedro smo denirli s pomo jo popotneg integrl, ki upo²tev kcije vseh moºnih poti. Predstvlj nm verjetnostno mplitudo, d se je n² delec, ki je bil ob su t v to ki, ob su t b zn²el v to ki b. Schrödingerjev vlovn funkcij p nm z rzliko od Feynmnoveg jedr pove verjetnostno mplitudo, d se nek delec ob su t nhj v to ki x ne glede n njegov krj in s izvor. To ns pripelje do rzmislek, d e bi se²teli verjetnostne mplitude jeder, ki se ob su t b znjdejo v to ki b po vseh moºnih izvornih sih t in to kh, bi lhko izr unli tudi vlovno 8
funkcijo teg delc. Tko lhko pri z etni verjetnostni gostoti ψ(x 0, t 0 ) s pomo jo jeder zpi²emo izrz z vlovno funkcijo ob nekem poznej²em krju in su. 6 ψ(x, t) = K(x, x 0, t, t 0 )ψ(x 0, t 0 )dx 0 (1) Jedro nm prek te en be predstvlj propgtor vlovne funkcije ozirom neke vrste integrlski zpis Schrödingerjeve en be, sj lhko iz, nekeg z etneg stnj s pomo jo jedr, dobimo poljubno ksnej²e stnje. Slik 7: Slik prikzuje primer propgirnj ²ktlste vlovne funkcije, z jedrom z prosti delec, pri rzli nih slede ih reltivnih sih. Kot znimivost opzimo, d je to ekvivlentno Fresnelovem uklonskem integrlu z prvokotno reºo. Integrl, ki se pojvit v teh dveh primerih st mtemti no ekvivlentn, kr je tudi nekko smiselno sj v obeh primerih propgirmo neke vrste rvne vlove z z etno ²ktlsto porzdelitvijo. 9
4. Propgtor in Evklidsk strtegij Z lºjo predstvo pomen propgtorj si lhko, podobno kot v primeru Schrödingerjeve en be, pomgmo z difuzijsko en bo. Z to en bo vemo, d nm propgtor predstvlj Gussov funkcij. 6 1 P(x, x 0, t, t 0 ) = 4πD(t t 0 ) e (x x0) 4D(t t0) () Z difuzijsko en bo vemo, d e nprimer vzmemo z etno porzdelitev Φ(x 0, t 0 ) = δ(x 0 ) in uporbimo formulo [1] z propgtor, lhko zpi²emo stnje ob poljubnem su kr kot Φ(x, t) = 1 4πD(t t e (x x0) 4D(t t0) 0). Pri preskoku nzj n kvntno mehniko, se spomnimo kko lhko dobimo Schrödingerjevo en bo iz difuzijske s substiticijm: t it (3) D = m Temu postopku re emo tudi Evklidsk strtegij, ki prvi, d si mormo z izr un kvntnih procesov v nrvi njprej predstvljti difuzijske procese in potem preiti n imginrni s. 7 Zdj lhko t proces poizkusimo uporbiti ²e n propgtorju z difuzijsko en bo in lhko tkoj prepoznmo jedro z prosti delec. 1 4πD(t t 0 ) e (x x0) 4D(t t0) m πi (t t 0 ) e im(x x0) (t t 0 ) = K 0 (x, x 0 ) (4) 4.3 Izpeljv klsi ne Schrödingerjeve en be Ko si zdj bolj²e predstvljmo jedro kot propgtor, lhko pogledmo ²e njegovo direktno povezvo s Schrödingerjevo en bo. Vzemimo, d immo neko z etno funkcijo ψ(x 0, t 0 ). Z nek ksnej²i s t 1 = t 0 + δ in pozicijo x 1 = x 0 ɛ lhko prek jedr zpi²emo en bo z ψ. 6 ψ(x 1, t 1 ) = Z upo²tevnjem, d st δ in ɛ mjhn zpi²emo jedro kot: K(x 1, x 0, t 1, t 0 )ψ(x 0, t0)dx 0 (5) 10
K(x 1, x 1 + ɛ, t 0 + δ, t 0 ) A(δ)e ( i )( m δ ɛ δv (x 1+ ɛ )) (6) in lhko rzvijemo e iδ V (x1+ ɛ ), ψ(x 0, t 0 ) in ψ(x 1, t 1 ) z mjhne vrednosti ɛ in δ. e iδ V (x1+ ɛ ) = 1 iδ V (x 1) (7) ψ(x 0, t 0 ) = ψ(x 1 + ɛ, t 0 ) = ψ(x 1, t 0 ) + ɛ ψ(x 1, t 0 ) + 1 x 1 ɛ ψ(x 1, t 0 )... (8) x 1 Ko potem to vstvimo v en bo [5] dobimo: [ ψ(x 1, t 1 ) = A(δ) 1 iδ ] [ V (x 1) ψ(x 1, t 0 ) + ɛ ψ(x 1, t 0 ) + 1 x 1 ɛ ψ(x 1, t 0 ) ] x e ( i )( m δ ɛ) dɛ (9) 1 Tkoj lhko izlo imo len z ɛ n prvo potenco, ki bo zrdi integrcije lihe funkcije po simetri nem intervlu izpdel in dobili bomo neko obliko Gussoveg integrl z re²itvjo: δ [ ψ(x 1, t 1 ) = ψ(x 1, t 0 + δ) = A(δ) 1 iδ im V (x 1) + δ mi x 1 ] ψ(x 1, t 0 ) (30) Ker mort biti lev in desn strn en be enki, ko po²ljemo δ 0, lhko zdj kon no izrzimo ºe prej uporbljeno vrednost normlizcijske konstnte A = ( πi ɛ m ) 1. En bo lhko zdj preuredimo in ko zrdi lep²e notcije ozn imo x 1 = x in t 0 = t lhko zpi²emo: i (ψ(x, t + δ) ψ(x, t)) δ = [ V (x) δ ] m x ψ(x, t) (31) Ko sedj dokon no limitirmo δ 0, prepoznmo odvod po su kot lim δ 0 i (ψ(x,t+δ) ψ(x,t)) δ in dobimo z rezultt klsi no Schrödingerjevo en bo. ψ(x, t) [ i = V (x) δ ] t m x ψ(x, t) (3) 11
5 Potencil in hrmonski osciltor 5.1 Izr un jedr in Gussovi integrli Poleg jedr z prosti delec, lhko preizkusimo to formulcijo ²e z druge zglede. Njpreprostej²i primeri so tisti, v kterih se pojvijo spremenljivke n njve drugo potenco. Te integrle lhko klsicirmo kot Gussove integrle in si jih bomo podrobneje ogledli. Predstvljjmo si, d immo v splo²nem primeru neko Lgrngovo funkcijo oblike: 3 in zpi²emo jedro kot: L(x) = A(t)ẋ + B(t)ẋ + C(t)x + D(t)x + E(t)ẋx + F (t) (33). K(b, ) = b e ( i ) t b t A(t)ẋ +B(t)ẋ+C(t)x +D(t)x+E(t)ẋx+F (t)dt Dx (34) Uvedemo lhko novo krivuljo x kl (t), ki nj predstvlj pot, ki je ekstremln z kcijo S. x(t) = x kl (t) + y(t) (35) Poljubno pot lhko torej denirmo s krivuljo y(t), ki predstvlj odstopnje od klsi ne poti. ƒe sedj preuredimo izrz z kcijo, g lhko zpi²emo tudi kot: 3 S(x kl (t) + y(t)) = tb t Ax kl + Bx kl + Cx kl + Dx kl + Ex kl x kl (36) +(Aẏ + (Ax kl + Ex kl )ẏ + Cy + (Cx kl + Ex kl )y + Eẏy)dt Ker je kcij klsi ne poti ekstremln, nm po deniciji integrli s leni y in ẏ n prvo potenco izpdejo in dobimo: tb S(x kl (t) + y(t)) = S(x kl (t)) + ((t)ẏ + b(t)y + d(t)y + c(t)ẏy)dt (37) t Popotni integrl p seved ni odvisen od klsi ne kcije (S kl = S(x kl )) in lhko to sedj izpostvimo in zpi²emo jedro v novi obliki. K(b, ) = e ( i )(S kl) b e ( i ) t b t ((t)ẏ +b(t)y +d(t)y+c(t)ẏy)dt Dy (38) 1
Ko n²e poti izrºmo z odstopnjem od klsi ne poti, vidimo, d se vse krivulj y(t) z nejo in kon jo pri y = 0. To nm pove, d so popotni integrli v tem primeru le funkcij z etne in kon ne to ke v su in jih lhko zpi²emo v nekoliko drug ni obliki. 3 K(b, ) = e ( i )(Skl) F(t b t ) (39) V tej obliki je F(t b t ) denirn kot: F(t b t ) = 0 0 e ( i ) t b t ((t)ẏ +b(t)y +d(t)y+c(t)ẏy)dt Dy(t b t ) (40) 5. Jedro z hrmonski osciltor S tem znnjem si lhko kon no pogledmo primer, ko n n² delec deluje nek potencil. Osredoto- ili se bomo n primer vsem poznneg hrmonskeg osciltorj, vendr velj podoben postopek z vse potencile, ki sestvljjo Lngrngovo funkcijo v prej zpisni obliki. Z nimo z zpisom potencil in kcije z t n² primer. 3 S[b, ] = V = mω x (41) tb t m ẋ mω x dt (4) N² problem se tko rzdeli, n izr un klsi ne kcije in funkcije F(t b t ). Ker klsi no kcijo z hrmonski oscilltor ºe poznmo iz mehnike, se bomo njprej posvetili isknju oblike funkcije F. Z bolj pregleden izr un, bomo sedj nstvili t = 0, t b = T. F(T ) bo potem denirn kot: 3 F(T ) = 0 0 e ( i ) T 0 m ẏ mω y dt Dy(t) (43) Tu lhko spet upo²tevmo, d se n²e krivulje y(t) vse z nejo in kon jo v to ki y = 0 in jih zpi²emo kot Fourierjevo vrsto funkcije s periodo T. y(t) = n=1 n sin( nπt T ) (44) T nstvek, lhko zdj vstvimo v en bo z kcijo, d dobimo: S[b, ] = T 0 m n=1 m=1 nπt mπ T T n m cos( nπt T )cos(mπt T ) (45) 13
T mω 0 = m n=1 m=1 T n=1 n m sin( nπt T )sin(mπt T ) n [ ( nπ T ) ω ] Ob predpostvki, d je s T rzdeljen n N intervlov dolºine ɛ, lhko zpi²emo F(T ) kot kon no ²tevilo integrlov po koecientih n. F(t) = J A { imt... exp N n=1 n [ ( nπ T ) ω ]} d 1 A d A...d N A (46) V tem primeru J predstvlj Jkobijn, ki je neodvisen od ω, in g bomo zto lhko ksneje por unli. Ob pogledu n eneg izmed teh integrlov, ponovno prepoznmo obliko Gussoveg integrl ki g lhko zdj re²imo. { imt [ exp n ( nπ T ) ω ]} d n A = ( ɛt ) ( n π T ω ) (47) Skupen rezultt lhko zpi²emo kot produkt N-tih re²itev, kr je tudi v skldu z drugo formulcijo jedr iz en be [15]. N ( n π T ω ) 1/ = n=1 N ( n π n=1 T ) 1/ N (1 ω T n π ) 1/ (48) Vse lene, ki so od ω neodvisne, lhko skupj z Jkobijnom posprvimo v skupno konstnto C in por unmo le zdnji produkt v limiti N ozirom ɛ 0. Pri upo²tevnju limite N lim Nto n=1 (1 x n π ) 1/ = ( sin x x ) 1/ lhko zpi²emo F(T ) kot: n=1 F(T ) = C ( sin (ωt ) ) 1/ (49) πi T Z izr un konstnte C upo²tevmo, d mor n² re²itev pri ω = 0 ustrezti re²itvi z prosti delec. Tko lhko izrzimo vrednost C in dobimo F. C = ( m ) 1/ (50) πi T ( mω ) 1/ F(T ) = (51) πi sin (ωt ) 14
Ko zdj rezultt zdruºimo ²e z izrzom z klsi no kcijo dobimo skupno re²itev jedr z hrmonski osciltor. ( K(b, ) = S kl = mω πi sin (ωt ) mω ] [(x + x sinωt b) cos ωt x x b ) 1/exp { imω ]} [(x + x sinωt b) cos ωt x x b (5) (53) Slik 8: R( ik)(t) z hrmonski osciltor. Pri tem je odvisnost od x enk kot pri prostem delcu med tem ko odvisnost od t ne upd pove pri ve jih vrednostih t. Slik 9: Pri ve jih vrednostih t lhko opzimo tudi periodi no, strukturo, ki nm nekko pove, d se verjetnostn mplitud, d delec, preide iz to ke v to ko b ob rzli nih sih t z ne periodi no ponvljti. 15
6 Ahron-Bohmov pojv N koncu si lhko ogledmo, ²e primer Ahron-Bohmoveg pojv, z ktereg je zrdi oblike problem primern Feynmnov obrvnv s popotnimi integrli. 8 Poizkus nstvimo podobno, kot e bi gledli interferenco med dvem reºm le, d med njim postvimo tuljvo, ki nm generir mgnetno polje (slik 10). Slik 10: Skic eksperiment z meritev Ahron-Bohmoveg pojv. 10 del. 11 Zdj lhko zpi²emo Lgrngovo funkcijo z delec v mgnetnem polju in jo rzdelimo n dv L = mv + e A v eφ = L + e A v (54) Jedro z t primer lhko rzdelimo n dv lo en integrl in g z upo²tevnjem t b t e A vdt = b e Ad s zpi²emo kot: K(b, ) = b e ( i ) t b t L 1 dt+ b e Ad s 1 Dx 1 + b Ko sedj izrzimo eneg izmed teh dveh eksponentov, e ( i ) t b t L dt+ b e Ad s Dx = K 1 e ( i ) b e Ad s 1 +K e ( i ) b e Ad s (55) = K 1 e ( i ) b e Ad s 1 + K e ( i ) b e Ad s = e ( i )e Ad s 1 (K 1 + K e ( i ) b e Ad s b e Ad s 1 ) (56) in prepoznmo integrl po zklju eni znki, velj b e Ad s b Ad s 1 = φ m. Zdj lhko zpi²emo verjetnost z delec n zslonu. P = K = K 1 + K + K 1 K cos ( e φ m + δ) (57) 16
Tu δ predstvlj fzni zmik, e φ m p predstvlj dodten interferen ni len, ki nstne zrdi mgnetneg polj. T len nm, d mksimume vski, ko se mgnetni pretok spremeni z en kvnt. To spreminjnje intenzitete zrdi mgneteg potencil imenujemo tudi Ahron-Bohmov pojv. 11 φ m = ( π e ) 7 Zklju ek Feynmnov formulcij kvntne mehnike je mtemti no zelo zhtevno zsnovn. Kljub temu, d so nektere re²itve dobro nliti no re²ljive, jih je brez povezve z vlovno funkcijo teºko interpretirti. Prv zrdi teh dveh dejstev nm v ve ini primerov t formulcij ne predstvlj dobre lterntive re²evnju Schrödingerjeve en be. Kljub vsemu p im Feynmnov formulcij svoje prednosti. Zrdi direktne povezve z kcijo, je t v dolo enih primerih bolje povezljiv s klsi no mehniko in z primere, kot je Ahron-Bohmov pojv, zrdi svoje zsnove celo bolj smiseln. Predstvlj ²e eno izmed pomembnih orodij z r unnje v kvntnem svetu. 17
8 Dodtek: Primer z rvni vl Ker vemo, d so rvni vlovi lstne re²itve Schrödingerjeve z prosti delec, je potrebno preveriti kj nm vrne propgtor prosteg delc, pri z etnem stnju rvneg vl. Zdj denirmo z etni rvni vl ψ 0 Feynmnovim jedrom. = e i(kx0) in g vstvimo v formulo z propgcijo s ψ(x, t) = m K 0 (x, x 0, t)ψ 0 (x 0, t)dx 0 = πi t e im(x x 0 ) t e i(kx0) dx 0 (58) ƒlene v eksponentu lhko se²tejemo in dopolnimo vse lene, ki vsebujejo x 0, do popolnih kvdrtov. Z bolj pregleden izr un bomo denirli = m. i t (x 0 +x xx 0 +( kt )x 0) = i t (x 0 +x +x 0 ( kt x)) = i t (x 0 + ( kt x) ) i t (1 4 (kt ) kt x) (59) To lhko zdj vstvimo v zgornjo en bo, dodtno denirmo b = kt in izpostvimo vse lene, ki ne vsebujejo x 0 iz integrl. ψ(x, t) = πt e i t ( b 4 bx) e i t (x0+ ( kt x) ) dx 0 (60) Iz izrz prepoznmo Fresnelove integrle (x+d) tπ ei t = (C(x)+iS(x)) tπ = (1+ i) in re²imo n² integrl. ψ(x, t) = πt e i t ( b tπ 4 bx) (1 + i) (1 + i) = e i t ( b 4 bx) (61) ƒe vstvimo nzj = m in b = kt lhko por unmo izrz v eksponentu. i t (b 4 bx) = i t ((kt ) 4 kt t ) x) = i(k 4 + ikx = it k + ikx (6) m V rezulttu lhko prepoznmo k m = E prostidelec in zpi²emo re²itev. ψ(x, t) = (1 + i) e kx Et i e = Ae i(kx ωt) (63) 18
Iz te kon ne re²itve vidimo, d propgtor prosteg delc ohrnj njegove lstne funkcije in dodtno vklu uje ²e njen sovni rzvoj. Rezultt je o itno v tem primeru ekvivlenten re²evnju Et i Schrödingerjeve stcionrne enn be z upo²tevnjem opertorj sovneg rzvoj. A = e. 19
Litertur 1 https: // www. en. wikipedi. org/ wiki/ Richrd_ Feynmn, (14.5.016). Feynmn R.P. in Hibbs A.R.: Quntum mechnics nd Pth Integrls, Dover Publictions, 010. 3 http: // wiki. physics. fsu. edu/ wiki/ index. php/ Feynmn_ Pth_ Integrls, (10.5.016). 4 Susi V.: Feynmn's formultion of Quntum mechnics, 010, dostopno n: http: // www-f1. ijs. si/ ~rmsk/ seminrji/ susic. pdf, (10.5.016). 5 https: // www. en. wikipedi. org/ wiki/ Pth_ integrl_ formultion, (10.5.016). 6 Quntiztion of the Hrmonic Oscilltor dostopno n: https: // mth. byu. edu/ ~sg/ QuntumFieldTheory/, strn 497-495, (1.5.016) 7 Zeidler E.: Applied Functionl Anlysis: Applictions to Mthemticl Physics, Springer Science+Business Medi New York, 1995, strn 381. 8 Perepelist D.V.: Pth Integrls in Quntum Mechnics, dostopno n:http: // web. mit. edu/ dvp/ www/ Work/ 8. 06/ dvp-8. 06-pper. pdf, (1.5.016). 9 Gerry C.C. in Singh V.A.: Feynmn pth-integrl pproch to the Ahronov-Bohm eect, Physicl review D, volumen 0, strn 550, 1979. 10 https: // en. wikipedi. org/ wiki/ Ahronov-Bohm_ effect, (19.5.016). 11 Jesenko S.: Ahronov-Bohmov pojv, 007, dostopno n: http: // www. burn. ijs. si/ wiki/ imges/ 0/ 0/ Ahbohm. pdf, (19.5.016). 0