UNIVERZA V MARIBORU TEHNIŠKA FAKULTETA VTO ELEKTROTEHNIKA, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA Jože VORŠIČ Tine ZORIČ Matrične metode v razreševanju električ

UNIVERZA V MARIBORU TEHNIŠKA FAKULTETA VTO ELEKTROTEHNIKA, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA Jože VORŠIČ Tine ZORIČ Matrične metode v razreševanju električnih vezij NEKAJ REŠENIH PRIMEROV MARIBOR, 984

Naslov publikacije: Avtorja: Recenzent: Matrične metode v razreševanju električnih vezij doc. dr. Jože VORŠIČ, dipl. ing. izr. prof. dr. Tine ZORIČ, dipl. ing. red. prof. dr. Dali Đonlagić, dipl. ing. Jezikovni recenzent: Antonija JAKŠE, prof. slov. Naklada: Natisnila: 00 izvodov Razmnoževalnica TF

Ta zbirka je nastala kot izbor najbolj tipičnih izpitnih nalog pri predmetu Obratovanje elektroenergetskih sistemov v zadnjih šestih letih. Predstavlja podporo za boljše razumevanje obeh največkrat uporabljenih metod za razreševanje električnih vezij: metodo zančnih tokov in metodo vozliščnih potencialov. Zbirka obsega nekaj primerov postavitve sistema algebraičnih enačb v matrični obliki za obe metodi neposredno ali s pomočjo transformacijskih matrik. Vse naloge so tako zastavljene, da jih je možno uporabiti kot matematični algoritem za pisanje računalniškega programa. V dodatku je priloženih nekaj izpisov programov v FORTRANU. To so programi za matrične operacije iz IBM ove knjižnice Scientific Subroutine Package ali pa so prirejeni po njihovem vzorcu in omogočajo računanje tudi s kompleksnimi števili. Zbirka je namenjena rednim študentom, ki bodo imeli tako na voljo nekaj več zgledov, predvsem pa študentom ob delu, ki avditornih vaj sploh nimajo ali pa le v zmanjšanem obsegu. Avtorja 3

. Razrešite podano električno vezje. R e e R 4 R R 5 e 3 R 3 e 0 R 0 e 5 R 0 e 3 0 R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 R 6 Najprej se odločimo za smeri tokov in smeri obhoda. Predpostavimo, da tečejo toki v vejah v smeri gonilnih napetosti, smeri obhoda v zankah pa izberemo v smeri toka v povezavi. Nadalje se odločimo (dogovor), da so v vozlišča vstopajoči toki pozitivni in so padci napetosti v smeri toka pozitivni. Vrišimo predpostavljene smeri tokov in smeri obhodov zanke: i R e i 4 I a I b e 3 R 4 R 3 e R i i 5 R 5 I c 3 4 i 3 R 6 i 6 Za tri vozlišča lahko zapišemo enačbe prvega Kirchhoffovega zakona: vozlišče : i i i 6 0, vozlišče : i i3 i4 0, vozlišče 3: i i4 i5 0. Četrtega vozlišča ne moremo več uporabiti, ker ne vsebuje nobenega novega toka (i 6 je linearna kombinacija ostalih tokov). Naslednje tri enačbe dobimo iz drugega Kirchhoffovega zakona: zanka a: e u e u u4 0, zanka b: e3 u3 u4 u5 0, zanka c: e u u5 u6 0. 4

Imamo šest enačb in dvanajst neznank. Ostale potrebne enačbe nam da Ohmov zakon: u R i u R i u3 R3 i3 u4 R4 i4 u5 R5 i5 u R i 6 6 6 Vstavimo izraze za padce napetosti v enačbe po drugem Kirchhoffovem zakonu: e R i e R i R4 i4 0 e3 R3 i3 R4 i4 R5 i5 0 e R i R5 i5 R6 i6 0 Prenesimo napetosti izvorov na desno stran. Sedaj imamo šest enačb za šest neznanih tokov. Uredimo sistem! i i 0 i 0 i 0 i i 0 3 4 5 6 i 0 i i i 0 i 0 i 0 3 4 5 6 0 i i 0 i3 i4 i5 0 i6 0 R i R i 0 i R i 0 i 0 i e e 0 i 0 i R3 i3 R4 i4 R5 i5 0 i6 e3 0 i R i 0 i 0 i R i R i e 3 4 4 5 6 3 4 5 5 6 6 Rešimo ga z direktno matrično metodo: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 [ A] [ B] [ A] 0, 5 0, 5 0 0,05 0,05 0,05 0, 5 0 0, 5 0,05 0 0,05 0, 5 0,5 0, 5 0,05 0,05 0,05 0,0 0, 5 0, 5 0,05 0,05 0 0, 5 0, 5 0,5 0 0,05 0,05 0,5 0, 5 0, 5 0,05 0,05 0,05 5

Iskani toki so torej: 0,65 0,5, 5 0,65 0,5,5 [ i] [ A] [ B] Predznaki»-«pri nekaterih tokih pomenijo, da smo predpostavili napačno smer toka. Poiščimo še padce napetosti: [ u] R i 6,5 R i 5,0 R i,5 3 3 R4 i4 6,55 R 5 i 5, 5 R6 i6,5 6

. Podano električno vezje razrešite po metodi zančnih tokov. R e i e i 4 e 3 I a I b R 4 R 3 R i i 5 R 5 I c 3 4 i 3 e 0 R 0 e 5 R 0 e 3 0 R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 R 6 i 6 V vezju so že označene neodvisne zanke in smeri obhodov ter smeri tokov kot v vaji. Uporabimo najprej drugi Kirchhoffov zakon in zapišimo enačbe za izbrane zanke: zanka a: e u e u u4 0, zanka b: e3 u3 u4 u5 0, zanka c: e u u5 u6 0. Prenesimo padce napetosti na drugo stran enačaja. Vsoto vseh napetosti izvorov v zanki imenujemo gonilna napetost zanke: Ea e e u u u4 Eb e3 u3 u4 u5 E e u u u c 5 6 Izrazimo padce napetosti s pomočjo Ohmovega zakona, istočasno pa vejne toke z zančnimi: u R i R Ia u R i R ( Ia Ic) u3 R3 i3 R3 Ib u4 R4 i4 R4 ( Ia Ib) u5 R5 i5 R5 ( Ib Ic) u R i R I 6 6 6 c Sedaj uvrstimo te izraze v enačbe po drugem Kirchhoffovem zakonu: ( ) ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) Ea R Ia R Ia Ic R4 Ia Ib Eb R3 I R4 Ia Ib R5 Ib Ic E R I I R I I R I c a c 5 b c 6 c 7

Uredimo po zančnih tokih: ( ) ( ) ( ) Ea R R R4 Ia R4 Ib R Ic E R I R R R I R I E R I R I R R R I b 4 a 3 4 5 b 5 c c a 5 b 5 6 c Dobljeni sistem enačb imenujemo enačbe zančne metode. Oglejmo si ga! Na levi strani so gonilne napetosti zank vsota vseh napetosti izvorov v zanki. Posamezne napetosti so pozitivne, če se smer idealnega izvora ujema s smerjo obhoda v zanki. Diagonalni koeficienti so vsota impedanc v zanki; imenujemo jih lastne impedance zanke. Izvendiagonalni koeficienti so skupne impedance sosednjih zank; so pozitivni, če se smeri obhodov v skupnem elementu ujemata. Na ta način lahko pišemo enačbe zančne metode tudi neposredno. Za naš primer velja: Ea e e 5 E e 0 b 3 Ec e 5 R R R4 R4 R 30 0 0 Z R R R R R 0 30 0 [ ] 4 3 4 5 5 R R5 R R5 R6 0 0 30 Poiščimo zančne toke: [ I] [ Z] [ E] 0,05 0,05 0,05 [ Z ] 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 Ia 0,65 I, 5 b I c,5 Izračunajmo še toke v vejah: i Ia 0,65 i Ia Ic 0,5 i3 Ib, 5 i4 Ia Ib 0,65 i5 Ib Ic 0,5 i I,5 6 c 8

3. Po zančni metodi s pomočjo zančne transformacijske matrike rešite vezje na sliki.. i R e e i 4 e 3 I a I b R 4 R 3 R i i 5 R 5 I c 3 4 i 3 e 0 R 0 e 5 R 0 e 3 0 R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 R 6 Enačba metode zančnih tokov se v matrični obliki glasi: [ E] [ Z] [ I] i 6 Zapišimo najprej podatke, ki so na razpolago, v obliki, ki nam ustreza. Zančna transformacijska matrika: [ M] Ia Ib Ic i 0 0 i 0 i 0 0 i4 0 i 5 0 i6 0 0 3 Vektor napetosti izvorov: [ e] e 0 e 5 e 0 0 0 0 0 0 0 3 9

Matrika impedanc v vejah: [ z] R R R 3 R4 R 5 R 6 Izračunajmo vektor gonilnih napetosti v zankah in zančno impedančno matriko: e e Ea 0 0 0 e e 5 T e3 E E b M e 0 0 0 e 3 0 0 Ec 0 0 0 e 5 0 0 [ ] [ ] [ ] T [ Z] [ M] [ z] [ M] R R 0 0 0 R R 0 R4 0 0 T R3 M z 0 0 0 0 0 R3 R4 R5 0 R 4 0 0 0 0 R 0 0 R5 R6 R 5 R6 0 0 0 R R 0 R4 0 0 T 0 0 [ Z] [ M] [ z] [ M] 0 0 R3 R4 R5 0 0 0 R 0 0 R5 R 6 0 0 0 R R R4 R4 R 30 0 0 R4 R3 R4 R5 R 5 0 30 0 R R5 R R5 R6 0 0 30 [ ] [ ] Ponovno vidimo, da lahko enačbo po metodi zančnih tokov pišemo tudi neposredno z gledanjem modela: zapišemo vektor gonilnih napetosti v zankah in zančno impedančno matriko. 0

Izračunajmo zančne toke: [ I] [ Z] [ E] 0,05 0,05 0,05 5 0,05 0,05 0,05 0 0,05 0,05 0,05 5 0,65, 5,5 Toke v vejah dobimo s pomočjo zančne transformacijske matrike: i 0 0 Ia 0,65 i 0 Ia I c 0,5 Ia i3 0 0 Ib, 5 i I I b i4 0 Ia Ib 0,65 Ic i 5 0 Ib I c 0,5 i 0 0 I,5 [ ] [ M] [ ] 6 c

4. Za narisano vezje zapišite sistem enačb za izračun tokov v vejah po metodi zančnih tokov. Izračunajte zančne toke. i 3 R 3 L 3 i 4 L 4 e 4 i 8 I d R 8 L 5 I c i 5 I a i 7 7 e 7 I b i 6 R 6 e R i f 50 R L 3,8 0 3 3,8 0 6 e 0 R R 3 3 L 3 9,55 0 3 e 4 40 L 4,73 0 3 L 5 5,9 0 3 R 6 6 e 7 70 7 4,54 0 4 R 8 8 R L i Zapišimo sistem enačb kar neposredno z gledanjem modela. Vektor zančnih gonilnih napetosti: [ E] 0 0 e e 7 90. e 7 70 e4 e7 30 Zančna impedančna matrika ima elemente: Zaa Zab Zac Zad Zba Zbb Zbc Z bd [ Z ] Zca Zcb Zcc Zcd Zda Zdb Zdc Zdd Sedaj izračunajmo posamezne impedance: Z R j ω L j ω L R 7,0 j 5,0 aa 5 6 j ω Zab R6 6, 0 Z ac 0,0 Z ad 0,0 j 0,0 Zba R6 6, 0 Z bb R R6 8,0 j 7,0 j ω 7 Z bc j 7,0 j ω 7

Z bd j 7,0 j ω 7 Z ca 0,0 Z cb j 7,0 j ω 7 Z R3 j ω L R,0 j 4,0 cc 3 8 j ω 7 Z cd R 3 j ω L 3 3,0 j 4,0 j ω 7 Z j ω L j 5,0 da 5 Z db j 7,0 j ω 7 Z dc R 3 j ω L 3 3,0 j 4,0 j ω 7 Zdd R3 j ω L3 j ω L4 j ω L5 3,0 j 5,0 j ω 7 Zapišimo sistem enačb v matrični obliki: 0 7,0 j 5,0 6,0 j 0,0 0,0 j 0,0 0,0 j 5,0 Ia 90 6,0 j 0,0 8,0 j 7,0 0,0 j 7,0 0,0 j 7,0 I b 70 0,0 j 0,0 0,0 j 7,0,0 j 4,0 3,0 j 4,0 I c 30 0,0 j 5,0 0,0 j 7,0 3,0 j 4,0 3,0 j 5,0 Id Izračunajmo zančne toke: [ I] [ Z] [ E] [ Z ] 0,836 j 0,74 0,044 j 0, 0444 0, 080 j 0, 033 0, 075 j 0, 049 0,044 j 0, 0444 0,3 j 0, 030 0, 0337 j 0, 0353 0, 067 j 0, 0546 0,080 j 0,033 0,0337 j 0,0353 0,0677 j 0,037 0,0 j 0,034 0,075 j 0,049 0, 067 j 0, 0546 0, 0 j 0, 034 0, 069 j 0,86 I a 8, 484 j 0,90 I b 7,037 j 5,79 I c, 04 j 3,84 I d,883 j 3, 63 3

5. Po metodi zančnih tokov z zančno transformacijsko matriko razrešite vezje na sliki. M 34 M 43 L R 3 R 4 L 6 R 6 i i i 3 i 4 i 5 i 6 e I a I b L 3 L 4 I c 5 I d 6 f 50 Hz e 60 L 9, 0-3 6,37, 0-4 R3 4 L 3,73 0-3 M 34,4 0-3 R 4 3 L 4 9,55 0-3 M 43,4 0-3 5,59 0-3 R 6 L 6 3,8 0-3 6 3,8 0-3 Najprej zapišimo z Ohmovim zakonom padce napetosti v posameznih vejah: u j ω L i z i u i z i j ω u R i j ω L i j ω M i z i z i 3 3 3 3 3 34 4 33 3 34 4 u R i j ω L i j ω M i z i z i 4 4 4 4 4 43 3 44 4 43 3 u i z i 5 5 55 5 j ω 5 u R i j ω L i i z i 6 6 6 6 6 6 6 66 j ω 6 4

Zapišimo to v matrični obliki: u z i u z i u 3 z33 z 34 i 3 u4 z43 z44 i4 u 5 z 55 i 5 u z i 6 66 6 Zaradi induktivne povezave med vejama 3 in 4 ima matrika vejnih impedanc tudi izvendiagonalna člena. Zapišimo zančno transformacijsko matriko: 0 0 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] Izračunajmo zančno impedančno matriko: T [ Z] [ M] [ z] [ M] z z z 0 0 z z z z 0 33 34 0 z43 z44 z55 z55 0 0 z z z 55 55 66 Posamezni elementi zančne impedančne matrike so: Z j ω L j 6 j 5 0,0 j,0 j ω aa Z ab j ( j 5) 0,0 j 5,0 j ω Z ac 0,0 j 0,0 Z ad 0,0 j 0,0 5

Z ba (.j 5) 0,0 j 5,0 j ω Z R j ω L j 5 4 j 4 4,0 j,0 Z bb 3 3 j ω j ω M 0, 0 j 3,5 bc 34 Z bd 0,0 j 0,0 Z ca 0,0 j 0,0 Z j ω M 0, 0 j 3,5 cb 43 Z cc R 4 j ω L 4 3 j 3 j 3,0 j,0 j ω 5 Z cd ( j ) 0,0 j,0 j ω 5 Z da 0,0 j 0,0 Z db 0,0 j 0,0 Z dc ( j ) 0,0 j,0 j ω 5 Z R j ω L j j j,0 j,0 dd 6 6 j ω 5 j ω 6 Razrešiti moramo sistem enačb: 6 0 0 j 0 j 5 0 j 0 0 j 0 I a 0 0 j 5 4 j 0 j 3,5 0 j 0 I b 0 0 j 0 0 j 3,5 3 j 0 j Ic 0 0 j 0 0 j 0 0 j j Id Izračunajmo zančne toke: [ I] [ Z] [ E] 6

[ Z ] 0,949 j 0,349 0, 0390 j 0,730 0, 098 j 0, 0987 0, 0340 j 0,57 0,0390 j 0,730 0,0078 j 0,0346 0,084 j 0,097 0,0068 j 0,03 0, 098 j 0, 0987 0, 084 j 0, 097 0,590 j 0,57 0, 0769 j 0,64 0,0340 j 0,57 0, 0068 j 0, 03 0, 0769 j 0,64 0,959 j 0, 379 Zančni toki so: I a,69 j 8,09 I b,34 j 0,38 I c 5,5 j 5,9 I d,04 j 6,94 in toki v vejah: [ i] [ M] [ I] i,69 j 8,09 i 4, 03 j,9 i 3,34 j 0,38 i 4 5,5 j 5,9 i 6 3,47 j,0 i 6,04 j 6,94 7

6. Zapišite enačbe za izračun vejnih tokov po metodi zančnih tokov: a) neposredno z gledanjem vezja, b) z uporabo zančne transformacijske matrike, c) z izpeljavo. i 6 R 6 R 4 I c R 5 i 4 i 5 I a R R 3 I b e e i i i 3 Vektor zančnih tokov je: R R4 R R4 e e [ I] R R R3 R5 R 5 e R4 R5 R4 R5 R 6 0 Vektor vejnih tokov je: [ i] Ia Ia I I b b Ia Ic I b I I c c 8

7. Za podani napetostni izvor poiščite ekvivalentni tokovni izvor. R X e 0500 e R 0,0033 X 0, Narišimo si vezavi za oba načina predstavitve izvora ter zapišimo enačbi, ki opisujeta element med vozliščema p in q: e p pq q p q z pq j pq V p V q V p y pq V q i pq i pq j pq ( V p V q ) epq zpq ipq pq ( p q ) i j V V y Če želimo, da preostalo vezje»čuti«med točkama p in q v obeh primerih enako gonilno silo, mora biti razlika napetosti v obeh primerih enaka in skozi vejo mora teči v obeh primerih enak tok. e pq j y e pq pq pq zpq 76 j 4776 v pq V p - V q Zavedati pa se moramo, da je gonilni tok z napetostnim generatorjem še impedanco. j pq v pq V p - V q pq definiran samo v primeru, ko imamo zaporedno pq 9

8. Po vozliščni metodi razrešite vezje na sliki: i R a O j i 4 j 3 R 4 R i b R 5 i 5 i 3 R 3 c j - R 0 j -,5 R 0 j 3 - R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 j R 6 i 6 V vezju iz primera smo nadomestili napetostne generatorje s Theveninovim tokovnim ekvivalentom. Zapišimo za vsa neodvisna vozlišča enačbe prvega Kirchhoffovega zakona: vozlišče a: i i3 i4 0, vozlišče b: i i4 i5 0, vozlišče c: i3 i5 i6 0. Izraz, ki povezuje tok skozi element in potencialno razliko med vozliščema p in q v admitančni obliki, se glasi: ( ) Toki v vejah so tako: i j ( V V ) y i j ( V V ) y i j ( V V ) y i4 ( Va Vb ) y44 i5 ( Vc Vb ) y55 i V V y a o b o 3 3 c a 33 ( ) 6 c o 66 i j V V y pq pq p q pq Uvrstimo te izraze v sistem enačb za neodvisna vozlišča in izberimo V o 0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j Va y j3 Va Vc y33 Vb Va y44 0 j Vb y Vb Va y44 Vb Vc y55 0 j V V y V V y V y 0 3 a c 33 b c 55 c 66 Uredimo sistem: j j ( y y y ) V y V y V j y44 Va ( y y44 y55) Vb y55 Vc j y V y V y y y V 3 33 44 a 44 b 33 c ( ) 3 33 a 55 b 33 55 66 c 0

Dobljeni sistem enačb imenujemo enačbe metode vozliščnih potencialov. Oglejmo si ga! Na levi strani so vsiljeni vozliščni toki vsota vseh tokov izvorov, ki "vstopajo" v vozlišče. Diagonalni koeficienti na desni strani so vsote admitanc vej, ki "vstopajo" v vozlišče in so vedno pozitivni. Izvendijagonalni koeficienti so admitance med dvema vozliščema in so vedno negativni. Na ta način lahko pišemo enačbe vozliščne metode tudi neposredno. Vektor vsiljenih tokov: Ja j j3 J J j,5 [ ] b Jc j3 Vozliščna admitančna matrika: y y33 y44 y44 y33 0,3 0, 0, Y y y y y y 0, 0,3 0, [ ] 44 44 55 55 y33 y55 y33 y55 y66 0, 0, 0,3 Izračunajmo vozliščne napetosti: 5,5,5 3,75,5 5,5,5 0,5,5 5, 5 [ V] [ Y] [ J] In na koncu še toke v vejah: i j y Va 0,65 i j y Vb 0,5 i3 j3 y33 ( Vc Va ), 5 i4 y44 ( Va Vb ) 0,65 i5 y55 ( Vc Vb ) 0,5 i y V,5 6 66 c

9. Razrešite po vozliščni metodi s pomočjo vozliščne transformacijske matrike podano električno vezje. i R a O j i 4 j 3 R 4 R i b R 5 i 5 i 3 R 3 c j - R 0 j -,5 R 0 j 3 - R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 j R 6 i 6 Enačba metode vozliščnih potencialov se glasi v matrični obliki: [ J] [ Y] [ V] V vezju so že označena neodvisna vozlišča in predpostavljene smeri tokov, idealni napetostni viri pa nadomeščeni s Theveninovim tokovnim ekvivalentom. Sestavimo vozliščno transformacijsko matriko: [ ] Va Vb Vc Vo v 0 0 v 0 0 v 0 0 0 0 v 5 0 0 v6 0 0 3 v4 Če zapišemo še potencial "odvisnega" vozlišča, imamo v vsaki vrstici element in -, začetek in konec veje. Vektor gonilnih tokov izvorov: [ j] j j,5 j 0 0 0 0 0 0 3

Matrika admitanc v vejah: y y y33 y44 y 55 y66 [ y] [ z] Izračunajmo vektor vsiljenih vozliščnih tokov in vozliščno admitančno matriko: j j Ja 0 0 0 j j3 T j3 J J b j 0 0 0 j,5 0 Jc 0 0 0 j3 0 0 [ ] [ ] [ ] T [ Y] [ ] [ y] [ ] y y 0 0 0 y 0 y33 y44 0 0 T y33 y 0 0 0 0 y 0 y44 y55 0 y 44 0 0 0 0 0 y33 0 y55 y66 y 55 y66 0 0 0 0 y 0 y33 y44 0 0 T 0 [ Y] [ ] [ y] [ ] 0 y 0 y44 y55 0 0 0 0 y33 0 y55 y 66 0 0 0 y y33 y44 y44 y33 0,3 0, 0, y44 y y44 y55 y 55 0, 0,3 0, y33 y55 y33 y55 y66 0, 0, 0,3 [ ] [ ] Potenciali vozlišč so; 5,5,5 3,75,5 5,5,5 0,5,5 5, 5 [ V] [ Y] [ J] 3

Poiščimo še toke v vejah: [ i] [ j] [ y] [ v] 0, 0 0 0,65, 5 0, 0 0 0, 5 3, 75 0, 0, 5 0 0 0, 0 0,65,5 0 0, 0 0,5 0 0, 0 0,5 4

0. Izračunajte vozliščne potenciale in toke v vejah. a i R c j b j 4 i 4 i 3 R 4 R 3 i R R 5 i 5 j 5 R 0,5 j R 0, R 3 0, j 4 4 R 4 j 5 5 R 5 O Razrešimo vezje z vozliščno transformacijsko matriko: [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 Zapišimo še vektor gonilnih tokov in matriko vejnih admitanc: 0 0 y j y 0 j 0 y z y33 5 j 4 y 5 [ ] 0 [ ] [ ] 4 44 j5 y 55 Izračunajmo vozliščno admitančno matriko: 3 0 0 0 0 7 T [ Y] [ ] [ y] [ ] Izračunajmo vektor vsiljenih vozliščnih tokov: J a 4 3 T [ J] J [ ] [ j] b J c 5

Sedaj rešimo sistem enačb izračunajmo napetosti neodvisnih vozlišč; 0, 4 0,09 0, 4,083 0,09 0, 0,4 3, 95 0, 0,4 0,5,4 [ V] [ Y] [ J] Toki v vejah so:, 9 3, 70 5,6, 9 3, 70 [ i] [ j] [ y] [ v] 6

. S pomočjo vozliščne metode določite za podani model omrežja napetosti neodvisnih vozlišč, napetostne padce vzdolž vej in toke v vejah. a i R c j b j 4 X 4 i 4 i 3 R 4 X 3 i X i 5 R 5 X 5 j 5 R 0,5 j X j 0, X 3 j 0, j 4 4 R 4 X 4 j 0, j 5 5 R 5 0, X 5 - j O Vektor vozliščnih potencialov: [ V ],33 j 0,5 0,3 j,9 0,05 j 0,7 Vektor padcev napetosti: [ u], 3 j, 0,0 j 3,6 0,05 j 0,7,33 j 0,5 0,03 j,9 Vektor vejnih tokov: [ i],63 j,44 36,04 j 0,9 3,5 j 0,07,38 j 0,38,9 j 0,6 7

. S pomočjo vozliščne metode določite za podani model omrežja napetosti neodvisnih vozlišč, napetostne padce vzdolž vej in toke v vejah. i 6 R 6 a i R i 4 i c i 3 R 3 i 5 b R 0, R 0,5 R 3 j 4 5 R 4 0,5 j 5 R 6 0,5 j 4 R 4 R R 5 j 5 O Čeprav med vozliščema O in b ni veje s pasivnim elementom, si zamislimo admitanco velikosti 0 paralelno izvoru. Zapišimo z opazovanjem vezja vozliščno transformacijsko matriko, matriko vejnih prevodnosti in vektor tokov izvorov: 0 0 5 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 [ ] ; [ y] ; [ j] Izračunajmo vozliščno admitančno matriko: 8 4 3 4 0 T [ Y] [ ] [ y] [ ] Izračunajmo vektor vsiljenih vozliščnih tokov: 5 0 T [ J] [ ] [ j] Izračunajmo vektor vozliščnih potencialov:,5, 94 0,80 [ V] [ Y] [ J] 8

Izračunajmo potencialne razlike vzdolž vej: 0,797 0,7,4,508,937 0,430 [ v] [ ] [ V] Izračunajmo toke v vejah: 0 5 0,797 0 4 0,7 0,4 5,508 0,937 0 0, 430 0 3, 98 3, 98 0,84,84 0,4,4 5 3,0,98 0,0 0 0,86 0,86 [ i] [ j] [ y] [ v] 9

3. Izpeljite enačbo za izračun vozliščnih potencialov v matrični obliki, ko so podani napetostni izvori. a e 6 i 6 z 66 b z z 44 i e c e 3 i 3 z 33 z 55 i 4 i 5 V prejšnji vaji smo za vsako vejo, v kateri je bil napetostni izvor, poiskali Theveninov tokovni ekvivalent. Vendar so primeri, ko pretvorbe iz idealnega napetostnega vira v idealni tokovni vir ne moremo uporabiti. To je takrat, ko v veji zaporedno z idealnim napetostnim virom ni impedance. Tedaj je gonilni tok nedefiniran. Izpeljimo zato splošno enačbo vozliščne metode, ko so izvori električne energije podani kot idealni napetostni viri. Dobljene relacije bomo lahko uporabljali brez formalne pretvorbe napetostnega vira v tokovni vir. Za podano vezje, ki ima v vsaki veji izvor in impedanco, zapišimo razlike potencialov med vozlišči: v e z i v e z i v e z i v e z i v e z i v e z i 3 3 33 3 4 4 44 4 5 5 55 5 6 6 66 6 30

Zapišimo to v matrični obliki: v e z i v e z i v3 e3 z33 i3 v4 e4 z44 i4 v 5 e 5 z 55 i 5 v e z i 6 6 66 6 oziroma krajše: [ v] [ e] [ z] [ i] Poiščimo toke v vejah. Enačbo moramo z leve pomnožiti z inverzno matriko vejnih impedanc: [ z] [ v] [ z] [ e] [ z] [ z] [ i] Preuredimo enačbo in dobimo: [ i] [ z] ([ v] [ e] ) Če izberemo vozlišče O za referenčno vozlišče, lahko padce napetostiv vejah izrazimo s pomočjo potencialnih razlik neodvisnih vozlišč: [ v] [ ] [ V] Sedaj vstavimo to v izraz za tok: [ i] [ z] ([ ][ V] [ e] ) Pomnožimo to relacijo z leve s trasponirano vozliščno transformacijsko matriko: [ ] T [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T i z V [ z] [ e] T Ker je [ ] [ i] [ 0] (prvi Kirchhoffov zakon), lahko pišemo: [ ] T [ ] [ ] [ ] T z e [ z] [ ] [ V] Če sedaj označimo matriko vejnih admitanc kot inverzno matriko vejnih impedanc, lahko pišemo: [ ] T T y [ e] [ ] y [ ] [ V] T [ ] y [ ] je vozliščna impedančna matrika in tako smo dobili matrično enačbo metode vozliščnih potencialov, ko so izvori električne energije podani s pomočjo idealnih napetostnih izvorov: T [ ] y [ e] [ Y] [ V] Vidimo, da je vektor vsiljenih vozliščnih tokov: [ J] [ ] T y [ e] 3

4. Zapišite enačbe za izračun tokov po metodi vozliščnih potencialov za narisani model električnega omrežja. e 4 d i 4 L 4 i 3 i 8 R 3 L 3 R 8 O i 5 L 5 7 e 7 i 6 c i 7 e R R 6 i f 50 R L 3,8 0 3 3,8 0 6 e 0 R R 3 3 L 3 9,55 0 3 e 4 40 L 4,73 0 3 L 5 5,9 0 3 R 6 6 e 7 70 7 4,54 0 4 R 8 8 a R L i Izračunajmo najprej matriko vejnih admitanc: b j0 0,5 j 0 0,66 j 0,66 [ ] 0 j 0,5 y z 0 j 0, 0,66 j 0 0 j 0,43 0,5 j 0 Vektor vozliščnih vsiljenih tokov: T [ J] [ ] y [ e] y 0 y e 0 0 0 0 0 y 0 33 0 0 0 0 0 y 44 e 4 0 0 0 0 0 y 55 0 0 0 0 0 0 y66 0 y e y e 44 4 0 j 0 y e 0 j 0 y e y e 77 7 0 j 0 y e 0 j 0 44 4 77 7 y88 0 3

Vozliščna admitančna matrika: [ Y ] y y y y 0 y 44 55 44 y y y y y 0 0 y y y y y 33 77 33 y 0 y y y y 44 33 33 44 88 j0,45 j0 0 0 j0,5 j0,66j0 0,5 j0 0 0 0,5 j 0 0,666 j 0,04 0,66 j 0,66 0 j 0, 5 0 0,66 j 0,66 0,9 j 0,46 66 Izračunajmo vozliščne potenciale: [ V] [ Y] [ J],963 j 0,03 0,5 j 0, 38 0, 493 j 0, 4,039 j 0,60 0 j 0 0,5 j 0, 38 0,54 j 0,0 0,5 j 0,08 0,5 j 0,053 0 j 0 0, 493 j 0, 4 0,5 j 0,08,7 j 0,34,36 j 0, 09 0 j 0,039 j 0,60 0,5 j 0,053,36 j 0,09,9 j,07 0 j 0 7,5 j 33,04 8,66 j 3,85 4,57 j 43, 4 8,36 j 4,5 Toki v vejah so: [ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ] [ ]) i e v y e V y i 8,49 j 0,9 i i i i i i 3 4 5 6 7 8 7,05 j 5,9 0,84 j 6,8,88 j 3,6 6,6 j 3,43,44 j 5,47 6, j,09 i,05 j 3,9 33

5. Razrešite podano električno vezje po metodi vozliščnih potencialov. e R a i 3 i O e i 4 R 4 R R i i 5 5 b e 3 R 3 c e 0 R 0 e 5 R 0 e 3 0 R 3 0 R 4 0 R 5 0 R 6 0 R 0 R 6 Vektor vsiljenih vozliščnih tokov: y e y3 e3 J y e y e,5 T [ ] [ ] [ ] [ ] i 6 y3 e3 Vozliščna admitančna matrika in vektor vozliščnih potencialov sta enaka kot v zgledu 8, drugačna pa je pot do tokov v vejah: y y33 y44 y44 y33 0,3 0, 0, Y y y y y y 0, 0,3 0, [ ] 44 44 55 55 y33 y55 y33 y55 y66 0, 0, 0,3 5,5,5 3,75,5 5,5,5 0,5,5 5, 5 [ V] [ Y] [ J] [ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ] [ ]) i e v y e V y i 0,65 i 0,5 i3, 5 i4 0,65 i5 0,5 i,5 6 34

6. Po metodi vozliščnih potencialov razrešite vezje na sliki. L a R 3 M 34 M 43 R 4 b L 6 R 6 i i i 3 i 4 i 5 i 6 e L 3 L 4 5 6 f 50 Hz e 60 L 9, 0-3 6,37, 0-4 R3 4 L 3,73 0-3 M 34,4 0-3 R 4 3 L 4 9,55 0-3 M 43,4 0-3 5,59 0-3 R 6 L 6 3,8 0-3 6 3,8 0-3 Najprej si zapišimo z Ohmovim zakonom padce napetosti v posameznih vejah: u j ω L i z i u i z i j ω u R i j ω L i j ω M i z i z i 3 3 3 3 3 34 4 33 3 34 4 u R i j ω L i j ω M i z i z i 4 4 4 4 4 43 3 44 4 43 3 u i z i 5 5 55 5 j ω 5 u R i j ω L i i z i 6 6 6 6 6 6 6 66 j ω 6 35

Zapišimo to v matrični obliki: u z i u z i u 3 z33 z 34 i 3 u4 z43 z44 i4 u 5 z 55 i 5 u z i 6 66 6 Poskusimo izraziti toke v vejah s padci napetosti vzdolž vej: i u y u j ω L i j ω u y u i i R j ω L u 4 4 3 3 ( R3 j ω L3 ) ( R4 j ω L4 ) j ω M34 j ω M43 j ω M 34 u4 y u 33 3 y u 34 4 ( R3 j ω L3 ) ( R4 j ω L4 ) j ω M34 j ω M43 j ω M u 43 4 3 ( R3 j ω L3 ) ( R4 j ω L4 ) j ω M34 j ω M43 R j ω L 3 3 u4 y u 43 3 y u 44 4 ( R3 j ω L3 ) ( R4 j ω L4 ) j ω M34 j ω M43 i j ω u y u 5 5 5 55 5 i u y u R6 j ω L6 j ω 6 6 66 6 6 36

Zapišimo še to v matrični obliki: z i z u i u 44 34 z z i3 z33 z44 z34 z43 z33 z44 z34 z 43 u3 i4 z43 z33 u4 i z 5 33 z44 z34 z43 z33 z44 z34 z 43 u 5 i 6 u6 z 55 z 66 Zaradi induktivne povezave med vejama 3 in 4 ima matrika vejnih impedanc tudi izvendiagonalna elementa. Zato ne moremo elementov matrike vejnih admitanc enostavno izračunati kot y, temveč dobimo admitančno matriko kot inverzno matriko vejnih ii z impedanc. [ z] y ii 0 j6 0 j5 4 j 4 0 j 3,5 0 j3,5 3 j3 0 j j0 0 j 0,66 0 j 0, 0,5 j 0,049 0,6 j 0,059 0,6 j 0,059 0, j 0,065 0 j 0,5 j0 Zapišimo vozliščno admitančno matriko in vektor vozliščnih vsiljenih tokov: [ Y ] y y y y 0,5 j 0,057 0,6 j 0,059 y y y y 0,6 j 0,059, j 0,435 43 44 55 66 33 34 37

[ J ] y e 0 j 0 0 0 Vektor vozliščnih potencialov je: 7,0 j,6 0,69 j 0, 0 j 0,65 j 70,08 0,69 j 0, 0,8 j 0, 4 0,053 j 6,94 [ V] [ Y] [ J] Toki v vejah so: [ i] y ([ e] [ v] ) y ([ e] [ ] [ V] ) ( ( )) i y e V V,57 j 8,06 o a ( ) i y V V 4,0 j,33 a o ( ) ( ) i y V V y V V,34 j 0,38 3 33 a o 34 o b ( ) ( ) i y V V y V V 5,5 j 5,9 4 44 o b 43 a o ( ) i y V V 3,47 j,0 5 55 b o ( ) i y V V,04 j 6,94 6 66 b o 38

7. Za narisani model omrežja izračunajte napetosti neodvisnih vozlišč in razdelitev tokov. a b e z z 55 z 33 z e z 0 j e z 0 j z33 3 j 3 z44 3 j 3 z55 3 j 3 z66 j c z 44 e z 66 Sistem enačb vozliščne metode v matričnem zapisu: [ J] [ Y] [ V] Vektor vsiljenih vozliščnih tokov: y e 0 j J y e 0 j 0 0 [ ] Vozliščna admitančna matrika: y y y y y 33 55 33 55 Y y y y y y 33 33 44 44 y y y y y 55 44 44 55 66 0,333 j,333 0,66 j 0,66 0,66 j 0,66 0,66 j 0,66 0,333 j,333 0,66 j 0,66 0,66 j 0,66 0,66 j 0,66 0,583 j 0,583 [ ] Vektor napetosti neodvisnih vozlišč: [ V] [ Y] [ J] 0,3 j 0,766 0,069 j 0,65 0,08 j 0,65 0,0 j,0 0,069 j 0,65 0,30 j 0,767 0,07 j 0, 65 0,0 j,0 0,08 j 0, 65 0,07 j 0, 65 0,868 j,009 0 0,93 j 0,063 0,93 j 0,06 0,530 j 0,035 39

Toki v vejah: i 0,06 j 0,069 i 0,06 j 0,069 i 3 0,0 j 0,0 i 4 0,06 j 0,069 i 5 0,06 j 0,069 i 6 0, j 0,38 40

8. Za narisano električno omrežje izračunajte vozliščno admitančno matriko, če je zemlja referenčno vozlišče. G 3 4 5 G Povezava Impedanca zrj X Dozemna admitanca y' pq / 0,0 j 0,06 0,0 j 0,030 3 0,08 j 0,4 0,0 j 0,05 3 0,06 j 0,8 0,0 j 0,00 4 0,06 j 0,8 0,0 j 0,00 5 0,04 j 0, 0,0 j 0,05 3 4 0,0 j 0,03 0,0 j 0,00 4 5 0,08 j 0,4 0,0 j 0,05 Ker nimamo medsebojnih induktivnih povezav, lahko takoj poiščemo admitance vodov: y pq z pq Povezava Admitanca voda y pq 5,0 j 5 3,5 j 3,75 3,66 j 5 4,66 j 5 5,5 j 7,5 3 4 0,0 j 30 4 5,5 j 3,75 4

[ Y ] Seštejemo v vozliščih dozemne admitance vodov: Vozlišče p Dozemna admitanca y' p 0 j 0,055 0 j 0,085 3 0 j 0,055 4 0 j 0,055 5 0 j 0,04 Izračunajmo diagonalni element Y vozliščne admitančne matrike: Y y y y' 3 y 5,0 j 5,0 y,5 j 3,75 3 y ' 0 j 0,055 Y 6, 50 j 8,695 Izračunajmo še izvendiagonalne elemente vozlišča : Y Y y 5,0 j 5,0 Y3 Y 3 y,5 j 3,75 3 Y4 Y 4 0 Y Y 0 5 5 Na enak način izračunamo še ostale elemente vozliščne admitančne matrike: 6,50 j 8,695 5,0 j 5,0,5 j 3,75 0,0 j 0,0 0,0 j 0,0 5,0 j 5,0 0,833 j 3,45,666 j 5,0,666 j 5,0,5 j 7,5,5 j 3,75,666 j 5,0,96 j 38,695 0,0 j 30,0 0,0 j 0,0 0,0 j 0,0,666 j 5,0 0,0 j 30,0,96 j 38,695,5 j 3,75 0,0 j 0,0,5 j 7,5 0,0 j 0,0,5 j 3,75 3,75 j, 4

9. Reducirajte podani sistem štirih linearnih enačb s štirimi neznankami (x, x, x 3 in x 4 ) na sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama (x in x ). x x x x 0 3 4 3 x 4 x x x 0 3 4 x x x x 3 4 5 x 7 x 9 x x 0 3 4 Takšen sistem lahko reduciramo na ta način, da iz četrte enačbe izrazimo x 4 in vstavimo v ostale tri enačbe, potem pa to ponovimo še s tretjo enačbo in x 3. Redukcijo pa lahko opravimo tudi matrično. Enačbi, ki ju želimo izločiti, prenesemo na dno sistema in sistem razdelimo: prvo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ X ] [ X ] [ ] [ ] Aaa Aab a Ba A A B ba bb b b Zapišimo to matrično enačbo v obliki dveh matričnih enačb: [ Aaa ] [ Xa ] [ Aab] [ Xb] [ Ba ] [ A ] [ X ] [ A ] [ X ] [ B ] ba a bb b b Želimo izločiti spremenljivki v [ X b], zato izrazimo [ b] [ Xb] [ Abb] [ Bb] [ Abb] [ Aba ] [ Xa ] [ ] [ ] [ ] [ ] X ( A A A A ) [ ] [ B ] [ A ] [ A ] [ B ] aa ab bb ba a a ab bb b X iz druge enačbe in vstavimo v Vpeljimo nove oznake in zapišimo reducirani sistem enačb v matrični obliki: [ A' ] [ X ] [ B' ] a Na ta način lahko izločimo poljubno število enačb (spremenljivk) naenkrat: Zapišimo naš sistem v matrični obliki:! x 0 3 4! x 7!! x 3 5 7! 9 x 4 0 Razdelimo ga na podmatrike: [ A ] [ A ] aa [ A ] [ A ] ba ab 3 4 bb 5 7 9 43

x x 0 x x 7 0 3 [ X ] [ X ] [ B ] [ B ] a b a b 4 Izračunajmo najprej [ A ] bb : bb [ A ] 0,4 0, 9,8 0, 4 Izračunajmo matriko koeficientov reduciranega sistema: [ A' ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] aa ab bb ba 0, 4 0, 3 4,8 0, 4 5 7 0,4 3 6,6 4 Poiščimo še vektor stalnih členov reduciranega sistema: [ B' ] [ B ] [ A ] [ A ] [ B ] a ab bb b 0 0, 4 0, 7,8 0, 4 0 5,6, 4 Reducirani sistem enačb je torej: 0, 4 x 3 x 5,6 6,6 x 4 x, 4 44

0. Določite, kako se s tokom izvora spreminja napetost vozlišča v podanem modelu omrežja. O R 4 j R 8 R 7 R 0, R 4 R 3 R 5 R 6 3 R 0,5 R 3 0,6 R 4 0,5 R 5 0,5 R 6 0,33 R 7 0, R 8 0,5 R 3 Sistem enačb za metodo vozliščnih potencialov je: [ J] [ Y] [ V] Zapišimo enačbe za naš primer: j 6 V V3 4 V4 0 3 V 6 V3 5 V4 0 V 6 V V3 3 V4 0 4 V 5 V 3 V 0 V 3 4 oziroma v matrični obliki: j 6 0 4 V 0 0 3 6 5 V 0 6 3 V3 0 4 5 3 0 V4 Ker želimo poznati le odvisnost napetosti vozlišča od jakosti toka izvora, izločimo ostale enačbe. Razdelimo naš sistem na podmatrike: [ Y ] [ 6 ] [ Y ] [ 0 4 ] aa ab [ Y ] [ Y ] ba 0 3 6 5 bb 6 3 4 5 3 0 0 V J j J V V V [ ] [ ] [ ] 0 [ ] [ ] [ V ] a b a b 3 0 V 4 45

Vozliščna admitančna matrika reduciranega sistema: [ Y '] [ Y ] [ Y ] [ Y ] [ Y ] aa ab bb ba [ 6] [ 0 0,346 0,086 0,0466 0 4] 0,086 0,499 0,0440 0,0466 0,0440 0,068 4 [ 3,605] Poiščimo še vektor stalnih členov reduciranega sistema: [ J' ] [ J ] [ Y ] [ Y ] [ J ] a ab bb b 0,346 0,086 0,0466 0 [ j ] [ 0 4] 0,086 0,499 0,0440 0 0,0466 0,0440 0,068 0 [ j ] Ker je vektor stalnih členov reduciranega sistema ničelni vektor, je reducirani vektor stalnih členov kar enak "nečrtanemu" delu stalnih členov. Novi, reducirani sistem je: [ J '] [ Y '] [ V '] [ j ] [ 3, 605] [ V ] Iskana odvisnost napetosti vozlišča od toka izvora: V 0,0734 j 46

. Določite, kako se s tokom izvora spreminja napetost vozlišča 3 v podanem modelu omrežja. O R 4 j R 8 R 7 R 0, R 4 R 3 R 5 R 6 3 R 0,5 R 3 0,6 R 4 0,5 R 5 0,5 R 6 0,33 R 7 0, R 8 0,5 R 3 Sistem enačb za metodo vozliščnih potencialov je: [ J] [ Y] [ V] Zapišimo enačbe za naš primer: j 6 V V3 4 V4 0 3 V 6 V3 5 V4 0 V 6 V V3 3 V4 0 4 V 5 V 3 V 0 V 3 4 Ker želimo poznati odvisnost napetosti vozlišča 3 od jakosti toka izvora, moramo sistem preoblikovati tako, da bodo enačbe, ki jih želimo izločiti, na dnu sistema: V našem primeru zamenjamo prvi in tretji stolpec, da je napetost vozlišča 3 v levem zgornjem kotu. j V3 0 V 6 V 4 V4 0 6 V3 3 V 0 V 5 V4 0 V3 6 V V 3 V4 0 3 V 5 V 4 V 0 V oziroma v matrični obliki: 3 4 j 0 6 4 V 3 0 6 3 0 5 V 0 6 3 V 0 3 5 4 0 V4 Razdelimo naš sistem na podmatrike: [ Y ] [ ] [ Y ] [ 0 6 4 ] aa ab [ Y ] [ Y ] ba 6 3 0 5 bb 6 3 3 5 4 0 47

0 V Ja j Jb Va V 3 b V 0 V [ ] [ ] [ ] 0 [ ] [ ] [ V ] 4 Vozliščna admitančna matrika reduciranega sistema: [ Y '] [ Y ] [ Y ] [ Y ] [ Y ] aa ab bb ba [ ] [ 0 6 0,0697 0,068 0,034 6 4] 0,80 0,35 0,095 0,088 0,0697 0,0349 3 [ 8,595] Novi, reducirani sistem je: [ J '] [ Y '] [ V '] [ j ] [ 8, 595] [ V ] Iskana odvisnost napetosti vozlišča 3 od toka izvora: V 0,035 j 48

. Rešite sistem enačb x y in x xy y s pomočjo Gauss Seidlove iteracijske metode. y x Če narišemo krivulji, ki ju predstavljata obe enačbi, vidimo, da se sekata v štirih točkah, katerih koordinate so približno enake (,4; 0,5), (0,7;,), (0,;,4) in (,4; 0,3). Izračunajmo prvo (naznačeno) presečišče na štiri decimalke natančno. Začetni vrednosti predpostavimo x (0),4 in y (0) 0,5. Iz prve enačbe izrazimo x, iz druge y in računamo: ( ) x y ; x x x ( k ) ( x ) ( k) ( k) ( k) x ; y x x ( k ) x Sestavimo tabelo x x α x ( k ) ( k) ( k) y y α y ( k ) ( k) ( k) ( k) ( k) za pospeškovna faktorja α in α 0,875: 49

α n x y Δx Δy 0,4 0,5,388 0,4557-0,077-0,0448,33878 0,473 0,0590 0,0659 3,3330 0,46633-0,00576-0,00597 4,335 0,4685 0,0000 0,008 5,33435 0,4677-0,00076-0,00079 6,33463 0,4680 0,0008 0,0009 7,33453 0,4679-0,0000-0,000 8,33456 0,46795 0,00004 0,00004 α 0,875 n x y Δx Δy 0,4 0,5,335 0,47009-0,077-0,099,33364 0,46737 0,008-0,007 3,3346 0,4679 0,00 0,00055 4,33457 0,46795-0,0005 0,00003 50

3. Poiščite koren nelinearne enačbe 3 x x x 0 0 0 s pomočjo tangentne iteracijske metode. Narišimo si tisti del grafa polinoma f(x), ki seka absciso. Označimo sečišče z A: Q x (0) A x () x () P V tej točki je vrednost f(x) enaka nič. Torej je abscisa x A točke A eden izmed korenov enačbe f(x) 0. Da poiščemo njegovo približno vrednost, si oglejmo neko točko na krivulji na primer točko P s koordinatama x (0) in f(x (0) ). Če položimo skozi točko P tangento na krivuljo, bo tangenta sekala os x v točki, katere abscisa je x (). Vrednost x () je bližja korenu polinoma kot x (0). Lahko rečemo, da da abscisa sečišča tangente v točki P z osjo x prvo aproksimacijo iskanega korena. Potegnimo v x () pravokotnico na os x in dobimo sečišče v točki Q. Sečišče tangente skozi točko Q z osjo x daje drugo aproksimacijo iskanega korena x (). Postopek ponavljamo do želene točnosti rezultata. Zapišimo to sedaj z enačbami. Enačba tangente v točki P: (0) (0) (0) ( ) ( ) '( ) ( ) f x f x f x x x Presečišče tangente v točki P z absciso dobimo iz enačbe: (0) (0) () (0) ( ) ( ) ( ) 0 f x f ' x x x Prva aproksimacija je torej: (0) ( x ) (0) '( x ) f x x x x f () (0) (0) (0) kjer smo z Δx (0) označili, 5

(0) x f f (0) ( x ) (0) '( x ) Splošno lahko zapišemo: f ( k ) ( k) ( k) ( k) x x x ; x f ( k ) ( x ) ( k ) '( x ) Za naš primer izberemo x (0) 0 in računamo dalje: (0) 3 f x x x 0 0 0 f x x x f (0) ' 3 4 0 0 () 0 0 0 6 f ' 30 () () x, 46667 30 () 6 Nadalje dobimo še : (3) x,375 (4) x,3688 in (4) f 0,0000446 5

4. Poiščite koren nelinearne enačbe 3 x x x 0 0 0 s pomočjo Newton Raphsonove iteracijske metode. Predpostavimo, da je x (0) približna vrednost korena enačbe f(x) 0. Uporabimo Taylorjevo formulo in razvijemo funkcijo f(x) v vrsto v bližini točke x (0) : ( ) ( ) ( ) (0) ( x ) ( ) (0) ( x ) (0) (0) (0) (0) x (0) (0) ( n) (0) f x Rn ( ) f x x f x f ' x f '' x...!! n ( n )! Vidimo, da je vrednost funkcije v točki z absciso (x (0) Δx (0) ), to je f(x (0) Δx (0) ), izražena s pomočjo vrednosti funkcije in vrednosti njenih odvodov v točki A in ostankom vrste R n. Če je predpostavljena vrednost x (0) blizu rešitve (to je tudi pogoj za konvergenco NR metode), je Δx (0) relativno majhna vrednost in lahko tako zanemarimo vse višje potence od Δ x (0) : (0) (0) (0) (0) (0) ( ) ( ) '( ) f x x f x x f x Predpostavimo, da je x x koren enačbe ( ) 0 (0) (0) (0) (0) (0) ( ) ( ) 0 f x x f ' x Iz tega dobimo, da je (0) x f f (0) ( x ) (0) '( x ) Ker je pač x () x (0) Δx (0) novi približek, imamo tudi x f x f () (0) (0) ( x ) (0) '( x ) f x, to omeni, da je f ( x (0) x (0) ) Z majhnimi zanemaritvami smo prišli do istega izraza kot pri tangentni metodi. (0) 3 f x x x 0 0 0 f x x x f (0) ' 3 4 0 0 () 0 0 0 6 f ' 30 () () x, 46667 30 () 6 Nadalje dobimo še : (3) x,375 (4) (4) x,3688 in f 0,0000446 0. 53

5. Rešite sistem enačb x y in x xy y s pomočjo Newton Raphsonove iteracijske metode. Matematični model si oglejmo najprej na splošnem sistemu dveh enačb z dvema neznankama: f f ( xy) ( xy), 0, 0 Predpostavljene začetne (približne) vrednosti naj bodo x (0) in y (0). Po Taylorjevi formuli razvijemo enačbi v vrsto in zanemarimo pri tem vse višje potence Δ x in Δy: (0) (0) (0) (0) (, ) (, ) f x y f (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) x y f( x x, y y ) f( x, y ) x y x y (0) (0) (0) (0) (, ) (, ) f x y f (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) x y f( x x, y y ) f( x, y ) x y x y Če predpostavimo, da so (x (0) Δx (0) ) in (y (0) Δy (0) ) točne vrednosti podanih enačb, lahko zapišemo: saj je (0) (0) (0) (0) (, ) (, ) f x y f x y x y f x y x y (0) (0) (0) (0) (, ) (, ) (, ) (0) (0) (0) (0) f x y f x y x y f x y x y (, ) (0) (0) (0) (0) ( (0) (0) (0) (0)) ( (0) (0) (0) (0)) f x x, y y 0 f x x, y y 0 Tako smo dobili dve enačbi z dvema neznankama Δx (0) in Δy (0). Če zapišemo enačbi v matrični obliki, dobimo: (0) (0) (0) (0) (, ) (, ) f x y f x y (0) f x y ( (0), (0)) ( ) x y x (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) f( x, y ) f( x, y ) y f x, y x y Matriko odvodov imenujemo Jacobijeva matrika. Z rešitvijo teh enačb dobimo vrednosti neznank Δx (0) in Δy (0). Z njima lahko izračunamo točnejši vrednosti korenov x () in y () s pomočjo relacij: x x α x () (0) (0) y y α y () (0) (0) Postopek ponavljamo do želene točnosti. 54

Zapišimo sedaj naš sistem v obliki, primerni za reševanje po Newton Raphsonovi iteracijski metodi: ( ) ( ) f xy x y, f xy x x y, y x Če narišemo krivulji, ki ju predstavljata obe enačbi, vidimo, da se sekata v štirih točkah, katerih koordinate so približno enake (,4; 0,5), (0,7;,), (0,;,4) in (,4; 0,3). Izračunajmo prvo (naznačeno) presečišče na štiri decimalke natančno. Začetni vrednosti predpostavimo x (0),4 in y (0) 0,5. V tej točki izračunamo Jacobijevo matriko [J] in stolpčni vektor odstopanj funkcijskih vrednosti [F]: [ J ] [ F ] x y,8, 0 x y x,8,8 x y, 4 0,5 0, x x y, 4, 4 0,5 0,5 0,06 Popravka izračunamo direktno z invertiranjem Jacobijeve matrike: x 0, 63 0,46 0, 0,0640 y 0, 63 0, 4094 0,06 0,0307 (0) [ J] [ F] (0) Novi približni vrednosti sta: () (0) (0) x x α x, 4 0,0640,3360 () (0) (0) y y α y 0,5 0,0307 0, 4693 V nadaljevanju dobimo: x y in () () () x () y,33455 0, 46794 0,000004 0,00000 torej imamo prvo presečišče znano na štiri decimalke. 55

LITERATURA. Zvonimir BOHTE Numerična analiza, Institut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana 973. Marjan PLAPER Elektroenergetska omrežja, Univerza v Ljubljani, Ljubljana 975 3. Glenn W. STAGG, Ahmed H. El-ABIAD omputer methods in power system analysis, Mc Graw-Hill, New York 968 4. Božidar STEFANINI, Srđan BABIĆ, Mirjana URBIHA FEUERBAH Matrične metode u analizi električnih mreža, Školska knjiga, Zagreb 975 56

PRILOGA V tej prilogi so izpisi nekaterih fortranskih podprogramov za matrične operacije iz IMB-ove knjižnice Scientific Subroutine Package in podprogramov, ki so prirejeni po njhovem vzorcu in omogočajo računanje tudi s komleksnimi števili. Ime podprograma MSTR STR LO ARRAY GMADD MADD GMSUB MSUB GMPRD MPRD GMTRA MTRA GTPRD TPRD MINV MINV SXRED SIMQ SIMQ Namen Sprememba načina shranjevanja splošne matrike Sprememba načina shranjevanja matrike s kompleksnimi elementi Lokacija elementa v zgoščenem zapisu Sprememba načina shranjevanja iz (v) vektorskega v (iz) matrični zapis Vsota dveh splošnih matrik Vsota dveh matrik s kompleksnimi elementi Razlika dveh splošnih matrik Razlika dveh matrik s kompleksnimi elementi Zmnožek dveh splošnih matrik Zmnožek dveh matrik s kompleksnimi elementi Transponiranje splošne matrike Transponiranje matrike s kompleksnimi elementi Zmnožek transponirane splošne matrike z drugo splošno matriko Zmnožek matrike s kompleksnimi elementi z drugo matriko s kompleksnimi elementi Invertiranje matrike Invertiranje matrike s kompleksnimi elementi Redukcija oz. invertiranje simetrične matrike s kompleksnimi elementi Rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb Rešitev sistema linearnih enačb s kompleksnimi elementi Stran 57

NEKAJ SPLOŠNIH PRAVIL ZA UPORABO Vse podprograme uporabljamo s fortranskim stavkom ALL. Podprogrami so čisto računski in ne uporabljajo vhodno-izhodnih enot. Za rešitev svojega problema mora tako uporabnik v svojem glavnem programu predvideti vhodno-izhodne enote. Razen tega mora uporabnik v stavku DIMENSION določiti velikost vseh potrebnih spremenljivk. Stavek ALL prenese izvajanje v podprogram in zamenja slepe spremenljivke v podprogramu z vrednostmi, ki se pojavijo v stavku ALL. Spremenljivke v stavku ALL se morajo po vrstnem redu, številu in vrsti ujemati z ustreznimi spremenljivkami v podprogramu. DIMENZIONIRANJE SPREMENLJIVK Praviloma so matrike shranjene kot vektorji. Pri tem sledi vsakemu stolpcu takoj naslednji stolpec. Vektorski zapis in dvodimenzionalni zapis sta v spominu enaka, če je število vrstic in stolpcev matrike enako številu vrstic in stolpcev v stavku DIMENSION. Kakor hitro pa je matrika manjša od pripravljenega prostora, obe sliki shranjevanja nista primerljivi. a a a a a a a a a a a a a a a a 3 4 3 4 3 3 33 34 4 4 43 44 dvodimenzionalen zapis a a a a a a a a a a a a a a33 a a43 3 4 4 4 3 3 34 4 3 44 vektorski zapis Uporabnik lahko matrike sestavlja v vektorskem zapisu ali pa uporabi podprogram ARRAY za preoblikovanje iz enega zapisa v drugi. ZGOŠČENI ZAPIS Večkrat želimo zaradi varčevanja s prostorom splošno matriko zapisati krajše. Na primer simetrično matriko kot trikotno ali diagonalno kot vektor. 58

a a a a a a 3 a3 a3 a33 a4 a5 a6 a 0 0 a 0 a 0 a 0 0 a33 a3 Program LO lahko uporabimo za določitev indeksov v vektorskem oz. dvodimenzionalnem zapisu, s podprogramom MSTR pa preoblikujemo zapis matrike. 59

SUBROUTINE MSTR PURPOSE HANGE STORAGE MODE OF A MATRIX USAGE ALL MSTR(A,R,N,MSA,MSR) DESRIPTION OF PARAMETERS A NAME OF INPUT MATRIX R NAME OF OUTPUT MATRIX N NUMBER OF ROWS AND OLUMNS IN A AND R MSA ONE DIGIT NUMBER FOR STORAGE OF MATRIX A 0 GENERAL SYMMETRI DIAGONAL MSR SAME AS MSA EXEPT FOR MATRIX R REMARKS MATRIX R ANNOT BE IN THE SAME LOATION AS MATRIX A MATRIX A MUST BE A SQUARE MATRIX SUBROUTIN AND FUNTION SUBPROGRAMS REQUIRED LO METHOD MATRIX A IS RESTRUTURED TO FORM MATRIX R MSA MSR 0 0 MATRIX A IS MOVED TO MATRIX R 0 THE UPPER TRIANGLE ELEMENTS OF A GENERAL MATRIX ARE USED TO FORM A SYMMETRI MATRIX 0 THE DIAGONAL ELEMENTS OF A GENERAL MATRIX ARE USED TO FORM A DIAGONAL MATRIX 0 A SYMMETRI MATRIX IS EXPANDED TO FORM A GENERAL MATRIX MATRIX A IS MOVED TO MATRIX R TDIAGONAL ELELMENTS OF A SYMMETRI MATRIX ARE ARE USED TO FORM A DIAGONAL MATRIX 0 A DIAGONAL MATRIX IS EXPANDED BY INSERTING MISSING ZERO ELEMENTS TO FORM A GENERAL MATRIX A DIAGONAL MATRIX IS EXPANDED BY INSERTING MISSING ZERO ELEMENTS TO FORM A SYMMETRI MATRIX MATRIX A IS MOVED TO MATRIX R SUBROUTINE MSTR(A,R,N,MSA,MSR) DIMENSION A(),R() DO 0 I,N DO 0 J,N IF R IS GENERAL, FORM ELEMENT IF(MSR) 5,0,5 IF IN LOWER TRIANGLE OF SYMMETRI OR DIAGONAL R, BYPASS 5 IF(I-J) 0,0,0 0 ALL LO (I,J,IR,N,N,MSR) 60

IF IN UPPER AND OFF DIAGONAL OF DIAGONAL R, BYPASS IF(IR) 0,0,5 OTHERWISE, FORM R(I,J) 5 R(IR)0.0 ALL LO(I,J,IA,N,N,MSA) IF THERE IS NO A(I,J), LEAVE R(I,J) AT 0.0 IF R(IR)A(IA) 0 ONTINUE RETURN END 6

6