UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Gloria Vidmar Konstrukcija nikjer odvedljive zvezne funkcije DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Dvopredmetni učitelj Kandidatka:Gloria Vidmar Mentor: izr.prof.dr.marko Slapar Konstrukcija nikjer odvedljive zvezne funkicje DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015

Zahvala Hvala mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za strokovno vodenje in nasvete ter za vložen trud in čas v moje diplomsko delo. Hvala družini, najprej zato, ker mi je študij sploh omogočila, pa tudi za vso skrb in moralno podporo tekom le tega. Hvala kolegom, ki so postali prijatelji, in študij naredili zabavnejši.

Povzetek V prvem delu diplomskega dela najprej ponovimo nekaj lastnosti realne funkcije, zveznosti, odvedljivosti in funkcijskih vrst, saj so ti pojmi ključni za razumevanje nikjer odvedljivih funkcij. V drugem delu je predstavljenih nekaj novih izrekov in pojmov, kot je na primer Labesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo ter Weierstrassova funkcija, ki velja za prvi primer nikjer odvedljive funkcije. V zadnjem delu diplomskega dela je predstavljena van der Waerden-Takagijeva funkcija z generaliziranimi parametri in dokaz, da je funkcija zvezna in nikjer odvedljiva. Ključne besede: realna funkcija, zvezne funkcije, nikjer odvedljive funkcije, funkcije z omejeno variacijo, Weierstrassova funkcija, van der Waerden- Takagijeva funkcija. Abstract In first part of this thesis some basic concepts are repeated, such as continuity, differentiability and functional series since we must understands those concepts to understand nowhere differentiable functions. In the second part we present some new theorems and concepts, such as Labesgue theorem, functions with bounded variation and Weierstrass function, which is the first example of nowhere differentiable continuous function. In the last part of thesis the van der Waerden-Takagi function with generalized parameters is presented, also with proof that this funciton is nowhere differentiable but continuous everywhere. Keywords: functions, continuous function, nowhere differentiable functions, functions with bounded variation, Weierstrass function, van der Waerden-Takagi function.

Kazalo Slike Poglavje 1. Uvod 1 Poglavje 2. Osnovni pojmi 2 2.1. Realna funkcija in zveznost 2 2.2. Odvod 5 2.3. Funkcijsko zaporedje in funkcijske vrste 7 Poglavje 3. Nikjer odvedljive zvezne funkcije 10 3.1. Lebesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo 11 3.2. Van der Waerden-Takagijeva funkcija 14 Literatura 23

Slike 1 Weierstrassova funkcija, vir [6]. 11 2 Funkcija f(x). 13 3 Funkcija a 0 (x). 15 4 Takagijeva funkcija (levo) ter Van der Waerdenova funkcija (desno), vir [6]. 16

POGLAVJE 1 Uvod Ko govorimo o nikjer odvedljivih funkcijah, mislimo na funkcije, ki so na določenem intervalu zvezne v vsaki točki intervala, v nobeni točki pa niso odvedljive. Zveznost in odvedljivost funkcij sta sicer večkrat predstavljeni tako, da bi lahko pomotoma sklepali, da je odvedljivost posledica zveznosti in da so nikjer odvedljive funkcije izjema. Vzrokov za to zmotno mišljenje je veliko. Praktično vse funkcije, s katerimi se študentje ukvarjajo v času študija, so odvedljive na celotnem intervalu, kjer so tudi zvezne, z izjemo nekaterih, ki niso odvedljive v le nekaj točkah. Eden izmed razlogov se nahaja tudi v dejstvu, da če je funkcija v neki točki odvedljiva, je v tej točki tudi zvezna. Mnogi zaradi te povezanosti med pojmoma zveznost in odvedljivost funkcije zmotno menijo, da izrek drži tudi v drugo smer torej da je funkcija v točki, kjer je zvezna, zagotovo odvedljiva. Seveda se večkrat srečajo s funkcijami, kjer to drži, vendar v splošnem ni tako [1]. Problem nikjer odvedljivih funkcij so začeli raziskovati v začetku devetnajstega stoletja. Med večino matematikov je sicer veljalo prepričanje, da ima vsaka zvezna funkcija v skoraj vsaki točki tudi odvod. A.M. Ampère je to prepričanje skušal podpreti z dokazom, ki pa je temeljil na tedaj še nepopolnih definicijah. Matematično skupnost je dodobra pretresel Karl Weierstrass, ki je leta 1872 na Berlinski akademiji znanosti Ampèrov dokaz zavrgel, saj je predstavil funkcijo, ki je bila na celotnem definicijskem območju zvezna, vendar v nobeni točki tega območjo odvedljiva. Ta primer je bil prvič objavljen leta 1875. Weierstrass je v svojih spisih večkrat omenil Riemmana, ki je menda na podoben način skonstruiral nikjer odvedljiv zvezno funkcijo že leta 1861, kljub temu njegovo delo ni bilo nikjer objavljeno. Vendar ne Riemman ne Weierstrass nista prva, ki sta uspešno skonstruirala primer take funckije. Češki matematik Bernard Bolzano je nikjer odvedljivo zvezno funkcijo konstruiral okoli leta 1830, vendar so njegovo delo našli šele na začetku dvajsetega stoletja, objavili pa leta 1922. Prav tako je bil pred Weierstrassom na tem področju uspešen tudi švicarski matematik Charles Cellerier, ki je leta 1860 prav tako našel primer nikjer odvedljive zvezne funkcije, vendar je bilo tudi njegovo delo objavljeno kasneje, in sicer leta 1890. Po Weierstrassovi objavi je število primerov nikjer odvedljivih zveznih funkcij začelo naraščati [6]. 1

POGLAVJE 2 Osnovni pojmi Pri obravnavi nikjer odvedljivih zveznih funkcij je potrebno dobro poznati nekaj matematičnih konceptov, ki jih bomo predstavili v tem poglavju. To sta seveda pojma zveznost in odvedljivost, nekoliko pa se bomo posvetili tudi nekaterim osnovnim lastnostim realne funkcije in funkcijske vrste. Ker gre v tem poglavju v pretežni meri le za ponovitev osnovnih pojmov, potrebnih za razumevanje snovi v nadaljevanju, bomo večino izrekov predstavili brez dokazov. Glavna vira tega poglavja sta [3] in [4]. 2.1. Realna funkcija in zveznost Realna funkcija ene realne spremenljivke je preslikava f : D R, kjer je D R. Funkcija torej vsakemu elementu x D priredi točno določen element f(x) R. Množico D imenujemo definicijsko območje funkcije f, množico {f(x), x D} pa zaloga vrednosti funkcije. Ker bo v celotnem diplomskem delu govora le o realni funkciji realnih spremenljivk, bo zaradi krajšega zapisa za ta pojem uporabljen le izraz funkcija. V nadaljevanju bomo predvsem pri pregledu lastnosti odvoda in funkcijskih vrst velikokrat srečali pojem limite. Definicija 2.1. Naj bo f definirana v neki okolici točke a, razen morda v a. Število A je limita funkcije f v a, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, da je f(x) A < ɛ, če je le x a < δ, x a. Limita je torej vrednost, ki se ji približuje f(x), ko se vrednost spremenljivke x približuje številu a. Kot je bilo že prej omenjeno, je en izmed konceptov, ki jih moramo za razumevanje teme diplomskega dela dobro poznati, zveznost. Zveznost je eden od osnovnih pojmov matematične analize. S tem pojmom želimo formalizirati princip, kadar majhne spremembe vhodnih podatkov pri funkciji povzročijo le majhne spremembe v rezultatu. Definicija 2.2. Funkcija f : D R je zvezna v točki a D, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, tako je da je f(x) f(a) < ɛ če je le x a < δ. Funkcija f : D R je zvezna na množici D, če je zvezna v vsaki točki množice D. 2

Za funkcije, ki so zvezne na svojem definicijskem intervalu, rečemo le, da so zvezne, same množice D pa pri tem ne omenjamo. V nadaljevanju se bo torej pojem zvezna funkcija nanašal na funkcijo, zvezno na njenem definicijskem intervalu. Zveznost funkcije lahko predstavimo tudi drugače, in sicer z uporabo pojma limite funkcije ali pa preko konvergence zaporedij. Izrek 2.3. Naj bo funkcija f : I R realna funkcija, definirana na intervalu I in a I poljubna točka intervala. Potem je f zvezna v a natanko tedaj, ko velja f(a) = lim x a f(x) V primeru, da je točka a robna točka intervala I, moramo zgornjo limito zamenjati bodisi z levo, bodisi z desno limito. Izrek 2.4. Funkcija f : D R je zvezna v a D natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (a n ) n=1 D, ki konvergira proti a velja lim f(a n) = f(a). n Običajne operacije na funkcijah ohranjajo zveznost, kot lahko vidimo v naslednjem izreku. Izrek 2.5. Naj bosta funkciji f in g definirani na D in zvezni v točki a D. Potem so v točki a zvezne tudi f + g, f g in fg. Če g(a) 0, potem je zvezna tudi f g. Naj bosta f : d f R in g : D g R ter naj velja f(d f ) D g. Če je f zvezna v točki a D f in g zvezna v f(a), je v točki a zvezna tudi funkcija g f. Poglejmo si nekaj primerov funkcij, ki so zvezne na celotnem definicijskem območju, v le nekaj točkah le-tega, ali pa sploh niso zvezne. Primer 2.6. (1) Polinomi so povsod zvezne funkcije. (2) Racionalne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. (3) Funkcija 1 za x < 0, f(x) = 0 za x = 0, 1 za x > 0. je zvezna povsod, razen v točki 0. Podobno lahko dobimo funkcijo, ki bo zvezna povsod, razen na množici izoliranih točk. 3

(4) Funkcija { 0 za x iracionalen ali x = 0, f(x) = 1/n za x = m racionalen, in (m, n) = 1. n je zvezna v vseh iracionalnih številih in v 0, ter nezvezna v vseh drugih racionalnih številih. (5) Primer funkcije, ki je povsod definirana, zvezna pa v nobeni točki definicijskega območja { 1 za x racionalen, f(x) = 0 za x iracionalen. Definicija 2.7. Funkcija f : D R je enakomerno zvezna na D, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, tako je da je f(x) f(y) < ɛ za vsaka x, y D, za katera velja x y < δ. Kakšna je torej razlika med zvezno in enakomerno zvezno funkcijo? Iz definicije 2.2 vidimo, da je δ odvisen od ɛ. Za enakomerno zvezno funkcijo pa velja, da obstaja δ, ki je dober za vsak x. Vsaka funkcija, ki je enakomerno zvezna na D, je seveda tudi zvezna na D, medtem ko obrat velja v primeru, če je definicijsko območje kompaktno. Izrek 2.8. Naj bo f : K R zvezna, kjer je K kompaktna. Potem je f tudi enakomerno zvezna. Primer 2.9. Funkcija f : R R, f(x) = x 2 je zvezna, ni pa enakomerno zvezna. Za enakomerno zveznost želimo, da obstaja δ, ki ustreza vsakemu x. Izberimo ɛ = 1, δ pa naj bo poljubno pozitivno število. Za poljuben x naj velja še y = x + δ, torej je 2 x y = δ < δ. Da je funkcija enakomerno zvezna, mora veljati še f(x) f(y) < ɛ. 2 f(x) f(y) = x 2 (x + δ 2 )2 = δx + δ2 4 > δx. Če je x > 1 δ, velja f(x) f(y) > ɛ = 1. Noben δ torej ni primeren za ɛ in funkcija f(x) = x 2 ni enakomerno zvezna. Poglejmo še dva pojma, povezana z zveznostjo funkcije. Definicija 2.10. Funkcija f : D R je Lipschitzova na D, če obstaja taka konstanta C > 0, da velja f(x) f(y) C x y 4

za vsaka x, y D. Izrek 2.11. Če je funkcija Lipschitzova na D, je na D tudi enakomerno zvezna. Dokaz. Za ɛ izberemo δ tako, da velja δ = ɛ ter predpostavimo, da je funkcija C Lipschitzova. Naj velja x y < δ. Glede na to, kako smo izbrali δ in ɛ, velja x y < ɛ. Ker je C > 0, lahko izraz pomnožimo s C in dobimo C x y < ɛ. Ker C je funkcija Lipschitzova, velja f(x) f(y) C x y < ɛ. Velja torej, da je f(x) f(y) < ɛ za vsaka x, y, za katera velja x y < δ in funkcija je zato enakomerno zvezna. Primer (enakomerno) zvezne funkcije, ki ni Lipshitzova, je naslednji: f : [0, 1] R, f(x) = x. Definicija 2.12. Funkcija f : D R je Hölderjeva za eksponent α, če obstaja taka konstanta M, da velja kjer je M konstanta. f(x) f(y) M x y α Opazimo lahko, da če je eksponent α enak 1, je funkcija f Lipschizova. je α > 1, pogoju zadoščajo le konstantne funkcije. Če Za 0 < α 1 je funkcija f : [0, 1] R, f(x) = x α Hölderjevo zvezna za β α in ni Hölderjevo zvezna za β > α. Primer (enakomerno) zvezne funkcije, ki ni Hölderjevo zvezna za noben eksponent, je funkcija f : [0, 1] R, kjer je f(x) = 1 in f(0) = 0. Maksimalna log x vrednost eksponenta α, da je funkcija Holderjevo zvezna za ta eksponent, je povezana tudi z obstojem odvoda funkcije f na definicijskem območju, zato je Holderjevo zveznost smiselno omenjati in raziskati pri primerih nikjer odvedljivih funkcij. 2.2. Odvod Tudi odvod je, tako kot zveznost, zelo osnoven pojem realne analize. Ker se bomo v nadaljevanju ukvarjali s funkcijami, ki niso nikjer odvedljive, nas najbolj zanima, kakšnim pogojem mora funkcija ustrezati, da je odvedljiva v neki točki, ter kako sta povezana pojma odvedljivost in zveznost. Definicija 2.13. Naj bo funkcija f definirana v okolici točke a R. f(x) f(a) limita lim x a, rečemo, da je f odvedljiva v točki a in limito x a f (a) = lim x a f(x) f(a) x a 5 Če obstaja

imenujemo odvod funkcije f v točki a. Funkcija f : (a, b) R je odvedljiva na odprtem intervalu (a, b), če je odvedljiva v vsaki točki x (a, b). Če je funkcija f odvedljiva na (a, b) in je njen odvod f (x) zvezna funkcija na (a, b), rečemo, da je f zvezno odvedljiva na (a, b). Odvod v točki a lahko zapišemo tudi kot limito : f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h pri čemer smo uvedli novo spremenljivko x = h a. Opomba 2.14. V kolikor je funkcija definirana na zaprtem intervalu [a, b] definiramo desni odvod funkcije v točki a kot limito f(x) f(a) lim x a + x a oziroma levi odvod funkcije v točki b kot limito f(x) f(b) lim. x b x b Funkcija f je na zaprtem intervalu [a, b] odvedljiva, če je odvedljiva v vsaki točki x (a, b) in je v levem krajišču a odvedljiva z desne, v desnem krajišču b pa z leve. Funkcija f je seveda v neki notranji točki odvedljiva natanko tedaj, ko obstajata v tej točki levi in desni odvod, ki sta enaka. Izrek 2.15. Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je v točki a tudi zvezna. Dokaz. Vemo, da za zvezno funkcijo velja f(a) = lim x a f(x). Predpostavimo, da je funkcija f odvedljiva. Potem velja lim x a f(a) f(x) = lim(f(a) + (x a)f(x) x a x a = f(a) + 0f (a) = f(a). Obratno ne velja če je funkcija v neki točki zvezna, ni nujno, da je v isti točki tudi odvedljiva. To lahko prikažemo z naslednjim primerom. Primer 2.16. Takoj lahko najdemo primer za funkcijo, ki je v neki točki zvezna, ni pa v tej točki odvedljiva. Poglejmo kako je z zveznostjo in odvedljivostjo funkcije f(x) = x v točki x = 0. Da je funkcija x v točki 0 zvezna, je očitno, saj velja f(0) = 0 = lim x 0 x. Da pa funkcija x v točki x = 0 ni odvedljiva, lahko pokažemo z izračuni levega in desnega odvoda v tej točki. Ker sta odvoda različna odvod z leve v točki x = 0 je enak 1, odvod z desne v isti točki pa je enak 1, odvod v točki x = 0 ne obstaja in funkcija torej v tej točki ni odvedljiva. 6

2.3. Funkcijsko zaporedje in funkcijske vrste Funkcijsko zaporedje rečemo zaporedju funkcij f 1, f 2,..., ki so vse definirane na skupni podmnožici D R. Zaporedje takih funkcij bo v nadaljevanju označeno s (f n ). Pri obravnavi konvergence si oglejmo dva pojma, in sicer konvergenco po točkah ter enakomerno konvergenco. Definicija 2.17. Funkcijsko zaporedje (f n ) konvergira po točkah na D proti funkciji f : D R, če za vsak x D velja Funkciji f rečemo limita zaporedja. lim f n(x) = f(x). m Zaradi uporabe konvergence pri obravnavi nikjer odvedljivih funkcij nas zanima, kako zveznost in odvedljivost posameznih členov vpliva na zveznost in odvedljivost limitne funkcije. Primer 2.18. Oglejmo si funkcije f n : [0, 1] R, definirane kot f n (x) = x n. Za vsak x [0, 1) velja medtem ko za x = 1 velja lim f n(x) = lim x n = 0, n n lim f n(1) = lim 1 = 1. n n Funkcija, ki je limita tega zaporedja, ima torej predpis { 0 za 0 x < 1, f(x) = 1 za x = 1. Funkcija f(x) ni zvezna na intervalu [0, 1], čeprav so na tem intervalu zvezne vse funkcije f n. Vidimo, da se pri konvergenci po točkah zveznost ne ohranja. Poglejmo si zato še pojem enakomerne konvergence. Definicija 2.19. Funkcijsko zaporedje (f n ) konvergira enakomerno na D R proti funkciji f : D R, če za vsak ɛ > 0 obstaja tak n 0, da je f n (x) f(x) < ɛ za vsak x D in vsak n n 0. Funkciji f rečemo enakomerna limita zaporedja (f n ). Pogoj, da je zaporedje funkcij enakomerno konvergentno, je strožji od pogoja za konvergenco po točkah. Zato velja, da če funkcijsko zaporedje enakomerno konvergira proti funkciji f, k tej funkciji konvergira tudi po točkah, obratno pa ne. 7

Poglejmo si dva izreka, s katerima si lahko pomagamo pri dokazovanju zveznosti oziroma odvedljivosti funkcijskih zaporedij. Ta dva izreka veljata le za enakomerno konvergenco, ne pa tudi za konvergenco po točkah. Izrek 2.20. Naj zaporedje funkcij (f n ) na D enakomerno konvergira proti funkciji f : D R. Če so vse f n zvezne v točki a D, potem je tudi f zvezna v a. Če so vse f n zvezna na D, je na D zvezna tudi f. Izrek 2.21. Naj bodo f n zvezno odvedljive funkcije, ki na odprtem intervalu I konvergirajo proti zvezni funkciji f. Naj odvodi f n enakomerno konvergirajo na I proti funkciji g. Potem je f odvedljiva in velja f (x) = g(x). Funkcijska vrsta je vsota oblike f n (x), n=1 f n so funkcije, definirane na podmnožici D R. Podobno kot pri funkcijskih zaporedjih lahko gledamo različne načine konvergence oziroma vsote vrst, in sicer konvergenco in enakomerno konvergenco. Definicija 2.22. Funkcijska vrsta n=1 f n konvergira proti f na D R, če za vsak x D velja f(x) = f n (x). n=1 Če za vsak x D konvergira vrsta n=1 f n(x), rečemo, da vrsta konvergira absolutno proti f(x). Funkcijo f imenujemo vsota funkcijske vrste. Označimo z s(x) = n k=1 f n-to delno vsoto vrste, ki je v tem primeru torej funkcija s n : D R. Vrsta konvergira na D proti f natanko tedaj, ko proti f po točkah konvergira funkcijsko zaporedje delnih vsot (s n ). Definicija 2.23. Funkcijska vrsta n=1 f n konvergira enakomerno proti f na D R, če zaporedje delnih vsot vrte (s n ) enakomerno konvergira proti f(x). vrste. Oglejmo si še dva izreka, ki govorita o zveznosti in odvedljivosti vsote funkcijske Izrek 2.24. Naj funkcijska vrsta n=1 f n konvergira enakomerno na D R in naj bo f : D R vsota vrste. Če so vse f n zvezne v točki a D, je v a zvezna tudi f. Če so f n zvezne na D, je na D zvezna tudi f. Izrek 2.25. Naj bodo f n zvezno odvedljive na odprtem intervalu I in naj funkcijska vrsta n=1 f n konvergira na I proti f : I R. Naj n=1 f n konvergira enakomerno na I proti g : I R. Potem je f odvedljiva na I in velja f = g. 8

Weierstrassov M-test nam lahko služi kot orodje, s katerim pokažemo, da neskončno zaporedje funkcij enakomerno konvergira, kar nam lahko dobro služi tudi pri dokazovanju zveznosti funkcijske vrste (izrek 2.24 nam namreč poveže enakomerno konvergenco ter zveznost vrste). Poimenovan je po Karlu Weierstrassu, ki je, kot je že v uvodu omenjeno, prvi matematik, ki je predstavil in objavil primer nikjer odvedljive zvezne funkcije. Izrek 2.26. Naj bo (M n ) zaporednje pozitivnih realnih števil, tako da f n (x) < M n za vsak x D in n N. Če vrsta konvergira, potem funkcijska vrsta n=1 n=1 konvergira enakomerno in absolutno na D. Dokaz. Naj bo f = lim s n vsota vrste in s n delne vsote. Naj bo ɛ > 0 poljuben. Vrsta n=1 M n konvergira in zato obstaja tak n 0, da velja M n < ɛ, če je n n 0. Za tak n potem velja f(x) s n (s) = k=n+1 k=n+1 M n f n f n (x) k=n+1 M n < ɛ. 9

POGLAVJE 3 Nikjer odvedljive zvezne funkcije Leta 1872 je Karl Weierstrass na Berlinski akademiji znanosti predstavil primer nikjer odvedljive zvezne funkcije. Zavedal se je, da se je s konstrukcijo podobne funkcije ukvarjal že Riemman (okoli leta 1861,) ki je s tem želel predstaviti protiprimer Ampérovemu izreku, ki je trdil, da je vsaka zvezna funkcija tudi odvedljiva, razen morda v nekaj točkah svojega definicijskega območja. Riemmanov primer in dokaz nista bila nikoli objavljena, niti nista bil najdena med njegovimi zapiski. Tudi nekateri drugi matematiki so se ukvarjali s tem področjem in poskušali skonstruirati primere takih funkcij in tudi uspeli. Ker pa je bila funkcija, ki jo je predstavil Weierstrass, prva javno predstavljena in objavljena, se jo večkrat omenja kot prvo tako funkcijo. Weierstrass je funkcijo, ki je po njemu tudi poimenovana, definiral kot: W 1 (x) = a n cos(b n πx), za 0 < a < 1, ab > 1 + 3π/2 in b > 1 liho število. Weierstrassova funkcija je bila torej prvi objavljen primer take funkcije, vendar pa je bolj natančne dokaze glede zveznosti in neodvedljivosti te funkcije predstavil Paul du Bois-Reymond leta 1875, ki je sicer izhajal iz Riemmanovega primera, upošteval Weierstrassovo odkritje in pripombe k članku, dodal zgodovinsko ozadje o tej temi in tako objavil članek, kjer je povzel vsa odkritja in prelome na področju nikjer odvedljivih zveznih funkcij. Weierstrassovo funkcijo je predstavil v nekoliko drugačni obliki, in sicer: sin(a n x) W 2 (x) =, b n kjer je a b > 1. Z Weierstrassovo funkcijo so se ukvarjali matematiki tudi kasneje. Leta 1916 je Hardy dokazal, da je zgoraj definirana funkcija W 1 (x) zvezna in nikjer odvedljiva za parametre 0 < a < 1, ab 1 in b > 1 ter ni nujno, da je b liho število. Eden od razlogov, da je ta funkcija in sama tema nikjer odvedljivih zveznih funkcij požela toliko zanimanja, je tudi v tem, da si je nikjer odvedljive funkcije zelo težko predstavljati in praktično nemogoče narisati. Razlog je v tem, da ne smemo narisati nobenega intervala, kjer bi funkcija naraščala ali padala, saj bo funkcija na 10

tem intervalu odvedljiva. Spodnja slika torej ne predstavlja prave Weierstrassove funkcije, temveč je le skica za lažjo predstavitev oblike funkcije. Slika 1. Weierstrassova funkcija, vir [6]. 3.1. Lebesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo Kot je bilo že omenjeno, si nikjer odvedljive zvezne funkcije težko predstavljamo. V tem razdelku bo predstavljenih nekaj izrekov in novih pojmov, ki nam bodo pomagali razumeti, zakaj je temu tako. Glavni vir v tem razdelku je [2]. Najprej si oglejmo, kaj pomeni, da ima neka množica mero nič. Definicija 3.1. Podmnožica E R ima mero nič (označimo m(e) = 0) tedaj, ko za vsak ɛ > 0 obstaja števna množica intervalov {(a n, b n )}, tako da (a n, b n ) E in (b n a n ) < ɛ. Podmnožice z mero nič so torej podmnožice, ki so v nekem smislu zanemarljive. Za neko lastnost rečemo, da velja skoraj povsod, če morda ne velja zgolj na množici z mero 0. Naslednji izrek je eden od glavnih izrekov pri razumevanju odvedljivosti funkcij. Izrek 3.2 (Lebesguov izrek). Če je funkcija f monotona na odprtem intervalu (a, b), je na intervalu (a, b) skoraj povsod odvedljiva. Če imamo torej monotono funkcijo na intervalu (a, b), potem ta funkcija mogoče ne bo odvedljiva le na E (a, b), pri čemer je E podmnožica z mero nič. Lebesguov izrek, objavljen leta 1904, je eden od pomembnejših izrekov teoriji funkcij realnih spremenljivk. Dokaz izreka lahko najdemo na primer v [2]. Med drugim nam izrek pove, da za nikjer odvedljive funkcije ne more obstajati noben interval, na katerem bi bila ta funkcija monotona. Če torej začnemo v koordinatni sistem risati poljubno funkcijo, bo le-ta skoraj povsod odvedljiva, saj je nemogoče skicirati graf funkcije, 11

ki ne bi bila lokalno monotona, razen morda v nekaj točkah. Zato si je povsod neodvedljive zvezne funkcije tudi težko predstavljati. Če torej velja, da so monotone funkcije skoraj povsod odvedljive, velja tudi, da so skoraj povsod odvedljive tudi funkcije, ki so razlika dveh naraščajočih funkcij. V nadaljevanju bo predstavljen razred funkcij na zaprtem intervalu, ki jih lahko predstavimo kot razliko naraščajočih funkcij. Kot bomo videli, je razred takih funkcij precej velik. Naj bo f realna funkcija definirana na zaprtem intervalu [a, b] in P = {x 0, x 1,..., x k } particija intervala [a, b]. Definirajmo variacijo funkcije f glede na razdelitev P kot k V (f, P ) = f(x i ) f(x i 1 ), i=1 ter popolno variacijo funkcije f na [a, b] kot T V (f) = sup{v (f, P ) P particija intervala [a, b]}. Definicija 3.3. Naj bo f realna funkcija na zaprtem, omejenem intervalu [a, b]. Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na [a, b], če velja T V (f) <. Lahko bi rekli, da so funkcije z omejeno variacijo funkcije, ki na določenem intervalu ne oscilirajo zelo na gosto. Poglejmo si nekaj primerov funkcij z omejeno variacijo na zaprtem intervalu. Primer 3.4. Naj bo f naraščajoča funkcija na intervalu [a, b]. funkcija z omejeno variacijo in velja Potem je f T V (f) = f(b) f(a). Da so naraščajoče funkcije res funkcije z omejeno variacijo, je očitno. Primer 3.5. Naj bo f Lipshitzova funkcija na [a, b]. omejeno variacijo na [a, b] in velja Potem je f funkcija z T V (f) < C (b a), kjer je f(x) f(y) C x y za vsak x, y iz [a, b]. Za vsako particijo P intervala [a, b] namreč velja k k V (f, P ) = f(x i ) f(x i 1 C x i x i 1 = C (b a). i=1 i=1 Vrednost C (b a) je zgornja meja množice vseh variacij funkcije f glede na particije intervala [a, b] in zato velja V T (f) C (b a). 12

Da so Lipschitzove funkcije funkcije z omejeno variacijo, lahko sklepamo že intuitivno - že sama lastnost f(x) f(y) C x y nam pove, da je spreminjanje naklona funkcije omejeno z neko konstanto. Primer 3.6. Poglejmo še primer funkcije, ki ima neomejeno variacijo. Definirajmo funkcijo { f na intervalu [0, 1]. x cos(π/2x) za 0 < x 1, f(x) = 0 za x = 0. Že iz grafa lahko vidimo, da funkcija hitro narašča in pada, predvsem ko se približuje ničli. Slika 2. Funkcija f(x). Funkcija f je na intervalu [a, b] zvezna, na tem intervalu pa nima omejene variacije. Da se v to prepričamo, si oglejmo particijo P n = {0, 1/2n, 1/(2n 1),..., 1/3, 1/2, 1}, kjer je n naravno število. Potem je V (f, P n ) = 1 + 1/2 +... + 1/n. Ker harmonična vrsta divergira, funkcija f ni funkcija z omejeno variacijo. Izrek, poimenovan tudi Jordanov izrek, poveže pojma funkcij z omejeno variacijo ter naraščajočih funkcij. Izrek 3.7 (Jordanov izrek). Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b] če in samo če je f razlika dveh naraščajočih funkcij na [a, b]. Dokaz. Naj bo f funkcija na [a, b] in naj velja f = g h, kjer sta g in h naraščajoči funkciji na [a, b]. Za vsako particijo P = {x 0, x 1,..., x k } intervala [a, b] 13

tedaj velja: V (f, P ) = = = k f(x i ) f(x i 1 ) i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + (h(x i 1 ) h(x i ) i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + k (h(x i 1 ) h(x i ) i=1 i=1 i=1 = (g(b) g(a)) + (h(b) h(a)). k (h(x i ) h(x i 1 ) Množica variacij funkcije f glede na particijo intervala [a, b] je torej navzgor omejena z [g(b) g(a)]+[h(b) h(a)], torej je funkcija f funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Še obratno. Naj bo funkcija f funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Potem lahko za vsak x [a, b] zapišemo f(x) = (f(x) + T V (f [a,x] )) T V (f [a,x] ). Tako funkcija x T V (f [a,x] ) kot tudi x f(x)+t V (f [a,x] ) sta naraščajoči funkciji. S tem je izrek dokazan. Posledica 3.8. Naj bo f funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b], potem je f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Dokaz. Po Jordanovem izreku so funkcije z omejeno variacijo na [a, b] le funkcije, ki so razlika dveh naraščajočih funkcij. Po Lebesguovem izreku so ti dve naraščajoči funkciji odvedljivi skoraj povsod na (a, b), zato je tudi funkcija f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Izrek 3.9. Naj bo f : (a, b) R Lipschitzova funkcija. Potem je f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Dokaz. V primeru 3.5 smo pokazali, da so Lipschitzove funkcije prav tako funkcije z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu. Po posledici 3.8 so Lipschitzove funkcije torej skoraj povsod odvedljive. 3.2. Van der Waerden-Takagijeva funkcija En od primerov nikjer odvedljive funkcije je Waerden-Takagijeva funkcija. Ta funkcija velja za lažji oziroma poenostavljeni primer Weierstrassove funkije. Ideja konstrukcije te funkcije je, da naredimo neskončno vsoto funkcij f n na intervalu [0, 1], 14

pri tem je funkcija f n zvezna in ima b n vrhov, v katerih ni odvedljiva. Ker je funkcija f n zvezna, so tudi vsote zaporednih členov f n zvezne (izrek 2.5). Ker pa se vrhovi, ko funkcije seštevamo, ne izključujejo, dobimo funkcijo z neskončnim številom vrhov, v katerih ni odvedljiva. S takim načinom konstrukcije dobimo tudi funkcijo, ki je zvezna, vendar nikjer monotona, kar bi nas prav tako lahko presenetilo. Glavni vir v tem razdelku je [5] Definicija 3.10. Naj bo a 0 (x) = dist(x, Z). Funkcijo f : [0, 1] R definiramo s predpisom: kjer je c > 1 in b c; b N. f(x) = n=1 a 0 (b n x) c n Ta primer velja za lažjega od Weierstrassovega predvsem zaradi tega, ker se konstrukcija te funkcije začne s funkcijo, ki v že nekaj točkah ni odvedljiva - to je funkcija a 0 (x). Slika 3. Funkcija a 0 (x). Prvi je funkcijo in njeno konstrukcijo predstavil matematik Teiji Takagi leta 1903, in sicer za vrednosti parametrov b = c = 2, z drugačnimi parametri, in sicer za b = c = 10, pa jo je leta 1930 predstavil še van der Waerden, ki očitno ni bil seznanjen s Takagijevo zelo podobno idejo. Generalizirano obliko funkcije, torej brez določene vrednosti parametrov, pa je predstavil Konrad Knopp, vendar je še vedno zahteval, da je b 4c. Izkaže pa se, da je funkcija nikjer odvedljiva, če zahtevamo le, da je b c. Kot Weierstrassove tudi Van der Waerden-Takagijeve funkcije ne moremo predstaviti s sliko, ne da bi narisali funkcijo, ki je vsaj nekje naraščajoča oziroma padajoča in posledično na teh intervalih skoraj povsod odvedljiva. Spodnji sliki sta prav tako skici, vidimo pa lahko zanimivo obliko teh funkcij ter odvisnost oblike od izbire parametrov c in b. V nadaljevanju bomo pokazali, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija res zvezna v vsaki točki na [0, 1]. Za dokaz le-tega si bomo pomagali z nekaj trditvami v nadaljevanju ter z uporabo nekaterih izrekov, predstavljenih v prvem poglavju. 15

Slika 4. Takagijeva funkcija (levo) ter Van der Waerdenova funkcija (desno), vir [6]. Trditev 3.11. Vrsta a 0 (b n x), kjer je c > 1 in b N, tako da je b c, je c n enakomerno konvergentna na [0, 1]. Dokaz. Ker je a 0 (x) 1 za vsak x R, je tudi a 2 0(b n x) 1 za vsak x [0, 1], 2 n N 0. Naj bo potem M n = 1 2c n za vsak n N. Potem je a 0 (b n x) c n M n za vsak n N. Vrsta M n = 1 2 ( ) n 1 c je geometrijska in konvergira, saj je c > 1. Po Weierstrassovem testu (izrek 2.26) je torej tudi a 0 (b n x) c n enakomerno (in tudi absolutno) konvergentna na [0, 1]. Trditev 3.12. Funkcija a 0 je zvezna na R. Dokaz. Ker je a 0 linearna na {(z, z + 1 2 ) (z + 1 2, z +1) : z Z}, je a 0(x) zvezna na R \ {Z { z 2 : z Z}}. Prav tako je a 0 (x) zvezna tudi v točkah t, za katere velja t {Z { z 2 : z Z}}. Funkcija a 0 (x) je torej zvezna na R. Trditev 3.13. Za vsak n N 0 je funkcija f n (x) = a 0(b n x), kjer je c > 1 in c n b c, b N, zvezna na [0, 1]. Dokaz. Vemo, da je funkcija x zvezna. Če zvezno funkcijo pomnožimo s konstanto, je produkt prav tako zvezna funkcija, torej je zvezna tudi b n x na [0, 1] za vsak n N 0. Pokazali smo, da je a 0 (x) zvezna. Kompozitum zveznih funkcij 16

je prav tako zvezna funkcija (izrek 2.5), in tako je na [0, 1] za vsak n N 0 zvezna tudi a 0 (b n x). Ker je c n konstanta in zagotovo c 0, saj je c > 1, je funkcija f n (x) = a 0(b n x) c n zvezna na [0, 1] za vsak n N 0. S pomočjo teh trditev lahko sedaj pokažemo, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija zvezna na intervalu [0, 1]. Trditev 3.14. Funkcija f(x) = a 0 (b n x) je zvezna na [0, 1]. c n Dokaz. Po trditvi 3.11 vemo, da je vrsta a 0 (b n x) c n enakomerno konvergentna, po trditvi 3.13 pa, da je funkcija f n (x) = a 0(b n x) c n zvezna. Ker so zvezne vse f n, vrsta pa enakomerno konvergira, lahko po izreku 2.24 trdimo, da je zvezna na [0, 1], f(x) = f n = a 0 (b n x) c n Da je funkcija zvezna lahko torej postopno in dokaj enostavno pokažemo s pomočjo nekaj osnovnih izrekov. Pri dokazovanju, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija nikjer odvedljiva, pa moramo uporabiti novo lemo. Lema 3.15. Če je funkcija f odvedljiva v točki x = c, in je (u n) naraščajoče, (v n ) pa padajoče zaporedje tako da u n v n in u n c v n za vsak n N ter velja lim n v n u v = 0, potem velja f(v n ) f(u n ) lim n v n u n = f (x). Dokaz. Naj bo ɛ > 0. Če je f odvedljiva v točki x = c, obstaja δ > 0, da velja f(x) f(c) f (x) x c < ɛ, če je x c < δ. 2 Prvi primer: Obstaja M N, da je u n = c < v n za vsak n > M. Ker je lim n u n v n = 0, obstaja N N, tako da velja u n v n < δ za n > N, n N. Naj za n velja n > max{n, M}. Ker je u n = c, velja v n c < δ. Potem je f(v n ) f(u n ) v n u n Torej je lim n f(v n) f(u n) v n u n f (c) = f(v n ) f(c) f (c) v n c < ɛ 2. = f (c). 17

Drugi primer: Obstaja M N, da je u n < c = v n, za vsak n > M. Zelo podobno kot v prvem primeru lahko pokažemo, da zopet velja lim n f(v n) f(u n) v n u n = f (c). Tretji primer: naj za c velja u n < c < v n za vsak n N. Naj bosta u n in v n zaporedji, tako da velja u n < c < v n za vsak n N. Ker je lim n u n v n = 0, podobno kot v prvem primeru obstaja N N, tako da velja u n v n < δ za n > N, n N. Naj za n velja n > N. Ker je u n < c < v n in u n v n < δ, velja v n c < δ in u n c < δ. Velja f(v n ) f(u n ) f (c) v n u n = f(v n ) f(u n ) (v n u n )f (c) v n u n = f(v n ) f(u n ) f(c) + f(c) (v n + c c u n )f (c) v n u n f(v n ) f(c) (v n c)f (c) v n u n + f(u n ) f(c) (u n c)f (c) v n u n f(v n ) f(c) (v n c)f (c) v n c + f(u n ) f(c) (u n c)f (c) u n c = f(v n ) f(c) f (c) v n c + f(u n ) f(c) f (c) v n c < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Torej je limita lim n f(v n) f(u n) v n u n = f (c). Osredotočimo se še na dokaz, da van der Waerden-Takagijeva funkcija ni odvedljiva v nobeni točki intervala [0, 1]. Trditev 3.16. Funkcija f(x) = a 0 (b n x), c > 1 in b c, b N je nikjer c n odvedljiva na intervalu [0, 1]. Dokaz. Naj bo t [0, 1]. Pokazati hočemo, da f(x) ni odvedljiva v x = t. Razdelimo dokaz na dva dela, in sicer za t [0, 1) ter t = 1. Prvi primer: t = 1 Naj bosta (u m ) in (v m ) zaporedji, tako da je u m = 1 1 b m in v m = 1 za vsak m N. 18

Limita lim m v m u m = 0. Potem je Ker je b c > 0 velja, da f(v m ) f(u m ) v m u m = a 0 (b n ) c n m 1 = b ( m m 1 = = lim n m 1 b m+n b m c n ( b c 1 b m a 0 (b n bn ) n. ( ) n b 0. c Torej tudi zaporedje ( f(vm ) f(u m ) ki je ekvivalentno zaporedju v m u m m 1 ( ) n b c c n ), a 0 ((1 1 b m )b n ) c n ne konvergira, ko gre m. Po lemi 3.15 torej f(x) ni odvedljiva v točki x = 1. Drugi primer: t [0, 1) Za vsak m N obstaja k m Z [0, 2b m 1], da je km t < km +1. Naj bo 2b m 2b m u m = km in v 2b m m = km +1 za vsak m N. Zaporedje (v 2b m m ) je padajoče, zaporedje (u v ) naraščajoče in velja lim m v m u m = 0. Glede na to, kako smo definirali u m in v m, za vsak n, za katerega velja 0 n m 1, obstaja z Z, da sta b n v m in b n u m vsebovana bodisi v intervalu [z, z + 1], bodisi v intervalu [z + 1, z + 1]. Za vsak tak 2 2 n je funkcija a 0(b n x) je linearna na intervalu [u c n m, v m ] s smernim koeficientom ( b n c) ali ( b n. c) Ker vemo, da je smerni koeficient enak odvodu, to lahko zapišemo tudi kot a 0 (b n v m) c n a 0(b n u m) c n ) v m u m = ± ( b c b m ) ) ) n. (1) V nadaljevanju razdelimo obravnavo tega primera še na dva podprimera, in sicer glede na parnost koeficienta b. Prvi podprimer: b je sod. Naj bo m = n. Če je k m sod, velja a 0 (b n u m ) = a 0 ( bn k m ) = 0 in a 2b m 0 (b n v m ) = a 0 ( bn (k m+1) ) = 1 f(vn) f(un). Podobno kot v prvem primeru izraza vstavimo v 2b m 2 v n u n in dobimo a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n = v m u m 19 1 0 2c m 1 = 2b m ( ) m b. c

Podobno naredimo za primer, ko je k m lih in dobimo izraz a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n v m u m == ( ) m b. c Naj bo sedaj n > m. Potem sta soda tako b n m k m kot b n m (k m + 1), saj je sod b. ( Od tod sledi, da je a 0 (b n v m ) = a b n k m ) ( ) 0 2b = 0 in b n (k m+1) m a0 = 0. Torej je tudi 2b m a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n = 0. v m u m Z združitvijo teh ugotovitev dobimo naslednjo enakost za primer, ko je b sod f(v n ) f(u n ) m ( ) n b = ±. (2) v n u n c Ker je b c > 0, lahko trdimo, da ( ) n b lim ± 0. n c Vsota ( ) n b ± c torej ne konvergira in ker velja (2) tudi f(v n ) f(u n ) lim m v n u n ne obstaja. Po lemi 3.15 zato funkcija f(x) ni odvedljiva v točkah x = t za sod parameter b. Drugi podpimer: b je lih. Naj bo n m. Podobno kot v prejšnjem podprimeru si poglejmo primere za sod in lih k m. Če je k m sod, velja a 0 ( bn k m ) = 0 in a 2b m 0 ( bn (k m+1) ) = 1. Dobimo naslednjo 2b m 2 enakost a 0 (b n v m) a 0(b n u m) 1 0 c n c n 2c = n 1 = bm v m u m c. 2b n m Če je k m lih, pa podobno kot prej, dobimo naslednjo enakost: Zapišimo še s pomočjo vsot a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n v m u m = bm c n. m 1 f(v n ) f(u n ) = v n u n ± 20 ( ) n b ± c n=m ( ) n 1. c

Ker je c > 1, in zato velja ( 1 ) n ( n=m c = c 1 ) m, c 1 c lahko zgornji izraz še nekoliko razvijemo za lažjo obravnavo. Za primere, ko je b lih, tako pridemo do spodnje enakosti. m 1 f(v n ) f(u n ) ( ) n b = ± ± c ( ) m b (3) v n u n c c 1 c Ker je b c > 1, velja, da Potem tudi vrsta lim n ± ( ) b n ( c 0 in limm ± c b ) m c 1 c 0. m 1 ne konvergira. Ker velja (3), tudi ± ( ) n b ± c c c 1 f(v n ) f(u n ) lim m v n u n ( ) m b c ne obstaja. Po lemi 3.15 funkcija f(x) ni odvedljvia v x = t za lihe b. 3.2.1. Vrednosti parametrov b in c. V definiciji Van der Waerden-Takagijeve funkcije je navedeno, da mora biti parameter b večji ali enak parametru c. Zanimivo je, da je v primeru, ko to ne velja, torej ko je parameter b manjši od parametra c, funkcija f(x) odvedljiva v skoraj vseh točkah intervala [0, 1]. Trditev 3.17. Naj bo f funkcija, podana kot f : [0, 1] R s predpisom a o (b n x) f(x) = c n n=1 in a 0 = dist(x, Z). Če velja, da c > 1 in b < c; b N, potem je f(x) odvedljiva za vsak x [0, 1), x k 2b m Trditve ne bomo v celoti pokazali, poglejmo pa, da je funkcija v tem primeru odvedljiva skoraj povsod. Za vsak x,y [0, 1] in vsak n N 0 velja ( ) n b f n (x) f n (y) x y. c S pomočjo pomožne trditve pokažemo, da je funkcija f Lipschizova na [0, 1]. Vemo, da so Lipschizove funkcije odvedljive skoraj povsod (izrek 3.5). Za vsak x, y [0, 1] torej velja f(x) f(y) Ker je b < c, ima izraz f n (x) f n (y) c c b ( ) n b x y = c x y. c c b pozitiven predznak, je funkcija Lipschitzova na intervalu [0, 1]. Vemo, da so funkcije, ki so Lipschitzove, tudi skoraj povsod odvedljive. 21

V tem primeru bi lahko tudi bolj natančno poiskali točke, v katerih funkcija je oziroma ni odvedljiva. Iskanje teh točk je nekoliko bolj zapleteno, ker zahteva več novih pojmov in izrekov, zato v tem delu ne bo predstavljeno. 22

Literatura [1] Hanson-Colvin, M. (2014). Everywhere continuous nowhere differentiable functions. Dostopno prek: http://sections.maa.org/epadel/students/studentwinners/2014_ Hanson-Colvin.pdf [2] Royden, H. L., Fitzpatrick, P. M. (2010). Real Analysis, Fourth Edition. Dostopno prek: http://math.harvard.edu/~ctm/home/text/books/royden-fitzpatrick/ royden-fitzpatrick.pdf [3] Slapar, M. Zapiski predavanj iz osnov matematične analize. Dostopno prek: hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma [4] Slapar, M. Zapiski predavanj iz matematične analize. Dostopno prek: hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma [5] Spurrer G., K. (2004). Continuous Nowhere Differentiable Functions (Senior Thesis, South Carolina Honors College). Dostopno prek: http://educ.jmu.edu/~querteks/seniorthesis.pdf [6] Thim, J. (2003). Continuous Nowhere Differentiable Functions (Master s Thesis, Lulea University Of Technology). Dostopno prek: https://pure.ltu.se/ws/files/30923977/ltu-ex-03320-se.pdf 23