Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Smer: naravoslovna fizika HADRONSKI MULTIPLETI Seminar 4.5.6 Povzetek Predstavljena je gradnja hadronskih multipletov s pomočjo teorije grup ter hadronske masne formule kot posledica kršitve simetrije v enotah h = c =. Avtor: Barbara Horvat Mentor: prof.dr.norma Mankoč-Borštnik
Kazalo UVOD IZOSPIN in SU() OKUSNA SIMETRIJA HADRONSKI MULTIPLETI 4. SU() hadronski multipleti..................................... 4.. (τ, τ 8 ) ravnina ter barvna (točna) SU() simetrija................. 5.. Barve zamenjamo z delci................................. 6.. SU() mezoni......................................... 6..4 SU() barioni......................................... 7. SU(4) hadronski multipleti..................................... 8.. (τ 4, Y 4, C 4 ) prostor..................................... 8.. SU(4) mezoni......................................... 9.. SU(4) barioni.......................................... Okus spin hadronski multipleti ter barva............................... Barva............................................... SU() SU() mezoni...................................... SU() SU() barioni.................................... 4 HADRONSKE MASNE FORMULE 4. Gell-Mann-Okubova masna formula za mezone.......................... 4. Gell-Mann-Okubova masna formula za barione.......................... 4 4. SU(4) Gell-Mann-Okubova masna formula za hadrone...................... 6 4.4 SU(6) Gürsey - Radicati masna formula za hadrone........................ 6 4.5 SU(8) Gürsey - Radicati masna formula za hadrone........................ 7 5 ZAKLJUČEK 7
UVOD Simetrije in njihove posledice so pomembne v fiziki: posledica simetrije na translacijo je ohranitev gibalne količine, simetrije na obrat v času ohranitev energije, simetrije na rotacijo ohranitev vrtilne količine... V teoriji delcev in jedrski fiziki pa igra pomembno vlogo izospinska simetrija aproksimirana z SU() simetrijo, ki identificira proton ter nevtron kot dve različni stanji istega delca [6]. Seveda je kvarkovski model zasnovan na popolnoma enakem ozadju (u ter d kvark imata podobni masi) in ga uporabljamo kot naravno ogrodje za predstavitev opaženih simetrij. Izospinsko simetrijo lahko razpnemo v tako imenovan Eightfold Way oz. ob obravnavi treh kvarkov (u, d, s) govorimo o SU() simetriji, ki pa sem jo razpela še za eno dimenzijo navzgor (u, d, s, c; SU(4)) [, 4]. Torej se kot prikladen matematični model za opis simetrij uporabi kar teorija grup []. IZOSPIN in SU() OKUSNA SIMETRIJA Koncept izospina gre nazaj vse do Heisenberga, ki je, po odkritju nevtrona l. 9, predlagal, da se nevtron in proton lahko tretirata kot dve stanji istega delca. Ideja za to je prišla z opazovanjem njunih mas, ki sta približno enaki (m p = 98.8MeV, m n = 99.57MeV ). Na to masno razliko lahko gledamo kot na degeneracijo energije zaradi interakcij v hadronu. Ta (približna) degeneracija je bila povod za idejo o obstoju (približne) simetrije, ki se pokorava jedrskim interakcijam v hadronu oz. da se proton in nevtron obnašata identično pod ti. močno interakcijo in da pride do razlike med njima le v paketu naboja. Če gledamo na proton in nevtron kot na dve linearno neodvisni stanji istega delca, ju lahko prestavimo kot dvokomponentna vektorja (analogno spin-gor ter spin-dol stanjima spin= sistema): p = ( ), n = ( ). () Po analogiji koncepta, da se spin pokorava rotacijam v D prostoru, se izospinska simetrija prav tako pokorava grupi SU() rotirajočih komponent (p, n) preslikujoč enega v drugega v abstraktnem izospinskem prostoru. Vendar je z razliko od SU() spinske simetrije, SU() izospinska simetrija kršena. Sicer je bil izospin dolgo tretiran kot točna simetrija močne interakcije in da je simetrija kršena le zaradi elektromagnetne in šibke interakcije. Torej bi lahko masno razliko med nevtronom in protonom pripisali naboju slednjega. Vendar, če bi bila masna razlika povsem posledica elektrostatične narave, bi bil proton težji. Vemo pa, da temu ni tako (če bi bilo drugače, bi bil proton nestabilen in bi razpadel v nevtron, to pa bi predstavljalo katastrofo za stabilnost snovi). Skratka izospinska simetrija ni točna simetrija močne interakcije, vendar je kljub vsemu še vedno dobra aproksimacija. Dobri kvantni števili v abstraktnem izospinskem prostoru sta τ, ki predstavlja celoten izospin, ter τ, ki pa je tretja komponenta celotnega izospina. Tako lahko zapišemo stanje kot τ τ >. Lieva algebra (set infinitezimalnih operatorjev, ki se zaprejo pod komutacijo) pa je identična Lievi algebri za vrtilno količino, saj sta grupi SO(), s katero se opiše vrtilno količino, ter grupa SU(), ki opiše izospin, izomorfni. Torej se uporabijo kar rezultati algebre vrtilne količine (le zamenjamo simbole): {ˆτ i, ˆτ j } = iɛ ijkˆτ k. () Prav tako se preslikave med stanji definira s pomočjo operatorjev dviga/spusta stanj: ˆτ ± = ˆτ ± iˆτ za katera velja: Vsakdanja primera znanih stanj lahko potemtakem zapišemo kot: {ˆτ +, ˆτ } = ˆτ. () - izodublet proton-nevtron: p=, >, n=, > - izotriplet pionov: π =, >, π =, >, π + =, > (ponovno se upošteva približna enakost mas: m π ± = 9, 6MeV, m π = 5, MeV ).
V okviru kvarkovskega modela pa je fundamentalna reprezentacija izospinske simetrije predstavljena z dubletom dveh okusov: up in down kvarka (u=, >, d=, >). Iz le-teh lahko seveda sestavimo vse ostale omenjene multiplete (n, p; π ±, π ) upoštevajoč, da so barioni (p, n) sestavljeni iz treh kvarkov ter da so mezoni (pioni) sestavljeni iz kvarka ter antikvarka. Vemo, da sta masi up, down kvarkov reda nekaj MeV, kar pa je bistveno manj kot pa je energijska skala močno interagirajočih hadronov, ki je reda nekaj GeV. To pa je vzrok, zakaj je izospinska simetrija dobra simetrija in da imajo stanja v izomultipletu približno enake mase. Zgodovinsko gledano so naleteli na problem, ko so odkrili še en okus: strange (s) kvark, ki so mu po nesreči pripisali strange kvantno število - (S=-). Za vse ostale okuse pa so postavili čudnost na. V duhu kvarkovskega modela je očitno, da se pač doda še ena komponenta dodatnega kvarka izospinskemu vektorskemu prostoru. Tako imamo: u =, d =, s =. (4) V tem primeru morajo biti transformacije, ki rotirajo dane komponente kvarkov enega v drugega in ohranjajo normo, elementi SU() grupe. Vendar, ker nikoli niso opazili posameznih kvarkov, se je na tem mestu postavilo vprašanje: Čemu bi naj fundamentalna reprezentacija okusne SU() grupe odgovarjala? Kakorkoli že, simetrija SU() se pojavi tudi v drugem in bistveno bolj fundamentalnem kontekstu v fiziki močne interakcije: kvarkom se pripiše barva (vemo, da se morajo fermioni pokoravati Paulijevemu izključitvenemu načelu; med barioni ( kvarki) pa so odkrili resonanco sestavljeno iz istih kvarkov s spinom (vsak kvark ima spin gor); torej mora obstajati še neko kvantno število, ki zadovolji Paulija; uvedla se je barva sicer vpeljana že prej iz potrebe po zadovoljitvi Paulija glede na obstoj kvarkov v drugače identičnih stanjih). Verjame se, da pa je ta SU() simetrija točna simetrija močne interakcije. Še več: moderna teorija močnih interakcij je gauge teorija te barvne grupe (kvantna kromodinamika). HADRONSKI MULTIPLETI. SU() hadronski multipleti Grupa SU() ima osem generatorjev izmed katerih sta lahko le dva hkrati diagonalna. V standardni Gellmannovi reprezentaciji SU() generatorjev v obliki hermitskih matrik ju pišemo kot: ˆτ = Za vseh osem generatorjev pa velja: - ˆτ 8 = -. (5) {ˆτ i, ˆτ j } = if ijkˆτ k, kjer je (6) f ijk = i T r({ˆτ i, ˆτ j } ˆτ k ) tabeliran antisimetrični tenzor. S pomočjo komutacijske relacije (6) pa se lahko določi reprezentacija grupe, katera je predstavljena v tem seminarju. Pomembno informacijo pa po drugi strani predstavlja tudi rang grupe SU(n) (r = n ), ki pove število invariant oz. število hkrati komutirajočijh operatorjev oz. maksimalno število hkrati diagonalnih matrik ˆτ i. Torej: kolikor invariant, toliko dimenzionalna bo matrična reprezentacija. V primeru grupe SU() je tako matrična reprezentacija -dimenzionalna. To pa pomeni, da lahko vsa stanja predstavimo v ravnini. 4
.. (τ, τ 8 ) ravnina ter barvna (točna) SU() simetrija Hilbertov prostor nad katerimi delujejo operatorji ˆτ k razpenjajo vektorji: R =, G =, B =, (7) kjer R predstavlja rdečo barvo, G zeleno, B pa modro barvo. Z drugimi besedami: grupo SU() uporabimo za opis barvnega naboja. Na bazne vektorje (7) se deluje z diagonalnima matrikama ˆτ in ˆτ 8 ter na absciso τ nanaša lastne vrednosti dobljene z delovanjem matrike ˆτ na baznih vektorjih, na ordinato Y = τ 8 pa lastne vrednosti dobljene z delovanjem matrike ˆτ 8 ( se izbere za lepšo reprezentacijo ter iz želje po ujemanju kvantnih števil okusne SU() simetrije z izbranimi kvantnimi števili oz. iz želje, da dobimo pravi naboj; glej poglavje..). Upoštevamo tudi, da za antibarve le spremenimo predznak lastnim vrednostim. Tako lahko barve predstavimo v izbrani ravnini (τ, τ 8 ): Slika : Barve ter antibarve v ravnini (τ,y ). Preslikave med stanji pa se ponovno definira s pomočjo operatorjev dviga/spusta kot v primeru SU() izospinske grupe. Razlika se pojavi v številu teh operatorjev: v primeru SU() grupe imamo le en operator dviga/spusta, v primeru SU() pa kar tri. V navadi je, da se jih označi s ˆτ ±, ˆV ± ter Û ± ter predstavi v ravnini (τ, τ 8 ): Slika : Preslikave barv z operatorji τ ±, V ±, U ±. Kot je očitno iz slike (), ˆτ + preslikuje G v R, ˆτ ravno obratno. V primeru antibarv pa moramo upoštevati, da operator ˆτ + anti za antibarve slika R v -Ḡ, ˆτ anti pa Ḡ v - R. Podobno velja tudi za operatorje ˆV ± in Û ±. 5
.. Barve zamenjamo z delci Za razlago delcev moramo reči, da lastna vrednost operatorja Ŷ = ˆτ 8 za barve predstavlja hipernaboj (ˆτ ) za delce, lastna vrednost operatorja ˆτ za barve pa tretjo komponento izospina (ˆτ ) za delce. Tako povežemo grupo SU() z okusom ter šibkim nabojem; d u s pa sedaj predstavljajo triplet. Lepše se vidi na sliki, kjer je bilo glede na barvni triplet oz. antitriplet narejenih par transformacij, tj. R u, G d ter B s: Slika : Delci ter antidelci v ravnini (τ, Y = τ 8 ). Seveda je potrebno na tem mestu omeniti, da SU() izospinska simetrija (glej poglavje ), ki je sama po sebi že kršena, predstavlja del večje simetrije (SU()), ki pa je še bolj kršena. Kakorkoli že kršeno, še vedno se da z njo klasificirati opažene družine delcev in tudi masne formule (glej npr. poglavje 4.) lepo delujejo... SU() mezoni V primeru, ko obravnavamo večdelčna stanja, se operatorji zapišejo v obliki: ˆ τ = delci ˆ τ delci + antidelci ˆ τ antidelci, kjer je (8) ˆ τ lahko ˆ τ ±, ˆ U ± ali ˆ V ± in ˆ τ ± = ˆτ ± α () + ˆτ ± α () +, kjer število v oklepaju pove kateri gradnik sestavljenega stanja je po vrsti, α pa ali je i-ti gradnik delec oz. antidelec. Torej so vsi operatorji toliko delčni, kolikor delcev imamo. V primeru mezonov so potemtakem dvodelčni (mezoni so sestavljeni iz kvarka ter antikvarka oz. delca ter antidelca). Očitno je, da je potrebno za lastne vrednosti večdelčnih stanj le sešteti lastne vrednosti gradnikov (kvarkov, antikvarkov), za katere velja: kvarki Y = τ τ Q u d - - s - - Tabela : Lastne vrednosti kvarkov: Y je hipernaboj, τ šibki naboj, Q = τ + τ pa predstavlja naboj v enotah osnovnega naboja. SU() levoročnemu dubletu ( u d ) L s kvantnimi števili u L = {( ), ( )}, dl = {( ), ( )} ter nabojema Qu L =, Q dl =, kjer {(τ τ ), (τ )} = {SU() izospin(šibki naboj), U() hipernaboj}, dodamo desnoročni singlet (s) R s kvantnimi števili s R = {( ), ( )} ter nabojem Qs = R. Da pa se ohranijo kvantna števila vseh treh kvarkov, ko gremo iz SU() v SU(), zamenjamo τ s τ ter τ s τ 8. Torej: {(τ τ ), (τ ))} SU() U() {(τ τ ), ( τ 8 ))} SU(). 6
Reprezentacija mezonov v ravnini (τ, τ 8 ) je potemtakem: Slika 4: Mezoni v ravnini (τ, τ 8 ). Poimenovanja stanj q q > na sliki (4) so teoretična, z imeni kot so π +... pa so eksperimentalna. Vseh teoretičnih stanj je na sliki (4) 9, eksperimentalnih pa le 6. Preostala tri stanja, ki so v središču ravnine (τ, τ 8 ), se dobi z operatorji dviga/spusta oz. z upoštevanjem ortogonalnosti: π = ( uū > d d >) (9) η = 6 ( uū > + d d > s s >) () η = ( uū > + d d > + s s >) () Vsa ta eksperimentalna stanja pa se da klasificirati v plete glede na operatorje dviga/spusta. Če iz nekega stanja z izbranim operatorjem ne moremo skonstruirati nobenega drugega stanja, govorimo o singletu glede na izbrani operator, če skonstruiramo maksimalno še eno stanje, govorimo o dubletu itd. V primeru mezonov SU() sestavljenih iz najlažjih kvarkov tako dobimo: operator singlet dublet triplet ˆτ ± η, η (κ, κ + ), (κ, κ ) (π, π, π + ) ˆV ± η (π, κ ), ( κ, π + ) (κ, π, κ + ), (κ, η, κ + ) Û ± η (π +, κ + ), (κ, π ) ( κ, π, κ ), ( κ, η, κ ) Tabela : SU() mezonski pleti. Vse delce, ki gradijo dublete oz. triplete lahko združimo v oktet glede na operatorje ˆτ ±, ˆV ±, Û ± (s pomočjo le teh lahko iz enega stanja iz okteta zgeneriramo še ostalih sedem). Oktet je potemtakem sestavljen iz: π, π, π +, κ, κ +, κ, κ ter η. Z operatorji ˆτ ±, ˆV ± ter Û ± pa ne moremo zgenerirati stanja η iz stanj, ki so del okteta, torej predstavlja η singlet glede na vse operatorje dviga/spusta...4 SU() barioni Kot v primeru mezonov velja tudi za lastne vrednosti (kvantna števila) barionov, da seštevamo lastne vrednosti gradnikov. Razlika je le v tem, da pri barionih upoštevamo le tri kvarke ali pa tri antikvarke (če govorimo o antibarionih). Rezultat, ki ga dobimo, se lahko ponovno predstavi v ravnini (τ, τ 8 ): 7
Slika 5: Barioni v ravnini (τ, τ 8 ). Vemo, da pri sklapljanju treh različnih kvarkov v gruče po tri skupaj (v barione) velja [] [] [] = = [] [8] [8] [], kjer je dekuplet popolnoma simetričen, singlet pa popolnoma antisimetričen na zamenjavo delcev, ter da sta okteta simetrična oz. antisimetrična le na zamenjavo prvih dveh delcev. Dekuplet lahko zgeneriramo z operatorji dviga/spusta npr. iz stanja uuu >, ki je očitno simetričen. Tako se dobi preostalih 9 popolnoma simetričnih stanj. Za popolnoma antisimetričen singlet se pa moramo že malce bolj potruditi: upoštevati je potrebno, da je stanje dekupleta v središču ravnine (τ, τ 8 ) ortogonalno na iskani singlet. Seveda pa mora veljati tudi, da vsi operatorji spusta/dviga stanj preslikajo singlet v jedro (v ). Za okusno valovno funkcijo singleta tako dobimo: 6 ( uds > dus > + dsu > usd > + sud > sdu >). () V primeru stanj z mešano antisimetrijo pa se nastavi prva dva delca tako, da sta antisimetriča na menjavo položajev npr. gradnjo multipleta začnemo iz ( ud > du >) u > ter upoštevamo ortogonalnost stanj Na ta način najdemo še preostalih 7 barionov z mešano antisimetrijo. Seveda se podobno razmišlja tudi ko govorimo o stanjih z mešano simetrijo: prva dva delca nastavimo tako, da sta simetrična na zamenjavo. Gradnjo v tem primeru začnemo npr. iz nenormiranega stanja v središču ravnine (τ, τ 8 ). α( ud > + du >) u > +β uud >, ki mu koeficienta α ter β določimo z upoštevanjem ortogonalnosti na istoležno stanje dekupleta ter okteta z mešano antisimetrijo v ravnini (τ, τ 8 ). Dobi se α = ter β =.. SU(4) hadronski multipleti Z razliko od grupe SU() ima grupa SU(4) 5 generatorjev od katerih so največ trije hkrati diagonalni: ˆτ 4 = - ˆτ 48 = - ˆτ 45 = 6 -, () kar pomeni, da je matrična reprezentacija tridemenzionalna oz. da lahko rezultate predstavimo v tridimenzionalnem prostoru... (τ 4, Y 4, C 4 ) prostor Tako kot smo prešli iz SU() v SU() grupo, tako gremo iz SU() v SU(4) grupo: kvarkovskemu SU() tripletu dodamo kvark (c) R s kvantnimi števili c R = {( ), ( )} ter nabojem Q =. Uvede se še eno 8
kvantno število (zaradi enoličnosti kvarkov): šarm C 4, ki le kvarku c priredi lastno vrednost, vsem ostalim pa. Tako lahko zapišemo {(τ τ ), ( τ 8 )} SU() (4) [{(τ 4 τ 4 ), (Y 4 = τ 48 + (I 6τ 45 ))}, {C 4 = (τ 4 ) τ 48 8 τ 45 }] SU(4), kjer zadnji člen predstavlja lastne vrednosti šarma. Skratka: c R = [{( ), ( )}, {}]. Hilbertov prostor nad katerimi delujejo matrike ˆτ 4k pa razpenjajo vektorji: u >=, d >= Vsa kvantna števila obravnavanih kvarkov so tako:, s >=, c >= kvarki τ 4 Y 4 C 4 Q 4 S 4 B u - d - s - - - c. (5) Tabela : Kvantna števila kvarkov u, d, s ter c. Sedaj je τ 4 izospin oz. šibki naboj, Y 4 (= B + S 4 ) hipernaboj, C 4 čudnost, Q 4 naboj ( ˆQ 4 = ˆτ 4 + Ŷ4 + Ĉ4 ), S 4 šarm (Ŝ4 = (ˆτ 4 ) + ˆτ 48 ), B pa barionsko število. Preslikave med stanji se ponovno definira z generatorji podgrup enako kot v primeru SU() oz. SU() grupe. Dobimo le še več operatorjev dviga/spusta: šest (τ 4 ±, V 4 ±, U 4 ±, W 4 ±, Z± 4, z± 4 ), katerih delovanje na izbranih kvarkih predstavimo v SU(4) prostoru: Slika 6: Preslikave kvarkov z operatorji τ ± 4, V ± 4, U ± 4, W ± 4, Z± 4, z± 4 v prostoru (τ 4, Y 4, C 4 )... SU(4) mezoni V primeru SU(4) mezonov prav tako seštevamo lastne vrednosti ustreznih gradnikov ter jih predstavimo v prostoru (τ 4, Y 4, C 4 ), kjer na os x nanašamo lastne vrednosti operatorja τ ˆ4, na os y lastne vrednosti operatorja Ŷ4, na os z pa lastne vrednosti operatorja Ĉ4.: 9
Slika 7: Mezoni v prostoru (τ 4, Y 4, C 4 ). Vemo, da pri sklapljanju delca ter antidelca, za katera imamo možne 4 različne okuse, velja [4] [ 4] = [5] []. Torej imamo SU(4) 5-plet in SU(4) singlet. 5-plet lahko sestavimo iz SU() multipletov: [5] [] [] [ ] [8], kjer so: [] [8] SU() C 4 = nonet (singlet oktet: η η, π, π, π +, κ, κ, κ +, κ ); [] SU() C 4 = triplet (D = cū >, F + = c s >, D + = c d >); [ ] SU() C 4 = antitriplet ( D = u c >, F = sū >, D = d c >); [] SU(4) C 4 = singlet (η c = c c > )... SU(4) barioni Ko sklapjamo 4 različne kvarke v barione, iščemo 64 različnih stanj: [4] [4] [4] = [] [] [] [ 4]. V prostoru (τ 4, Y 4, C 4 ) pa imamo le stanj z različnimi kvantnimi števili (glej sliko (8)). Slika 8: SU(4) barioni v prostoru (τ 4, Y 4, C 4 ). Različne barve pomenijo različno ravnino glede na kvantno število čudnost (C 4 )). Ustrezna ravnina je označena ob sliki. Torej ima veliko stanj vsa kvantna števila enaka. Razlikujejo se le po masi ter valovni funkciji. Seveda pa niti dva ne pripadata istemu multipletu, ki jih dobimo začenši gradnjo le-teh iz že znanih SU() multipletov oz. iz stanj s C 4 = s pomočjo SU(4) operatorjev dviga/spusta. Dobimo: popolnoma antisimetričen [ 4]-plet η c ni pravi SU(4) singlet. Pravi SU(4) singlet je linearna kombinacija stanj η, η, η c. Še več: ponavadi se za eksperimentalna stanja v (,, ) točki SU(4) prostora piše: π, η = ( uū > + d d >), η s s > ter η c = c c >.
(iz popolnoma antisimetričnega SU() singleta), popolnoma simetričen [] -plet (iz popolnoma simetričnega SU() dekupleta), []-plet z mešano antisimetrijo (iz SU() okteta z mešano antisimetrijo) ter []-plet z mešano simetrijo (iz SU() okteta z mešano simetrijo). [ 4]-plet poleg SU() C 4 = singleta vsebuje še C 4 = antitriplet; [] -plet poleg SU() C 4 = dekupleta še C 4 = sekstet, C 4 = triplet ter C 4 = singlet; []-pleta (z mešano simetrijo oz. antisimetrijo) pa poleg SU() C 4 = okteta še C 4 = sekstet, C 4 = antitriplet ter C 4 = triplet (vsak SU()-plet ima ustrezno simetrijo SU(4)-pleta, ki mu pripada).. Okus spin hadronski multipleti ter barva.. Barva V poglavjih in.. je bil uveden pojem barve oz. barvne SU() simetrije. Vsakemu kvarku/antikvarku pripišemo barvo/antibarvo. V primeru mezonov, ko sklapljamo delec ter antidelec, tako hkrati sklapljamo barvo ter antibarvo. SU() reprezentacija barve-antibarve je popolnoma enaka kot okusna SU() reprezentacija kvarka-anrikvarka: vse kar je potrebno formalno narediti je zamenjati simbole: u-r, d-g, s-b ter ū R, d Ḡ, s B. Enako velja pri sklapljanju treh barv oz. treh kvarkov (barioni). Postulat. Vsi hadroni so brezbarvni oz. pripadajo singletnim reprezentacijam barve grupe. Iz tega postulata lahko takoj ugotovimo, da je edino možno barvno mezonsko stanje ( R R > + GḠ > + B B >). (6) Valovne funkcije mezonov se lahko sedaj zapišejo v malce bolj celoviti obliki: ψ >= okusni del > ( R R > + GḠ > + B B >), kjer je (7) okusni del > lahko katerakoli izračunana okusna valovna funkcija mezonov (SU(), SU(4),... ). Enako velja v primeru barionov le da zamenjamo barvni del valovne funkcije bariona 6 ( BGR > BRG > + GRB > RGB > + RBG > GBR >), (8) ki pa je popolnoma antisimetrična. Torej: ψ >= okusni del > 6 ( BGR > BRG > + GRB > RGB > + RBG > GBR >). (9).. SU() SU() mezoni Vemo, da je valovna funkcija hadronov sestavljena iz prostorko-časovne ter okusne, barvne in spinske valovne funkcije. Seveda sem hadrone obravnavala kot časovno nespremenljive in upoštevala, da je orbitalna vrtilna količina enaka oz. sem rekla, da je prostorska valovna funkcija simetrična. Okusna valovna funkcija je bila obravnavana vse do sedaj, tako da je tudi ta že znana. V prejšnjem poglavju pa sem uvedla še barvno valovno funkcijo. Manjka torej le še spinski del. V navadi je, da se spinski prostor direktno sklopi z okusnim. Torej SU() SU() (okus-spin). Tako iz tripletne fundamentalne predstavitve SU() grupe ( u >, d >, s >) dobimo sekstet: u >, u >, d >, d >, s >, s >, () ki je fundamentalna predstavitev SU(6) grupe. Enako velja za antitriplet oz. antisekstet (le SU() okuse zamenjamo z antiokusi).
V primeru SU() SU() mezonov govorimo tako o dveh oktetih (s celotnim spinom oz. singletih (ponovno s celotnim spinom oz. ): ) ter dveh [{}, ] [{ }, ] = [{8}, ] [{}, ] [{8}, ] [{}, ], () Do sedaj sem obravnavala le mezonski nonet s celotnim spinom (singlet v spinu; psevdoskalarni mezoni: J P =, kjer je J = L+S celotna vrtilna količina, P = ( ) L pa parnost bozonov). Vemo pa, da obstajajo še trije drugi noneti (spinski triplet >, > ter >, kjer zapis pomeni celoten spin, tretja komponenta spina oz. s m >; ki so vektorski mezoni: J P = ). To vemo tudi iz meritev, saj so zaznali delce z isto kvarkovsko sestavo a različno maso. Razlika v masi je potemtakem posledica razlike v spinu. Novo valovno funkcijo za mezone lahko sestavimo na enak način kot prej: vzamemo npr. stanje z maksimalno utežjo s spinom >. Ostale iz okteta oz. noneta pa dobimo s preslikavami z operatorji ˆτ ±, Û ±, ˆV ± oz. z upoštevanjem ortogonalnosti. Seveda se s tem spinski del ne spremeni oz. z drugimi besedami: cel nonet ima enako spinsko valovno funkcijo. Ostale mezone z isto kvarkovsko sestavo vendar nižjimi projekcijami spina pa dobimo z operatorjem Ŝ s m >= s(s + ) m(m ) s m > () oz. z upoštevanjem ortogonalnosti. Tukaj je Ŝ dvodelčen operator: Ŝ = Ŝ () + Ŝ (), sm > pa predstavlja spinsko valovno funkcijo. Seveda je vse še direktno pomnoženo z barvno valovno funkcijo za mezone (6)... SU() SU() barioni Barione lahko z upoštevanjem, da so fermioni, obravnavamo še na malce drugačen način. Vemo, da mora biti zaradi Paulijevega izključitvenega načela celotna valovna funkcija fermionov popolnoma antisimetrična. Vemo, da je prostorska valovna funkcija simetrična ter da je barvna antisimetrična. Tako morata biti okusna in spinska valovna funkcija skupaj simetrični. Torej ali sta oba dela simetrična ali oba anisimetrična. Obstaja pa še tretja možnost: okus z mešano simetrijo spin z mešano simetrijo + okus z mešano antisimetrijo spin z mešano antisimetrijo, ki je tudi popolnoma simetrična na zamenjavo delcev. Imamo torej le dve možnosti: (, 4) = [{}, ], () [(8, ) + (8, )] = ([{8}, ] + [{8}, ]), (4) kjer (, 4) predstavlja simetričen okusni dekuplet s simetričnim spinskim 4-pletom s celotnim spinom, (8, ) pa okusni oktet z mešano simetrijo oz. antisimetrijo s spinskim dubletom z mešano simetrijo oz. antisimetrijo s celotnim spinom. Tako je različnih stanj v dekupletu 4, v oktetu pa 6. To se pa ujema z eksperimenti. Obstaja namreč le 56 stanj, torej le SU(6) 56-plet (pričakovali pa bi še tri plete: [7], [7], []; le-ti pa niso simetrični). Preostali postopek ostane enak kot v poglavju... Končen rezultat pa se predstavi v ravnini (τ, τ 8 ), kjer sem ustrezno označila eksperimentalna stanja:
Slika 9: Barioni okteta v ravnini (τ,y ). 4 HADRONSKE MASNE FORMULE 4. Gell-Mann-Okubova masna formula za mezone Slika : Barioni dekupleta v ravnini (τ,y ). Če SU() simetrija ne bi bila kršena oz.bi bila točna simetrija močne interakcije, potem bi imeli vsi mezoni v SU() multipletu enako maso, saj bi bila vsa stanja SU() multipleta energijsko degenerirana. Seveda iz eksperimenta vemo, da temu ni tako (glej sliko ). Torej pride do zloma SU() simetrije, ki pa je kot že vemo bolj zlomljena kot simetrija izospina. Slika : Ustrezna masa mezonov iz slike 4 v ravnini (τ, τ 8 ). Da ta zlom upoštevamo v Hamiltonki močne interakcije, moramo poleg starega invariantnega člena (predstavlja super močno interakcijo, SU() invarianto, ki ne vidi masnih razlik ter vodi do degeneriranih multipletov) upoštevati še nek nov člen (srednje močna interakcija), ki povzroči zlom simetrije oz. premakne degenerirana stanja. Sestavimo ga lahko iz generatorjev grupe SU(). Torej: Ĥ = Ĥi + Ĥni, (5) kjer Ĥi je invariantini del Hamiltonke, Ĥ ni pa neinvariantni del. Ker je razcep masnih nivojev v multipletu le ca. % celotne mase, rečemo, da je prispevek k masi od Ĥni majhen in ga obravnavamo kot perturbacijo: < Ĥi >= m < Ĥni >, kjer (6)
< Ĥi > predstavlja pričakovano vrednost invariantnega dela Hamiltonke, < Ĥni > pa pričakovano vrednost neinvariantnega dela Hamiltonke. Tako lahko maso zapišemo v obliki: M =< Ĥi > + < Ĥni >. (7) Na tem mestu zanemarimo masno razliko zaradi elektromagnetne interakcije oz. upoštevamo, da imajo vsi člani izospinskega multipleta enako maso oz. {Ĥni, ˆτ } =. Ĥ ni sestavimo torej iz generatorjev SU() grupe, ki komutirajo s ˆτ : Ĥ ni = i m i  i, (8) kjer je m i konstanta pred i-tim generatorjem. Vemo, da z operatorjem ˆτ komutirajo Ŷ, (Ŷ ), (ˆτ ) etc. V prvem približku tako lahko zapišemo: Ĥ ni = α(ŷ ). (9) V enačbi (9) je Ŷ in ne Ŷ, ker mora biti operator, ki določa razcep mas za mezone glede na hipernaboj pozitivno definiten, saj je masa na sredi ravnine (τ, τ 8 ) najmanjša. Torej: M = m + α < ττ Y (Ŷ ) ττ Y >= m + α(y ). () Ker smo zanemarili masno razliko zaradi elektromagnetne interakcije, pogledamo le delce z enakim nabojem oz. U-spin multiplete. Iz formule bi moralo veljati, da M η = M π, vendar eksperiment da: M η M π = = 4, MeV. Zato moramo formulo popraviti. Vemo, da se η ter π ne razlikujeta v Y ter τ oz. da se razlikujeta v τ. Vemo tudi še, da ˆτ ne komutira s ˆτ. Zato moramo upoštevati skalar (ˆτ ). Nova Hamiltonka je sedaj: nova masna formula pa Ĥ ni = α(ŷ ) + β(ˆτ ) () M = m + α(y ) + βτ (τ + ). () Koeficienta α ter β se pa določi iz meritev ob upoštevanju masne formule: delec Y τ M κ -, m + α + 4 β η m π m + β Tabela : Rezultati masne formule () za mezone. Ker so mezoni bosoni, se pokoravajo Klein - Gordonovi enačbi µ µ φ + m φ = v kateri nastopa kvadrat mase in ne masa. Zato sta M in m v masni formuli kar M in m. 4. Gell-Mann-Okubova masna formula za barione V primeru SU() barionov se ponovno zanemari ˆτ razcep, medtem ko pa Ŷ razcepa ne gre. Iz meritev pa je tudi očitno (glej sliko ()), da s padajočim Y masa raste kot tudi da z razliko od mezonskega okteta tukaj niti dve stanji z različnim Y nimata iste mase. Zato pozitivna definitnost operatorja (Ŷ )k (k = : ) ni potrebna. Prav tako ni na nobenem Y nivoju dveh različno velikih mas. Zato v razcepu ne upoštevamo odvisnosti od ˆτ. 4
Slika : Masa stanj barionskega dekupleta iz slike. Torej je prvi približek kar: Masna formula pa je oblike: Ĥ ni = αŷ. () M = m + αy. (4) Glede na eksperimentalne podatke lahko rečemo, da je ta masna formula za barionski dekuplet pravilna (glej spodnjo tabelo): M masna formula eksperiment [M ev ] M Ξ M Ω α 4.5 M Σ M Ξ α 45 M M Σ α 5 Tabela 4: Rezultati masne formule 4 za barionski dekuplet. Ko pa masno formulo (4) želimo uporabiti še za barionski oktet z masami predstavljenimi na sliki (), vidimo, da to ne bo šlo kajti v (τ, τ 8 ) = (, ) imamo dve stanji z različnima masama, ki se razlikujeta le v τ. Slika : Ustrezna masa mezonov iz slike 4 v ravnini (τ, τ ). 5
Vidimo pa tudi, da tudi v tem primeru ne rabimo zahtevati pozitivne definitnosti operatorja Ŷ. Tako je prvi približek za Hamiltonjan srednje močne interakcije za barionski oktet: Masna formula pa se glasi: Ĥ ni = αŷ + β(ˆτ ). (5) M = m + αy + βτ (τ + ). (6) Ta formula sicer deluje, vendar predstavlja slabo aproksimacijo. Tako dodamo še en člen v popravku k Hamiltonki, katere neinvariantni del postane enak: popravljena masna formula pa: S to formulo pa smo popravili prejšni približek za red velikosti. Ĥ ni = αŷ + β(ˆτ ) + γ(ŷ ), (7) M = m + αy + βτ (τ + ) + γ(y ). (8) Sedaj pa želimo, da bi ta masna formula veljala tudi za barionski dekuplet. Kaj ugotovimo? Da smo z dodatnimi členi pokvarili dobro ujemanje z eksperimentom. Tako zahtevamo, da je na novo dodani člen po zapisu enak staremu oz. βτ (τ + ) + γ(y ) = m + m Y. V zahtevo vstavimo tri stanja in dobimo, da je γ = 4β oz. dobimo Gell-Mann- Okubovo masno formulo, ki velja za vse SU() hadronske multiplete: M = m + αy + β(τ (τ + ) 4 (Y ) ). (9) Zavedati se moramo le, da je za mezone masa pravzaprav kvadrat mase in da moramo iz masne formule odstraniti Y ; za barione, ki pa so fermioni in se pokoravajo Diracovi enačbi (iγ µ µ m)ψ =, pa je masa kar masa. 4. SU(4) Gell-Mann-Okubova masna formula za hadrone Okusna SU(4) masna formula se po analogiji SU() hadronske masne formule lahko zapiše v obliki: M = m + αy + β(τ 4 (τ 4 + ) 4 (Y ) ) + δc 4, kjer je (4) C 4 lastna vrednost operatorja Ĉ4, ki je operator šarma (komutira s ˆτ 4 ) in je bil obravnavan že v poglavju... Ta formula dobro drži za barione. V primeru mezonov pa jo moramo malce spremeniti: kot vedno rečemo, da je masa kar masa kvadrat, Y odstranimo in zahtevamo pozitivno definitnost operatorja (Ĉ4) k (k = : ). Tako je prvi približek za mezone kar: M = m + β(τ 4 (τ 4 + ) 4 (Y ) ) + δ(c 4 ). (4) Ujemanje z eksperimenti je v tem primeru slabše kot pa v primeru SU() hadronov iz treh najlažjih kvarkov. 4.4 SU(6) Gürsey - Radicati masna formula za hadrone Ker se stanja z isto kvarkovsko sestavo a različnim spinom (torej so vsa stanja pripadniki različnih multipletov) razlikujejo v masi, moramo v prej obravnavanih SU() oz. SU(4) hadronskih masnih formulah dodati še spinski del kršitve simetrije. Predpostavka. Del Hamiltonjana, ki zlomi simetrijo, je skalar v spinskem prostoru: {Ĥni, (Ŝ) } =. Ĥ ni torej vodi do razcepa mas delcev z različnim spinom v SU(6) oz. SU(8) multipletu. 6
V prvem približku lahko rečemo, da je Ĥni (Ŝ) oz. Ĥ ni = αŷ + β((ˆτ ) 4 (Ŷ ) ) + ɛ(ŝ). (4) Tako se SU(6) Gürsey - Radicatijeva masna formula, ki velja za barionski oktet ter dekuplet (za cel 56-plet) glasi: M = m + αy + β(τ (τ + ) 4 (Y ) ) + ɛs(s + ). (4) Ugotovi se lahko, da je ujemanje z eksperimenti še vedno zadovoljivo. Za masno formulo SU(6) mezonov pa moramo narediti ponovno že standardni spremembi: masa je masa kvadrat, v enačbi (4) pa je potrebno odstraniti operator Ŷ. Vse ostalo ostane nespremenjeno. 4.5 SU(8) Gürsey - Radicati masna formula za hadrone S pomočjo poglavij 4.4 ter 4. lahko kar zapišemo SU(8) masno formulo za barione: M = m + αy + β(τ 4 (τ 4 + ) 4 (Y ) ) + δc 4 + ɛs(s + ). (44) Le-ta pa ponovno ne drži za SU(4) mezone, če ne naredimo nekaj sprememb: masa je masa kvadrat, Y odstranimo, namesto C 4 pa pišemo (C 4 ) : M = m + β(τ 4 (τ 4 + ) 4 (Y ) ) + δ(c 4 ) + ɛs(s + ). (45) Seveda se SU(8) masna formula (45) slabše ujema z meritvami kot SU(6) masna formula (4). Iz tega pa lahko ponovno sklepamo, da je SU(4) okusna simetrija bistveno bolj zlomljena kot pa SU() okusna simetrija. 5 ZAKLJUČEK V prvem oz. drugem delu tega seminarja sem obravnaval SU() oz. SU(4) hadronske multiplete. Sledila sta jima poglavja, ko sem okusnim prostorom kvarkom z direktnim produktom dodala spinski del in nato še barvni. Seveda so bili hadroni obravnavani le v njihovih osnovnih stanjih oz. sem rekla, da je tirna vrtilna količina L= (prostorski del valovne funkcije hadronov je simetričen). Zlom simetrije SU() oz. SU(4) pa sem obravnavala v poslednjih poglavjih z obravnavo masnih formul hadronov. Iz rezultatov vemo, da je SU(4) simetrija bistveno bolj kršena kot SU(), ki pa je tudi znatno bolj kršena v primerjavi z SU() simetrijo. Kvarkovski model je doživel velik uspeh v ureditvi kaosa stotin eksperimentalno najdenih resonanc, vendar je odprl tudi množico problemov npr.: zakaj kvarki niso bili opaženi posamezno oz. ali so kvarki sploh realni ali pa predstavljajo le uporaben matematični aparat? Kakorkoli že, grupo SU(n) se da odlično uporabiti za razvrstitev hadronov v multiplete ter za določitev njihovih valovnih funkcij s katerimi lahko določimo magnetne momente hadronov oz. iz izmerjenih magnetnih momentov lahko določimo magnetne momente gradnikov hadronov. Za izračun lastnosti pa se je potrebno poslužiti kvantne kromodinamike (QCD) oz. kakšne njene poenostavitve (perturbativna QCD, mrežna QCD, /N razpon, kiralna perturbacijska teorija, težka kvarkovska efektivna teorija... ), kajti obravnava se problem velikega števila delcev z nerazjasnjeno obliko potenciala med kvarki, problem pa predstavlja tudi jakost močne interakcije. Ta del standardnega modela pa v tem seminarju ni zajet. Literatura [] W. Greiner, B. Müller. Quantum mechanics symmetries. Springer, Berlin, 994. 7
[] F. J. Dyson. Symmetry groups in nuclear and particle physics. W. A. Benjamin, New York, 966. [] J. F. Cornwell. Group theory in physics. Academic press, London, 997. [4] M. Kaku. Quantum field theory. Oxford university press, New York, 99. [5] H. F. Jones. Groups, representations and physics. J. W. Arrowsmith, Bristol, 998. [6] F. Halzen, A. D. Martin. Quarks and leptons. John Wiley, New York, 984. [7] Yee-Yen Lee, Shan-Yeong Lin. Crossing Matrices Concerning the Fundamental Triplet of SU(). Chinese Journal of Physics, Vol. 5, No., 967. [8] H. T. Williams. Gell-Mann-Okubo Mass Formula for SU(4) Meson Hexadekuplet. hep-ph, :968, 996. [9] Mu-Lin Yan, Xin-He Meng. Improved Gell-Mann-Okubo Relations and SU() Rotation Excitations of Baryon States. hep-ph, :47, 4. [] D. O. Riska. Nucleon Resonance Structure. Cosy Summer School, Vol., No.,. 8