Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006
Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni modeli: odvodi ostanejo brez parametrov Pogojno linearni model: model transformiramo, odvodi transformiranega modela brez parametrov (Pogojno) nelinearni model: modela ni mogoče transformirati, odvodi vsebujejo parametre
Biometrija 2006/2007 2 Linearni : nelinearni modeli enostavni izračuni nelinearne rešujemo iterativno enostavna interpretacija del proizvodne funkcije dobimo proizvodne funkcije transformacija, aproksimacija Primeri bodo enostavni zaradi omejitev pri prikazu! Poskušali se bomo naučiti pravila, vadite pa tudi bolj sestavljene primere iz skripte!
Biometrija 2006/2007 3 kjer pomeni: Model I y ijk µ + α i + β j + αβ ij + e ijk y ijk - opazovanje µ - srednja vrednost α i β j αβ ij - sistematski vpliv α; i 1, 2,... p - sistematski vpliv β; j 1, 2,... q - interakcija med vplivoma α in β e ijk - ostanek; k 1, 2,... n ij
Biometrija 2006/2007 4 Primer: Živorojeni pujski
Biometrija 2006/2007 5 Neznanke: parametri Poiščimo prve odvode!
Biometrija 2006/2007 5 Neznanke: parametri µ, Poiščimo prve odvode!
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1,
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p,
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q, αβ 11, αβ 12, αβ pq Prvi odvodi:
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q, αβ 11, αβ 12, αβ pq Prvi odvodi: y ijk µ,
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q, αβ 11, αβ 12, αβ pq Prvi odvodi: y ijk µ, y ijk α 1,, y ijk α i, y ijk α p,
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q, αβ 11, αβ 12, αβ pq Prvi odvodi: y ijk µ, y ijk α 1,, y ijk α i, y ijk α p, y ijk β 1,, y ijk β j, y ijk β q,
Biometrija 2006/2007 5 Poiščimo prve odvode! Neznanke: parametri µ, α 1, α 2, α p, β 1, β 2, β q, αβ 11, αβ 12, αβ pq Prvi odvodi: y ijk µ, y ijk α 1,, y ijk α i, y ijk α p, y ijk β 1,, y ijk β j, y ijk β q, y ijk αβ 11,, y ijk αβ ij, y ijk αβ pq
Biometrija 2006/2007 6 Odvajajmo po prvem parametru! y ijk µ
Biometrija 2006/2007 6 Odvajajmo po prvem parametru! y ijk µ (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) µ razčlenimo
Biometrija 2006/2007 6 Odvajajmo po prvem parametru! y ijk µ (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) µ razčlenimo µ µ + α i µ + β j µ + αβ ij µ + e ijk µ odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 6 Odvajajmo po prvem parametru! y ijk µ (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) µ razčlenimo µ µ + α i µ + β j µ + αβ ij µ + e ijk µ odvajajmo posamezne člene 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 7 Odvajajmo po drugem parametru! y ijk α 1
Biometrija 2006/2007 7 Odvajajmo po drugem parametru! y ijk α 1 (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α 1 razčlenimo
Biometrija 2006/2007 7 Odvajajmo po drugem parametru! y ijk α 1 (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α 1 razčlenimo µ α 1 + α i α 1 + β j α 1 + αβ ij α 1 + e ijk α 1 odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 7 Odvajajmo po drugem parametru! y ijk α 1 (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α 1 razčlenimo µ α 1 + α i α 1 + β j α 1 + αβ ij α 1 + e ijk α 1 odvajajmo posamezne člene { 1; i 1 } 0 + 0; i 1 + 0 + 0 + 0 Interakcija med parametroma ni njun produkt! Vsi členi pri vplivu α so si podobni, zato...
Biometrija 2006/2007 8... posplošimo za parametre α... y ijk α i razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α i
Biometrija 2006/2007 8... posplošimo za parametre α... y ijk α i razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α i µ α i + α i α i + β j α i + αβ ij α i odvajajmo posamezne člene + e ijk α i
Biometrija 2006/2007 8... posplošimo za parametre α... y ijk α i razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) α i µ α i + α i α i + β j α i + αβ ij α i + e ijk α i odvajajmo posamezne člene { 1; i i } 0 + 0; i i + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 9 Odvajajmo po parametrih β! y ijk β j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) β j
Biometrija 2006/2007 9 Odvajajmo po parametrih β! y ijk β j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) β j µ β j + α i β j + β j β j + αβ ij β j odvajajmo posamezne člene + e ijk β j
Biometrija 2006/2007 9 Odvajajmo po parametrih β! y ijk β j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) β j µ β j + α i β j + β j β j + αβ ij β j + e ijk β j odvajajmo posamezne člene { 1; j j } 0 + 0 + 0; j j + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 10 Odvajajmo po parametrih αβ! y ijk αβ i j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) αβ i j
Biometrija 2006/2007 10 Odvajajmo po parametrih αβ! y ijk αβ i j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) αβ i j µ αβ i j + α i αβ i j + β j αβ i j + αβ ij αβ i j + e ijk αβ i j odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 10 Odvajajmo po parametrih αβ! y ijk αβ i j razčlenimo (µ + α i + β j + αβ ij + e ijk ) αβ i j µ αβ i j + α i αβ i j + β j αβ i j + αβ ij αβ i j + e ijk αβ i j odvajajmo posamezne člene { 1; i i j j } 0 + 0 + 0 + 0; i i j j + 0
Biometrija 2006/2007 11 y ijk µ 1... preglejmo vse prve odvode... y ijk α i { 1; i i } 0; i i v odvodih ni parametrov { 1; j j } y ijk β j 0; j j { 1; i i j j model je linearen } y ijk αβ i j 0; i i j j GLM
Biometrija 2006/2007 12 Model z regresijo y ij µ + S i + b I (x ij x M ) + b II (x ij x M ) 2 + e ij
Biometrija 2006/2007 12 Model z regresijo y ij µ + S i + b I (x ij x M ) + b II (x ij x M ) 2 + e ij kjer pomeni: y ij - opazovanja µ - srednja vrednost S i - vpliv spola; i 1, 2
Biometrija 2006/2007 13 Model z regresijo (nadalj.) + b I (x ij x M ) + b II (x ij x M ) 2 + e ij kjer pomeni (nadaljevanje): b I, b II x ij x M - regresijska koeficienta za linearni in kvadratni člen - neodvisna spremenljivka za vsebnost lizina v krmi - minimalna količina lizina v krmi e ij - ostanek; j 1, 2,... 25
Biometrija 2006/2007 14 Primer: kvadratna regresija
Biometrija 2006/2007 15 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke:
Biometrija 2006/2007 15 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, S 1, S 2, b I, b II Določite: število opazovanj, parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi:
Biometrija 2006/2007 15 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, S 1, S 2, b I, b II Določite: število opazovanj, parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi: y ij µ, y ij S 1, y ij S 2, y ij b I, y ij b II S 1 in S 2 imata podobne odvode posplošimo S i odvode za zadnja dva člena bomo poiskali ločeno Začetek: y ij zamenjamo z modelom in razčlenimo
Biometrija 2006/2007 16... srednja vrednost... y ij µ
Biometrija 2006/2007 16 razčlenimo... srednja vrednost... y ij µ µ + S i + b I(x ij x M ) + µ µ µ b II (x ij x M ) 2 + e ij µ µ odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 16 razčlenimo... srednja vrednost... y ij µ µ + S i + b I(x ij x M ) + µ µ µ b II (x ij x M ) 2 + e ij µ µ odvajajmo posamezne člene 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 17... vpliv spola... y ij S i
Biometrija 2006/2007 17 razčlenimo... vpliv spola... y ij S i µ S i + S i S i + b I(x ij x M ) S i b II (x ij x M ) 2 S i + e ij S i + odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 17 razčlenimo... vpliv spola... y ij S i µ S i + S i S i + b I(x ij x M ) S i b II (x ij x M ) 2 S i + e ij S i + odvajajmo posamezne člene
{ } Biometrija 2006/2007 18 1; i i 0 + 0; i i + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 19...linearni člen... y ij b I
Biometrija 2006/2007 19 razčlenimo...linearni člen... y ij b I µ b I + S i b I + b I(x ij x M ) b I + b II (x ij x M ) 2 b I odvajajmo posamezne člene + e ij b I
Biometrija 2006/2007 19 razčlenimo...linearni člen... y ij b I µ b I + S i b I + b I(x ij x M ) b I + b II (x ij x M ) 2 b I odvajajmo posamezne člene + e ij b I 0 + 0 + (x ij x M ) + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 20... kvadratni člen... y ij b II
Biometrija 2006/2007 20 razčlenimo... kvadratni člen... y ij b II µ b II + S i b II + b I(x ij x M ) b II + b II (x ij x M ) 2 b II odvajajmo posamezne člene + e ij b II
Biometrija 2006/2007 20 razčlenimo... kvadratni člen... y ij b II µ b II + S i b II + b I(x ij x M ) b II + b II (x ij x M ) 2 b II odvajajmo posamezne člene + e ij b II 0 + 0 + 0 + (x ij x M ) 2 + 0
Biometrija 2006/2007 21... preglejmo vse odvode... y ij 1 µ { 1; i i } y ij S i 0; i i y ij b I (x ij x M ) v odvodih ni parametrov y ijk b II (x ij x M ) 2 model je linearen Podatke lahko obdelamo z GLM.
Biometrija 2006/2007 22 Modeli z vgnezdenimi in naključnimi vplivi y ijkl µ + Z i + R ij + g ijk + e ijkl
Biometrija 2006/2007 22 Modeli z vgnezdenimi in naključnimi vplivi y ijkl µ + Z i + R ij + g ijk + e ijkl kjer pomeni: y ijkl - opazovanja e ijkl - ostanek µ - srednja vrednost Z i - vpliv zavoda; i 1, 2,... 8 R ij - vpliv rejca znotraj zavoda; j 1, 2,... n i g ijk - vpliv gnezda znotraj rejca; k 1, 2,... n ij
Biometrija 2006/2007 23 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke:
Biometrija 2006/2007 23 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, Z i, R ij, g ijk Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi:
Biometrija 2006/2007 23 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, Z i, R ij, g ijk Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi: y ijkl µ, y ijkl Z i, y ijkl R i j, y ijkl g i j k
Biometrija 2006/2007 24... srednja vrednost... y ijkl µ
Biometrija 2006/2007 24... srednja vrednost... y ijkl µ vstavimo model in razčlenimo µ µ + Z i µ + R ij µ + g ijk µ + e ijkl µ odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 24... srednja vrednost... y ijkl µ vstavimo model in razčlenimo µ µ + Z i µ + R ij µ + g ijk µ + e ijkl µ odvajajmo posamezne člene 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 25... vpliv zavoda... y ijkl Z i
Biometrija 2006/2007 25... vpliv zavoda... y ijkl Z i vstavimo model in razčlenimo µ Z i + Z i Z i + R ij Z i + g ijk Z i + e ijkl Z i odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 25... vpliv zavoda... y ijkl Z i vstavimo model in razčlenimo µ Z i + Z i Z i + R ij Z i + g ijk Z i + e ijkl Z i odvajajmo posamezne člene { 1; i i } 0 + 0; i i + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 26... vpliv rejca znotraj zavoda... y ijkl R i j
Biometrija 2006/2007 26... vpliv rejca znotraj zavoda... y ijkl R i j vstavimo model in razčlenimo µ R i j + Z i R i j + R ij R i j + g ijk R i j + e ijkl R i j odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 26... vpliv rejca znotraj zavoda... y ijkl R i j vstavimo model in razčlenimo µ R i j + Z i R i j + R ij R i j + g ijk R i j + e ijkl R i j odvajajmo posamezne člene { 1; ij i j } 0 + 0 + 0; ij i j + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 27... vpliv gnezda znotraj rejca... y ijkl g i j k
Biometrija 2006/2007 27... vpliv gnezda znotraj rejca... y ijkl g i j k vstavimo model in razčlenimo µ + Z i + R ij + g ijk + e ijkl g i j k g i j k g i j k g i j k g i j k odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 27... vpliv gnezda znotraj rejca... y ijkl g i j k vstavimo model in razčlenimo µ + Z i + R ij + g ijk + e ijkl g i j k g i j k g i j k g i j k g i j k odvajajmo posamezne člene { 1; ijk i j k } 0+0+ 0 + 0; ijk i j k +0
Biometrija 2006/2007 28 y ijkl µ 1... preglejmo vse prve odvode... y ijkl Z i { 1; i i } 0; i i ni parametrov { 1; ij i j } y ijkl R i j y ijkl g i j k 0; ij i j { 1; ijk i j k 0; ijk i j k model je linearen } MIXED PEST
Biometrija 2006/2007 29... še eden model za vajo... y ij µ + L i + b 1 sin(x 1ij ) + b 2i x 2ij + e ij
Biometrija 2006/2007 29... še eden model za vajo... y ij µ + L i + b 1 sin(x 1ij ) + b 2i x 2ij + e ij L i - vpliv leta; i 1, 2, 3, 4, 5 b 1 - regresijski koeficient za prvo neodvisno spremenljivko x 1ij b 2i - regresijski koeficienti za drugo neodvisno spremenljivko x 2ij e ij - ostanek; j 1, 2,... n i
Biometrija 2006/2007 30 y ij µ... preglejmo vse prve odvode...
Biometrija 2006/2007 30... preglejmo vse prve odvode... y ij µ 1 y ij L i
Biometrija 2006/2007 30 y ij... preglejmo vse prve odvode... 1 µ { 1; i i } y ij L i 0; i i y ij b 1
Biometrija 2006/2007 30 y ij... preglejmo vse prve odvode... 1 µ { 1; i i } y ij L i 0; i i y ij b 1 sin(x 1ij ) v odvodih ni parametrov y ij b 2i
Biometrija 2006/2007 30 y ij... preglejmo vse prve odvode... 1 µ { 1; i i } y ij L i 0; i i y ij sin(x b 1ij ) 1 { x2ij ; i i v odvodih ni parametrov } y ij b 2i 0; i i model je linearen Neodvisno spremenljivko smo morali transformirati.
Biometrija 2006/2007 31... še drugi model za vajo... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij
Biometrija 2006/2007 31... še drugi model za vajo... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij y ij - opazovanja µ - srednja vrednost L i - vpliv leta; i 1, 2, 3, 4, 5 b 1 - regresijski koeficient za x 1ij b 2i - regresijski koeficient za x 2ij e ij - ostanek; j 1, 2,... n i
Biometrija 2006/2007 32 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke:
Biometrija 2006/2007 32 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, L i, b 1, b 2i Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi:
Biometrija 2006/2007 32 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, L i, b 1, b 2i Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi: y ij µ, y ij L i, y ij b 1, y ij b 2i (Spreminjanje regresijskega koeficienta smo naredili samo zaradi primera. Pravega smisla pa v našem primeru nima.)
Biometrija 2006/2007 33... srednja vrednost... y ij µ
Biometrija 2006/2007 33... srednja vrednost... y ij µ (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) µ
Biometrija 2006/2007 33... srednja vrednost... y ij µ (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) µ razčlenimo µ µ + L i µ + sin(b 1)x 1ij µ + b 2ix 2ij µ + e ij µ odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 33... srednja vrednost... y ij µ (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) µ razčlenimo µ µ + L i µ + sin(b 1)x 1ij µ + b 2ix 2ij µ + e ij µ odvajajmo posamezne člene 1 + 0 + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 34... vpliv leta... y ij L i
Biometrija 2006/2007 34 y ij L i... vpliv leta... (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) L i
Biometrija 2006/2007 34 y ij L i razčlenimo... vpliv leta... (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) L i µ + L i + sin(b 1)x 1ij L i L i L i + b 2ix 2ij L i + e ij L i
Biometrija 2006/2007 34 y ij L i razčlenimo... vpliv leta... (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) L i µ + L i + sin(b 1)x 1ij L i L i L i odvajajmo posamezne člene { 1; i i + b 2ix 2ij L i } + e ij L i 0 + 0; i i + 0 + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 35... vpliv prve pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 1
Biometrija 2006/2007 35... vpliv prve pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 1 (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 1
Biometrija 2006/2007 35... vpliv prve pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 1 (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 1 razčlenimo µ b 1 + L i b 1 + sin(b 1)x 1ij b 1 + b 2ix 2ij b 1 + e ij b 1 odvajajmo posamezne člene
Biometrija 2006/2007 35... vpliv prve pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 1 (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 1 razčlenimo µ b 1 + L i b 1 + sin(b 1)x 1ij b 1 + b 2ix 2ij b 1 + e ij b 1 odvajajmo posamezne člene 0 + 0 + cos (b 1 ) x 1ij + 0 + 0
Biometrija 2006/2007 36 y ij b 2i... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke...
Biometrija 2006/2007 36 y ij b 2i... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke... (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 2i
Biometrija 2006/2007 36... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 2i razčlenimo (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 2i µ b 2i + L i b 2i + sin(b 1)x 1ij b 2i odvajajmo posamezne člene + b 2ix 2ij b 2i + e ij b 2i
Biometrija 2006/2007 36... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke... y ij b 2i razčlenimo (µ + L i + sin(b 1 )x 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) b 2i µ b 2i + L i b 2i + sin(b 1)x 1ij b 2i odvajajmo posamezne člene + b 2ix 2ij b 2i { x2ij ; i i + e ij b 2i } 0 + 0 + 0 + 0; i i + 0
Biometrija 2006/2007 37... preglejmo vse prve odvode... y ij 1 µ { 1; i i } y ij L i 0; i i y ij cos (b b 1 ) x 1ij v odvodih je ostal b 1 1 { } x2ij ; i i y ij b 2i 0; i i model je nelinearen
Biometrija 2006/2007 38... transformacija?... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij regresijski koeficient lahko preuredimo: β sin(b 1 )
Biometrija 2006/2007 38... transformacija?... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij regresijski koeficient lahko preuredimo: β sin(b 1 ) potreben parameter b 1 dobimo z inverzno funkcijo
Biometrija 2006/2007 38... transformacija?... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij regresijski koeficient lahko preuredimo: β sin(b 1 ) potreben parameter b 1 dobimo z inverzno funkcijo b 1 arcsin(β) tako lahko spremenimo model:
Biometrija 2006/2007 38... transformacija?... y ij µ + L i + sin(b 1 )x 1ij + b 2i x 2ij + e ij regresijski koeficient lahko preuredimo: β sin(b 1 ) potreben parameter b 1 dobimo z inverzno funkcijo b 1 arcsin(β) tako lahko spremenimo model: y ij µ + L i + βx 1ij + b 2i x 2ij + e ij
Biometrija 2006/2007 39... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke... y ij β
Biometrija 2006/2007 39... vpliv druge pojasnjevalne spremenljivke... y ij β (y ij µ + L i + βx 1ij +b 2i x 2ij + e ij ) β razčlenimo µ + L i + βx 1ij β β β odvajajmo posamezne člene + b 2ix 2ij β + e ij β 0 + 0 + 0 + x 1ij + 0
Biometrija 2006/2007 40 y ij... preglejmo vse prve odvode... 1 µ { 1; i i } y ij L i 0; i i y ij x β 1ij po transformaciji ni parametrov { } x2ij ; i i y ij b 2i 0; i i pogojno linearni model
Biometrija 2006/2007 41... še eden model za vajo... y ij e µ + L i + bx ij + e ij
Biometrija 2006/2007 41... še eden model za vajo... y ij e µ + L i + bx ij + e ij y ij - opazovanja e ij - ostanek µ - srednja vrednost L i - vpliv leta; i 1, 2, 3, 4, 5 b - regresijski koeficient za x ij x ij e - neodvisna spremenljivka; j 1, 2,... n i 2.718281828459..., osnova naravnega log.
Biometrija 2006/2007 42... eksponentna funkcija... podatke prikazujemo samo za eno leto
Biometrija 2006/2007 43 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke:
Biometrija 2006/2007 43 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, L i, b Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi:
Biometrija 2006/2007 43 Neznanke v modelu in potrebni odvodi Neznanke: parametri µ, L i, b Dodatek: določite število opazovanj, število parametov in stopinj prostosti! Potrebni odvodi: y ij µ, y ij L i, y ij b
Biometrija 2006/2007 44... srednja vrednost... y ij µ
Biometrija 2006/2007 44... srednja vrednost... y ij µ ( e µ + L i + bx ij + e ij ) µ
Biometrija 2006/2007 44 ( µ y ij preoblikujmo eµ... srednja vrednost... e µ + L i + bx ij + e ij ) µ { konstanta }}{ e Li e bx ij e e ij µ izpostavimo konstanto
Biometrija 2006/2007 45 izpostavimo konstanto (eµ ) µ el i e bx ij e e ij
Biometrija 2006/2007 45 izpostavimo konstanto (eµ ) µ el i e bx ij e e ij in odvajajmo e µ e L i e bx ij e e ij uredimo e µ + L i + bx ij + e ij parametri ostajajo v odvodih
Biometrija 2006/2007 46... transformacija... y ij e µ + L i + bx ij + e ij
Biometrija 2006/2007 46... transformacija... y ij e µ + L i + bx ij + e ij preoblikujmo in odvajajmo ln(y ij ) ln(e µ + L i + bx ij + e ij ) transformirana odvisna spremenljivka ima linearni model z ij µ + L i + bx ij + e ij Po transformaciji je model linearen. Podatke lahko obdelamo z GLM.
Biometrija 2006/2007 47... podatki in model po transformaciji...
Biometrija 2006/2007 48... podatki pred transformacijo na log-skali...
Biometrija 2006/2007 49... še eden model za vajo... y ij e µ + L i + bx ij + e ij
Biometrija 2006/2007 49... še eden model za vajo... y ij e µ + L i + bx ij + e ij PAZI! e ij - ostanek; j 1, 2,... n i e 2.718281828459..., osnova naravnega logaritma
Biometrija 2006/2007 50... model opisuje naslednje podatke...
Biometrija 2006/2007 51... transformacija... y ij e µ + L i + bx ij + e ij
Biometrija 2006/2007 51... transformacija... y ij e µ + L i + bx ij + e ij preoblikujmo in odvajajmo ln(y ij ) ln(e µ + L i + bx ij + e ij ) Modela ne moremo preurediti! Podatke moramo obdelati z nelinearnim modelom! Imamo še eno možnost: aproksimacija
Biometrija 2006/2007 52... aproksimacija... Poskusili smo s polinomom druge stopnje - ni slabo!
Biometrija 2006/2007 53... aproksimacija: model... y ij µ + α i + β I x ij + β II x 2 ij + e ij
Biometrija 2006/2007 53... aproksimacija: model... y ij µ + α i + β I x ij + β II x 2 ij + e ij Vrednosti in pomeni parametrov so spremenjeni, zato smo uporabili tudi grške črke. Dokažite, da je model linearen!