O EKSPONENTNI FUNKCIJI Mari Raič Jese 203
M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI Ekspoea fukcija z osovo a > 0 je defiiraa ko fukcija, ki x preslika v a x. Ta fukcija je pomembe sesavi del začeega ečaja aalize. Tipičo se a ečaju kmalu za defiicijo omei, da obsaja določea arava osova, Eulerjevo ševilo: e = lim +.= 2. 782882845904523536. Nao pa se izpelje raze limie, povezae z e, med drugim udi: + x = e x. lim Dobremu slušaelju se u eizogibo zasavi vprašaje, zakaj mora bii ravo e, isa limia v, arava osova. Zakaj bi bila a osova aravejša od recimo dosi lepšega ševila 2? Odgovor slušaelj izve ajkaseje pri poglavju o odvodu, ko sliši, da je ekspoea fukcija eaka svojemu odvodu aako edaj, ko ima osovo e. Vedar pa mu je možo o a arave ači dopovedai že pri sami defiiciji ekspoee fukcije i ravo o je ame ega prispevka. Dobro izhodišče za ekspoeo fukcijo je obreso-obresi raču. Zamislimo si, da vložimo 000 doarjev amišljee value za eo leo v bako, ki pouja 30-odsoe lee obresi. Dobimo: 000 + 0. 3 000 =. 3 000 = 030 doarjev. Zdaj pa si zamislimo, da vložimo v bako, ki pouja 5-odsoe pollee obresi. Če po pol lea vložimo celoi zesek, z obresmi vred, dobimo:. 5 2 000 = 322. 50 doarjev. Če pa vlagamo v bako, ki vsake širi mesece pouja 0-odsoe lee obresi, dobimo:. 2 000 = 33 doarjev. Tako lahko adaljujemo: če vložimo zesek a v bako, ki za obdobje -ega dela lea pouja obresi x/ pri čemer je seveda 00% =, po eem leu dobimo zesek: a + x. Če se vremo a začei zesek 000 doarjev i x = 0. 3, za =, 2,... 0 dobimo asledje zaporedje zeskov zaokrožeih a soe dele: 030. 00, 322. 50, 33. 00, 335. 47, 338. 27, 340. 0, 34. 45, 342. 47, 343. 27, 343. 92. Zaporedje je videi, ko da ima limio, kar bomo udi eposredo pokazali. Poleg ajosovejših orodij reala ševila, zaporedja, limia z osovimi lasosmi porebujemo še biomsko formulo v osovi obliki za a, b R i N velja: a + b = a + a b + 2 a 2 b 2 + + b.
M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI 2 Defiirajmo: exp x := + x = + x + x 2 2! + 2 x 3 3! + + 2 x!. To je orej fakor, ki pripada lei obresi meri, ki usreza obresi meri x/ za -i del lea. Če je x 0, je a lea obresa mera večja ali eaka x: 2 exp x + x. 3 Trdiev. Za vsak x R je izraz exp x araščajoč v, brž ko je x. Dokaz. Za x 0 rdiev akoj sledi iz dejsva, da je vsak čle a desi srai formule 2 araščajoča fukcija spremeljivke. Za x 0 pa pišimo x =. Za 0 moramo orej dokazai: +. + Za = je o očio, za < pa ekvivaleo: + + oziroma: exp Iz ocee 3 sledi: exp + + od koder sledi zahevao. + To rdiev lahko še malce okrepimo: +. + + + = +, + Trdiev 2. Za vsak 0 er poljuba m, N, za kaera je < m, veljajo asledje eeakosi: 0 < exp m exp exp m exp m exp exp m. Dokaz. Prva, čera i pea eeakos so očie. Druga i šesa eeakos sledia iz rdive. Za rejo i sedmo eeakos pa porebujemo: exp exp = 2. Sledi exp exp exp m i exp 2 exp exp m.
M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI 3 Posledica 3. Brž ko je 0 < i N, velja: exp + + exp. Trdiev 4. Za vsak x R je zaporedje exp x, =, 2, 3,..., kovergeo. Dokaz. Iz rdive sledi, da je zaporedje vsaj od ekod aprej araščajoče, iz rdive 2 pa, da je udi avzgor omejeo. Torej je kovergeo. Defiicija. Narava ekspoea fukcija je fukcija, daa s formulo: expx = lim exp x. Oglejmo si zdaj ekaj lasosi ove fukcije. Iz prve eeakosi v rdivi 2 sledi, da za vsak x R velja: expx > 0. Osredoočimo se zdaj a obašaje ove fukcije v okolici izhodišča. Očio je exp0 =, velja pa še asledje: Trdiev 5. Narava ekspoea fukcija je v izhodišču odvedljiva, je odvod pa je eak med drugim o pomei udi, da je arava ekspoea fukcija v izhodišču zveza. Dokaz. Naj bo 0 < <. Z limiirajem oce v posledici 3 dobimo: Sledi: exp Iz izreka o sedviču dobimo: exp + + exp. lim 0 exp i + exp = lim 0 exp =, kar pomei, da je aša fukcija v 0 odvedljiva, je odvod pa je eak.. Nasledja rdiev am da ključo lasos ove fukcije, ki vsaj deloma pojasi besedo ekspoea v imeu, saj imajo o lasos udi iuiive ekspoee fukcije x a x.
M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI 4 Trdiev 6. Za poljuba x, y R velja zveza: expx + y = expx expy. 4 Dokaz. Privzemimo ajprej, da je x + y 0. Oceimo: xy + x + y xy 2 + x + y = + 2 + x + y + xy. Sledi: exp xy exp x exp y exp x + y xy exp. Ker je arava ekspoea fukcija zveza v izhodišču, v limii, ko gre proi eskočo, dobimo želeo zvezo, zaekra za x + y 0. Toda iz je sledi udi, da za poljube x R velja expx exp x =. Kočo še za x + y 0 izpeljemo: expx + y = exp x y = exp x exp y = expx expy. Trdiev 7. Narava ekspoea fukcija je povsod srogo araščajoča, odvedljiva i eaka svojemu odvodu. Dokaz. Naj bo x R. Defiirajmo fukcijo f x = expx +. Očio je arava ekspoea fukcija odvedljiva v x aako edaj, ko je f x odvedljiva v 0, odvoda pa se ujemaa. Toda po prejšji rdivi je f x = expx exp i zao f x0 = expx. Torej je arava ekspoea fukcija res povsod odvedljiva i eaka svojemu odvodu. Ker je le-a srogo poziive, je udi srogo araščajoča. Zdaj lahko dokažemo, da je arava ekspoea fukcija dejasko ea izmed ekspoeih fukcij x a x. Trdiev 8. Za poljuba x, y R velja: expx y = expxy. 5 Dokaz. Iz ključe zveze 4 sledi, da želea zveza 5 velja za primer, ko je y N. Za y = 0 je zveza 5 očia, za y N pa izpeljemo: expx y = expx y = exp xy = expxy, saj je expxy exp xy = exp0 =. Torej 5 velja za vse y Z. Nadalje za m Z i N velja: [ m mx ] expx = expmx = exp.
M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI 5 Po korejeju dobimo: m/ mx expx = exp, kar pomei, da zveza 5 velja za vse y Q. Zaradi zvezosi ako ekspoeih fukcij x a x ko udi arave ekspoee fukcije zveza 5 kočo velja za vse y R. Iz zveze 5 akoj dobimo: kjer je: expx = e x, e = exp = lim +. Torej je zgoraj defiiraa arava eksopea fukcija dejasko ekspoea fukcija, i sicer z osovo e. Čiso za koec izračuajmo še, koliko v limii dobimo, če ivesiramo zesek 000 doarjev v bako, ki v -em delu lea obračua obresi v višii 30%/, ko gre proi eskočo. Dobljei zesek, zaokrože a soe dele, je: doarjev. 000 exp0. 3 = 000 e 0.3. = 349. 86