UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Magistrsko delo UPORABA IN POSPLOŠITVE ANDERSON-CHOQUETOVEGA IZREKA na študijskem programu 2. stopnje Matematika Mentor: izr. prof. dr. Iztok Banič Kandidatka: Daša Štesl Somentor: doc. dr. Matevž Črepnjak Maribor, 2017

ZAHVALA Življenje najbolje uporabimo, če ga porabimo za nekaj, kar traja dlje kot življenje samo. (William James) Iskreno se zahvaljujem mentorju, izrednemu profesorju dr. Iztoku Baniču in somentorju, dr. Matevžu Črepnjaku za strokovno usmerjanje in vso pomoč pri pripravi magistrske naloge. Pri njunem nadaljnjem strokovnem delu jima še v naprej želim obilo uspeha. Prisrčna hvala tudi mojim staršem in vsem tistim, ki so me v času študija podpirali in mi kakorkoli stali ob strani.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Daša Štesl, rojena 9. maja 1992, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa 2. stopnje Matematika, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom UPORABA IN POSPLOŠITVE ANDERSON-CHOQUETOVEGA IZREKA pri mentorju izr. prof. dr. Iztoku Baniču in somentorju doc. dr. Matevžu Črepnjaku avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, marec 2017 Daša Štesl

Uporaba in posplošitve Anderson-Choquetovega izreka program magistrskega dela Anderson-Choquetov izrek o konstrukciji inverznih limit v nekem ambientnem prostoru predstavlja pomemben aparat za konstrukcijo kontinuumov s posebnimi lastnostmi s pomočjo inverznih limit. V magistrskem delu naj bo natančno predstavljen in dokazan Anderson- Choquetov izrek. Predstavljeni naj bodo tudi primeri njegove uporabe in možnosti posplošitev na posplošene inverzne limite. Osnovni viri: 1. S. B. Nadler, Continuum theory. An introduction, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992. izr. prof. dr. Iztok Banič doc. dr. Matevž Črepnjak

ŠTESL, D.: Uporaba in posplošitve Anderson-Choquetovega izreka. Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2017. IZVLEČEK V magistrskem delu dokažemo Anderson-Choquetov izrek za enolične funkcije in tip Anderson- Choquetovega izreka za večlične funkcije. Natančno je predstavljena tudi njuna uporaba. Ključne besede: kontinuum, inverzna limita, enolične funkcije, večlične funkcije, Anderson-Choquetov izrek, Varšavski lok. Math. Subj. Class. (2010): 54F15, 54C60, 37B45.

ŠTESL, D.: Applications and generalizations of Anderson-Choquet theorem. Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2017. ABSTRACT In the thesis, the Anderson-Choquet theorem is proved for single-valued function as well as an Anderson-Choquet-type theorem for set-valued function. We also give applications of the Anderson-Choquet theorem. Keywords: continuum, inverse limit, single-valued functions, set-valued functions, Anderson-Choque theorem, warsaw arc. Math. Subj. Class. (2010): 54F15, 54C60, 37B45.

Kazalo Uvod 1 1 Kontinuumi in inverzne limite 2 1.1 Osnovni pojmi.................................... 2 1.2 Kontinuumi...................................... 8 1.2.1 Primeri kontinuumov............................. 8 1.2.2 Vgnezdeni preseki.............................. 10 1.3 Hiperprostori..................................... 11 1.4 Inverzne limite.................................... 13 1.4.1 Inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami.............. 13 1.4.2 Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami............... 17 2 Anderson-Choquetov izrek in njegova uporaba 24 2.1 Anderson-Choquetov izrek.............................. 24 2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka................... 27 3 Posplošitve 40 Literatura 44 ix

Uvod V magistrskem delu je podan dokaz originalnega Anderson-Choquetovega izreka in njegove posplošitve za večlične funkcije. Predstavljena je tudi njegova velika uporabna vrednost pri konstrukciji zapletenih kontinuumov. Uporaba je prikazana na primeru Varšavskega loka. Motivacija za ta primer je bilo delo Bradleya Windelborna iz Univerze v Aucklandu, ki pa je imelo nekaj pomanjkljivosti. Mi smo te pomanjkljivosti odpravili, primer bolj natačno razdelali in dopolnili. Delo je razdeljeno v tri poglavja. V prvem poglavju spoznamo osnovne pojme iz teorije metričnih prostorov, kontinuumov, hiperprostorov in inverznih limit. Drugo poglavje zajema dokaz Anderson-Choquetovega izreka in zgoraj omenjen primer njegove uporabe. Tretje poglavje pa vsebuje posplošitev Anderson-Choquetovega izreka. 1

Poglavje 1 Kontinuumi in inverzne limite 1.1 Osnovni pojmi Na začetku vpeljimo ključne pojme iz teorije metričnih prostorov, saj se bomo v nadaljevanju dela ves čas ukvarjali s kontinuumi, ki so v osnovi prav metrični prostori, za katere veljajo določene lastnosti. Podajmo najprej definicijo metrike in metričnega prostora. Definicija 1.1. Naj bo M množica in d : M M R funkcija. Pravimo, da je d metrika na M, če velja: 1. Za vsaka x,y M je d(x,y) 0. 2. Za vsaka x,y M je d(x,y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y. 3. Za vsaka x, y M je d(x, y) = d(y, x) (simetričnost). 4. Za vse x,y,z M je d(x,z) d(x,y) + d(y,z) (trikotniška neenakost). Paru (M,d) pravimo metrični prostor. Oglejmo si nekaj osnovnih primerov metričnih prostorov. Zgled 1.2. 1. Naj bo M = R in d e : R R R definirana s predpisom d e (x,y) = x y za vsaka x,y R. Tedaj je d e metrika na R. Pravimo ji evklidska metrika na R. 2

1.1 Osnovni pojmi 3 2. Naj bo M = R in d : R R R definirana s predpisom d(x,y) = za vsaka x,y R. { 1, če x y 0, če x = y Tedaj je d metrika na R. Pravimo ji diskretna (trivialna) metrika na R. 3. Oglejmo si naslednje metrike na R 2. Naj bosta (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) R 2. d 1 ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = y 2 y 1 + x 2 x 1, d 2 ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = (y 2 y 1 ) 2 + (x 2 x 1 ) 2, d p ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = p y2 y 1 p + x 2 x 1 p, kjer je p N, d ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = max{ y 2 y 1, x 2 x 1 }. Zgornje formule lahko posplošimo na R n za vsak n N, na primer d 2 ((x 1,x 2,...,x n ),(y 1,y 2,...,y n )) = y 1 x 1 2 + y 2 x 2 2 + + y n x n 2. Strukture, ki jih obravnavamo in s pomočjo katerih definiramo nadalnje pojme v metričnih prostorih so odprte krogle in odprte množice. Definicija 1.3. Naj bo (M,d) metrični prostor, x 0 M in r > 0. Množici B(x 0,r) = {x M d(x,x 0 ) < r} pravimo odprta krogla s središčem v x 0 in radijem r. Definicija 1.4. Naj bo (M,d) metrični prostor in A M. Pravimo, da je množica A odprta množica v M, če za vsak x A obstaja tak r > 0, da je B(x,r) A. Osnovne lastnosti odprtih množic v metričnih prostorih strnimo v spodnjem izreku. Izrek 1.5. Naj bo (M,d) metrični prostor. Tedaj veljajo naslednje trditve. Prazna množica in M sta odprti množici v M. Unija poljubno mnogo odprtih množic v M je odprta množica v M. Presek končno mnogo odprtih množic v M je odprta množica v M.

1.1 Osnovni pojmi 4 Dokaz. Dokaz najdemo v [5]. Včasih namesto odprtih obravnavamo zaprte množice. Definicija 1.6. Naj bo (M, d) metrični prostor in A M. Pravimo, da je množica A zaprta množica v M, če je M \ A odprta množica v M. Analogen izrek izreka 1.5, ki velja za odprte množice, velja tudi za zaprte množice. Izrek 1.7. Naj bo (M,d) metrični prostor. Tedaj veljajo naslednje trditve. Prazna množica in M sta zaprti množici v M. Presek poljubno mnogo zaprtih množic v M je zaprta množica v M. Unija končno mnogo zaprtih množic v M je zaprta množica v M. Dokaz. Dokaz najdemo v [5]. Vpeljimo sedaj nekatere pojme povezane z odprtimi in zaprtimi množicami, ki jih bomo kasneje potrebovali. Definicija 1.8. Naj bo (M,d) metrični prostor in A M. Tedaj je zaprtje množice A (oznaka: Cl(A)) najmanjša zaprta množica v M, ki vsebuje A, notranjost množice A (oznaka: Int(A)) največja odprta množica v M, ki je vsebovana v A, rob množice A (oznaka: Bd(A)) enak Cl(A) \ Int(A). Opomba 1.9. Za zgoraj definirane pojme veljajo naslednje lastnosti: x Int(A) natanko tedaj, ko obstaja tak r > 0, da je x B(x,r) A, x Cl(A) natanko tedaj, ko za vsak r > 0 presek B(x,r) A ni prazen, x Bd(A) natanko tedaj, ko za vsak r > 0 presek B(x,r) A ni prazen in hkrati presek B(x,r) (M \ A) ni prazen, zaprtje množice A je zmeraj zaprta množica, notranjost množice A je zmeraj odprta množica, zaprtje množice A je enako preseku vseh zaprtih množic, ki vsebujejo množico A,

1.1 Osnovni pojmi 5 notranjost množice A je enaka uniji vseh odprtih množic, ki so vsebovane v A. Definicija 1.10. Naj bo (M,d) metrični prostor. Množica A M je omejena, če obstajata a M in r > 0, da je A B(a,r). Za omejene množice lahko definiramo njihov premer. Definicija 1.11. Naj bo (M,d) metrični prostor in A M. Potem je diam(a) = sup d(x, y) x,y A diameter oziroma premer množice A. Podajmo še definicijo gostih množic, s katerimi bomo imeli opravka v dokazu glavnega izreka tega dela. Definicija 1.12. Podmnožica A M je gosta v prostoru M, če A seka vsako neprazno odprto množico v M. Zveznost preslikav v metričnih prostorih je ena najpomembnejših lastnosti teh preslikav, saj se pri zveznih preslikavah ohranja večina lastnosti metričnih prostorov. Definicija 1.13. Funkcija f : (M,d) (N,D) je zvezna v točki x 0 M, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da za vsak x M iz d(x,x 0 ) < δ sledi D( f (x), f (x 0 )) < ε, kar je ekvivalentno, da iz x B(x 0,δ) sledi f (x) B( f (x 0 ),ε). Funkcija je zvezna, če je zvezna za vsak x M. Navedimo sedaj trditev, ki poda več načinov za preverjanje zveznosti preslikave, ki jih bomo v nadaljevanju s pridom uporabljali. Trditev 1.14. Naj bo f : (M, d) (N, D) funkcija. Naslednje trditve so ekvivalentne: 1. Funkcija f je zvezna. 2. Praslika vsake odprte podmnožice v N je odprta množica v M. 3. Praslika vsake zaprte podmnožice v N je zaprta množica v M. 4. Za vsako zaporedje (x n ) n=1 v M in L M velja: če je lim n x n = L, potem lim n f (x n ) = f (L).

1.1 Osnovni pojmi 6 Dokaz. Dokaz najdemo v [13]. Če ima preslikava dvojni predpis, njeno zveznost preverimo tako: Lema 1.15 (Lema o lepljenju). Naj bo (M,d) metrični prostor in M 1,M 2 bodisi odprti bodisi zaprti podmnožici M, za kateri velja M 1 M 2 = M. Naj bosta nadalje f 1 : (M 1,d) (N,D) in f 2 : (M 2,d) (N,D) zvezni funkciji. Tedaj je funkcija f : (M,d) (N,D) definirana s predpisom f (x) = { f1 (x), če x M 1 f 2 (x), če x M 2 zvezna, če je f 1 (x) = f 2 (x) za vsak x M 1 M 2. Dokaz. Dokaz najdemo v [8]. Definicija 1.16. Preslikava f : (M,d) (N,D) je homeomorfizem, če je zvezna, bijektivna in je f 1 zvezna. Če obstaja homeomorfizem f : M N, pravimo, da sta prostora M in N homeomorfna. Vsi prostori, s katerimi se bomo v naslednjih poglavjih ukvarjali, bodo povezani in kompaktni. Definicija 1.17. Metrični prostor je povezan, če nima separacije. Separacija metričnega prostora (M,d) je par U,V M, za katerega velja: 1. U,V sta odprti v M, 2. U,V sta neprazni, 3. U V = M, 4. U V = /0. Navedimo osnovne lastnosti povezanih množic znotraj naslednje trditve. Trditev 1.18. 1. Če je A povezana množica, potem je tudi množica Cl(A) povezana. 2. Če je A povezana množica in je f : A Y zvezna preslikava, potem je tudi f (A) povezana. 3. Unija povezanih množic, ki imajo skupno točko, je povezana. 4. Če je A povezana podmnožica M in je A B Cl(A), potem je tudi B povezana množica. 5. Produkt povezanih prostorov je povezan prostor.

1.1 Osnovni pojmi 7 Dokaz. Dokaz zgornjih trditev najdemo v [7] in v [8]. Zgled 1.19. separacijo za Q. 1. (Q,d e ) ni povezan prostor, saj U = (, 2) Q in V = ( 2, ) Q tvorita 2. Naj bo S = {(x,sin( 1 x )) x (0,1]} množica točk predstavljenih na 1.1. Množico točk Cl(S) = S {(0, s) s [ 1, 1]} imenujemo Varšavski lok. Varšavski lok je povezan. Množica S je namreč povezana množica, zato je po prejšnji trditvi tudi množica Cl(S) povezana. Slika 1.1: Varšavski lok Definicija 1.20. Metrični prostor (M,d) je kompakten, če ima vsako zaporedje v M stekališče v M. Strnimo pomembne rezultate povezane s pojmom kompaktnosti v spodnjo trditev. Trditev 1.21. 1. Zaprta podmnožica kompakta je tudi sama kompaktna. 2. Če je M kompakten in je f : M N zvezna, tedaj je tudi f (M) kompakten. 3. Kompaktna podmnožica metričnega prostora je zaprta. 4. Zvezna bijekcija iz kompaktnega prostora v metrični prostor je zmeraj homeomorfizem. 5. Naj bo A R n. A je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena. 6. Produkt kompaktnih prostorov je kompakten prostor. Dokaz. Dokaz zgornjih trditev najdemo v [7] in v [8]. S pomočjo trditve 1.21 lahko preverimo naslednje:

1.2 Kontinuumi 8 Zgled 1.22. 1. R ni kompaktna, saj ni omejena. 2. [a,b] R je kompakten, saj je zaprt in omejen v R. 1.2 Kontinuumi Namenimo kratko poglavje kontinuumom, ki jih bomo kasneje povezali s pojmom inverznih limit, le te pa bodo pomembne v naslednjih poglavjih. Vpeljimo osnovni definiciji, navedimo izrek in nekaj osnovnih primerov kontinuumov. Definicija 1.23. Kontinuum je neprazen, povezan, kompakten metrični prostor. Definicija 1.24. Podkontinuum je kontinuum, ki je podprostor nekega kontinuuma. Izrek 1.25. Metrični prostor, ki je homeomorfen kakemu kontinuumu je tudi sam kontinuum. Dokaz. Naj bo X metrični prostor, homeomorfen kontinuumu Y. To pomeni, da obstaja homeomorfizem f : Y X. Zato je X = f (Y ). Prostor X je torej zvezna slika povezanega kompakta in je zato tudi sam povezan in kompakten (glej trditev 1.18 in 1.21). 1.2.1 Primeri kontinuumov Definicija 1.26. Lok je prostor, ki je homeomorfen [0,1]. Izrek 1.27. Lok je kontinuum. Slika 1.2: Lok Dokaz. Očitno je [0, 1] neprazen, povezan, kompakten (zaprt in omejen) metrični prostor, torej kontinuum. Po izreku 1.25 je potem tudi lok kontinuum.

1.2 Kontinuumi 9 Slika 1.3: 1-celica je homeomorfna intervalu [ 1, 1], 2-celica pa zaprtemu enotskemu krogu Definicija 1.28. Naj bo n N. Tedaj je n-celica prostor, ki je homeomorfen B n = {x R n x 1}. Izrek 1.29. Za vsak n N, je n-celica kontinuum. Dokaz. n-celica je kontinuum po izreku 1.25, saj je B n kontinuum za vsak n N. Definicija 1.30. Naj bo n N {0}. Tedaj je n-sfera prostor, ki je homeomorfen S n = {x R n+1 x = 1}. Izrek 1.31. Za vsak n N je n-sfera kontinuum. Dokaz. n-sfera je kontinuum po izreku 1.25, saj je S n kontinuum za vsak n N. Definicija 1.32. Hilbertova kocka je prostor, ki je homeomorfen števnemu produktu zaprtih enotskih intervalov. Izrek 1.33. Hilbertova kocka je kontinuum. Dokaz. Hilbertova kocka je kontinuum, saj je po trditvah 1.18 in 1.21 produkt povezanih in kompaktnih metričnih prostorov spet povezan in kompakten metrični prostor. Definicija 1.34. Vsak kontinuum, ki je homeomorfen Varšavskemu loku, se imenuje sin 1 x -kontinuum.

1.2 Kontinuumi 10 1.2.2 Vgnezdeni preseki Vgnezdeni preseki so ena od najpomembnejših metod, s pomočjo katerih lahko konstruiramo bolj zapletene kontinuume. Definicija 1.35. Zaporedju množic X 1 X 2 X 3... pravimo vgnezdeno zaporedje množic. Preseku vgnezdenega zaporedja množic X n pravimo vgnezdeni presek. n=1 Naslednji izrek podaja ključno dejstvo, ki nam zagotavlja, da bomo z metodo vgnezdenih presekov res lahko konstruirali nove kontinuume. Izrek 1.36 (Izrek o vgnezdenih presekih). Naj bo X 1 X 2 X 3... vgnezdeno zaporedje kontinuumov. Tedaj je vgnezdeni presek X n tudi kontinuum. Dokaz. Dokaz lahko najdemo v [9]. n=1 Poglejmo si znani primer kontinuuma, ki ga kontruiramo s pomočjo vgnezdenih presekov. Zgled 1.37. Kontinuum, ki ga bomo konstruirali v tem zgledu, se imenuje univerzalna krivulja Sierpińskega. Kvadrat S = [0,1] [0,1] razdelimo na 9 kongruentih kvadratov: S 1 = [0, 1 3 ] [0, 1 3 ], S 2 = [0, 1 3 ] [ 1 3, 2 3 ], S 3 = [0, 1 3 ] [ 2 3,1], S 4 = [ 1 3, 2 3 ] [0, 1 3 ], S 5 = [ 1 3, 2 3 ] [ 1 3, 2 3 ], S 6 = [ 1 3, 2 3 ] [ 2 3,1], S 7 = [ 2 3,1] [0, 1 3 ], S 8 = [ 2 3,1] [ 1 3, 2 3 ] in S 9 = [ 2 3,1] [ 2 3,1]. Vpeljemo naslednje oznake: X 1 = S in X 2 = X 1 \ Int(S 5 ). X 2 smo torej pridobili iz X 1 tako, da smo iz X 1 izbrisali sredinski kvadrat. Na drugem koraku vsakega od preostalih 8 kvadratov razdelimo na 9 kongruentih kvadratov ter njim izbrišemo sredinske kvadrate. Tako dobimo X 3. S tem postopkom nadaljujemo. Dobimo vgnezdeno zaporedje kontinuumov X 1 X 2 X 3... Po prejšnjem izreku je tudi njihov vgnezden presek krivulja Sierpińskega. X n kontinuum. Pravimo mu univerzalna n=1

1.3 Hiperprostori 11 Slika 1.4: Univerzalna krivulja Sierpińskega 1.3 Hiperprostori V dokazu temeljenega izreka tega magistrskega dela bomo preučevali konvergenco zaporedja kompaktnih množic v ustreznem metričnem prostoru, zato navedimo sedaj osnovne definicije in izreke, ki se navezujejo na pojem hiperprostora. Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor. Tedaj je 2 X = {A X A /0, A zaprta v X}. Opomba 1.38. Za vsak A /0 : A 2 X natanko tedaj, ko je A kompaktna (saj je po izreku 1.21 vsaka kompaktna podmnožica metričnega prostora zaprta). Definicija 1.39. Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor in A 2 X. Tedaj je N(ε,A) = a AB(a,ε), za poljuben ε > 0. Definicija 1.40. Naj bosta A,B 2 X. Tedaj definiramo H d (A,B) = inf{ε > 0 A N(ε,B), B N(ε,A)}. Izrek 1.41. H d je metrika na 2 X. Dokaz. Dokaz najdemo v [9].

1.3 Hiperprostori 12 Definicija 1.42. Metriki H d na 2 X pravimo Hausdorffova metrika. Paru (2 X,H d ) pravimo hiperprostor prostora (X,d). Definicija 1.43. Imejmo metrični prostor (X,d) in zaporedje nepraznih podmnožic A 1,A 2,A 3,... v X. Potem je limsup(a n ) = {x X U odprta v X : x U U A n /0 za neskončno mnogo indeksov n} in liminf(a n ) = {x X U odprta v X : x U U A n /0 za vse, razen morda končno mnogo indeksov n}. Opomba 1.44. Očitno velja liminf(a n ) limsup(a n ). Definicija 1.45. Naj bo (A n ) zaporedje podmnožic metričnega prostora (X,d). Pravimo, da je A X limita zaporedja (A n ), če je A = liminf(a n ) = limsup(a n ). Oznaka: A = lim(a n ). Lema 1.46. Naj bo (X,d) metrični prostor in (A n ) zaporedje nepraznih podmnožic v X ter A X. Potem je A = lim(a n ) natanko tedaj, ko je limsup(a n ) A in A liminf(a n ). Dokaz. Implikacija iz leve v desno vedno velja. Obrat sledi iz prepostavke limsup(a n ) A in tega, da je liminf(a n ) limsup(a n ). Izrek 1.47. Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor in (A n ) zaporedje nepraznih zaprtih podmnožic v X. Tedaj sta spodnji trditvi ekvivalentni: 1. lim(a n ) = A, 2. lim n (A n ) = A v (2 X,H d ). Dokaz. Dokaz najdemo v [9].

1.4 Inverzne limite 13 1.4 Inverzne limite Inverzne limite so pomembna metoda v teoriji kontinuumov, s pomočjo katere lahko konstriramo nove kontinuume iz že obstoječih. Ker bomo imeli v nadaljevanju dela ves čas opravka z inverznimi limitami, si na tem mestu poglejmo osnovne definicije, izreke in zglede, ki nam bodo pomagali razumeti koncept delovanja inverznih limit. Najprej si oglejmo inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami, s katerimi bomo imeli opravka v Anderson-Choquetovem izreku, potem pa še inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami, ki se bodo pojavile v tretjem poglavju. 1.4.1 Inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami Definicija 1.48. Dvojemu zaporedju {X n, f n } n=1, kjer je za vsak n N, X n kompakten metrični prostor in f n : X n+1 X n zvezna funkcija, pravimo inverzno zaporedje. Ponavadi ga označimo tudi takole: f 1 f 2 f 3 X 1 X2 X3... Inverzna limita inverznega zaporedja {X n, f n } n=1 je definirana kot lim {X n, f n } n=1 = {(x 1,x 2,x 3,...) n=1 X n n N : x n = f n (x n+1 )}. Opremimo jo z relativno topologijo, dobljeno iz produktne topologije na n=1 Opomba 1.49. Prostorom X n pravimo koordinatni prostori, funkcijam f n pa vezne funkcije. Zgled 1.50. Za vsak n N naj bo X n = [0,1] ter f n : X n+1 X n definirana s predpisom f n (t) = 1 za vsak t [0,1]. Potem je iz definicije inverzne limite razvidno, da inverzna limita lim{x n, f n } n=1 vsebuje samo točko (1,1,1,...). Zgled 1.51. Za vsak n N naj bo X n = [0,1] ter f n : X n+1 X n definirana s f n (t) = t za vsak t [0,1]. Potem je lim{x n, f n } n=1 = {(t,t,t,...) t [0,1]}, kar sledi direktno iz definicije inverzne limite. Definirajmo preslikavo ϕ : [0, 1] lim{x n, f n } n=1 s predpisom ϕ(t) = (t,t,t,...). Ta preslikava je očitno homeomorfizem, torej je lim{x n, f n } n=1 homeomorfna [0,1] in je zato lok. Zgled 1.52. Naj bo za vsak n N, X n = [0,1] ter f n : X n+1 X n podana s predpisom f n (t) = { 2t, če t 1 2 t + 3 2, če t 1 2. X n.

1.4 Inverzne limite 14 Slika 1.5: Graf vezne funkcije f n iz zgleda 1.50 Slika 1.6: Graf vezne funkcije f n iz zgleda 1.51 Izkaže se, da je inverzna limita lim{x n, f n } n=1 homeomorfna sin 1 x -kontinuumu. To bomo pozneje dokazali s pomočjo Anderson-Choquetovega izreka. V naslednjem izreku predstavimo inverzno limito kot vgnezden presek, saj nam bo takšna predstavitev omogočila uporabo izreka o vgnezdenih presekih. Tako lahko konstruiramo številne nove kontinuume iz zaporedij že znanih. Izrek 1.53. Naj bo {X n, f n } n=1 inverzno zaporedje. Za vsak m N naj bo Q m = {x n=1 X n n N;n m : x n = f n (x n+1 )}.

1.4 Inverzne limite 15 Slika 1.7: Graf vezne funkcije f n iz zgleda 1.52 Tedaj velja lim{x n, f n } n=1 = Q m /0. m=1 Dokaz. Očitno je lim {X n, f n } n=1 = m=1 Opazimo Q 1 Q 2 Q 3..., kjer za vsak n N : Q n /0. Q m. Pokažimo še, da lim{x n, f n } n=1 /0. Če dokažemo, da je Q n kompakten za vsak n N, bo iz tega sledilo, da preslikavo s predpisom Za vsak n N je ϕ n homeomorfizem. Sledi Q n = ϕ 1 kompakten. n ( m=n+1 ϕ n : Q n X m m=n+1 ϕ n (x 1,x 2,...,x n,x n+1,x n+2,...) = (x n+1,x n+2,...). Q m /0. Definirajmo X m ). Torej, za vsak n N, je Q n zvezna praslika kompakta in zato tudi sam m=1 Posledica 1.54. Inverzna limita inverznega zaporedja nepraznih kompaktnih metričnih prostorov in zveznih veznih preslikav je neprazen kompakten prostor. Dokaz. Dokaz lahko najdemo v [9]. Izrek 1.55. Naj bo {X n, f n } n=1 inverzno zaporedje kontinuumov z zveznimi veznimi funkcijami. Tedaj je lim{x n, f n } n=1 tudi kontinuum.

1.4 Inverzne limite 16 Dokaz. Produkt X m je kontinuum za vsak n N. Po prejšnjem izreku je Q m homeomorfen m=n+1 X m za vsak m N, torej je Q m kontinuum za vsak m N. m=n+1 Po izreku o vgnezdenih presekih sledi, da je lim{x n, f n } n=1 = Q m kontinuum. m=1 Izrek 1.56. Naj bo X = lim{x n, f n } n=1 in Y = lim{y n,g n } n=1. Za poljuben n N, naj bo ϕ n : X n Y n taka zvezna funkcija, da je za vsak n N : ϕ n f n = g n ϕ n+1. Definirajmo funkcijo ϕ : X Y s predpisom ϕ(x 1,x 2,x 3,...) = (ϕ 1 (x 1 ),ϕ 2 (x 2 ),ϕ 3 (x 3 ),...). Tedaj veljajo naslednje trditve. 1. Funkcija ϕ je dobro definirana (ϕ : X Y ). 2. Če je ϕ i zvezna za vsak i N, tedaj je ϕ zvezna. 3. Če je ϕ i injektivna za vsak i N, tedaj je ϕ injektivna. 4. Če je ϕ i zvezna surjekcija za vsak i N, tedaj je ϕ zvezna surjekcija. 5. Če je ϕ i homeomorfizem za vsak i N, tedaj je ϕ homeomorfizem. Situacijo zgornjega izreka najboljše predstavimo z naslednjim diagramom. X 1 X 2 X 3 X 4... X f 1 f 2 f 3 f 4 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ Y 1 Y 2 Y 3 Y 4... Y g 1 g 2 g 3 g 4 Dokaz. 1. Naj bo x = (x 1,x 2,x 3,...) X in y i = ϕ i (x i ) za vsak i N. Pokazati moramo, da je ϕ(x) = y Y. Za vsak i N velja ϕ i ( f i (x i+1 )) = ϕ i (x i ) = y i, saj je f i (x i+1 ) = x i. Po predpostavki je ϕ i f i = g i ϕ i+1, zato je g i (ϕ i+1 (x i+1 )) = y i, torej g i (y i+1 ) = y i. Zatorej res y Y in tako ϕ : X Y. 2. Naj bo π i : i=1 X i X i projekcija in naj bo p i njena zožitev na X. Potem je ϕ(x) = ϕ i (p i (x)). Torej so koordinatne funkcije preslikave ϕ kompozitumi ϕ i p i. Vsi taki kompozitumi pa so zvezni, saj so projekcije zvezne preslikave, funkcije ϕ i pa so zvezne po predpostavki. Sledi ϕ je zvezna.

1.4 Inverzne limite 17 3. Naj bosta x,y X taki zaporedji, da je x y. Da bi dokazali injektivnost preslikave ϕ, moramo pokazati, da je ϕ(x) ϕ(y). Ker x y, obstaja tak indeks i, da x i y i. Potem ϕ i (x i ) ϕ i (y i ), saj so po predpostavki ϕ i injektivne funkcije. Zato ϕ(x) ϕ(y). 4. Zveznost preslikave ϕ sledi iz zveznosti preslikav ϕ i, kar smo že pokazali. Dokazati moramo še, da je ϕ surjektivna. Vzemimo y Y. Funkcije ϕ i so surjektivne po predpostavki, zato je za vsak i, ϕi 1 (y i ) neprazna množica. Vpeljimo oznako Yi = ϕi 1 (y i ) za vsak i. Pokažimo najprej, da je f i Y i+1 : Yi+1 Y i. Naj bo x i+1 Yi+1. Potem je ϕ i ( f i (x i+1 )) = g i (ϕ i+1 (x i+1 )) = g i (y i+1 ) = y i, saj je ϕ i f i = g i ϕ i+1. Sledi f i (x i+1 ) ϕi 1 (y i ). Tako res velja f i Y i+1 : Yi+1 Y i. Opazimo tudi, da je f i Y i+1 zvezna funkcija, saj gre za zožitev zvezne funkcije. Torej je {Yi, f i Y i+1 } i=1 inverzno zaporedje. Pokažimo sedaj, da je lim{y i, f i Y i+1 } i=1 neprazna množica. Ker so ϕ i zvezne funkcije, je Yi = ϕi 1 (y i ) zaprta v X i za vsak i. Prostori Y i so kompaktni, ker so X i kompaktni prostori. Zato je za poljuben n N kompakten tudi vsak n N produkt Yi i=n+1 i=n+1 homeomorfen Q n = {y Y i. Iz dokaza izreka 1.53 je razvidno, da je za i=1 Y i n=1 i N;i n : y i = f i Y i+1 (y i+1 )} in so zato kompaktni tudi vsi Q n. Zaporedje Q n je torej padajoče zaporedje nepraznih kompaktov (dokaz izreka 1.53). Po izreku 1.53 je potem tudi Q n = lim{y i, f i Y i+1 } i=1 neprazna, torej obstaja tak x lim{y i, f i Y i+1 } i=1 lim {Y i, f i } i=1, da je ϕ(x) = ϕ(x 1,x 2,x 3,...) = (ϕ 1 (x 1 ),ϕ 2 (x 2 ),ϕ 3 (x 3 ),...) = (y 1,y 2,y 3,...) = y, kar smo tudi želeli. 5. Vemo že, da je ϕ zvezna in bijektivna, pokazati moramo še, da je njen inverz zvezen. To naredimo analogno kot smo naredili za preslikavo ϕ. 1.4.2 Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami sta leta 2006 vpeljala W. T. Ingram in W. S. Mahavier v članku z naslovom Inverse limits of upper semi-continouos set valued functions [10]. Pri tem sta navedla tudi pogoje, pri katerih je taka inverzna limita kontinuum in podala nekaj primerov takih inverznih limit. Vse pojme, ki smo jih definirali za inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcije lahko definiramo tudi za inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami. Videli bomo, da lahko potegnemo številne

1.4 Inverzne limite 18 vzporednice in dobimo podobne rezultate za večlične funkcije, kot veljajo za enolične. Eden od temeljnih ciljev tega dela je tudi posplošiti originalen Anderson-Choquetov izrek, ki velja za inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami na inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami. Za začetek si oglejmo kaj večlična funkcija sploh je. Definicija 1.57. Funkcija f : X 2 Y, kjer sta X in Y kompaktna metrična prostora, se imenuje večlična funkcija iz X v Y. To bomo zapisovali takole: f : X Y. Zgled 1.58. Če je f : X Y zvezna funkcija, tedaj je F : X Y definirana s predpisom F(x) = { f (x)} večlična funkcija. Torej lahko vsako enolično vezno funkcijo interpretiramo z večlično. Večlično funkcijo navadno predstavimo z njenim grafom. Definicija 1.59. Naj bo f : X Y, kjer sta X in Y kompaktna metrična prostora. Množico Γ( f ) = {(x, y) y f (x), x X} imenujemo graf večlične funkcije. Namesto zveznosti, ki smo jo definirali za enolične funkcije, za večlično funkcijo povemo, kdaj je le ta navzgor polzvezna. Definicija 1.60. Naj bo f : X Y, kjer sta X in Y kompaktna metrična prostora. Pravimo, da je f navzgor polzvezna v točki x 0 X, če za vsako odprto podmnožico U prostora Y, za katero je f (x 0 ) U, obstaja odprta podmnožica V prostora X, da je x 0 V ter za vsak x V velja f (x) U. Funkcija f je navzgor polzvezna, če je navzgor polzvezna v vsaki točki. Izrek 1.61. Naj bosta f : X Y in g : Y Z navzgor polzvezni funkciji. Tedaj je tudi g f, definirana s predpisom (g f )(x) = g(y) navzgor polzvezna funkcija. y f (x) Dokaz. Dokaz najdemo v [11]. Spodnji izrek pove, kako lahko iz grafa funkcije razberemo ali je dana funkcija navzgor polzvezna. S tem si preverjanje navzgor polzveznosti večlične funkcije zelo olajšamo. Izrek 1.62. Naj bo f : X Y. Tedaj je f navzgor polzvezna funkcija natanko tedaj, ko ima f zaprti graf v X Y.

1.4 Inverzne limite 19 Dokaz. Dokaz najdemo v [11]. Tudi za večlične funkcije lahko definiramo inverzno limito, ki jo v tem primeru imenujemo posplošena inverzna limita. Definicija 1.63. Dvojemu zaporedju {X n, f n } n=1, kjer je za vsak n N, X n kompakten metrični prostor in f n : X n+1 X n navzgor polzvezna večlična funkcija, pravimo posplošeno inverzno zaporedje. Posplošena inverzna limita posplošenega inverznega zaporedja {X n, f n } n=1 je definirana kot lim {X n, f n } n=1 = {(x 1,x 2,x 3,...) V posebnem primeru, ko so vsi f n = f, bomo pisali lim {X n, f } n=1. n=1 X n n N : x n f n (x n+1 )}. Opomba 1.64. Tudi v tem primeru bomo prostore X n imenovali koordinatni prostori in funkcije f n vezne funkcije. Navedimo sedaj nekaj zgledov posplošenih inverznih limit. V vseh zgledih bodo vsi koordinatni prostori X n enaki zaprtemu enotskemu intervalu [0,1], vse navzgor polzvezne vezne funkcije pa bodo enake funkciji f : [0,1] [0,1], ki jo bomo pogosto podali kar z njenim grafom Γ( f ), ne pa nujno tudi z njenim predpisom. Zgled 1.65. Naj bo X n = [0,1] za vsak n N in funkcija f : [0,1] [0,1] definirana z grafom na [0,1] [0,1]. Naj bo graf Γ( f ) enak produktu zaprtih enotskih intervalov [0,1] [0,1]. Funkcija f ima torej predpis f (x) = [0,1] za vsak x [0,1]. Slika 1.8: Graf vezne funkcije f iz zgleda 1.65

1.4 Inverzne limite 20 Vse točke v posplošeni inverzni limiti so oblike (t 1,t 2,t 3,...), kjer je t i [0,1] za vsak i N. Torej je inverzna limita enaka n=1 [0,1], tj. inverzna limita je Hilbertova kocka. Zgled 1.66. Naj bo X n = [0,1] za vsak n N in funkcija f : [0,1] [0,1] definirana z grafom: Γ( f ) = {(t,t) t [0,1]} ([0,1] {0}). Slika 1.9: Graf vezne funkcije f iz zgleda 1.66 Premislimo, katere točke se nahajajo v inverzni limiti. Takoj opazimo, da kakor hitro obstaja n, za katerega je koordinata x n točke x = (x 1,x 2,x 3,...) lim {[0,1], f } n=1 strogo večja od 0, bodo vse naslednje koordinate enake. Točke v inverzni limiti bodo torej imele obliko (0,...,0, t,t,...), } {{ } n 1 t [0,1], n N. Naj bo za vsak n N, Y n = {(0,...,0, t,t,...) t [0,1]}. Očitno je Y } {{ } n lok z enim krajiščem v n 1 (0,0,0,...), ta točka pa je tudi edino presečišče dveh različnih takšnih lokov. Posledično je povezan. Y n n N Inverzna limita lim {[0,1], f } n=1 je torej homeomorfna uniji vseh takšnih lokov s skupno točko (0, 0, 0,...). Pravimo ji pahljača oz. zvezda z vrhom v točki (0, 0, 0,...) (glej sliko 1.10). Poglejmo sedaj, kako je definirana Cantorjeva množica, ki se bo pojavila kot inverzna limita v naslednjem zgledu. Cantorjeva množica je podprostor intervala [0,1], ki jo skonstruiramo na naslednji način: Začnemo z intervalom I 1 = [0,1]. Intervalu I 1 izrežemo odprto sredinsko tretjino, dobimo unijo intervalov I 2 = [0, 1 3 ] [ 2 3,1].

1.4 Inverzne limite 21 Slika 1.10: Zvezda Intervaloma, ki sestavljata I 2, izrežemo odprto sredinsko tretjino in dobimo unijo intervalov I 3 = [0, 1 9 ] [ 2 9, 1 3 ] [ 2 3, 7 9 ] [ 8 9,1]. Postopek ponavljamo. Na vsakem koraku izrežemo odprte sredinske tretjine vsem intervalom iz unije intervalov dobljene na prejšnjem koraku. Cantorjeva množica je definirana kot presek C = I n. V naslednjem izreku poglejmo še karakterizacijo Cantorjeve množice. Izrek 1.67. Naslednji trditvi sta ekvivalentni: n=1 1. X je homeomorfen Cantorjevi množici. 2. X je popolnoma nepovezan metrični kompakt brez izoliranih točk. Dokaz. Dokaz najdemo v [3]. Zgled 1.68. Naj bo X n = [0,1] za vsak n N in funkcija f : [0,1] [0,1] definirana z grafom: Γ( f ) = [0,1] {0,1}. Za vse točke v inverzni limiti lim {[0,1], f } n=1 velja, da če je x i {0,1}, potem je tudi x i+1 {0,1}. Sledi, da so vse koordinate točk v inverzni limiti enake bodisi 0 bodisi 1. Tedaj je lim {[0,1], f } n=1 neprazna, popolnoma nepovezana, kompaktna množica brez izoliranih točk in je zato po prejšnjem izreku homeomorfna Cantorjevi množici.

1.4 Inverzne limite 22 Slika 1.11: Graf vezne funkcije f iz zgleda 1.68 Zgled 1.69. Naj bo X n = [0,1] za vsak n N in funkcija f : [0,1] [0,1] definirana z grafom na [0,1] [0,1]. Naj bo graf Γ( f ) unija grafov funkcij g in h, ki sta definirani s predpisoma g(x) = x in h(x) = 1 x za vsak x [0,1]. Slika 1.12: Graf vezne funkcije f iz zgleda 1.69 Pokažimo, da je inverzna limita lim {[0,1], f } n=1 povezana. To bomo pokazali tako, da bomo pokazali, da je lim {[0,1], f } n=1 unija lokov s skupnim krajiščem A = ( 1 2, 1 2, 1 2,...). Naj C označuje množico vseh zaporedij, katerih vsak člen je enak 0 ali 1 (C je Cantorjeva množica). Očitno je C lim {[0,1], f } n=1.

1.4 Inverzne limite 23 Graf Γ( f ) je unija 4 intervalov, ki potekajo od oglišč kvadrata [0,1] [0,1] do točke ( 1 2, 1 2 ). Označimo te intervale z I (x,y), pri čemer je (x,y) {0,1} {0,1} eden od oglišč kvadrata [0,1] [0,1]. Če je c C, potem z I c označimo množico vseh takšnih točk x lim {[0,1], f } n=1, da je za vsak i N, (x i+1,x i ) I (ci+1,c i ). Opazimo, da je funkcija v [0, 1 2 ] [0, 1 2 ], [0, 1 2 ] [ 1 2,1], [ 1 2,1] [0, 1 2 ], [ 1 2,1] [ 1 2,1] celo enolično bijektivna. Še več, funkcija ima v vseh teh kvadratih le eno skupno točko ( 1 2, 1 2 ). Sledi, da je za vsak c C, I c inverzna limita posplošenega inverznega zaporedja lim {Y i,g i } i=1, kjer je za vsak i N, Y i enak [0, 1 2 ] ali [ 1 2,1], g i pa je homeomorfizem, za katerega velja g i ( 1 2 ) = 1 2. Če je torej y 1 Y 1, potem obstaja samo ena točka y lim {Y i,g i } i=1, za katero je π 1 (y) = y 1, kjer je π 1 projekcija na Y 1. π 1 je homeomorfizem iz I c v Y 1, ki je lok, zato je tudi I c lok. Opazimo še več. ( 1 2, 1 2, 1 2,...) in c sta krajišči loka I c. Torej je lim {[0,1], f } n=1 res unija lokov s skupnim krajiščem (in zato po trditvi 1.18 povezana). Imenujemo jo Cantorjeva pahljača, saj je C Cantorjeva množica (glej sliko 1.13). Slika 1.13: Cantorjeva pahljača

Poglavje 2 Anderson-Choquetov izrek in njegova uporaba 2.1 Anderson-Choquetov izrek V tem poglavju bomo podali izrek 2.1, ki mu pravimo tudi Anderson-Choquetov izrek. Je zelo pomembnen v teoriji inverznih limit. Omogoča nam kontrukcijo kontinuumov s posebnimi lastnosti z uporabo inverznih limit. Izrek 2.1. Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor. Naj bo {X i, f i } i=1 inverzno zaporedje nepraznih kompaktnih podmnožic X i množice X in zveznih surjekcij f i : X i+1 X i. Naj bo Predpostavimo 1 in 2 spodaj: f i, j = f i... f j 1 : X j X i, če j > i + 1 in f i,i+1 = f i. 1. Za vsak ε > 0, obstaja tak k N, da je za vsak p X k, diam( j>k fk, 1 j (p)) < ε; 2. Za vsak i N in za vsak ε > 0, obstaja tak δ > 0, da za vsak j > i, j N, in za poljubna p,q X j velja: če je d(p,q) δ, potem je d( f i, j (p), f i, j (q)) ε. Potem je lim{x i, f i } i=1 homeomorfna i=1( X m ). V posebnem primeru: m i če je X i X i+1 za vsak i N, potem je lim{x i, f i } i=1 homeomorfna ( X i ). 24 i=1

2.1 Anderson-Choquetov izrek 25 Dokaz. Vpeljimo oznako X = lim {X i, f i } i=1. Definirajmo funkcijo s predpisom za vsak x = (x 1,x 2,x 3,...) = (x i ) i=1. h : X X h(x) = lim i x i, Najprej moramo preveriti, da je funkcija h s tem predpisom dobro definirana. Naj bo x = (x i ) i=1 X. Pokažimo, da je (x i ) i=1 Cauchyjevo zaporedje v X. Naj bo ε > 0. Iščemo tak n 0 N, da bo za vsaka m,n N, m,n n 0, sledilo, da je d(x m,x n ) < ε, kjer je x m X m, x n X n. Predpostavka 1 pove, da za dani ε obstaja tak k N, da bo za vsak p X k veljalo, diam( j>k ε. Fiksirajmo tak k N. Naj bo n 0 = k. Potem je za vsak p X n0, diam( velja x m fn 1 0,m(x n0 ) in x n f 1 Videli smo, da je (x i ) i=1 f 1 k, j (p)) < j>n 0 f 1 n 0, j (p)) < ε. Zato za vsaka m,n N, m,n n 0 n 0,n(x n0 ). Torej po 1 sledi, da je d(x m,x n ) < ε. Cauchyjevo zaporedje v X, ki je kompakten, zato je tudi konvergentno. Torej za vsako zaporedje (x i ) i=1 X obstaja lim i x i, kar pomeni, da je funkcija h : X X s predpisom h(x) = lim i x i res dobro definirana. Da bi dokazali izrek moramo preveriti: h je zvezna h je injektivna h(x ) = i=1( m i X m ) Dokažimo zveznost preslikave h. Za naravno število n, naj bo x n = (x1 n,xn 2,xn 3,...) lim {X i, f i } i=1 tako zaporedje, da je lim n xn = x, x = (x 1,x 2,x 3,...) lim{x i, f i } i=1. Zato za vsak i N velja lim n xn i = x i. Za dokaz zveznosti preslikave h preverimo, da velja lim n h(xn ) = h(x). Preveriti torej moramo, da je vsako stekališče zaporedja (h(x n )) n=1 enako h(x). Predpostavimo, da obstaja tako stekališče s zaporedja (h(x n )) n=1, da s h(x). Naj bo ε = d(s,h(x)) 3. Seveda je ε > 0, zato po 1 zanj obstaja tak k N, da za vsak x X k velja

2.1 Anderson-Choquetov izrek 26 Fiksirajmo tak k N. diam( j>k fk, 1 j (x)) < ε. Ker je h(x) = lim i x i, lahko izberemo tako naravno število i 1 k, da je x i B(h(x),ε) za vsak i i 1. Podobno lahko za vsak i i 1 izberemo tako naravno število m i, da bo za vsak m m i, xi m B(h(x),ε), saj je lim x n n i = x i. Ker je s stekališče zaporedja (h(x n )) n=1, obstaja strogo naraščajoče zaporedje naravnih števil (n i) i=1, za katero je h(x n i ) B(s,ε) za vsak i N. Vemo da je lim x n i l l = h(x n i ), zato lahko za vsako naravno število i, obstaja tako naravno število l i, da bo x n i l B(s,ε) za vsak l l i. Fiksirajmo tak l i. Fiksirajmo še take k 1,k 2 in l 0, da bo k 1 i 1, n k2 > m k1 in l 0 > max{k 2,k}. Potem iz zgornjih dveh sklepanj sledi, da je x n k 2 k 1 B(h(x),ε) ter x n k 2 l 0 B(s,ε). Tako je d(x n k 2 k 1,x n k 2 l 0 ) ε in sta x n k 2 k 1,x n k 2 l 0 fk, 1 j (xn k 2 ), torej je j>k k diam( j>k Protislovje s predpostavko 1, ki pravi, da je f 1 k, j (xn k 2 k )) d(x n k 2 k 1,x n k 2 l 0 ) ε. diam( j>k f 1 k, j (xn k 2 k )) < ε. Funkcija h je torej zvezna. Dokažimo sedaj injektivnost preslikave h. Naj bosta x = (x i ) i=1,y = (y i) i=1 X takšna, da x y. To pomeni, da x n y n za nek n N. Naj bo ε = d(x n,y n ) 2. Potem po 2 obstaja tak δ > 0, da za j > n, j N, ker je d( f n, j (x j ), f n, j (y j )) = d(x n,y n ) = 2ε > ε, sledi, da je d(x j,y j ) > δ (uporabili smo kontrapozicijo 2). Zato očitno h(x) h(y). Dokazali smo injektivnost. Preverimo še, da velja h(x ) = X m ). i=1( m i Najprej pokažimo, da je h(x ) gosta v i=1( m i X m ). Videti moramo, da za vsak x vsak ε > 0, obstaja tak x X, da bo h(x) B(x,3ε). Naj bo x X m ) in ε > 0. Denimo, da h(x) B(x,3ε) za vsak x X. i=1( m i Po 1 obstaja tak i 0 N, da je za vsak x X i0, diam( fi 1 0, j j>i 0 (x)) < ε. i=1( m i X m ) in za

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 27 Fiksirajmo tak i 0 N. Naj bo k 0 > i 0, k 0 N tak, da X k0 B(x,ε) /0. Naj bo x k0 X k0 B(x,ε). Ker so funkcije f i surjektivne, obstaja tak y X, da je x k0 = y k0. h(y) = lim n y n, zato obstaja tako naravno število j 0 > i 0, da je y j0 B(h(y),ε). Po predpostavki pa sledi, da h(y) B(x,3ε) (saj y X ). Sledi d(y k0,y j0 ) ε. Ker sta k 0, j 0 > i 0, velja y k0,y j0 j>k fk, 1 j (x), torej diam( j>k f 1 k, j (x)) d(y k 0,y j0 ) ε, kar je protislovje z 1. Dokazali smo, da je h(x ) gosta v i=1( X m ). m i Pokažimo še, da je h(x ) zaprta v i=1( X m ). m i Po posledici 1.54, ki pravi, da je inverzna limita inverznega zaporedja nepraznih, kompaktnih metričnih prostorov in zveznih veznih preslikav zmeraj kompakten prostor, sledi, da je X kompaktna. Ker je h zvezna in je zvezna slika kompakta kompakten prostor, je h(x ) kompakten podprostor metričnega prostora, ki pa je po trditvi 1.21 zmeraj zaprt. Če sedaj upoštevamo, da je h(x ) gosta v X m ) ter da je h(x ) zaprta, dobimo i=1( m i h(x ) = Cl(h(X )) = saj je zaprta množica enaka svojemu zaprtju. i=1( m i X m ), 2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka OPIS PROBLEMA Naj bo S = {(x,sin( 1 x )) x (0,1]} in Cl(S) = S {(0,s) s [ 1,1]} Varšavski lok. Naj bo g : [0, 1] [0, 1] definirana s predpisom g(x) = { 2x, če x 1 2 x + 3 2, če x 1 2.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 28 Naš cilj je s pomočjo Anderson-Choquetovega izreka pokazati, da je lim {[0,1],g} i=1 homeomorfna Varšavskemu loku. To bomo naredili v naslednjih treh korakih: 1. Poiskali bomo koordinatne prostore X i S in vezne funkcije f i, da bo inverzna limita lim {X i, f i } i=1 homeomorfna Cl(S). 2. Definirali bomo funkcije g i : [0,1] [0,1], da bo inverzna limita lim{[0,1],g i } i=1 homeomorfna inverzni limiti lim{x i, f i } i=1 (torej bo lim {[0,1],g i} i=1 homeomorfna tudi Cl(S)). To bomo naredili tako, da bo spodnji diagram (diagram 2) komutiral. [0,1] [0,1] [0,1] [0,1]... lim {[0,1],g i } i=1 g 1 g 2 g 3 g 4 h 1 h 2 h 3 h 4 h X 1 X 2 X 3 X 4... lim {X i, f i } i=1 f 1 f 2 f 3 f 4 3. Funkcije g i bomo nadomestili s funkcijo g, da bo lim{[0,1],g i } i=1 homeomorfna lim {[0,1],g} i=1 in bo zato Varšavski lok. Na tem koraku bomo vpeljali funkcije ϕ i, da bo spodnji diagram (diagram 3) komutiral. [0,1] [0,1] [0,1] [0,1]... lim {[0,1],g i } i=1 g 1 g 2 g 3 g 4 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ [0,1] [0,1] [0,1] [0,1]... lim {[0,1],g} i=1 g g g g 1. KORAK Definirajmo koordinatne prostore in vezne funkcije tako, da bodo zadoščali predpostavkam Anderson- Choquetovega izreka. Za vsak i N naj bo Očitno je za vsak i, X i X i+1 in X i = {(x,sin 1 x ) x [ 2 π(2i + 1),1])}. X i = S, kar je razvidno tudi iz slike 2.1. i=1

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 29 Slika 2.1: Koordinatani prostori X i Vezna funkcija f i : X i+1 X i za vsak i N naj bo definirana s predpisom { f i (t,sin 1 (t,sin 1 t ) = t ), če (t,sin 1 t ) X i t ( tπ(2i+1) 1,sin 1 t ), če (t,sin 1 t ) X i+1 \ X i. Funkcije f i so očitno surjektivne in preslikajo točke iz X i vase, točke iz X i+1 \X i pa v ustrezne točke v X i s funkcijsko vrednostjo sin 1 t, kot so jo imele one same. Delovanje vezne funkcije f i je najboljše razvidno iz spodnje skice. Preverimo sedaj, da za tako definirane X i in f i res veljata pogoja 1 in 2 iz Anderson-Choquetovega izreka. Da dokažemo pogoj 1, moramo preveriti, da za poljuben ε > 0 obstaja tak k N, da bo za vsak (x,sin 1 x ) X k, diam( j>k fk, 1 j (x,sin 1 )) < ε. x Naj bo ε > 0. Ker je i=1x i = S = {(x,sin( 1 x )) x (0,1]} in je ε > 0, mora obstajati tak X i, da je (ε,sin 1 ε ) X i. Naj bo k = i + 2 in (x,sin 1 x ) X k.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 30 Slika 2.2: Delovanje funkcije f i Če je (x,sin 1 x ) X k 1, potem iz definicije preslikave f j 1 sledi, da je f 1 k, j (x,sin 1 x ) = (x,sin 1 x ) za vsak j > k. Torej je j>k fk, 1 j (x,sin 1 x ) = {(x,sin 1 x )}, zato je diam( fk, 1 j (x,sin 1 )) = 0 < ε. x j>k Če je (x,sin 1 x ) X k \ X k 1, potem je fk, 1 j (x,sin 1 x ) = {(y,sin 1 x ) y [ 2 π(2 j+1),x]} S, kar sledi iz definicije preslikave f j 1. Torej imajo vse točke v X k \ X k 1 na drugi koordinati isto vrednost kot točka (x,sin 1 x ). Zato je j>k fk, 1 j (x,sin 1 x ) = {(y,sin 1 ) y (0,x]} S. x Naj bosta (a,sin 1 a ),(b,sin 1 b ) fk, 1 j (x,sin 1 x ). Potem je (a,sin 1 a ) = (a,sin 1 x ) in (b,sin 1 b ) = j>k (b,sin 1 x ) ter a,b (0,x]. Sledi, da je a,b x < ε, saj je k = i + 2 in zato za vsak (x,sin 1 x ) X k \ X k 1 (x [ 2 π(2k+1), 2 π(2k 1) ]) velja x < 2 π(2k 1) < ε, saj ε [ 2 π(2i+1),1], ker (ε,sin 1 ε ) X i. Torej a b x < ε.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 31 Izračunajmo d((a,sin 1 a ),(b,sin 1 b )) = (a b) 2 + (sin 1 a sin 1 b )2 = = a b x < ε. (a b) 2 + (sin 1 x sin 1 x )2 Ugotovili smo, da je d((a,sin 1 a ),(b,sin 1 b )) < ε za vsak (x,sin 1 x ) X k \ X k 1, kar pomeni, da je tudi diam( j>k Sledi diam( j>k f 1 k, j (x,sin 1 x )) < ε za vsak (x,sin 1 x ) X k \ X k 1. f 1 k, j (x,sin 1 x )) < ε za vsak (x,sin 1 x ) X k, s čimer je dokaz 1 zaključen. Za dokaz 2. točke Anderson-Choquetovega izreka moramo pokazati, da za vsak i N in za vsak ε > 0, obstaja tak δ > 0, da za vsak j N, j > i in (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) X j velja: če je d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) δ, potem je d( f i, j(x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) ε. Naj bo i N in ε > 0. Določimo δ := ε 2. Naj bo j N, j > i in (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) X j taka, da zanju velja d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) δ. Preverimo, da je potem d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) ε. Pri tem obravnavajmo naslednje možnosti: (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) X i X j 1 X j. Uporabimo predpis preslikave f i, j za tako izbrani točki (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) in dobimo d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) = d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) δ = ε 2 < ε. (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) X j \ X i. Proicirajmo točki (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) na daljico s krajiščema (1, 1) in (3,1). Točki dobljeni s to projekcijo označimo s pr(x), pr(y). Če upoštevamo predpis preslikave f i, j za zgoraj izbrani točki (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) dobimo d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) = d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )). Opazimo, da je d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 )) d(pr(x), pr(y)), y saj imajo vse tangente na graf funkcije sin 1 x in (3,1) pa ima naklon enak 1. naklon večji od 1, daljica s krajiščema (1, 1)

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 32 Sedaj uporabimo Pitagorov izrek, dobimo d(pr(x), pr(y)) = 2(y x) 2 2 (y x) 2 + (sin 1 x sin 1 y )2 = 2d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) 2δ = 2 ε 2 = ε. Sledi d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) < ε, kar smo tudi želeli. (x,sin 1 x ) X i,(y,sin 1 y ) X j \ X i, pri čemer y y x = x. V tem primeru velja d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) = d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) = (x y ) 2 + (sin 1 x sin 1 y )2 (x y) 2 + (sin 1 x sin 1 y )2 = d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) δ = ε 2 < ε. (x,sin 1 x ) X i,(y,sin 1 y ) X j \ X i, pri čemer y x = x y. Iz zadnjega pogoja sledi, da je (x,sin 1 x ) X i \X i 1. Po predpostavki je d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) < δ. Iz obojega potem sledi, da je (y,sin 1 y )) X i+1 \ X i. Dobimo f i, j = f i,i+1 = f i. Zato imamo d( f i, j (x,sin 1 x ), f i, j(y,sin 1 y )) = d( f i(x,sin 1 x ), f i(y,sin 1 y )) = d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 y )) d((x,sin 1 x ),(y,sin 1 )) isto kot v drugem primeru y ε.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 33 Pregledali smo vse možnosti za (x,sin 1 x ),(y,sin 1 y ) X j in dokazali, da v vseh teh primerih velja pogoj 2. Pokazali smo, da izbrane funkcije zadoščajo pogojem 1 in 2, zato je po Anderson-Choquetovem izreku sledi, da je lim{x i, f i } i=1 homeomorfna X j = Cl(S). j=1 S tem je korak 1 zaključen. 2. KORAK Naj bo za vsak i N, Y i = [0,1]. Poiščimo predpis za funkcije g i : Y i+1 Y i, da bo lim{x i, f i } i=1 To bomo naredili s pomočjo izreka 1.56, ki med drugim pove: homeomorfna lim {Y i,g i } i=1. če so g i : Y i+1 Y i in f i : X i+1 X i in obstajajo taki homeomorfizmi h i : Y i X i, da za vsak a Y i+1 velja h i (g i (a)) = f i (h i+1 (a)) (tj. diagram 2 komutira), potem je lim {X i, f i } i=1 homeomorfna lim {Y i,g i } i=1. Da bi dobili predpis za funkcije g i, moramo najprej definirati funkcije h i. To bomo naredili tako, da bo veljalo h i (0) = (1,sin(1)), h i ( 1 2 ) = ( 2 π(2i 1) 2 π(2i+1) π(2i 1),sin 2 ) in h i (1) = ( π(2i+1),sin 2 ). Točke iz intervala [0, 1 2 ] bomo torej s funkcijami h i preslikali v točke v X i 1, točke iz intervala [ 1 2,1] pa v točke v X i \ X i 1. Za vsak t [0,1] definirajmo h i s predpisom in h 1 i h i (t) = tako { 1 (mi,0 t + c i,0,sin m i,0 t+c i,0 ), če t 1 2 1 (m i,1 t + c i,1,sin m i,1 t+c i,1 ), če t 1 2 kjer je h 1 i { ((t,sin 1 t ci,0 t )) = m i,0, če (t,sin 1 t ) X i 1 t c i,1 m i,1, če (t,sin 1 t ) X i \ X i 1, m i,0 = 4 π(2i 1) 2, c i,0 = 1, m i,1 = 8 π(2i 1)(2i + 1), c i,1 = 2(2i + 3) π(2i 1)(2i + 1).

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 34 Slika 2.3: Delovanje funkcije h i Ker želimo uporabiti izrek 1.56, moramo pokazati, da je h i homeomorfizem. h i je očitno zvezna in bijektivna, saj sta (m i,0 t +c i,0,sin 1 m i,0 t+c i,0 ) in (m i,1 t +c i,1,sin 1 m i,1 t+c i,1 ) zvezni in bijektivni. Funkciji m i,0 t + c i,0 in m i,1 t + c i,1 sta namreč linearni funkciji, za kateri vemo, da sta zvezni in bijektivni, enako velja za funciji sin 1 m i,0 t+c i,0 in sin 1 m i,1 t+c i,1. Iz podobnih razlogov je zvezna tudi funkcija h 1 i. Videli smo, da je h i zvezna bijekcija z zveznim inverzom, torej homeomorfizem. Definirajmo zdaj funkcijo g i : [0,1] [0,1] tako, da bo diagram 2 komutiral, torej da bo veljalo g i (t) = h 1 i ( f i (h i+1 (t))). Funkcija g i bo definirana po kosih, saj sta tudi funkciji h i in f i definirani po kosih. Hitro opazimo, da moramo (če želimo g i definirati na tak način) najprej najti tak a i < 1 2, da bo g i (a i ) = h 1 i ( f i (h i+1 (a i ))) = 1 2. Za a i < t < 1 2 Izračunamo, da je a i = bo potem h 1 i = t c i,1 m i,1 2(2i + 1) π(2i 1)(2i + 1) 4(2i 1) 2π(2i 1)(2i + 1). in za t < a i bo h 1 i = t c i,0 m i,0.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 35 Sledi g i (t) = (m i+1,0 t+c i+1,0 ) c i,0 m i,0, če t a i (m i+1,0 t+c i+1,0 ) c i,1 m i,1, če a i t 1 2 (m i+1,1 t+c i+1,1 ) (m i+1,1 t+c i+1,1 )π(2i+1) 1 c i,1 m i,1, če 1 2 t. Vstavimo prepise za m i,0,m i,1,m i+1,0,m i+1,1,c i,0,c i,1,c i+1,0,c i+1,1 ter poenostavimo, dobimo g i (t) = če t a i 6+π+4i 4πi 2 +t(4 2π 8i+8πi 2 ) 8, če a i t 1 2 2t(7+2i) 13 6i 16t 14 4i, če 1 2 t. t (2i 1)(π(2i+1) 2) (2i+1)(π(2i 1) 2), Grafi funkcij g i so na sliki 2.4.

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 36 Slika 2.4: Grafa funkcij g 1, g 2 in graf funkcije, h kateri grafi funkcij g i limitirajo Za funkcije g i očitno velja h i (g i (t)) = f i (h i+1 (t)) za vsak t [0,1], saj smo jih tako konstruirali. Če upoštevamo še dejstvo, da so h i homeomorfizmi in zgoraj omenjen izrek, dobimo, da je lim {X i, f i } i=1 homeomorfna lim {Y i,g i } i=1. V 1. koraku smo videli, da je lim{x i, f i } i=1 homeomorfna Cl(S), kar skupaj z zgornjim pomeni, da je lim{y i,g i } i=1 homeomorfna Cl(S), kar smo tudi želeli. 3. KORAK Naj bo g : [0,1] [0,1] funkcija definirana s predpisom g(t) = { 2t, če t 1 2 t + 3 2, če t 1 2. Opazimo, da je g zvezna funkcija. Njeni koordintni funkciji sta namreč linearni in zato zvezni, njuna predpisa pa se ujemata na stičišču (v t = 1 2 ). Po lemi o lepljenju tako sledi, da je g zvezna. Radi bi pokazali, da je lim{[0,1],g i } i=1 Uporabili bomo izrek 1.56. homeomorfna lim {[0,1],g} i=1. Za vsak i N moramo torej poiskati tak homeomorfizem ϕ i : [0,1] [0,1], da bo ϕ i g i = g ϕ i+1, kar pomeni, da bo diagram 3 komutiral. Po izreku 1.56 bo potem sledilo, da je funkcija definirana s predpisom ϕ : lim {[0,1],g i } i=1 lim {[0,1],g} i=1, ϕ(x 1,x 2,x 3,...) = (ϕ 1 (x 1 ),ϕ 2 (x 2 ),ϕ 3 (x 3 ),...)

2.2 Primer uporabe Anderson-Choquetovega izreka 37 homeomorfizem, kar pomeni, da bo lim{[0,1],g i } i=1 Funkcije ϕ i bomo definirali induktivno. homeomorfna lim {[0,1],g} i=1. Naj bo ϕ 1 = id. Funkcija ϕ 1 je očitno zvezna, naraščajoča funkcija, torej homeomorfizem. Slika 2.5: Funkcija ϕ 1 je identiteta. Definirajmo funkcijo ϕ 2 s pomočjo funkcije ϕ 1 tako, da bo diagram 3 komutiral. Naj bo L(t) = t 2, t [0, 1 2 ] inverz leve veje funkcije g in D(t) = t + 3 2, t [ 1 2,1] inverz desne veje funkcije g. Funkciji L in D sta linearni in zato zvezni. Očitno je funkcija L monotono naraščajoča funkcija, funkcija D pa monotono padajoča. Naj bo ϕ 2 : [0,1] [0,1] definirana s predpisom ϕ 2 (t) = { L(ϕ1 (g 1 (t))), če t 1 2 D(ϕ 1 (g 1 (t))), če t 1 2. Vstavimo in poenostavimo, dobimo ϕ 2 (t) = 3π 2 2(3π 6) t, če t a 1 10 3π+t( 4+6π) 16, če a 1 t 1 2 3t 4 8t 9, če 1 2 t. Ker sta funkciji L ϕ 1 g 1 in D ϕ 1 g 1 kot kompozitum zveznih funkcij tudi sami zvezni funkciji in ker je L(ϕ 1 (g 1 ( 1 2 ))) = D(ϕ 1(g 1 ( 1 2 ))) = 1 2 (torej se predpisa funkcije ϕ 2 ujemata na preseku), po lemi o lepljenju sledi, da je funkcija ϕ 2, definirana z zgornjim predpisom, zvezna funkcija. L ϕ 1 g 1 je na [0, 1 2 ] naraščajoča funkcija, saj je kompozitum samih naraščajočih funkcij, D ϕ 1 g 1