Poglvje 6 Krivulje v rvnini 6.1 Risnje krivulj Krivulj v rvnini je zvezn preslikv ϕ : [α, β] R 2, ki vski točki t [α, β] priredi neko točko (x(t), y(t)) R 2. y (x(),y()) (x(b),y(b)) x Slik 6.1: Krivulj v rvnini Točki (x(), y()) in (x(b), y(b)) imenujemo krjišči li robni točki krivulje. Če se ujemt, torej če je x() = x(b) in y() = y(b), je krivulj sklenjen. Točk, ki jo dobimo pri dveh rzličnih vrednostih t 1 t 2 [, b] je smopresečišče krivulje li dvojn točk. Vsk sklenjen krivulj im 191
192 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 1 y x Slik 6.2: Krivulj, dn eksplicitno z enčbo y = e x2. vsj eno smopresečišče: točko (x(), y()) = (x(b), y(b)). Če je to edino smopresečišče, je krivulj enostvn sklenjen. Krivuljo v rvnini lhko opišemo n več nčinov, ki jih bomo n krtko opisli v ndljevnju. 6.1.1 Eksplicitni opis krivulje. Krivulj je lhko dn kot grf neke funkcije y = f(x). V tem primeru vskemu številu x D f pripd ntnko en točk (x, f(x)) n krivulji. Krivulj, ki je opisn eksplicitno s funkcijo f sek vsko nvpično premico v njveč eni točki. Primer 6.1.1. Krivulji, ki je grf funkcije f(x) = e x2 prvimo Gussov krivulj. Nštejmo nekj njenih lstnosti: 1. Je simetričn glede n os y, ker je f sod funkcij. 2. Im vodorvno simptoto y = 0, ker je lim f(x) = 0. x ± 3. Odvod f (x) = 2xe x2 je pozitiven z x < 0, tu funkcij nršč, in negtiven z x > 0, tu funkcij pd. V kritični točki x = 0 je zto mksimum. 4. Drugi odvod f (x) = 2e x2 + 4x 2 e x2 je pozitiven z x > 1/ 2, funkcij je tu konveksn, in negtiven z x < 1/ 2, funkcij je tu konkvn. Točki x = ±1/ 2 st prevoj. Krivulj je lhko dn tudi eksplicitno z enčbo x = g(y). Tk krivulj sek vodorvne premice v njveč eni točki.
6.1. RISANJE KRIVULJ 193 Primer 6.1.2. Nrišimo še krivuljo x = e tg y. Slik 6.3: Krivulj, dn z enčbo x = e tg y. 6.1.2 Prmetričen opis krivulje Krivulj je opisn prmetrično s funkcijm x = x(t) in y = y(t), t [, b]. Predpisu t (x(t), y(t)) R 2 prvimo prmetrizcij krivulje, spremenljivki t p prmeter. Primer 6.1.3. 1. S predpisom x = cost, y = sin t, t [0, 2π] je dn prmetričen opis krožnice s središčem v izhodišču koordintneg sistem in s polmerom. Ko prmeter t teče od 0 proti 2π, se točk n krožnici giblje od točke (1, 0) v pozitivni smeri, tj. v smeri nsprotni smeri urineg kzlc. Krožnic je primer enostvne sklenjene krivulje. Tudi predpis x = sin t, y = cost, t [0, 2π] je prmetrizcij iste krožnice, le d je zčetn točk v tem primeru (0, 1) in smer gibnj nsprotn kot prej. 2. Predpis x = cost, y = b sin t, t [0, 2π] določ elipso s središčem v izhodišču koordintneg sistem in z glvnim osem in b, sj je x 2 2 + y2 b 2 = 1.
194 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 3. Krivulj, dn z je hiperbol x = ch t, y = sh t, t R, x 2 y 2 = 2. Krivulj v rvnini še zdleč nim ene sme prmetrizcije krožnico x 2 + y 2 = 2 smo prmetrizirli že n dv nčin. Rzličnih prmetričnih opisov dne krivulje je zelo veliko. Oglejmo si še nekj znčilnih prmetrično dnih krivulj. Cikloid je krivulj, ki jo opiše točk A n krožnici, ki se kotli po osi x. Zpišimo enčbo cikloide v prmetrični obliki, prmeter t p nj bo kot zsuk krožnice glede n zčetno lego, ki je izbrn tko, d je središče krožnice v točki (0, ), točk A p v koordintnem izhodišču (glej sliko 6.4). y A S t O x Slik 6.4: Cikloid in trohoid Ko se krožnic zvrti z kot t, se njeno središče premkne v točko (t, ), točk A p se zvrti okrog središč krog, tko d so njene nove koordinte x = (t sin t), y = (1 cost). Ko krožnic nredi en cel obrt, opiše točk A eno vejo cikloide in se spet dotkne osi x, rzlik med dvem dotikliščem je 2π.
6.1. RISANJE KRIVULJ 195 Trohoid Nlogo lhko posplošimo opišimo gibnje točke v notrnjosti krog, ki je oddljen od središč z b <. Krivulji, ki jo tk točk opiše, prvimo trohoid, njen prmetrizcij je: x = t b sin t, Cikloid je seved poseben primer trohoide. y = b cost. Epicikloid Nlogo p lhko posplošimo tudi v drugo smer. Nmesto po osi x (tj. po premici) se lhko krožnic kotli p kkšni drugi krivulji. Če se kotli po zunnji strni druge krožnice, prvimo krivulji, ki jo opiše točk A n krožnici, epicikloid. y C S t O t A x Slik 6.5: Epicikloid Polmer fiksne krožnice nj bo b, polmer kotleče se p. Kdr je rzmerje b/ celo število, bo po enem obhodu točk A spet v točki izhodiščni točki. Epicikloid je v tem primeru enostvno sklenjen krivulj. Če je b/ = p/q rcionlno število (p/q je okrjšn ulomek), se bo točk A vrnil v izhodiščno točko po q obhodih. Epicikloid bo v tem primeru sklenjen, vendr bo imel smopresečišč. Če p je b/ ircionlno število, se točk A ne bo nikoli več vrnil v izhodiščno točko in epicikloid v tem primeru ne bo sklenjen krivulj. Njenostvnejšo epicikloido dobimo tkrt, ko imt krožnici enk polmer = b. Tedj se točk A vrne v zčetno lego po enem obhodu in epicikloid im eno smo vejo. Tki epicikloidi prvimo, zrdi njene oblike, srčnic li krdioid.
196 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Hipocikloid Če se krožnic kotli po notrnji strni fiksne krožnice (ki mor v tem primeru biti večj od prve), dobimo krivuljo, ki ji prvimo hipocikloid. y 4 2-4 -2 2 4 x -2-4 Slik 6.6: Astroid Tudi hipocikloid je enostvn sklenjen krivulj, če je rzmerje b/ celo število. Hipocikolid z rzmerje b/ = 2 je premer krog (ki g točk opiše dvkrt, d dobimo sklenjeno krivuljo). Hipocikloidi z rzmerjem b/ = 4 prvimo stroid. Njen enčb v prmetrični obliki je x = 4 cos 3 t, y = 4 sin 3 t. Prmetrizciji epicikloide in hipocikloide st izpeljni v [8]. Tngent n prmetrično dno krivuljo Krivulj, dn v prmetrični obliki z x = x(t), y = y(t), je gldk, če st odvod ẋ(t) in ẏ(t) zvezni funkciji, ki nimt pri nobenem t obe hkrti vrednost 0. Če je v neki točki t 0 odvod ẋ = ẋ(t) 0, je v okolici točke t 0 funkcij x(t) monoton, tko d obstj inverzn funkcij t = t(x) in y se z x izrž eksplicitno: y = y(t(x)).
6.1. RISANJE KRIVULJ 197 Izrčunjmo odvod: dy dx = dy dt dt dx = dy/dx dx/dt = ẏ(t) ẋ(t). Od tod sledi, d obstj tngent n krivuljo v točki t 0, njen enčb je: y y(t 0 ) = ẏ(t 0) ẋ(t 0 ) (x x(t 0)). V okolici točke, kjer je ẋ(t 0 ) = 0 in y(t 0 ) 0, p je funkcij y monoton in je x = x(t(y)). Odvod je tngent je v tkih točkh nvpičn. Primer 6.1.4. dx dy = ẋ(t 0) ẏ(t 0 ) = 0, 1. Zpišimo enčbo tngente n cikloido v točki x 0 = (t 0 sin t 0 ), y 0 = (1 cost 0 ). Smerni koeficient tngente je y = dy dx = ẏ ẋ = sin t 0 1 cost 0, zto je enčb tngente y = sin t 0 1 cos t 0 (x x 0 ) + y 0. 2. Dokžimo: odsek n tngenti n stroido, ki g odrežet koordintni osi, je v vseh točkh stroide enk. Smerni koeficient tngente je y = dy dx = ẏ ẋ = 12 sin2 t cost 12 cos 2 t sin t od koder dobimo enčbo tngente = tg t, y 4 sin 3 t = tg t(x 4 cos 3 t),
198 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI ki jo pomnožimo s cost in preuredimo y cost + x sin t = 2 sin t cost. Tko st presečišči tngente z bscisno in ordintno osjo x = 2 cost in y = 2 sin t, rzdlj med točkm (2 cost, 0) in (0, 2 sin t) p je neodvisno od t. 2 x + 2 y = 2, 6.1.3 Krivulje v polrnem koordintnem sistemu Polrni koordintni sistem v rvnini je določen z izbiro točke, ki predstvlj koordintno izhodišče O, in poltrk z zčetkom v izhodišču, ki predstvlj polrno os. Točk v rvnini je v tem koordintnem sistemu določen s polrnim rdijem r, ki je oddljenost točke od izhodišč, in s polrnim kotom ϕ, ki g dljic med točko in koordintnim izhodiščem oklep s polrno osjo. Če je v rvnini že izbrn krtezični koordintni sistem, običjno koordintno izhodišče polrneg in krtezičneg koordintneg sistem sovpdt, polrn os p je n pozitivnem delu osi x. V tem primeru se krtezične koordinte izržjo s polrnimi z: polrne s krtezičnimi p z: x = r cosϕ, y = r sin ϕ, (6.1) r = x 2 + y 2, tg ϕ = y x. (6.2) Krivulj v polrnem koordintnem sistemu je določen s funkcijo r = r(ϕ). (6.3)
6.1. RISANJE KRIVULJ 199 Krivulji (6.3) pripd tist točk n poltrku ϕ = ϕ 0, ki je od izhodišč oddljen z r(ϕ 0 ). Običjno zhtevmo, d je r 0 1 Primer 6.1.5. 1. Krožnic s središčem v (0, 0) in polmerom je (po definiciji) množic točk, ki so z oddljene od središč, zto je r = enčb te krožnice v polrnih koordinth. 2. Krivuljo, ki jo opisuje enčb r = 2 cosϕ nrišemo tko, d n več poltrkih ϕ = ϕ i z rzlične ϕ i [ Π/2, Pi/2] odmerimo rzdljo r = 2 cosϕ i in povežemo dobljene točke. 1 2 Slik 6.7: Krivulj r = 2 cosϕ Pogled n sliko 6.7 nm pokže podobnost s krožnico. Prepričjmo se, d je dobljen krivulj res krožnic! Enčbo r = 2 cos ϕ pomnožimo z r in pretvorimo v krtezične koordinte x 2 +y 2 = 2x, od koder dobimo znčilno enčbo krožnice 1 V nekterih, predvsem meriških učbenikih lhko srečmo drugčen pristop, pri kterem je lhko r < 0, ustrezno točko n krivulji nnšmo n poltrk ϕ v negtivno smer, torej v resnici leži n komplementrnem poltrku. Mi se bomo vseskozi držli zhteve r > 0.
200 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI (x 1) 2 + y 2 = 1. Krivuljo, dno v polrnih koordinth z enčbo r = r(ϕ), lhko s pomočjo enčbe (6.1) vedno prmetrizirmo prmeter je v tem primeru kr polrni kot: x = r(ϕ) cosϕ, y = r(ϕ) sinϕ. 6.1.4 Implicitno dne krivulje Enčb F(x, y) = 0 lhko določ krivuljo v rvnini. V tem primeru prvimo, d je krivulj dn implicitno. N primer, z enčbo (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = 2 je implicitno dn krožnic s središčem v točki (x 0, y 0 ) in s polmerom. Enčbo tngente n implicitno dno krivuljo v točki (x 0, y 0 ) dobimo tko, d funkcijsko zvezo F(x, y) = 0 odvjmo n x in upoštevmo odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x. Primer 6.1.6. Krivulji, dni z enčbo x 3 + y 3 = 3xy, (6.4) prvimo Descrtesov list. Zpišimo enčbo tngente v točki (3/2, 3/2) n krivulji. Z odvjnjem dobimo zto je enčb tngente 3x 2 + 3y 2 y = 3y + 3xy, y = y x2 y 2 x = 1, (y 3/2) = (x 3/2) ozirom y = x + 3. Pogosto implicitno dno krivuljo lže nrišemo tko, d poiščemo kkšno njeno prmetrizcijo in jo rišemo v prmetrični obliki. Primer 6.1.7.
6.1. RISANJE KRIVULJ 201 y x Slik 6.8: Lemniskt 1. Lemniskto (x 2 +y 2 ) 2 = x 2 y 2 njlže nrišemo v polrnih koordinth (slik 6.8): r 2 = cos 2ϕ. 2. Nrišimo Descrtesov list (prepričj se, d je to ist krivulj kot (6.4), slik 6.9): x = 3t 3t2 1 + t3, y = 1 + t 3. Izhodišče je smopresečišče, poševn simptot je premic x + y = 1. Premiki koordintneg sistem. Pogosto lhko enčbo krivulje poenostvimo s togim premikom koordintneg sistem. Vsk togi premik koordintneg sistem (tj. premik, ki ohrnj medsebojne rzdlje med točkmi) lhko zpišemo kot kombincijo zsuk in prlelneg premik. Prlelni premik koordintneg sistem dosežemo tko, d vpeljemo nove koordinte (X, Y ) z enčbm X = x, Y = y b. Koordintno izhodišče noveg sistem im v strem sistemu koordinte (, b).
202 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI y 2 1-2 -1 1 2 x -1-2 Slik 6.9: Descrtesov list Primer 6.1.8. Prbolo y = x 2 2x 3 = (x 1) 2 4 preprosteje opišemo v koordintnem sistemu, ki im izhodišče v njenem temenu, s koordintmi X = x 1, Y = y + 4, torej Y = X 2. Zsuk li vrtenje koordintneg sistem z kot α njlže opišemo s polrnimi koordintmi. Točk T(x, y) = T(r cosϕ, r sin ϕ) se v zsuknem koordintnem sistemu izrž s koordintm X = r cos(ϕ α) = r cosϕcosα + r sin ϕ sin α = x cosα + y sin α, Y = r sin(ϕ α) = r sin ϕ cosα r cosϕsin α = x sin α + y cosα,
6.1. RISANJE KRIVULJ 203 y Y b X x Slik 6.10: Premik koordintneg sistem stre p se z novimi izržjo z x = X cosα Y sin α, y = X sin α + Y cosα. (6.5) y T X Y α x Slik 6.11: Zsuk koordintneg sistem z kot α Primer 6.1.9. S premikom in zsukom koordintneg sistem lhko vsko enčbo krivulje drugeg red x 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 prevedemo n eno od osnovnih oblik AX 2 + BY 2 = C, Y = 2qX 2 li X = 2pY 2. Poizkusimo z enčbo x 2 + xy + y 2 = 2. Mešeneg člen se znebimo z
204 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 2 y 1-2 -1 1 2 x -1-2 Slik 6.12: Krivulj x 2 + xy + y 2 = 2. ustreznim zsukom, tko d v enčbo vpeljemo nove koordinte s predpisom (6.5) in kot α določimo tko, d bo koeficient pri mešnem členu enk 0: Mešni člen je (X cosα Y sin α) 2 + (X cosα Y sin α)(x sin α + Y cosα) +(X sin α + Y cosα) 2 = 2. 2XY cosαsin α + XY cos 2 α XY sin 2 α + 2XY sin α cosα = 0, XY cos(2α) = 0, od koder je α = π/4. Enčbo zpišemo v polrnih koordinth X 2 (cos 2 α + cos α sin α + sin 2 α) + Y 2 (sin 2 α sin α cosα + cos 2 α) = 2,
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 205 3 2 X2 + 1 2 Y 2 = 2. Krivulj je elips z glvnim osem 3/2 in 1/2, ki v strem koordintnem sistemu ležit n premich y = x in y = x. 6.2 Uporb integrlov v rvninski geometriji 6.2.1 Ploščine krivočrtnih likov Ploščin krivočrtneg trpez, omejeneg z osjo x, s premicm x = in x = b in z grfom pozitivne zvezne funkcije y = f(x), je enk določenemu integrlu b f(x) dx. To velj tudi, če je krivulj, ki omejuje lik zvrh, podn prmetrično, s predpisom x = x(t), y = y(t), kjer je x(t) monoton funkcij: S = b y dx = β α y(t)ẋ(t) dt, x(α) =, x(β) = b. 2 y 1 π 2π x Slik 6.13: Ploščin lik pod cikloido
206 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Primer 6.2.1. Izrčunjmo ploščino pod enim lokom cikloide x = (t sin t), y = (1 cost). S = 2π 0 2π y dx = 2 (1 cost) 2 dt 0 2π = 2 (1 2 cost + cos 2 t) dt = 3π 2, 0 Ploščin pod cikloido je torej trikrt večj od ploščine krog, s kotljenjem ktereg je cikloid nstl. β α β α Slik 6.14: Ploščin izsek v polrnih koordinth Ploščin krivočrtneg trikotnik, omejeneg s poltrkom ϕ = α in ϕ = β in s krivuljo, dno v polrnih koordinth z zvezno funkcijo r = r(ϕ), se tudi izrž z integrlom. Nj bo
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 207 α = ϕ 0 < ϕ 1 <... < ϕ n 1 < ϕ n = β delitev intervl [α, β] in izrčunjmo ploščino lik, sestvljeneg iz krožnih izsekov S i nd kotom δ i = ϕ i ϕ i 1 s polmerom r = r(ϕ i ). Ploščin posmezneg krožneg izsek je ploščin celeg lik p S i = 1 2 r2 i δ i, S n = 1 2 n ri 2 δ i, kr je integrlsk vsot z funkcijo r(ϕ) 2 /2. Če je D n neko zporedje delitev intervl [α, β], kjer gredo rzmiki med delilnimi točkmi proti 0, ko n, konvergirjo intregrlske vsote proti določenemu integrlu, stopničsti lik p se čedlje bolje prileg krivočrtenmu trikotniku. V limiti je S = 1 2 β α i=1 r(ϕ) 2 dϕ. Primer 6.2.2. Izrčunjmo ploščino lik, omejeneg z lemniskto r 2 = cos 2ϕ (slik 6.8). Zrdi simetrije je π/4 S = 2 cos 2ϕdϕ = [sin 2ϕ] ϕ=π/4 ϕ=0 = 1. 0 Formulo z ploščino krivočrtneg trikotnik v krtezičnih koordinth dobimo iz zveze torej x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, Od tod dobimo dx = dr cosϕ r sin ϕ dϕ; dy = dr sin ϕ + r cos ϕ dϕ.
208 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI in je 1 2 r2 dϕ = 1 (xdy y dx), 2 S = 1 2 β α (xẏ yẋ) dϕ. Izrz (xẏ yẋ) dϕ/2 se imenuje diferencil ploščine in je enk ploščini trikotnik OTT, kjer st T in T dve bližnji točki s koordintm (x, y) in (x + dx, y + dy). Primer 6.2.3. Izrčunjmo ploščino elipse x = cost in y = b sin t. Tukj je ẋ = sin t dt in ẏ = b cos t dt zto je: S = 1 2 2π 0 (xẏ ẋy) dt = b 2 2π 0 dt = πb. 6.2.2 Ločn dolžin Nj bo f(x) zvezno odvedljiv funkcij n intervlu [, b], to je tk funkcij, d je odvod f zvezen funkcij n tem intervlu. Grf funkcije f je nek krivulj nd intervlom [, b]. Znim ns, kolikšn je dolžin lok te krivulje. Nj bo = x 0 x 1... x n = b delitev intervl in T i = (x i, f(x i )) točk n krivulji, ki leži nd delilno točko x i. Izrčunjmo dolžino s n lomljene dljice, ki povezuje vse točke T i n krivulji. Rzdlj med dvem zporednim točkm je: s i = (x i x i 1 ) 2 + (f(x i ) f(x i 1 )) 2. Po Lgrngeovem izreku lhko zpišemo torej je f(x i ) f(x i 1 ) = f (ξ i )(x i x i 1 ) = f (ξ i )δ i,
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 209 s n = n s i = i=1 n 1 + f (ξ i )δ i. i=1 To je integrlsk vsot z zvezno funkcijo 1 + (f (x)) 2. in celotn dolžin lok je s = b Z vsk x [α, β] je 1 + (f (x)) 2 dx = s(x) = x b 1 + y 2 dx 1 + (y ) 2 dx (6.6) dolžin lok krivulje od točke do točke x, torej je s(x) nrščjoč, zvezn in odvedljiv funkcij n [α, β], njen odvod p je ds dx = 1 + y 2. Če to relcijo pomnožimo z dx, dobimo ločni diferencil krivulje: ds = 1 + y 2 dx = dx 2 + dy 2, (6.7) če to kvdrirmo, p kvdrt ločneg diferencil ds 2 = dx 2 + dy 2. (6.8) Z krivuljo, dno prmetrično s predpisom x = x(t), y = y(t), dobimo ločni diferencil, tko d v izrzu (6.7) upoštevmo odvisnost koordint od prmetr t: ds = ṡdt = ẋ 2 + ẏ 2 dt. Dolžin lok je integrl ločneg diferencil: Funkcij s = β α ẋ2 + ẏ 2 dt. s(t) = β α ẋ2 + ẏ 2 dt
210 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI dy ds dx Slik 6.15: Ločni diferencil krivulje je nrščjoč, torej je injektivn in im inverzno funkcijo t = t(s). Če to vstvimo v enčbi krvulje, x = x(t(s)), y = y(t(s)), prvimo, d je krivulj prmetrizirn z nrvnim prmetrom. Kdr je x = x(s), y = y(s) prmetrizcij z nrvnim prmeterom, je zto je dolžin lok enk ẋ 2 + ẏ 2 = ( ) 2 dx + ds s = α β ds. ( ) 2 dy = 1, ds Primer 6.2.4. 1. Izrčunjmo dolžino lok cikloide Ker je x = (t sin t), y = (1 cost). je kvdrt ločneg diferencil ẋ = (1 cost), ẏ = sin t, ẋ 2 + ẏ 2 = 2 (2 2 cost) = 4 2 sin 2 t 2,
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 211 r dϕ ds dr Slik 6.16: Ločni diferencil krivulje v polrnih koordinth od tod p dobimo s = 2π 0 2 sin t [ 2 dt = 4 cos t ] t=2π = 8. 2 t=0 2. Obseg elipse x = cost, = b sin t je enk s = 2π 0 2π 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt = b 2 (b 2 2 ) sin 2 t dt, 0 t integrl p s substitucijo sin t = x prevedemo n eliptični integrl prve vrste, ki ni elementrn funkcij. Obseg elipse se torej izrž z eliptičnim integrlom (od koder je integrl tudi dobil svoje ime). N bo krivulj v polrnih koordinth dn z enčbo r = r(ϕ), Prmetrizcij krivulje s kotom ϕ je: ϕ [α, β]. x = x(ϕ) cosϕ, torej je kvdrt ločneg diferencil enk y = r(ϕ) sin(ϕ), ds 2 = ( (r cosϕ r sin ϕ) 2 + (r sin ϕ + r cosϕ) 2) dϕ = ( (r ) 2 + r 2) dϕ = dr 2 + r 2 dϕ 2.
212 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Dolžin lok je s = β α (r ) 2 + r 2 dϕ. y 2 x - Slik 6.17: Krdioid Primer 6.2.5. Izrčunjmo dolžino lok krdioide r = (1 + cos ϕ) (Slik 6.17). Ker je r = sin ϕ, je s = 2π 2π 2 1 + cosϕdϕ = 2 cos ϕ dϕ = 8. 0 0 2
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 213 6.2.3 Prostornin geometrijskih teles Prostornin teles z znno ploščino prerez Prostornino teles lhko izrčunmo, če znmo izrčunti ploščine njegovih vzporednih prerezov. Nj bo telo postvljeno med dve vzporedni rvnini v prostoru, prvokotni n os x, n primer x = in x = b. Prerez teles pri poljubnem x [, b] je nek lik, njegov ploščin je odvisn od položj prerez, torej je nek funkcij, oznčimo jo z A(x). Če poznmo vrednost funkcije A(x) pri vskem x [, b], lhko odtod izrčunmo prostornino teles. Nj bo = x 0 < x 1 <... < x n = b nek delitev intervl. Volumen rezine teles med delilnim točkm x i 1 in x i je približno enk V i = A(ξ i )(x i x i 1 ) = A(ξ i )δ i, vsot volumnov vseh teh rezin p je približek z celotno prostornino V n = n V i = δa(ξ i )δ i. i=1 To je kot integrlsk vsot z funkcijo A(x). Če je A(x) integrbiln funkcij (n primer odsekom zvezn li monoton), je volumen enk V = b A(x) dx. (6.9) (0,0,0) Slik 6.18: Prostornin klin
214 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Primer 6.2.6. Izrčunjmo volumen klin, ki g izrežet iz vlj s polmerom dve rvnini prv je prvokotn n os vlj, drug p jo sek v premeru vlj pod kotom π/4 (slik 6.18). Koordintni sistem izberemo tko, d je x, osnovn ploskev vlj je določen z neenčbm 0 y 2 x 2 in pri vskem x je ploščin prvokotneg prerez enk ploščini enkostrničneg trikotnik A(x) = Volumen klin je zto enk ( 2 x 2) 2 2 = (2 x 2 ). 2 V = A(x) dx = 1 ( 2 x 2 ) dx = 2 1 ( 2 x x 3 /3 ) 2 = 23 /3. Prostornin rotcijskeg teles Nj bo f zvezn in nenegtivn funkcij n intervlu [, b]. Če zvrtimo krivuljo y = f(x) okoli bscisne osi, opiše rotcijsko ploskev. T ploskev in rvnini, ki v točkh x = in x = b stojit prvokotno n bscisno os, omejujejo rotcijsko telo (slik 6.19). x Slik 6.19: Rotcijsko telo Ker je ploščin prvokotneg prerez rotcijskeg teles enk zto je njegov volumen A(x) = π(f(x)) 2,
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 215 Primer 6.2.7. V = π b f 2 (x) dx = π b 1. Izrčunjmo prostornino krogle s polmerom. y 2 dx. (6.10) Krogl nstne, ko se okrog osi x zvrti krog x 2 + y 2 2. Volumen krogle je ] x= V = π ( 2 x 2 ) dx = π [ 2 x x3 = 4π3 3 x= 3. 2. Izrčunjmo prostornino torus (slik 6.20), ki nstne, ko krog z rdijem in središčem v točki (, b), kjer je < b, zvrtimo okoli osi x. y b - x -b Slik 6.20: Presek torus Krožnico lhko obrvnvmo kot grf dveh funkcij: y = b ± 2 x 2.
216 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Prostornin torus je rzlik prostornine teles, ki g ob vrtenju opiše zgornj vej, in prostornine teles, ki g opiše spodnj vej, torej V = π = 4πb [(b + 2 x 2 ) 2 (b ] 2 x 2 ) 2 dx π/2 2 x 2 dx == 4π b 2 cos 2 t dt = 2π 2 2 b. π/2 Če je krivulj dn prmetrično z enčbm x = x(t), y = y(t), kjer je t [α, β], je β V = π y 2 (t)ẋ(t) dt. (6.11) α Primer 6.2.8. Prostornin vrtvke, ki jo dobimo, če steroido zvrtimo okrog osi x je x = cos 3 t, y = sin 3 t 0 V = 3π 3 sin 6 t cos 2 t( sin t) dt π π = 3π 3 (1 cos 2 t) 3 cos 2 t d(cost) 0 1 = 3π 3 (1 u 2 ) 3 u 2 du = 3π 3 1 1 1 (u 2 3u 4 + 3u 6 u 8 ) du = 32π3 105. Volumen rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem lik pod krivuljo y = f(x), x b okrog osi y, mormo izrčunti drugče. Nj bo = x 0 x 1... x n = b
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 217 delitev intervl [, b]. Z vrtenjem prvokotnik z višino f(x i ) nd intervlom [x i 1, x i ] dobimo votel vlj li tnko vljno lupino, ktere volumen je približno enk V i = 2πf(x i ) x i + x i+1 (x i x i 1 ) = 2πf(x i ) x i δ i, 2 kjer je x i = (x i + x i+1 )/2 povprečn vrednost polmer, δ i = x i x i 1 p debelin lupine. Z vrtenjem stopničsteg lik, sestvljeneg iz tkšnih prvokotnikov, dobimo stopničsto telo, sestvljeno iz vljnih lupin, ktereg volumen je V n = 2π f(x i ) x i δ i. Ker je to integrlsk vsot z funkcijo 2πf(x)x, je iskni volumen enk V = lim n V n = 2π b xf(x) dx. (6.12) Primer 6.2.9. Izrčunjmo prostornino teles, ki nstne, če odsek sinusoide y = sin x med 0 in π zvrtimo okoli ordintne osi. π π V = 2π x sin xdx = 2π [ x cosx] x=π x=0 + cosxdx = 2π 2. 0 0 Volumen rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem krivulje okrog neke splošne osi x = x(t), y = y(t), α t β je enk x = x 0 + αt, y = y 0 + βt V = π β α (ρ(t)) 2 dl, kjer je ρ(t) oddljenost točke n krivulji od osi vrtenj, dl = (α 2 + β 2 ) p je diferencil lok n osi vrtenj.
218 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 6.2.4 Površin rotcijskeg teles Izrčunjmo površino plšč rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem grf y = f(x), x [, b] okrog osi x. Funkcij f nj bo zvezno odvedljiv. Če izberemo delitev intervl = x 0 x 1... x n = b, je telo, ki g pri vrtenju opiše lomljen dljic, ki povezuje posmezne delilne točke n krivulji, sestvljeno iz priseknih stožcev. Dljic med točkm T i 1 in T i dolžine s i pri tem opiše stožec s plščem P i = 2π y i 1 + y i 2 Površin celeg teles je tko P n = n P i = π i=1 s i = 2π y i 1 + y i 1 + (f (ξ i )) 2 2 δ i. n (f(x i 1 + f(x i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i. i=1 Če izberemo zporedje delitev, kjer gredo vse dolžine δ i 0, je limit dobljeneg zporedj (P n ) enk površini rotcijskeg teles: = π P = lim n π n (f(x i 1 + f(x i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i i=1 n (2f(ξ i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i = 2π i=1 b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. (6.13) Primer 6.2.10. Izrčunjmo površino teles, ki nstne, ko krivuljo y = ch x med x = 1 in x = 2 zvrtimo okoli bscisne osi. ds = 1 + sh 2 xdx = ch xdx; 2 2 P = 2π ch 2 1 + ch 2x xdx = 2π dx 1 1 2 = π [x + 12 ] x=2 sh 2x = π (2 + 12 sh 4 + 1 + 12 ) sh 2 x= 1 = π (6 + sh 4 + sh 2). 2
6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 219 Če je krivulj podn v prmetrični obliki x = x(t); y = y(t), je β P = 2π y ẋ 2 + ẏ 2 dt. (6.14) α Primer 6.2.11. Krdioido x = (2 cost cos 2t), y = (2 sin t sin 2t), nj zvrtimo okoli bscisne osi. Izrčunjmo površino dobljene rotcijske ploskve. Ker je kvdrt diferencil lok enk je iskn površin ẋ 2 + ẏ 2 = 16 2 sin 2 t 2, π P = 8π 2 (2 sin t sin 2t) sin t 2 0 128π2 dt =. 5 6.2.5 Momenti funkcije Funkcij f nj bo n intervlu [, b] pozitivn in integrbiln. Integrl oblike M n = b x n f(x) dx; n = 0, 1, 2,... imenujemo n-ti moment funkcije. Momenti M n sestvljjo neko zporedje števil, ki je s funkcijo enolično določeno. Velj tudi obrtn trditev: dno zporedje momentov M n enolično določ funkcijo f. Primer 6.2.12. Izrčunjmo momente konstntne funkcije f(x) = 1 n intervlu [, b]. M n = 1 0 [ x x n n+1 dx = n + 1 ] x=1 x=0 = 1 n + 1.
220 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Oglejmo si fiziklno interpretcijo momentov. Nj bo n intervlu [, b] porzdeljen ms in nj bo vrednost funkcije f(x) enk gostoti mse v rzdlji x od izhodišč (predstvljjmo si, d n bscisni osi leži plic, ki je neenkomerno debel). Potem imjo prvi trije momenti m = b f(x) dx, M = b xf(x) dx, J = b x 2 f(x) dx fiziklen pomen. Prvi integrl (m) je enk msi plice, sj je ms koščk plice z dolžino dx enk f(x) dx. Drugi integrl je sttični moment M, tretji integrl p je vztrjnostni moment plice J. Če sttični moment M delimo z mso m, dobimo bsciso x 0 težišč plice mx 0 = b xf(x) dx. Z drugčno interpretcijo momentov se bomo srečli pri verjetnostnem rčunu.
Litertur [1] K. G. Binmore: Mthemticl Anlysis ( strightforewrd pproch), 2 ed., Cmbridge University Press, Cmbridge, 1982. [2] C. H. Edwrds Jr. in D. E. Penney: Clculus nd Anlytic Geometry, Prentice-Hll Interntionl, Inc., Englewood Cliffs, 1990. [3] R. Jmnik: Mtemtik, Prtiznsk knjig, Ljubljn, 1981. [4] P. Lx, S. Burstein in A. Lx: Clculus with Applictions nd Computing, Vol I, Springer-Verlg, New York, 1976. [5] N. Piskunov: Differentil nd Integrl Clculus, vol. I, Mir Publishers, Moscow, 1974. [6] N. Prijtelj: Uvod v mtemtično nlizo, 1. del, DMFA, Ljubljn, 1980. [7] G. B. Thoms, Jr: Clculus nd Anlytic Geometry, Addison-Wesley Publishing Compny, Reding, 1972. [8] I. Vidv: Višj mtemtik I (10. ntis), DMFA, Ljubljn, 1990. 221