Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, april 2019

Vsebina Seznam slik 4 Predgovor 5 Uvod 9 1 Prva trditev 11 2 Druga trditev 12 3 Tretja trditev 13 4 Četrta trditev 15 5 Peta trditev 15 6 Šesta trditev 16 7 Sedma trditev 18 8 Osma trditev 18 9 Deveta trditev 19 10 Deseta trditev 19 11 Enajsta trditev 20 12 Dvanajsta trditev 22 13 Trinajsta trditev 23 14 Štirinajsta trditev 23 15 Petnajsta trditev 29 16 Šestnajsta trditev 30 17 Sedemnajsta trditev 30 18 Osemnajsta trditev 31

19 Devetnajsta trditev 31 20 Dvajseta trditev 32 21 Enaindvajseta trditev 32 22 Dvaindvajseta trditev 32 23 Triindvajseta trditev 34 24 Štiriindvajseta trditev 34 Viri 36 3

Seznam slik 1 Leonardo Pisanski............................ 5 2 Bedžaja v Alžiriji............................ 6 3 Cesar Friderik II. Hohenstaufen.................... 8 4 Vsota zaporednih lihih števil...................... 11 5 K izpeljavi enakosti (2)......................... 14 6 Število 24 je kongruum......................... 25 7 Eliptična krivulja E 6........................... 28 4

Predgovor Leonardo Pisanski ali Leonardo iz Pise, v italijanščini Leonardo Pisano, bolj znan kot Fibonacci, velja za najpomembnejšega evropskega srednjeveškega matematika. Njegova pomembnost je predvsem v tem, da je napisal knjigo Liber abbaci, v kateri opiše indijsko-arabske številke in računanje z njimi. To naredi predvsem na številnih uporabnih primerih. Računanje je tako postalo preprosto in so ga zlahka usvojili ne le učenjaki, ampak tudi navadni ljudje, zlasti trgovci in obrtniki. Zato se je hitro razširilo po Italiji in od tam po celotni Evropi. Namen tega gradiva pa je predstavitev druge pomembne Leonardove knjige, Liber quadratorum. Slika 1. Leonardo Pisanski. Pridevnik Pisanski je v soglasju s Slovenskim pravopisom in tradicijo. Mesto Pisa, po svetu verjetno najbolj znano po poševnem stolpu, ki se je začel nagibati že v Leonardovem otroštvu, leži ob izlivu toskanske reke Arno v Ligursko morje. Pisa se običajno izgovarja kot piza, po pravopisu so njeni prebivalci Pisánci, prebivalke Pisánke, stavbe v Pisi pa so pisánske. Po naši tradiciji bi bil neki pomembnež Janez iz Pise lahko Janez Pisanski, tako kot je Andrej s Turjaka Andrej Turjaški, Jovan Vesel iz Kosez Jovan Vesel Koseski, Josipina Urbančič z gradu Turn pri Preddvoru Josi- 5

pina Turnograjska, Aleksander Veliki Aleksander Makedonski, Tomaž iz Aquina Tomaž Akvinski in še bi lahko naštevali. O Leonardovem življenju v resnici vemo bore malo. Rodil se je okoli leta 1170, verjetno v Pisi, pomembnem pristanišču in mestni državi, ki se je pogosto z Genovo in Benetkami borila za prevlado v sredozemski trgovini. Leonardov oče Guglielmo je bil pisanski trgovec, ki je svoje posle opravljal po nekaterih pristaniških mestih ob Sredozemskem morju. Pogosto je še rosno mladega sina jemal s seboj na potovanja. Indijskoarabske številke in računanje z njimi se je Leonardo hitro naučil od Arabcev, s katerimi sta z očetom pogosto trgovala v Egiptu, Siriji, Grčiji in Provansi ter na Siciliji. Verjetno se je Leonardo naučil največ matematike v sredozemskem mestu Bedžaja, arabsko, v današnji Alžiriji (tudi Bougie, Bugia). Tam je namreč Leonarda njegov oče kot predstavnik pisanske države za nekaj časa zaupal neki arabski šoli. Slika 2. Bedžaja v Alžiriji. Računanje in geometrijo pa je Leonardo kmalu tako dobro obvladal, da je poleg Liber abbaci napisal še Liber quadratorum, Practica geometriae, Flos in Liber minoris guise, ki je bila namenjena predvsem trgovcem. Latinska beseda flos pomeni cvet, liber minoris guise pa dobesedno knjiga na manjši način. Pogosto omenjajo še Leonardovo pismo Epistola ad Magistrum Theodorum in traktat o deseti knjigi Evklidovih Elementov, ki obravnava nesoizmerljive količine. Leonardo je umrl okoli leta 1250, najbrž v Pisi. Knjigo Liber abbaci je posvetil Mihaelu Skotu, ki si je zaradi svojih dejavnosti prislužil mesto v Dantejevem osmem krogu Pekla, prvem delu 6

slovite Božanske komedije. Mihaela je pahnil v četrto kotanjo, kjer so z zasukanimi glavami na večno trpljenje obsojeni vedeži in čarodeji. Pesnik je Skotu posvetil celo tercino v dvajsetem spevu: Quell altro che ne fianchi e cosi poco, Michele Scotto fu, che veramente de le magiche frode seppe l gioco. Ob njem naslednji, z mršavimi boki je Miha Skot; kakor nihče nikoli je vedel on, kaj čar je, kaj uroki. Slovensko besedilo pisatelja, esejista, pesnika, romanista, prevajalca, univerzitetnega profesorja, politika in diplomata Andreja Capudra (1942 2018) razlaga pomen Dantejevih verzov. Liber abbaci so vneto prepisovali in prilagajali lokalnim posebnostim, kot so narečje, denar, mere in uteži. Včasih so v prepisih tudi pozabili omeniti avtorja, na katerega se je z leti pozabilo. Znanje, ki je zajeto v tej knjigi, pa se je hitro razširilo. Na Leonarda se je spet z velikim spoštovanjem spomnil Luca Pacioli (1445 1517). Šele v 19. stoletju se je pojavilo ime Fibonacci in prav tako pojem Fibonaccijeva števila. Ime Fibonacci naj bi nastalo iz besed Filius (sin) Bonaccii (genitiv družinskega imena Bonaccio). Zgodovinsko ni nikjer izpričano, da bi Leonarda kdorkoli v času njegovega življenja imenoval Fibonacci. To ime je baje skoval italijanskofrancoski matematik in bibliofil Guillaume Libri (1803 1869) leta 1838. Sam Leonardo se je v delu Flos imenoval Leonardo Pisano Bigollo. Beseda bigollo pomeni popotnik, kar je v skladu z Leonardovim načinom življenja. V Leonardovem času je pisanska mestna država pripadala Svetemu rimskemu cesarstvu, ki ji je vladal zelo izobražen cesar Friderik II. Hohenstaufen (1194 1250). Zanimali so ga jeziki, filozofija, medicina, naravoslovje in matematika. S svojim dvorom, vključno s pesniki, glasbeniki, učenjaki in filozofi, je pogosto potoval po Italiji. Okoli leta 1225 je magister Dominik Leonarda predstavil dvoru. Takrat so organizirali matematično tekmovanje, v katerem je Leonardo med drugim dejansko pokazal, da je 5 tako imenovano kongruentno število. Problem je bil znan magistru Janezu iz Palerma, ki ga je verjetno našel v nekem arabskem 7

Slika 3. Cesar Friderik II. Hohenstaufen viru in posredoval Leonardu. Več o tem problemu pride na vrsto kasneje, ko bomo natančneje pregledali vsebino njegovega dela Liber quadratorum, kar pomeni knjiga kvadratov. Čeprav daje naslov občutek, da gre za geometrijske probleme, v resnici ni tako. Knjiga se ukvarja s kvadratnimi števili, ki so kvadrati naravnih ali pozitivnih racionalnih števil, to je ulomkov z naravnimi števci in imenovalci. Leonardovo knjigo Liber quadratorum, ki jo je avtor posvetil samemu cesarju, je iz pozabe obudil sredi 19. stoletja zgodovinar matematike Baldassarre Boncompagni (1821 1894). V milanski knjižnici Biblioteca Ambrosiana je med drugim našel rokopis dela Liber quadratorum. Našli so se tudi kritiki, ki so Leonardu očitali preveliko prepisovanje iz Diofantove Aritmetike in del nekaterih arabskih matematikov. Res je dobro poznal dela Evklida, Herona iz Aleksandrije, Diofanta in Platona iz Tivolija, ki je veliko prevajal arabska astronomska in matematična dela. Tudi Evklidovo delo O delitvi (likov), Περὶ διαιρέσεων βιβλίον, je bilo Leonardu znano. Deloma ga poznamo samo prek arabskih prevodov. V bran je Leonarda vzel Ettore Picutti, ki je dokazoval v njegovih delih veliko 8

izvirnost. Zato imamo Leonarda lahko za velikega naslednika tradicionalne grške in arabske matematike. Uvod Leonardova Knjiga kvadratov je razdeljena na petindvajset delov: na uvod in štiriindvajset trditev. Matematično besedilo še ne pozna današnjih simbolov, opira se na grško tradicijo. Števila pogosto obravnava kot dolžine daljic, na primer.ab.,.bc.. Take interpretacije v pričujočem gradivu ne bomo uporabljali. Število je za Leonarda naravno število ali pozitivno racionalno število, ulomek z naravnim števcem in imenovalcem. Če je število n = k 2 kvadratno število, je število k njegov koren. Leonardo v strogem matematičnem izražanju ni posebno dosleden. Kvadratnemu številu pogosto reče kar kvadrat. Leonardo ne uporablja črk za števila. Seveda tudi ne v zaporedju, zato našteje nekaj njegovih prvih členov in pravilo zanje posploši. Ne pozna še matematične indukcije. Svoj uvod se začne nekako tako (prevod iz [3]): Razmišljal sem o izvoru kvadratnih števil in odkril, da se pojavljajo pri naraščajočem zaporedju lihih števil; enica je kvadrat, ki da prvi kvadrat, namreč 1; če tej enici dodamo 3, dobimo drugi kvadrat, namreč 4 s korenom 2; če tej vsoti dodamo tretje liho število, namreč 5, naredimo tretji kvadrat, namreč 9 s korenom 3; in te vsote zaporednih lihih števil in zaporedje kvadratov se skupno pojavljajo urejeno. Dandanes bi zgornje izjave zapisali takole: 1 = 1 2, 1 + 3 = 2 2 1 + 3 + 5 = 3 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2. 9

Iz tega sledi splošna enakost 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n 1) = n 2. (1) Da dobimo kvadrat števila 5, vanjo postavimo n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2. Rezultat je poznal že Pitagora okoli leta 500 p.n.š. Zgornjo enakost lahko izpeljemo zelo preprosto: 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n 1) = 1 (1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n 1) 2 +1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n 1)) = = 1 (1 + (2n 1) + 3 + (2n 3) +... 2 +(2n 3) + 3 + (2n 1) + 1) = 1 (2n + 2n + 2n +... + 2n) 2 = 1 2 n 2n = n 2. Včasih bomo v tem gradivu kakšno trditev dokazali tudi na nam bolj znani način. Za primer dokažimo (1) z metodo matematične indukcije. Enakost dokažimo najprej za n = 1. Dobimo 1 = 1 2 = 1. Torej za n = 1 res velja. Če pa velja za n, potem imamo (1 + 3 + 5 +... + (2n 1)) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2. Zato je 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2. Enakost je zato pravilna za vsako naravno število n. Enakost ima tudi grafično razlago. Načrtamo kvadrat s stranico n in ga razdelimo na n kotnikov, kot kaže slika 4. Kvadrat razdelimo na n 2 enotskih kvadratov. V vsakem kotniku je liho število enotskih kvadratov. Primerjamo vsoto ploščin vseh kotnikov s ploščino kvadrata. Dobimo iskano enakost. 10

Slika 4. Vsota zaporednih lihih števil. 1 Prva trditev Obstajata kvadratni števili, katerih vsota je tudi kvadratno število. Leonardo trditev utemeljuje z zapisoma: (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, 4 2 + 3 2 = 5 2. V splošnem je treba upoštevati, da je kvadrat lihega števila tudi liho število: (2n 1) 2 = 4n 2 4n + 1. Predhodno liho število je 4n 2 4n 1 = 2(2n 2 2n) 1. Po enakosti (1) je vsota zaporednih 2n 2 2n lihih števil 1 + 3 +... + (2(2n 2 2n) 1) = (2n 2 2n) 2, vsota zaporednih 2n 2 2n + 1 lihih števil pa (1 + 3 +... + 2(2n 2 2n) 1) + (2(2n 2 2n) + 1) = (2n 2 2n) 2 + (2n 1) 2, 11

kar je enako 1 + 3 +... + (2n 2 2n) 1) + (2(2n 2 2n + 1) 1) = (2n 2 2n + 1) 2. Torej velja za vsako naravno število n enakost (2n 2 2n) 2 + (2n 1) 2 = (2n 2 2n + 1) 2. S tem dobimo nešteto pitagorejskih trojk (A,B,C), za katere velja: A,B,C so naravna števila, za katera je A 2 +B 2 = C 2. Trikotnik s stranicami A, B in C je pravokoten. Njegovi kateti sta A in B, hipotenuza pa C. Pitagorejska trojka (A,B,C) je primitivna, če A, B in C nimajo skupnega delitelja. Našli smo torej pitagorejske trojke (A,B,C), kjer je A = 2n(n 1), B = 2n 1, C = 2n(n 1) + 1. Niso pa to vse pitagorejske trojke. Te določajo tiste pravokotne trikotnike, pri katerih je hipotenuza za 1 večja od katete. Pitagorejske trojke (20,21,29) ni med njimi. Vse dobimo po formulah A = k(m 2 n 2 ), B = 2kmn, C = k(m 2 + n 2 ), pri čemer sta si m in n tuji naravni števili različnih parnosti, m > n in k naravno število. Zgornje formule, nekoliko modificirane, je poznal tudi Leonardo, saj navaja v svoji tretji trditvi deseto knjigo Evklidovih Elementov, ki obravnava to tematiko. Sicer so jih poznali že babilonski matematiki za reševanje kvadratnih enačb. 2 Druga trditev Vsako kvadratno število presega predhodno kvadratno število za vsoto korenov obeh. To trditev je dandanes enostavno dokazati: (n + 1) 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 n 2 = 2n + 1 = (n + 1) + n. 12

Velja tudi za n = 0, česar pa Leonardo ne omenja. Trditev uporabi za sestavljanje pitagorejskih trojk. Če je namreč vsota (n + 1) + n = y 2 kvadratno število, velja (n + 1) 2 n 2 = y 2, torej n 2 + y 2 = (n + 1) 2. S tem imamo pitagorejsko trojko (n,y,n + 1). Za n = 12 je vsota (n + 1) + n = 25 = 5 2, kar nam da y = 5 in relacijo 12 2 + 5 2 = 13 2. Našli smo celo primitivno pitagorejsko trojko (12,5,13). Leonardo navaja tudi trditev: Če se korena razlikujeta za dve, potem se njuna kvadrata razločujeta za štirikratnik vmesnega korena. To dejansko pomeni, da velja za naravne n relacija (n + 2) 2 n 2 = 4(n + 1). Če je n + 1 = y 2 kvadratno število, potem je (n + 2) 2 n 2 = (2y) 2, kar pomeni, da je trojka (n,2y,n + 2) pitagorejska. Na koncu Leonardo utemeljuje še enakost m 2 n 2 = (m n)(m + n). Vse trditve dokazuje geometrijsko. 3 Tretja trditev Obstaja še drugačen način, kako najti dva kvadrata, katerih vsota je tudi kvadrat. Leonardova trditev temelji na peti trditvi v drugi knjigi Evklidovih Elementov. Evklid z metodo tako imenovane geometrijske algebre dokaže enakost ( ) x + y 2 ( ) x y 2 = + xy. (2) 2 2 Znana je bila že babilonskim matematikom. 13

Slika 5. K izpeljavi enakosti (2). Dokaz poteka nekako takole. Vzamemo pravokotnik ABCD (slika 5), pri katerem je AB = 2 BC. Daljica EF deli pravokotnik na skladna kvadrata AFED in FBCE. Med F in B izberemo točko I, nato pa pravokotnik ABCD razširimo v pravokotnik KLCD, pri čemer je KA = FI. Daljico EF podaljšamo do točke G, daljico HI pa do točke J. Štirikotnik GJIF je kvadrat. Očitno sta pravokotnika GLBF in FIHE skladna. Zato je ploščina kotnika GLCHIF enaka ploščini kvadrata AFED. Označimo x = AI in y = IB. Velja x > y. Kvadrat AFED ima stranico (x + y)/2, kvadrat GJIF pa (x + y)/2 y = (x y)/2. Daljica LC ima dolžino (x + y)/2 + (x y)/2 = x. Ploščina kotnika GLCHIF je zato ((x y)/2) 2 + xy, ploščina kvadrata AFED pa ((x + y)/2) 2. S tem pridemo do zaključka, da velja relacija: ((x+y)/2) 2 = ((x y)/2) 2 +xy. Očitno sta x in y lahko poljubna, saj jima lahko stranici pravokotnika v vsakem primeru prilagodimo. Drugačen način v tretji Leonardovi trditvi pomeni, da v enakost (2) postavimo x = m 2 in y = n 2 za m > n. Dobimo ( m 2 + n 2 ) 2 ( m 2 n 2 ) 2 = + (mn) 2. 2 2 14

Pitagorejske trojke (A,B,C) potem dobimo po formulah A = m 2 n 2, B = 2mn, C = m 2 + n 2. Leonardo tukaj dopušča tudi neprimitivne pitagorejske trojke. 4 Četrta trditev Obstaja še en način, kako dobimo zaporedje kvadratov iz urejenih vsot lihih števil od ena do neskončno. Način poteka z večkratno uporabo druge trditve, to se pravi z enakostjo k 2 (k 1) 2 = k + (k 1) = 2k 1. Zapišimo jo za k = 1,2,3,...,n 1,n: 1 = 1 2, 3 = 2 2 1 2, 5 = 3 2 2 2,.. 2n 3 = (n 1) 2 (n 2) 2, 2n 1 = n 2 (n 1) 2. Ko vse zgornje enakosti seštejemo, dobimo znano enakost 1 + 3 + 5 +... + (2n 3) + (2n 1) = n 2. 5 Peta trditev Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je kvadrat, ki ga dobimo kot vsoto kvadratov dveh drugih števil. Leonardo začne z neodvisnima relacijama A 2 + B 2 = C 2, p 2 + q 2 = r 2 15

z naravnimi števili. Drugo deli z r 2, da dobi relacijo ( ) p 2 ( ) q 2 + = 1, r r ki jo nato pomnoži s C 2 : ( pc r ) 2 ( qc + r ) 2 = C 2. S tem je C 2 vsota kvadratov racionalnih števil, ki sta sorazmerni številoma p in q. 6 Šesta trditev Dana so štiri števila, ki niso v sorazmerju, od katerih je prvo manjše kot drugo, tretje pa manjše kot četrto. Če vsota kvadratov prvih dveh in vsota kvadratov zadnjih dveh nista kvadrata, potem je produkt teh dveh vsot enak vsoti dveh kvadratov na dva načina. Če je ena od vsot kvadrat, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na tri načine. Če pa sta obe vsoti kvadratov kvadrata, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na štiri načine. To je možno brez ulomkov. Dana naravna števila naj bodo a,b,c,d, pri čemer je a < b in c < d. To pomeni, da je ac < bd. Da niso v sorazmerju, pomeni, da a/b c/d oziroma ad bc. V Leonardovem času sta bili že znani enakosti (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (bc ad) 2, (3) (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ad + bc) 2 + (bd ac) 2. (4) Formalno drugo enakost dobimo iz prve, če med seboj zamenjamo c in d. Uporabljal ju je že Diofant v svoji Aritmetiki, pa islamski matematik in astronom Al-Khazin (900 971), v arabščini. V sodobni matematiki ju imenujemo Lagrangeevi enakosti in veljata za poljubna realna števila. Indijski matematik in astronom Brahmagupta (598 668), v sanskrtu hm pt, 16

je poznal splošnejši enakosti: (a 2 + Nb 2 )(c 2 + Nd 2 ) = (ac + Nbd) 2 + N(bc ad) 2 = (ac Nbd) 2 + N(bc + ad) 2. Za N = 1 dobimo Lagrangeevo. Brahmaguptova enakost je pomembna pri reševanju Pellove enačbe x 2 Dy 2 = 1. Pri tem D ni kvadrat. Dandanes enakost (3) izpeljemo mimogrede s kompleksnimi števili. Naj bo z = a bi in w = c + di. Njun produkt je zw = (ac + bd) + (ad bc)i. Za kvadrate absolutnih vrednosti velja enakost z 2 w 2 = zw 2. Upoštevamo relacije z 2 = a 2 +b 2, w 2 = c 2 +d 2 in zw 2 = (ac+bd) 2 +(bc ad) 2, ki nam takoj dajo enakost (3). Leonardo pa dokaže enakosti (3) in (4) geometrijsko. V (3) in (4) ne moreta biti pri pogojih trditve kvadrata (ac + bd) 2 in (ad + bc) 2 enaka. V nasprotnem primeru bi dobili relacijo ac + bd = ad + bc, iz katere sledi a(c d) = b(c d). Iz pogoja c < d sledi a = b, kar nasprotuje pogoju a < b. Torej (ac + bd) 2 in (ad + bc) 2 nista enaka. Posledično tudi kvadrata (bc ad) 2 in (bd ac) 2 nista enaka. Pogoj a/b c/d pa zagotavlja, da je (bc ad) 2 > 0. Ker je ac < bd, je tudi (bd ac) 2 > 0. Pri pogojih trditve je zato res produkt (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) na dva načina vsota dveh kvadratov. Če je vsota a 2 + b 2 kvadrat, denimo a 2 + b 2 = k 2, vsota c 2 + d 2 pa ne, še vedno veljata zapisa (3) in (4), poleg tega pa je (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = k 2 (c 2 + d 2 ) = (kc) 2 + (kd) 2, kar je tudi vsota dveh kvadratov. Enak sklep velja tudi, če vsota a 2 + b 2 ni kvadrat, vsota c 2 + d 2 pa je kvadrat. Če sta obe vsoti kvadrata, denimo a 2 + b 2 = k 2 in c 2 + d 2 = h 2, lahko razen zapisov (3) in (4) zapišemo še (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (kc) 2 + (kd) 2 = (ha) 2 + (hb) 2. Hitro se vidi, da kc ha in kc hb, kar pomeni, da sta zapisa različna. Leonardo ni preveč natančen. Ni znano, ali je vrstni red zapisa vsote kvadratov pomemben ali ne. Tudi ne drži, da so zapisi trije. Primer a = 1,b = 2,c = 3,d = 4: (1 2 + 2 2 )(3 2 + 5 2 ) = (1 3 + 2 4) 2 + (2 3 1 4) 2 = 11 2 + 2 2 = 125, 17

(1 2 + 2 2 )(3 2 + 5 2 ) = (1 4 + 2 3) 2 + (2 4 1 3) 2 = 10 2 + 5 2 = 125, (1 2 + 2 2 )(3 2 + 5 2 ) = (1 2 + 2 2 )5 2 = 5 2 + 10 2 = 125. Različna zapisa z vsoto kvadratov sta le dva. Verjetno bi morali popraviti del besedila v trditvi v: "Če je ena od vsot kvadrat, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na kvečjemu tri načine." Leonardo tudi ni natančen v tipu števil. Kdaj gre za naravno in kdaj za racionalno, mora ugotavljati bralec sam. 7 Sedma trditev Obstaja še en način, kako poiskati kvadrata, katerih vsota je kvadrat. V enakostih (3) in (4) izberemo števila a,b,c,d tako, da je bc = ad in bd ac. Potem dobimo (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 = (ad + bc) 2 + (bd ac) 2. Primer: a = 3,b = 4,c = 6,d = 8, ac + bd = 50, ad + bc = 48, bd ac = 14, 50 2 = 48 2 + 14 2. Trojka (48,14,50) je pitagorejska, če jo delimo z 2, dobimo primitivno pitagorejsko trojko (24,7,25). Res je 24 2 + 7 2 = 576 + 49 = 625 = 25 2. 8 Osma trditev Obstajata taka kvadrata, za katera je njuna vsota enaka kvadratu vsote kvadratov dveh danih števil. V sedmi trditvi izberimo a = c, b = d pri pogoju a < b. S tem je bc = ad in bd ac. Dobimo: (a 2 + b 2 ) 2 = (2ab) 2 + (b 2 a 2 ) 2. To je pravzaprav splošen način iskanja pitagorejskih trojk. 18

9 Deveta trditev Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je nekvadrat, ki je vsota kvadratov dveh danih števil. Denimo, da sta c in d taki dani števili, za kateri je z = c 2 + d 2 in z ni kvadrat. Bodita a in b števili, za kateri je k 2 = a 2 + b 2 kvadrat in ad bc. Sestavimo število y = k 2 z = (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ). Po šesti trditvi obstajata števili p in q, za kateri je y = p 2 + q 2. S tem imamo relacijo p 2 + q 2 = k 2 z, iz katere dobimo z = (p/k) 2 + (q/k) 2. Torej je z vsota kvadratov dveh racionalnih števil. Za primer vzemimo z = 41 = 4 2 + 5 2, k 2 = 3 2 + 4 2. Po šesti trditvi lahko za k 2 z = (3 2 + 4 2 )(4 2 + 5 2 ) zapišemo k 2 z = 1 2 + 32 2 = 8 2 + 31 2. Pri tem je seveda k = 5. Našli smo celo dva zapisa: 41 = (1/5) 2 + (32/5) 2 = (8/5) 2 + (31/5) 2. Leonardo še ni poznal izreka, da se liho praštevilo, ki pri deljenju s 4 da ostanek 1, da zapisati kot vsoto dveh kvadratov. Preostala liha praštevila pa niso vsota dveh kvadratov. Praštevilo 2 je vsota dveh kvadratov: 2 = 1 2 + 1 2. Praštevilo 19 ni vsota dveh kvadratov, praštevilo 29 pa je: 29 = 5 2 + 2 2. 10 Deseta trditev Produkt dveh zaporednih števil, začenši z ena, in njune vsote je enak šestkratniku vsote kvadratov vseh števil od ena do najmanjšega v produktu. To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno število n pravilna enakost n(n + 1)((n + 1) + 1) = n(n + 1)(2n + 1) = 6(1 2 + 2 2 + 3 2 +... + (n 1) 2 + n 2 ). 19

Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost k(k + 1)(2k + 1) (k 1)k(2k 1) = 6k 2. Če na levi strani izpostavimo k, dobimo k((k + 1)(2k + 1) (k 1)(2k 1)) = k(2k 2 + 3k + 1 2k 2 + 3k 1) = 6k 2. Nato zapišemo pomožno enakost za k = 1,2,3,...,n 1,n: 1 2 3 = 6 1 2, 2 3 5 1 2 3 = 6 2 2, 3 4 7 2 3 5 = 6 3 2,.. (n 1)n(2n 1) (n 2)(n 1)(2n 3) = 6 (n 1) 2, n(n + 1)(2n + 1) (n 1)n(2n 1) = 6 n 2. Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo n(n + 1)(2n + 1) = 6 1 2 + 6 2 2 + 6 3 2 +... + 6 (n 1) 2 + 6 n 2 = 6(1 2 + 2 2 + 3 2 +... + (n 1) 2 + n 2 ), kar je bilo treba dokazati. 11 Enajsta trditev Produkt zaporednih lihih števil, začenši z ena, in njune vsote je enak dvanajstkratniku vsote kvadratov vseh lihih števil od ena do najmanjšega v produktu. To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno število n pravilna enakost (2n 1)(2n + 1)((2n 1) + (2n + 1)) = 4n(2n 1)(2n + 1) 20

= 12(1 2 + 3 2 + 5 2 +... + (2n 3) 2 + (2n 1) 2 ). Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost 4(2k 1)(2k + 1)k 4(2k 3)(2k 1)(k 1) = 12(2k 1) 2. Če na levi strani izpostavimo 4(2k 1), dobimo 4(2k 1)((2k + 1)k (2k 3)(k 1) = 4(2k 1)(2k 2 + k 2k 2 + 5k 3) = 4(2k 1)(6k 3) = 12(2k 1) 2. Nato zapišemo pomožno enakost za k = 1,2,3,...,n 1,n: 4 1 3 1 = 12 1 2, 4 3 5 2 4 1 3 1 = 12 3 2, 4 5 7 3 4 3 5 2 = 12 5 2,.. 4(2n 3)(2n 1)(n 1) 4(2n 5)(2n 3)(n 2) = 12(2n 3) 2 4(2n 1)(2n + 1)n 4(2n 3)(2n 1)(n 1) = 12(2n 1) 2. Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo 4(2n 1)(2n + 1)n = 12 1 2 + 12 3 2 + 12 5 2 +... + 12 (2n 3) 2 + 12 (2n 1) 2 = 12(1 2 + 3 2 + 5 2 +... + (2n 3) 2 + (2n 1) 2 ), kar je bilo treba dokazati. Na koncu Leonardo še opiše, kako se izpelje enakosti 12(2 2 + 4 2 + 6 2 +... + (2n) 2 ) = 2n(2n + 2)(4n + 2), 18(3 2 + 6 2 + 9 2 +... + (3n) 2 ) = 3n(3n + 3)(6n + 3), 24(4 2 + 8 2 + 12 2 +... + (4n) 2 ) = 4n(4n + 4)(8n + 4). 21

12 Dvanajsta trditev Če sta si dve števili tuji in dasta sodo vsoto, potem je produkt teh dveh števil z njuno vsoto in razliko med večjim in manjšim številom deljiv s štiriindvajset. Sodi števili m in n sicer dasta sodo vsoto, toda si nista tuji. Vsota lihega in sodega pa tudi ne pride v poštev, ker je njuna vsota liho število. Zato lahko vzamemo, da sta m in n lihi tuji si števili. Vsota m+n in razlika m n sta torej sodi števili. Dokazati je treba, da je pri opisanih pogojih produkt N = mn(m + n)(m n) deljiv s 24. Če je (m n)/2 liho število, potem je število n + (m n)/2 = (m + n)/2 sodo število, kar pomeni, da je (m+n)(m n)/4 sodo število. Zato je število (m + n)(m n) deljivo z 8, prav tako N. Če je (m n)/2 = 2k sodo število, potem je število n+(m n)/2 = (m+n)/2 liho število. To pomeni, da je m n = 4k in m + n = 2h za naravni števili k in h. Zato je (m + n)(m n) = 8kh, kar pomeni spet, da je N deljivo z 8. V vsakem primeru je število N deljivo z 8. Ker sta si m in n tuji, nista deljivi s 3. Torej dasta pri deljenju s 3 ostanek 1 ali 2. Če je m = 3k + 1 in n = 3h + 1, je m n = 3(k h), torej je N deljiv s 3. Če je m = 3k + 2 in n = 3h + 2, je m n = 3(k h), torej je N prav tako deljiv s 3. Če je m = 3k + 1 in m = 3h + 2 ali m = 3k + 2 in m = 3h + 1, je m + n = 3(k + h + 1), kar pomeni, da je N v vsakem primeru deljiv s 3. Ker je N deljiv z 8 in s 3, je pri danih pogojih res deljivo s 24. Leonardo ni dokazal, da je število N = mn(m + n)(m n) za nekatere netuje pare števil m in n, m > n, tudi lahko deljivo s 24. V takem primeru je treba poiskati največji skupni delitelj d števil m in n, ki ju potem lahko zapišemo kot m = dm 1 in n = dn 1, pri čemer sta si n 1 in n 2 tuji števili. Če sta n 1 in n 2 lihi števili, je po zgoraj dokazani trditvi tudi število N 1 = m 1 n 1 (m 1 + n 1 )(m 1 n 1 ) deljivo s 24. Potem je tudi število N = (dn 1 )(dn 2 )(d 1 m + dn 1 )(dm 1 dn 1 ) = d 4 m 1 n 1 (m 1 + n 1 )(m 1 n 1 ) = d 4 N 1 deljivo s 24. 22

13 Trinajsta trditev Če so okoli danega števila razporejena manjša in večja števila, pri čemer je število manjših števil enako številu večjih števil in če vsako večje število presega dano število za prav toliko kot presega dano število neko manjše število, potem je vsota vseh manjših in vseh večjih števil enako produktu števila razporejenih števil in danega števila. Dano število naj bo s. Večja kot s naj bodo v 1,v 2,...,v n, manjša kot s pa m 1,m 2,...,m n. Pri tem naj veljajo relacije: v 1 s = s m 1,v 2 s = s m 2,...,v n s = s m n. Prepišimo jih v enakovredno obliko m 1 + v 1 = 2s,m 2 + v 2 = 2s,...,m n + v n = 2s in nato seštejemo. Dobimo: m 1 + m 2 +... + m n + v 1 + v 2 +... + v n = n 2s = 2n s. Vsota okoli s razporejenih števil je res 2n s. Povprečje na opisani način okoli števila s razporejenih števil je s. Posledica. Če sestavljajo števila a 1,a 2,...,a n aritmetično zaporedje, potem je njihova vsota enaka n(a 1 + a n )/2. 14 Štirinajsta trditev Obstaja število, ki prišteto in odšteto kvadratnemu številu da spet kvadratno število. Poiskati je treba števila x,y,z in c, za katera veljata relaciji x 2 + c = y 2, y 2 + c = z 2. 23

Tako število c je Leonardo imenoval numerus congruus. Lahko se zgodi, da so x, y in z naravna števila. V takem primeru je Leonardo število c imenoval congruum, v slovenščini kongruum. V splošnem, ko so x, y in z racionalna števila, uporabljamo za c izraz kongruentno število. Vsak kongruum je kongruentno število. Vsako kongruentno število je neki kongruum, deljen s kvadratom naravnega števila. Latinska beseda congruus pomeni soglasen, skladen, primeren, prikladen, priležen. Leonardo se je problema lotil z vsotami lihih števil: (1 + 3 +... + (2x 1)) + c = (1 + 3 +... + (2y 1)), (1 + 3 +... + (2y 1)) + c = (1 + 3 +... + (2z 1)). Pri tem je x < y < z. Nato je zapisal c = (2x + 1) + (2x + 3) +... + (2y 1), c = (2y + 1) + (2y + 3) +... + (2z 1). V prvem izrazu za c je y x lihih števil. Njihova vsota je po posledici trinajste trditve c = (y x)((2x + 1) + (2y 1))/2 = (y x)(y + x) = y 2 x 2. V drugem izrazu za c je z y lihih števil. Njihova vsota je c = z 2 y 2. Nič novega. Toda relacijo z 2 y 2 y 2 x 2 = r, kjer je r dano racionalno število, v našem primeru r = 1, je obravnaval že Diofant in našel rešitve. Leonardo jo študira v dvaindvajseti trditvi. Preprost primer. Število 24 je kongruentno, ker velja: 1 2 + 24 = 5 2, 5 2 + 24 = 7 2. Slika 6 ponazarja kongruentnost števila 24. Leonardo po dolgem postopku pride do splošnega pravila za iskanje kongruentnih števil. Vendar odgovora na vprašanje, kdaj je c kongruentno število, ne pozna. V resnici na to vprašanje še danes ne poznamo popolnega odgovora. 24

Slika 6. Število 24 je kongruum. Najlaže pridemo do neskončno mnogo kongruentnih števil s pitagorejskimi trojkami (A,B,C). Vzamemo, da je A > B. Iz osnovne zveze A 2 +B 2 = C 2 dobimo : (A B) 2 + 2AB = C 2, C 2 + 2AB = (A + B) 2. Torej je c = 2AB kongruentno število. Po znanih formulah A = m 2 n 2, B = 2mn, C = m 2 + n 2 lahko za m > n zgornji relaciji za kongruentnost zapišemo v obliki (m 2 n 2 2mn) 2 + 4mn(m 2 n 2 ) = (m 2 + n 2 ) 2, (m 2 + n 2 ) 2 + 4mn(m 2 n 2 ) = (m 2 n 2 + 2mn) 2. Števili m in n, za kateri vzamemo m > n, sta v teh zvezah naravni. Torej je število 4mn(m 2 n 2 ) = 4mn(m + n)(m n) kongruentno. Tako kot pri pitagorejskih trojkah zadoščajo primitivne, tudi pri kongruentnih številih iščemo primitivne. Primitivno kongruentno število je brezkvadratno, kar pomeni, da ni deljivo z nobenim kvadratnim številom razen z 1. Kvadratne faktorje pospravimo k x,y,z v relacijah x 2 + c = y 2 in y 2 + c = z 2, ko dovolimo, da so x,y,z lahko tudi pozitivna racionalna števila, kongruentno število c pa mora v vsakem primeru biti naravno 25

število. Če je namreč c = k 2 c in c nima kvadratnega faktorja, potem iz zvez x 2 + c = y 2 in y 2 + c = z 2 sledita zvezi x 2 + k 2 c = y 2 in y 2 + k 2 c = z 2, od tod pa (x/k) 2 + c = (y/k) 2 in (y/k) 2 + c = (z/k) 2, kar pomeni, da je c primitivno kongruentno število. Števila 1,2,3,4 niso kongruentna. Najmanjše kongruentno število je 5. Leonardo navede nekaj primerov. Za m = 5 in n = 3 dobimo 14 2 + 960 = 34 2, 34 2 + 960 = 46 2. Ker je 960 = 2 2 240, sledi po deljenju s 4 7 2 + 240 = 17 2, 17 2 + 240 = 23 2. Račun se izide v naravnih številih. Števili 960 = 2 2 240 in 240 = 4 2 15 sta kongruentni, toda ne primitivno kongruentni, ker vsebujeta kvadratni faktor. Primitivno kongruentno število je 15, ker je: (7/4) 2 + 15 = (17/4) 2, (17/4) 2 + 15 = (23/4) 2. Za m = 3 in n = 1 dobimo 2 2 + 96 = 10 2, 10 2 + 96 = 14 2. Število 96 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 96 = 2 2 24 in 24 = 2 2 6. Zato veljajo tudi relacije 1 2 + 24 = 5 2, 5 2 + 24 = 7 2, (1/2) 2 + 6 = (5/2) 2, (5/2) 2 + 6 = (7/2) 2. To pomeni, da je 6 primitivno kongruentno število. Za m = 5 in n = 2 dobimo 1 2 + 840 = 29 2, 29 2 + 840 = 41 2. Število 840 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 840 = 2 2 210. Zato veljata relaciji (1/2) 2 + 210 = (29/2) 2, (29/2) 2 + 210 = (41/2) 2. 26

Število 210 je primitivno kongruentno. Za m = 5 in n = 4 dobimo 31 2 + 720 = 41 2, 41 2 + 720 = 49 2. Število 720 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 720 = 12 2 5. Zato veljata relaciji (31/12) 2 + 5 = (41/12) 2, (41/12) 2 + 5 = (49/12) 2. Število 5 je primitivno kongruentno. Zadnji primer je znana naloga z matematičnega tekmovanja med obiskom cesarja Svetega rimskega cesarstva Friderika II. okoli leta 1225 v Pisi. Poiskati je bilo treba število, katerega kvadrat, povečan in zmanjšan za 5 da spet kvadrat. To število je Leonardo hitro našel: 41/12 Kongruentna števila so povezana tudi z eliptičnimi krivuljami, o čemer obstaja bogata matematična literatura, na primer [5]. Če je naravno število c kongruentno, obstaja tako racionalno število x, za katero so x, x c in x+c kvadrati racionalnih števil, recimo x = u 2, x c = v 2, x + c = w 2. Za produkt dobimo x(x c)(x + c) = x 3 c 2 x = (uvw) 2. Če označimo y = uvw, potem x zadošča enačbi y 2 = x 3 c 2 x. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy predstavlja enačba y 2 = x 3 c 2 x implicitno dano krivuljo, ki jo imenujemo eliptična krivulja. Označimo jo z E c. Na njej so vsaj tri točke z racionalnimi koordinatami: ( c,0),(c,0) in (0, 0). To so trivialne točke. Problem pri eliptični krivulji je obstoj netrivialnih točk z racionalnimi koordinatami na njej. Če najdemo dve taki točki, od katerih je vsaj ena netrivialna, potem premica skoznju preseka eliptično krivuljo še v eni točki, ki ima racionalni koordinati. Točki sta lahko tudi enaki. V tem primeru namesto sekante vzamemo tangenti. 27

V primeru štirinajste trditve smo videli, da je c = 24 kongruentno število, ker je 1 2 + 24 = 5 2 in 5 2 + 24 = 7 2. Ker ima 24 kvadratni faktor 4, enakosti delimo s 4 in dobimo (5/2) 2 6 = (1/2) 2, (5/2) 2 + 6 = (7/2) 2. Število 6 je torej primitivno kongruentno. Ustrezna eliptična krivulja je E 6, ki ima enačbo y 2 = x 3 36x. Na njej je točka T (25/4,35/8). Premica skozi to točko in skozi točko (6,0) preseka krivuljo E 6 še v točki (294,5040). Premica skozi točki T in ( 6,0) preseka krivuljo E 6 tudi v točki ( 6/49,720/343). Slika 7. Eliptična krivulja E 6. Vsaka racionalna točka (x,y) na eliptični krivulji E c, kjer je y 0, nam da racionalen pravokotni trikotnik s stranicami A = x 2 c 2 y, B = 2cx y, C = x 2 + c 2 y. in ploščino c. Preizkus: A 2 + B 2 = (x2 c 2 ) 2 + 4c 2 x 2 c 2 = (x2 + c 2 ) 2 y 2 = C 2. 28

Ploščina tega trikotnika pa je Iz znanih enačb p = 1 2 AB = (x 2 c 2 )cx y 2 = (x3 c 2 x)c y 2 = c. (A B) 2 + 2AB = C 2, C 2 + 2AB = (A + B) 2 dobimo po deljenju s 4 enačbi ( ) A B 2 ( ) C 2 + c =, 2 2 ( ) C 2 ( ) A + B 2 + c =, 2 2 kar pomeni da je c kongruentno število. Z najdenima točkama (294,5040) in ( 6/49,720/343) na eliptični krivulji E 6 dobimo pravokotni trikotnik s stranicami in ploščino 6. A = 120 7, B = 7 10, C = 1201 70 Iz (A B)/2 = 1151/140, C/2 = 1201/140 in (A + B)/2 = 1259/140 dobimo relaciji (1151/140) 2 + 6 = (1201/140) 2, (1201/140) 2 + 6 = (1259/140) 2, ki tudi izpričujeta, da je 6 kongruentno število. Takih relacij je nešteto. 15 Petnajsta trditev Če je neko število kongruentno, ostane kongruentno tudi, če ga pomnožimo s kvadratnim številom. Če je c kongruentno število, obstajajo taki kvadrati x 2,y 2,z 2, da veljata relaciji x 2 + c = y 2 in y 2 + c = z 2. Za kvadratno število k 2 potem očitno veljata relaciji X 2 + c = Y 2 in Y 2 + c = Z 2 za X = kx,y = ky,z = kz in c = k 2 c. Pri tem je lahko k tudi racionalno število. 29

Pierre de Fermat (1601 1665) je dokazal, da število 1 ni kongruentno. Zato tudi k 2 = k 2 1 ni kongruentno za nobeno naravno število k. To pomeni, da ne obstajajo taka racionalna števila x,y,z, za katera bi bili razliki z 2 y 2 in y 2 x 2 enaka naravna kvadrata. Če bi bilo z 2 y 2 = y 2 x 2 = k 2, kjer je k naravno število, bi veljali relaciji x 2 + k 2 = y 2 in y 2 + k 2 = z 2. To bi pomenilo, da je k 2 kongruentno število. Potem bi bilo števio 1 tudi kongruentno, ker bi veljali relaciji (x/k) 2 + 1 = (y/k) 2 in (y/k) 2 + 1 = (z/k) 2. To nasprotuje trditvi, da 1 ni kongruentno število. 16 Šestnajsta trditev Obstaja kongruentno število, ki je petkratnik kvadratnega števila. Kot smo že videli v primerih štirinajste trditve, za m = 5 in n = 4 dobimo 31 2 + 720 = 41 2, 41 2 + 720 = 49 2. Število 720 = 5 12 2, ki je petkratnik kvadrata, je res kongruentno. 17 Sedemnajsta trditev Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za 5 da kvadrat. Po prejšnji trditvi veljata relaciji 31 2 + 5 12 2 = 41 2, 41 2 + 5 12 2 = 49 2, iz katerih sledita relaciji (31/12) 2 + 5 = (41/12) 2, (41/12) 2 + 5 = (49/12) 2 oziroma (41/12) 2 + 5 = (49/12) 2, (41/12) 2 5 = (31/12) 2 Število 5 je primitivno kongruentno. 30

18 Osemnajsta trditev Če imata števili sodo vsoto, potem razmerje te vsote z razliko večjega in manjšega števila ni enako razmerju večjega in manjšega števila. Števili naj bosta m in n, pri čemer je m > n. Trdimo, da je m + n m n m n. Leonardo je trditev dokazal na precej zapleten način, s kongruentnimi števili. V resnici sta m in n lahko racionalni števili. Tudi ni razvidno, zakaj naj bi bila vsota m + n sodo število. Če bi trditev ne veljala, bi imeli relacijo m + n m n = m n, iz katere dobimo n(m + n) = m(m n), iz te pa n 2 + 2nm + m 2 = 2m 2. To pomeni (m+n) 2 = 2m 2 oziroma (m+n) 2 /m 2 = 2. Potemtakem bi bilo število 2 kvadrat racionalnega števila, kar ni mogoče, saj je dobro znano, da je 2 iracionalno število. V začetni relaciji torej ne velja enačaj. 19 Devetnajsta trditev Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za svoj koren da spet kvadrat. Za dokaz je treba vzeti kongruentno število c ter števila x,y,z, za katera je x 2 + c = y 2 in y 2 + c = z 2. Prvo enačbo delimo s c: x 2 /c + 1 = y 2 /c. Nastalo relacijo pomnožimo z y 2 /c. Dobimo (xy/c) 2 + y 2 /c = (y 2 /c) 2. Število (y 2 /c) 2 je kvadrat, ki zmanjšan za svoj koren da kvadrat. Drugo enačbo delimo s c: y 2 /c+1 = z 2 /c. Dobljeno relacijo pomnožimo z y 2 /c: (y 2 /c) 2 +y 2 /c = (yz/c) 2. Število (y 2 /c) 2 je kvadrat, ki povečan za svoj koren tudi da kvadrat. Primer: (25/24) 2 25/24 = (5/24) 2, (25/24) 2 + 25/24 = (35/24) 2. 31

20 Dvajseta trditev Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za dvakratnik svojega korena da spet kvadrat. Za dokaz je treba spet vzeti kongruentno število c ter števila x,y,z, za katera je x 2 + c = y 2 in y 2 + c = z 2. Prvo enačbo delimo s c: x 2 /c + 1 = y 2 /c. Nastalo relacijo pomnožimo z 4y 2 /c. Dobimo (2xy/c) 2 + 2(2y 2 /c) = (2y 2 /c) 2. Število (2y 2 /c) 2 je kvadrat, ki zmanjšan za dvakratnik svojega korena da kvadrat. Drugo enačbo delimo s c: y 2 /c + 1 = z 2 /c. Dobljeno relacijo pomnožimo s 4y 2 /c: (2y 2 /c) 2 + 2(2y 2 /c) = (2yz/c) 2. Število (2y 2 /c) 2 je kvadrat, ki povečan za dvakratnik svojega korena tudi da kvadrat. Primer: (25/12) 2 2 25/12 = (5/12) 2, (25/12) 2 + 2 25/12 = (35/12) 2. 21 Enaindvajseta trditev Za katerekoli tri zaporedne lihe kvadrate največji presega srednjega za osem bolj kot srednji najmanjšega. Lihi zaporedni kvadrati naj bodo (2n + 1) 2, (2n + 3) 2, (2n + 5) 2. Razlike so D 2 = (2n + 5) 2 (2n + 3) 2 = 2(4n + 8) = 8(n + 2), D 1 = (2n + 3) 2 (2n + 1) 2 = 2(4n + 4) = 8(n + 1). Vidimo, da je res D 2 D 1 = 8. 22 Dvaindvajseta trditev Obstajajo trije kvadrati, za katere sta razliki v danem razmerju. 32

Iskani kvadrati pozitivnih števil naj bodo x 2,y 2 in z 2, urejeni po velikosti takole: x 2 < y 2 < z 2. Velja naj y 2 x 2 z 2 y 2 = r, kjer je r dano pozitivno racionalno število. Ker za vsak racionalen α > 0 velja tudi (αy) 2 (αx) 2 (αz) 2 (αy) 2 = r, lahko α izberemo tako, da bo αy αx = α(y x)1. To pomeni, da lahko že od vsega začetka vzamemo, da je y = x + 1 in z = x + e, kjer je e racionalno število. Začetna enačba je potem (x + 1) 2 x 2 (x + e) 2 (x + 1) 2 = 2x + 1 2xe + e 2 2x 1 = r. Če iz dobljene enačbe izrazimo x, dobimo: x = e2 (1 + r)/r 2((1 + r)/r e). Da bo x > 0, mora biti izpolnjen pogoj 1 + 1/r < e < 1 + 1/r. Za r = 1 mora veljati 2 < e < 2. Za e = 9/5 dobimo x = 31/10,y = 41/10, z = 49/10. Seveda velja (49/10) 2 (41/10) 2 = (41/10) 2 (31/10) 2 = 36/5. Če obe dobljeni relaciji pomnožimo s 100, dobimo 49 2 41 2 = 720, 41 2 31 2 = 720 oziroma 31 2 + 720 = 41 2, 41 2 + 720 = 49 2, kar smo že srečali v primerih štirinajste in šestnajste trditve. Leonardo si je nalogo izposodil iz Diofantove Aritmetike (druga knjiga, naloga 19). 33

23 Triindvajseta trditev Obstajajo taki trije kvadrati, za katere je vsota prvih dveh kvadrat in vsota vseh treh tudi kvadrat. Uporabimo preprosto enakost ( ) a 1 2 ( ) a + 1 2 a + =, 2 2 katere veljavnost je očitna. Vanjo vstavimo najprej a = 9 = 3 2 in nato še a = 25 = 5 2 in dobimo 3 2 + 4 2 = 5 2, 5 2 + 12 2 = 13 2. Ker je 3 2 + 4 2 + 12 2 = 13 2, kvadrati 9,16,144 ustrezajo trditvi. 24 Štiriindvajseta trditev Obstajajo taka tri števila, za katera je njihova vsota skupaj s kvadratom prvega kvadrat. Vsota tega kvadrata in kvadrata drugega števila je spet kvadrat. Če slednjemu prištejemo kvadrat tretjega števila, pa tudi dobimo spet kvadrat. To je bila naloga, ki jo je Leonardo dal v reševanju Magistru Teodorju, cesarjevemu filozofu. Iščemo racionalna števila a, b in c, za katera je a + a 2 + b + c = x 2, x 2 + b 2 = y 2, y 2 + c 2 = z 2, kjer so x,y,z racionalna števila. Leonardo je postavil x = 3k,b = 4k,c = 12k, tako da je dobil enačbe a + a 2 + 16k = (3k) 2, (3k) 2 + (4k) 2 = (5k) 2, (5k) 2 + (12k) 2 = (13k) 2. To pomeni y = 5k,z = 13k. Koeficiente je izbral tako zato, ker se pitagorejski trojki (3,4,5) in (5,12,13) stikata s 5. Nato je postavil a = 3k t in 34

dobil k = t(t 1)/(6t 19). Za t = 4 imamo k = 12/5, a = 16/5, b = 48/5, c = 144/5, x = 36/5, y = 12 in z = 156/5. To je racionalna rešitev naloge. Leonardo si je tudi tukaj pomagal z Diofantovo Aritmetiko (druga knjiga, naloga 20), pa morda tudi z Al-Karkhijevim delom Fakhri, ki uporabljata podobne prijeme, Al-Karkhi (953 1029), tudi Al-Karadži, arabsko oziroma, je bil islamski matematik, ki je deloval v Bagdadu. Leonardo je našel tudi celoštevilsko rešitev naloge. Uporabil je pitagorejski trojki (7,24,25) in (25,60,65), ki se stikata s 25. Če postavimo x = 7k,b = 24k,c = 60k, dobimo enačbo a + a 2 + 84k = 49k 2. Vanjo vstavimo a = 7k t in dobimo k = t(t 1)/(14t 91). Za t = 7 dobimo k = 6,a = 35,b = 144,c = 360,x = 42,y = 150,z = 390. Leonardo je nalogo tudi posplošil na več števil, na primer: Iščemo racionalna števila a, b, c in d, za katera je a + a 2 + b + c + d = x 2, x 2 + b 2 = y 2, y 2 + c 2 = z 2, z 2 + d 2 = w 2, kjer so x, y, z, w racionalna števila. 35

Viri [1] K. Devlin, Finding Fibonacci The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World, Princeton University Press, Princeton and Oxford 2017. [2] The Man of Numbers: Fibonacci s Arithmetic Revolution, Bloomsbury Publishing, London in drugje 2011. [3] Leonardo Pisano Fibonacci, The Book of Squares, prevod L. E. Siglerja, Academic Press, Orlando, Florida 1987. [4] M. Razpet, Nekoliko drugačna obravnava kubičnih enačb, http://www.pef.uni-lj.si/matwww/kubicna01.pdf (dosegljivo 5. aprila 2019) [5] I. Vidav, Eliptične krivulje in eliptične funkcije, DMFA, Ljubljana 1991. 36