5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R n afino neodvisni, konveksno ogrinjačo teh točk imenujemo k-simpleks in ga označimo a 0 a 1... a k. Simpleks b 0 b 1... b l je lice simpleksa a 0 a 1... a k, če je {b 0,..., b l } podmnožica množice {a 0,..., a l }; pišemo b 0 b 1... b l < a 0 a 1... a n. Opomba 5.2 Naj bo x R n in a 0 a 1... a k simpleks v R n. Točka x a 0 a 1... a k natanko tedaj, ko obstajajo (enolično določena) števila t 0,..., t k I, da je x = k i=0 t ia i in k i=0 t i = 1. Opomba 5.3 Naj bosta a 0 a 1... a k in b 0 b 1... b l simpleksa in ϕ: {a 0,..., a k } {b 0,..., b l } poljubna preslikava. Tedaj obstaja (enolično določena) linearna preslikava f : a 0 a 1... a k b 0 b 1... b l, da je f(a i ) = ϕ(a i ). Definirana je s predpisom f( k i=0 t ia i ) = k i=0 t iϕ(a i ). Definicija 5.4 Množica simpleksov K v evklidskem prosotru R n je simplicialni kompleks, če zadošča spodnjim zahtevam. 1. Če je σ K in je ρ < σ, je ρ K. 2. Če sta σ, τ K, je σ τ bodisi prazna množica bodisi je skupno lice obeh simpleksov. 3. Množica K je lokalno končno pokritje za telo kompleksa K = σ K σ. Opomba 5.5 Množica A K je zaprta natanko tedaj, ko je za vsak simpleks σ K množica A σ zaprta v σ. 1
2 1. SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Opomba 5.6 Preslikava f : K X je zvezna natanko tedaj, ko je za vsak simpleks σ K zožitev f σ : σ X zvezna. Naloga 5.7 Naj bo K simplicialni kompleks. Pokaži, da je K lokalno kompakten, lokalno povezan in lokalno povezan s potmi. Rešitev. Naj bo x K. Tedaj obstaja okolica U točke x, da U seka le končno mnogo simpleksov iz K; označimo te simplekse s σ 1,..., σ k. Tedaj je U k i=1 σ i. Ker je C = k i=1 σ i končna unija kompaktnih množic, je kompaktna. Ker je x U C in je U okolica za x, je tudi C okolica za x. Torej je K lokalno kompakten. Naj bo x K in U K njena okolica. Naj bodo σ 1,..., σ k vsi simpleksi iz K, ki vsebujejo točko x. (Množica k i=1 σ i je neprazna, saj vsebuje x, zato je simpleks v K; imenujemo ga nosilec točke x.) Naj bo L = K {σ 1,..., σ k }. Če je σ L, potem x σ. Tedaj za vsako lice ρ < σ velja x ρ, torej je ρ L. Se pravi, da je L podkompleks v K. Množica L je zaprta v K in x L, zato je d(x, L ) = d > 0. Naj bo r (0, d) tako število, da je V = K(x, r) K U. Pokažimo, daje V povezana s potmi. Naj bo y V. Ker je d(x, y) < r < d, je y k i=1 σ i. Torej obstaja j, da je y σ j. Ker je σ j konveksna množica, je tudi daljica xy σ j in posledično xy V. Torej je γ : I V definirana s predpisom γ(t) = (1 t)y + tx pot od y do x. Se pravi, da je množica V povezana s potmi. Tako smo pokazali, da je K lokalno povezan s potmi in zato tudi lokalno povezan. Opomba: Pokazali smo celo več; namreč K je lokalno kontraktibilen, kar pomeni, da ima vsaka točka bazo kontraktibilnih okolic. Pri zgornjih oznakah lahko definiramo H : V I V s predpisom H(y, t) = (1 t)y + tx. Tedaj je H homotopija med id V in c x, se pravi, da je V kontraktibilen. Naloga 5.8 Naj bo K simplicialni kompleks. natanko tedaj, ko je povezan s potmi. Tedaj je K povezan Rešitev. Vemo, da iz dejstva, da je K povezan s potmi, sledi, da je K povezan. Vsak povezan prostor, ki je še lokalno povezan s potmi, je povezan s potmi.
3 Naloga 5.9 Naj bo K simplicialni kompleks. Pokaži, da je za vsak n N {0} n-ti skelet K (n) = {σ K dim σ n} simplicialni podkompleks. Pokaži, da so naslednje trditve ekvivalentne. 1. Telo 1-skeleta K (1) je povezan. 2. Za vsak n N je K (n) povezan. 3. Telo K je povezan. Rešitev. Naj bo σ K (n) in ρ < σ njegovo lice. Tedaj je dim ρ dim σ in zato ρ K (n). Naj za σ, ρ K (n) K velja σ ρ. Ker je K simplicialni kompleks, je σ ρ skupno lice in zato je v K (n). Ker je K lokalno končno pokritje za K, je tudi K (n) lokalno končno pokritje za K (n). Torej je K (n) simplicialni podkompleks. (1 2) Naj bo K (1) povezan in naj bo n N. Za vsak σ K (n) naj bo X σ = K (1) σ. Ker je K (1) σ, je X σ povezan. Ker je σ K (n)x σ = K (1), je K (n) = σ K (n)x σ povezan. (2 3) Za dovolj velike n je K (n) = K. Če je K(n) povezan za vsak n N, je torej K povezan. (3 1) Naj bo K povezan. Denimo, da K (1) ni povezan. Naj bo U V = K (1) separacija. Naj bo K U = {σ K σ U } in K V = {σ K σ V }. Naj bo σ K. Ker je σ (1) povezan s potmi, je bodisi σ (1) U bodisi σ (1) V, se pravi K U K V =. Brez težav se prepričamo, da sta K U in K V simplicialna podkompleksa. Torej je K U K V separacija za K, kar ni možno. Torej je K (1) povezan. Naloga 5.10 Naj bo K simplicialni kompleks. Pokaži, da so naslednje trditve ekvivalentne. 1. Telo 1-skeleta K (1) je povezan s potmi. 2. Za vsak n N je K (n) povezan s potmi. 3. Telo K je povezan s potmi. Rešitev. Sledi iz prejšnjih dveh nalog.
4 1. SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Naloga 5.11 Naj bo K simplicialni kompleks. 1. Naj bo S K končna podmnožica. Tedaj obstaja končen podkompleks L < K, da je S L. 2. Naj bo A K zaprta. Pokaži, da je A kompaktna natanko tedaj, ko je A L za kak končen podkompleks L < K. 3. Pokaži, da je K kompaktna natanko tedaj, ko je K končna. Rešitev. 1. Naj bo L = ρ S {vsa lica simpleksa ρ}. Po definiciji je L končna množica. Naj bo σ L. Tedaj obstaja ρ S, da je σ < ρ. Tedaj je vsako lice τ < σ tudi lice τ < ρ, torej je τ L. Se pravi, da je L simplicialni kompleks. 2. Naj bo A L za kak končen podkompleks L < K. Tedaj je A = σ L (A σ). Ker je A σ zaprta v σ, ki je zaprta v ambientnem prostoru R n, je kompaktna. Torej je A končna unija kompaktnih množic, zato je kompaktna. Denimo, da A ni vsebovana v nobenem končnem podkompleksu. Po točki (1) obstaja števno mnogo simpleksov σ 1, σ 2,... K, da je A σ n. Za vsak n N izberimo x n A σ n. Tedaj zaporedje (x n ) n N nima stekališča. Vsaka točka x K ima namreč okolico U, ki seka le končno mnogo simpleksov iz K. Taka množica pa lahko vsebuje le končno mnogo členov zaporedja (x n ) n N. Torej A ni kompaktna množica. Implikacijo v desno lahko dokažemo tudi na sledeči način. Za vsak x A obstaja odprta okolica U x točke x, ki seka le končno mnogo simpleksov iz K. Množica {U x x A} je odprto pokritje za kompaktno množico A, zato obstaja končno podpokritje {U x1,..., U xk }. Ker je A k i=1 U x i in unija na desno seka le končno mnogo simpleksov iz K, tudi A seka le končno mnogo simpleksov iz K. Ker je vsaka končna podmnožica v K vsebovana v končnem simplicialnem podkompleksu, je A vsebovana v telesu nekega končnega podkompleksa. 3. Sledi iz točke (2). Definicija 5.12 Topološki prostor X je topološki polieder, če obstaja simplicialni kompleks K, da je X homeomorfen telesu K. Simplicialni kompleks K imenujemo triangulacija poliedra X.
5 Naloga 5.13 Pokaži, da so kolobar, Möbiusov trak, torus in sfera topološki poliedri. Rešitev. Triangulacija za kolobar. Tringulacija za Möbiusov trak. a a = a Tringulacija za torus. b a a = b Sfera je homeomorfna robu 3-simpleksa, torej ima simplicaialni kompleks K katerega telo je homeomorfno S 2, štiri 2-simplekse, šest 1-simpleksov in štiri 0-simplekse.
6 1. SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Opomba 5.14 Videli smo, da so topološki poliedri lokalno lepi prostori. Ali je vsaka n-mnogoterost topološki polieder? 1. Za n = 1 je odgovor očitno da. 2. Za n = 2 je odgovor da, kar je okrog leta 1920 dokazal T. Radó. 3. Za n = 3 je tudi odgovor da, kar sta okrog leta 1950 dokazala E. E. Moise in R. H. Bing. 4. V dimenziji 4 obstaja mnogoterost, ki ni topološki polieder. 5. Za n 5 je vprašanje še vedno brez odgovora. Definicija 5.15 Naj bo K simplicialni kompleks in σ K glavni simpleks; to pomeni, da ni pravo lice nobenega simpleksa. Naj bo ρ lice kodimenzije 1 simpleksa σ, ki ni pravo lice nobenega drugega simpleksa iz K. Tedaj je L = K {σ, ρ} simplicialni kompleks. Operaciji, ki simplicialnemu kompleksu K priredi L, pravimo elementarni kolaps in pišemo K e L. Pravimo, da simplicialni kompleks kolabira na L, pišemo K L, če obstaja zaporedje elementarnih kolapsov K e L 1 e... e L n e L. Naloga 5.16 Naj simplicialni kompleks K kolabira na simplicialni kompleks L. Pokaži, da obstaja krepka deformacijska retrakcija iz K na L. Rešitev. Dovolj je trditev pokazati za primer, ko K e L. Naj bo K = L {σ, τ}, kjer je σ glavni simpleks v K in τ njegovo lice kodimenzije 1, ki ni lice nobenega drugega simpleksa. Naj bo n dimenzija simpleksa σ. Naj bo e 0 = (1,..., 1) R n in e i i-ti enotski vektor v R n. Naj bo σ = e 0 e 1... e n. Definirajmo preslikavo H : σ I σ s predpisom x H(x, t) = (1 t)x + t. x Preslikava H je homotopija med id σ in retrakcijo simpleksa σ na σ Int e 1... e n. Naj bo f : σ σ homeomorfizem, ki τ preslika na e 1... e n. Preslikava H : K I K definirana s predpisom H(x, t) = { (x, t), x L, f 1 ( H(f(x), t)), x σ,
7 je krepka deformacijska retrakcija poliedrea K na polieder L. Preslikava H je zvezna, saj je zvezna vsaka zožitev H σ I, množica {σ I σ K} pa je zaprto lokalno končno pokritje za K I. Definicija 5.17 Topološki polieder P je kolapsibilen, če obstaja simplicialni kompleks K, ki kolabira na trivialni kompleks in velja K P. Naloga 5.18 Pokaži, da je Bingova hiša kontraktibilen ni pa kolapsibilen topološki poliender. Rešitev. Spodnja slika prikazuje Bingovo hišo. Bingova hiša Bingova hiša je krepki deformacijski retrakt 3-dimenzionalne krogle, ki je kontraktibilna, zato je kontraktibilna. V poljubni triangulaciji K Bingove hiše je vsako lice kodimenzije ena glavnega simpleksa vsebovano v vsaj dveh simpleksih. Torej ne obstaja elementarni kolaps simplicialnega kompleksa K na noben njegov podkompleks. Torej K ni kolapsibilen.