Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko 26. maj 25

Osnove teorije kopul Definicija kopule Definicija Funkcija C : A A 2 [, ], kjer sta A, A 2 [, ], je (dvorazsežna) podkopula, če velja, A j za j {, 2} in so izpolnjeni naslednji pogoji: (C) C(u, ) = za vsak u A in C(, v) = za vsak v A 2, (C2) C(u, ) = u za vsak u A in C(, v) = v za vsak v A 2, (C3) C je 2-naraščajoča, tj. za vse u u 2 iz A in v v 2 iz A 2 je V C ((u, u 2 ] (v, v 2 ]) = C(u 2, v 2 ) C(u 2, v ) C(u, v 2 ) + C(u, v ). (,) (u,v 2 ) id (u 2,v 2 ) (,) (Dvorazsežna) kopula je podkopula z definicijskim območjem I 2 := [, ] 2. V C ([u,u 2 ] [v,v 2 ]) id (u,v ) (u 2,v ) (,) (,)

Osnove teorije kopul Analitične lastnosti kopul Naj bo C poljubna kopula. Potem velja: C je naraščajoča v vsaki spremenljivki posebej. Za vse (u, v), (u, v ) I 2 velja C(u, v ) C(u, v) u u + v v, torej je C enakomerno zvezna. Za vsak v I obstaja parcialni odvod C(u, v)/ u za skoraj vsak u in pri takih u ter v je C(u, v)/ u [, ]. Podobno velja za C(u, v)/ v.

Osnove teorije kopul Sklarov izrek Kopule so torej zožitve skupnih porazdelitvenih funkcij, katerih robni porazdelitvi sta enakomerni zvezni porazdelitvi na [, ]. Izrek (Sklarov izrek) Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenima funkcijama F in G. Potem obstaja taka kopula C, da velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R. () Če sta F in G zvezni, potem je C enolično določena, v nasprotnem primeru pa je C enolična le na im F im G. Obratno, če je C kopula in sta F ter G porazdelitveni funkciji, potem je z enačbo () definirana skupna porazdelitvena funkcija H, katere robni porazdelitveni funkciji sta enaki F in G.

Osnove teorije kopul Urejenost kopul Definicija Kopula C je manjša od C 2, če je C (u, v) C 2 (u, v) za vse u, v I. Oznaka: C C 2. Fréchet-Hoeffdingova spodnja meja: W (u, v) = max{u + v, }. Fréchet-Hoeffdingova zgornja meja: M(u, v) = min{u, v}. Za poljubno kopulo C velja W C M. Produktna kopula: Π(u, v) = uv.

Osnove teorije kopul Verjetnostni pomen Π, M in W Definicija Naj bo C kopula. Če za slučajni spremenljivki X in Y z X F, Y G ter (X, Y ) H, velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R, potem C imenujemo slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula. Oznaka: C X,Y. Trditev Naj bosta X in Y zvezni slučajni spremenljivki. Potem velja: C X,Y = Π natanko tedaj, ko sta X in Y neodvisni. C X,Y = M natanko tedaj, ko za vsako točko (x, y) R 2 velja P(X > x, Y y) = ali P(X x, Y > y) =, tj. Y je skoraj gotovo strogo naraščajoča funkcija slučajne spremenljivke X. C X,Y = W natanko tedaj, ko za vsako točko (x, y) R 2 velja P(X x, Y y) = ali P(X > x, Y > y) =, tj. Y je skoraj gotovo strogo padajoča funkcija slučajne spremenljivke X.

v Osnove teorije kopul v v Grafi in grafi nivojnic kopul W, Π in M W.2.4.6.8 Π.2.4.6.8 M.2.4.6.8.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2 u u u

Osnove teorije kopul Kopula preživetja Naj bosta X in Y slučajni spremenljivki s pripadajočo kopulo C, porazdelitvenimi funkcijami F X, G Y in H (X, Y ) ter pripadajočimi funkcijami preživetja F, G in H. Potem za vse x, y R velja H(x, y) = F (x) G(x) + H(x, y) = F (x) + G(x) + C(F (x), G(y)) = F (x) + G(x) + C( F (x), G(y)). Slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula preživetja je funkcija Ĉ : I 2 I, Ĉ(u, v) = u + v + C( u, v). Kopula preživetja je kopula in zanjo velja H(x, y) = Ĉ(F (x), G(y)) za vse x, y R.

Pregled metod konstrukcij kopul Konveksne kombinacije kopul Definicija Naj bo {C θ } θ neka družina kopul. Parameter θ naj bo realizacija slučajne spremenljivke Θ s porazdelitvenim zakonom µ Θ. Konveksna vsota kopul {C θ } θ glede na µ Θ je funkcija C(u, v) = R C θ (u, v) dµ Θ (θ). Porazdelitev Θ je lahko odvisna še od nekega parametra. Fréchetova družina kopul Naj bosta α, β [, ] taka, da je α + β. Dvoparametrična Fréchetova družina kopul je podana s C α,β (u, v) = αw (u, v) + ( α β)π(u, v) + βm(u, v).

Pregled metod konstrukcij kopul Grafi nivojnic Fréchetove družine kopul α =.2, β =.3.2.4.6.8 α = /3, β = /3.2.4.6.8 α =.3, β =.2.2.4.6.8.8.8.8.6.6.6 v v v.4.4.4.2.2.2 u u u

Pregled metod konstrukcij kopul Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje M, angleško shuffles of M, so singularne kopule, ki jih dobimo na naslednji način: Kvadrat I 2, opremljen s porazdelitvenim zakonom µ M, navpično razrežemo na končno mnogo trakov, ki jih nato med seboj premešamo in nekatere izmed njih obrnemo okoli svoje navpične simetrijske osi..7.7.2.2.2.7.2.5

Pregled metod konstrukcij kopul Preureditve M lastnosti X in Y sta medsebojno popolno odvisni, če obstaja taka injektivna funkcija g : im X im Y, da je Y = g(x) skoraj gotovo. Če je C X,Y preureditev M, sta X in Y medsebojno popolno odvisni. Trditev Za vsak ε > obstaja taka preureditev M, ki jo označimo s C ε, da je sup C ε (u, v) Π(u, v) < ε. u,v I Posplošitev: Π lahko zamenjamo s poljubno kopulo. Posledica: preureditve kopule M so goste v množici kopul glede na supremum normo.

Pregled metod konstrukcij kopul Kopule s predpisanimi vodoravnimi odseki vsi vodoravni odseki so linearne funkcije, tj. C(u, v) = a(v)u + b(v) za neki funkciji a, b : I R = C = Π vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije = C(u, v) = uv + ψ(v)u( u), kjer je ψ : [, ] R -Lipschitzeva s ψ() = ψ() = vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije + simetrična kopula = C θ (u, v) = uv + θuv( u)( v), θ [, ] Farlie-Gumbel-Morgensternove kopule

Pregled metod konstrukcij kopul Razsevni diagrami FGM kopul θ = θ = θ =.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8

Pregled metod konstrukcij kopul Kopule s predpisanim diagonalnim odsekom Naj bo δ : I R neka funkcija. Želimo definirati kopulo C, katere diagonalni odsek δ C (t) = C(t, t), t I, je enak δ. Funkcija δ : I R je diagonala, označimo δ D, če je naraščajoča, 2-Lipschitzeva in zanjo velja δ() =, δ() = ter δ id. Za δ D je diagonalna kopula funkcija { C δ (u, v) = min u, v, Za δ D je Bertinova kopula funkcija } δ(u) + δ(v). 2 B δ (u, v) = min{u, v} min{t δ(t) t [min{u, v}, max{u, v}]}.

Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Definicija Arhimedovih kopul Definicija Naj bo ϕ: [, ] [, ] zvezna strogo padajoča funkcija, za katero je ϕ() =. Psevdoobrat funkcije ϕ je funkcija ϕ [ ] : [, ] [, ], podana s predpisom ϕ [ ] = { ϕ (t), za t [, ϕ()],, za t [ϕ(), ]. Arhimedova kopula je funkcija C : I 2 I, podana s predpisom C(u, v) = ϕ [ ]( ϕ(u) + ϕ(v) ).

Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Verjetnostna interpretacija Naj bodo E, E 2 in R neodvisne, E, E 2 Exp(), R >. Definiramo (X, Y ) = (E /R, E 2 /R). Naj bo ψ Laplaceova transformacija R. Za x, y > velja F X (x) = ψ(x), F Y (y) = ψ(y), F (X,Y ) (x, y) = ψ(x + y). Po Sklarovem izreku torej obstaja taka kopula preživetja C, da je ψ(x + y) = C(ψ(x), ψ(y)) za x, y > oziroma C(u, v) = ψ(ψ (u) + ψ (v)), u, v [, ]. (2) Glede na prvotno definicijo: ϕ ψ. Funkcija (2) je kopula za večji razred funkcij kot so Laplaceove transformacije.

Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Primeri parametričnih družin Claytonova kopula: C θ (u, v) = max{u θ + v θ, } /θ, θ [, )\{}. V verjetnostnem modelu: za θ (, ) je R Γ(/θ, ). θ =.7 θ = 5.8.8.6.6.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8 Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).

Pregled metod konstrukcij kopul Gumbelova kopula: C θ (u, v) = exp Arhimedove kopule [ ( ( ln u) θ + ( ln v) θ) /θ ], θ [, ). Joejeva kopula: ( C θ (u, v)= ( u) θ +( v) θ ( u) θ ( v) θ) /θ, θ [, ). V verjetnostnem modelu ima R Sibuya porazdelitev: P(R = k) = ( ) k+( ) /θ k za k N. Gumbel, θ = 5 Joe, θ = 5.8.8.6.6.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8

Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Frankova kopula: C θ (u, v) = ( θ ln + (e θu )(e θv ) ) e θ, θ R\{}. Za θ (, ) je v verjetnostnem modelu R porazdeljena logaritemsko s parametrom p = e θ. θ = 5 θ = 8.8.8.6.6.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8 Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).

Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Ali-Mikhail-Haqova kopula: C θ (u, v) = uv, θ [, ). θ( u)( v) V verjetnostnem modelu: R Geom( θ). θ = θ =.9.8.8.6.6.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8 Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).

Pregled metod konstrukcij kopul Obratna metoda Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenima funkcijama F in G. Po Sklarovem izreku obstaja enolično določena podkopula C z domeno im F im G, za katero velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R. Za vsak (u, v) dom C torej velja C(u, v) = H(F (u), G (v)), (3) kjer je F posplošeni obrat porazdelitvene funkcije F, tj. F : [, ] R, F (u) = inf{x R F (x) u}. Če sta F in G zvezni, potem velja (3) za vse (u, v) I 2.

Pregled metod konstrukcij kopul Eliptične kopule Če je H porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (X, X 2 ) z eliptično porazdelitvijo, dobimo s (3) eliptično kopulo. Ta je neodvisna od µ i = E(X i ). Gaussova (ali normalna) kopula je eliptična kopula, ki pripada slučajnemu vektorju (X, X 2 ) z bivariatno normalno porazdelitvijo s p := ρ Pearson (X, X 2 ). Studentova t-kopula je eliptična kopula, ki pripada bivariatni Studentovi t-porazdelitvi s stopnjo prostosti ν in p := ρ Pearson (X, X 2 ).

Pregled metod konstrukcij kopul p =.3 p =.5 p =.9.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8 Slika: Razsevni diagrami Gaussove kopule pri različnih vrednostih parametra p. p =.3 p =.5 p =.9.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8 Slika: Razsevni diagrami Studentove t-kopule pri stopnji prostosti ν = 2 in različnih vrednostih parametra p.

Motivacija in Marshallove kopule Verjetnostni model A življenjskadoba U B življenjskadoba V U = min{x, Z} V = min{y, Z} Marshallove kopule od predpostavki X, Y, Z Exp neodvisne X Z Y Marshall-Olkinove kopule možnost obnovitve A življenjskadoba U B življenjskadoba V U = max{x, Z} V = min{y, Z} maksmin kopule neodvisne X Z Y

Motivacija in Marshallove kopule Definicija Marshallovih kopul Naj funkciji φ, ψ : I I zadoščata pogojem: φ() = ψ() = in φ() = ψ() =, φ in ψ sta naraščajoči, funkciji φ (u) = φ(u) u in ψ (v) = ψ(v) v sta padajoči na (, ]. Marshallova kopula je funkcija, definirana s predpisom za u, v (, ]. C φ,ψ (u, v) = min{φ(u)v, uψ(v)} = uv min{φ (u), ψ (v)} Posebni primer so Marshall-Olkinove kopule: C α,β (u, v) = min{u α v, uv β }, α, β [, ].

Motivacija in Marshallove kopule Karakterizacija Marshallovih kopul Izrek (Marshallov izrek) Naj bo C φ,ψ Marshallova kopula in H = C φ,ψ (F, G). Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: Obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je H porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (max{x, Z}, max{y, Z}). 2 φ F = ψ G. Izrek Naj bo U = max{x, Z} in V = max{y, Z}, kjer so X, Y in Z neke neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Potem obstajata taki funkciji φ in ψ, da za pripadajočo Marshallovo kopulo C φ,ψ velja H = C φ,ψ (F, G).

Maksmin kopule Funkciji φ in ψ Za funkciji φ, ψ : [, ] [, ] definiramo funkciji φ, ψ : [, ] [, ]: φ (u) = φ(u) u ;, če je ψ(v) = v [, ), ψ(v) ψ (v) =, če je ψ(v) v, v ψ(v), če je v =. Funkciji φ in ψ naj zadoščata naslednjim pogojem: φ() = ψ() = in φ() = ψ() =, φ in ψ sta naraščajoči, φ in ψ sta padajoči. Pravimo, da par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F).

Maksmin kopule Lastnosti funkcij φ in ψ Iz (F) sledijo naslednje lastnosti: u φ(u) za vse u I, ϕ ψ(v) v za vse v I, če je φ(u)=u za nek u (, ], potem je φ na intervalu [u, ] enaka identični funkciji, ψ če je ψ(v)=v za nek v [, ), potem je ψ na intervalu [, v] enaka identični funkciji, ϕ ψ (v) v, φ (u) u c [, ], ψ

Maksmin kopule Lastnosti funkcij φ in ψ nadaljevanje φ(u 2 ) φ(u ) u 2 u φ (u 2 ) φ (u ) za vse < u < u 2, ψ(v 2 ) ψ(v ) v 2 v ψ(v ) v ψ(v 2) v 2 za vse v < v 2 <, φ (t) in ψ (t) obstajata za skoraj vsak t in za vsak tak t je φ (t) φ (t) in ψ (t) ψ(t) t, φ je zvezna na (, ], ψ je zvezna na [, ), φ ψ.

Maksmin kopule Definicija maksmin kopule Definicija Naj par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F). Funkcijo C φ,ψ : I 2 I, definirano s predpisom C(u, v) = C φ,ψ (u, v) = min{φ(u)(v ψ(v)), u( ψ(v))} + uψ(v), imenujemo maksmin kopula. Ekvivalentno: { u(v ψ(v)) min{φ (u), ψ (v)} + uψ(v), če je φ (u), ψ (v) <, C(u, v) = uv, C(u, v) = Za u v je φ (u) ψ (v). sicer; { φ(u)(v ψ(v)) + uψ(v), če je φ (u) ψ (v), u, če je ψ (v) φ (u).

Maksmin kopule Verjetnostna lema Lema Naj bosta U in V slučajni spremenljivki, U F, V G in (U, V ) H. Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: Obstajajo neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z s porazdelitvenimi funkcijami F X, F Y oziroma F Z, za katere je U = max{x, Z} in V = min{y, Z}. 2 Porazdelitveno funkcijo H lahko s porazdelitvenimi funkcijami F X, F Y in F Z izrazimo kot H(x, y) = F X (x)( F Y (y)) min{f Z (x), F Z (y)} + F X (x)f Y (y)f Z (x). Če velja katerakoli izmed trditev (i) ali (ii), je F = F X F Z in G = F Y + F Z F Y F Z.

Maksmin kopule Prvi izrek karakterizacije Izrek Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neke neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Potem obstaja tak par funkcij (φ,ψ), ki zadošča pogoju (F), da za pripadajočo maksmin kopulo C φ,ψ velja H(x, y) = C φ,ψ (F (x), G(y)) za vse x, y R. Ideja dokaza: Želimo F X (x) = φ(f (x)) in F Y (y) = ψ(g(y)). Definiramo zato φ(u) = F X (F (u)) za u im F \{, }, ψ(v) = F Y (G (v)) za v im G\{, }.

Maksmin kopule Drugi izrek karakterizacije Iz dokaza prejšnjega izreka sledi Izrek φ(f (x)) [ G(x) ψ(g(x)) ] = F (x) [ ψ(g(x)) ] za vse x R. (4) Naj bo C φ,ψ maksmin kopula s pripadajočima funkcijama φ in ψ. Naj bosta F in G porazdelitveni funkciji ter H = C φ,ψ (F, G). Za funkcije φ, ψ, F in G naj velja (4) ter: Funkcija φ je zvezna v, ali pa je x F = inf{x R F (x) > } > in ima F v x F skok. Funkcija ψ je zvezna v, ali pa obstaja tak x R, da je G(x) =. Obstaja tak x, da je F (x ) > in G(x ) <. Potem obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je H skupna porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (max{x, Z}, min{y, Z}). Ideja dokaza: F X = φ F, F Y = ψ G, in F Z = /(φ F ) = /(ψ G), ko je F > in G <.

Maksmin kopule Maksmin kopula za enako porazdeljene čase udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z enako porazdeljene s porazdelitveno funkcijo F X. Dobimo F = FX 2 in G = 2F X FX 2. Iščemo φ in ψ, za kateri velja φ(f (x)) = F X (x) in ψ(g(y)) = F X (y) = F Y (y). Definiramo zato funkciji φ(u) = u, u I, in ψ(v) = v, v I. Od tu sledi H = C φ,ψ (F, G).

Maksmin kopule Maksmin kopule za eksponentno porazdeljene čase udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z porazdeljene eksponentno s parametri λ, λ 2 oziroma λ 2. Zopet želimo poiskati takšni funkciji φ in ψ, da bo H = C φ,ψ (F, G). Po dokazu prvega izreka karakterizacije dobimo ψ(v) = ( v) β, kjer je β = λ 2 λ 2 + λ 2, in, če je u =, φ(u) = e λ F (u), če je u (, ),, če je u =.

Maksmin kopule Parametrična družina maksmin kopul Za parametra α, β [, ] definiramo naslednji družini funkcij: za α [, ) naj bo φ α (u) = u α, u I, za α = naj bo φ = (,], in za β [, ) naj bo ψ β (v) = ( v) β, v I, za β = naj bo ψ = {}. Označimo s C α,β pripadajočo maksmin kopulo.

v Maksmin kopule v v Parametrična družina grafi nivojnic in razsevni diagrami α =.5, β =.5.2.4.6.8 α =.9, β =.5.2.4.6.8 α =.5, β =.9.2.4.6.8.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2 u u u α =.5, β =.5 α =.9, β =.5 α =.5, β =.9.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2.2.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8

Maksmin kopule Urejenost maksmin kopul Za vsako maksmin kopulo C φ,ψ velja: Π C φ,ψ M, φ = id ali ψ = id = C φ,ψ = Π, φ = (,] in ψ = {} = C φ,ψ = M, ζ φ in η ψ = C φ,ψ C ζ,η. ϕ M ζ ϕ ψ η ψ M

Maksmin kopule Enakomerno zvezno porazdeljeni časi udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z porazdeljene enakomerno zvezno na intervalih [, a], [, b] in [, c]. Označimo α = c/a > in β = c/b >. Po prvem izreku karakterizacije dobimo { αu, če je u [, α], za α je φ α (u) = u, če je u (α, ]; { αu, če je u [, /α], za α > je φ α (u) =, če je u (/α, ], in ( ) +β ψ β (v) = 2 +β 2 2 βv, če je v <,, če je v =.

Maksmin kopule EZ porazdeljeni časi udarov razsevni diagrami α =.5, β =.2 α.2.4.6.8 α =.5, β =.8 α.2.4.6.8 α =.5, β =.5 α/β 2 α.4.6.8.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2 α =.5, β =.5.2.4.6.8 α =.5, β =.2 /β.2.4.6 α =.5, β = 2 α/β 2.2.6.8.8.8.8.6.6.6.4.4.4.2.2.2 /α /α /α

Maksmin kopule Še ena parametrična družina maksmin kopul Za < a < b < in < c < d < definiramo odsekoma linearni funkciji b a u, za u [, a], φ(u) = b, za u (a, b], u, za u (b, ]; v, za v [, c), ψ(v) = c, za v [c, d), c d v d c d, za v [d, ]. Naj bo b/a ( c)/(d c). Potem za vse u (, ] in v [, ) velja φ (u) b/a < ( c)/(d c) ψ (v).

Maksmin kopule Nadaljevanje primera a b a b D 5 D 4 v d v d D 2 D 3 c c D u u Slika: a =.35, b =.7, c =.3 in d =.5.

Literatura R. B. Nelsen, An Introduction to Copulas, Springer Science+Business Media, Inc., New York, 26. J.-F. Mai, M. Scherer, Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications, Imperial College Press, London, 22. A. W. Marshall, I. Olkin, A multivariate exponential distribution, J. Am. Stat. Assoc. 62 (967), str. 3 44. A. W. Marshall, Copulas, marginals, and joint distributions, v: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. D. Taylor (ur.), Distributions with Fixed Marginals and Related Topics, IMS Lecture Notes Monograph Series, vol. 28, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 996, str. 23 222. M. Omladič, N. Ružić, Shock models with recovery option via the maxmin copulas, Fuzzy Sets and Systems, sprejeto v objavo 24, DOI:.6/j.fss.24..6.