DN#4 lnsk DN#7) - mrec 09) B Potence s celimi eksponenti Potenc je izrz oblike n, kjer je poljubno število R), n p poljubno nrvno li celo število n N li n Z). Število imenujemo osnov, n je stopnj li eksponent. Če je eksponent nrvno število, potenco n izrčunmo tko, d osnovo pomnoˇzimo smo s sbo tolikokrt, kolikor je je eksponent n, recimo, 0 6 pomeni produkt, 0, 0, 0, 0, 0, 0, kr po oprvljenih mnoˇzenjih dá rezultt, 06505060. Če je eksponent negtivno celo število, vzemimo n, je potenc n ulomek n, torej n n. Tko je 0, 0 0, 0 000 000. 0, 00000 S potencmi lhko rčunmo, zto p je treb poznti prvil: Prvil. mn m+n. m ) n mn. b) n n b n 4. 5. n n 6. 7. m n m n ) b b ) n 8. n b b n 9. 0 0. ) sodo. ) liho Prvil utrdimo z nekj zgledi. Rešeni primeri Zgled : Preveri, če veljjo nslednje enkosti. Če ne veljjo, jih poprvi tko, d bodo veljle:. b b. +b) + b. b ) 6 6 b 9
Vse tri enkosti so npčne. Poprvimo jih lhko tko, d spremenimo levo li desno strn enkosti,lhko p poprvimo obe strni. Če v prvem primeru poprvljmo desno strn in ohrnimo levo strn, dobimo b b b. Če p ohrnimo desno strn, mormo zpisti b b). V drugem primeru enkost dobimo, če ob znk + zmenjmo z znkom ; tko dobimo b) b) b b, lhko p levo strn rzvijemo s formulo z kub tretjo potenco) binom, d dobimo +b) + b+b + b. V zdnjem primeru ohrnimo levo strn, desno p prvilno izrčunmo z zpisnimi prvili: b ) b ) ) ) b ) 6 b 6 9 6 b 6 Torej je prviln enkost b ) b ) 9 6 b 6. Zgled : Poenostvi izrz b ). b) Njprej odprvimo oklepje. Zto uporbimo prvilo o potencirnju produkt: b ) ) b ) ) b ) ) ) b Ndljujemo z uporbo prvil o potencirnju potence in potencirnju predznk : ) ) b ) ) ) b 4 6 b 4 7) 6 b Končmo z uporbo prvil o mnoˇzenju potenc z isto osnovo: 4 6 b 4 7) 6 b 08 b 7 Zgled : Poenostvi izrz ) m ) m, kjer je m nrvno število, torej m N. Prnosti lihost li sodost) eksponentov m in m nemoremo določiti. Zto izrz zpišemo v obliki )) m ) ) m in potem odprvimo oklepje: ) ) m ) ) m ) m m ) m m ) m +m m +m ) 4m 5m 4 5m 4 Pri končnem rezulttu smo upoštevli, d je 4m liho nrvno število in je zto ) 4m.
Zgled 4: Izrčunj ) + 4) 0 4) 5) + 4) 4. ) + 4) 0 4) 5) + ) 4 4 + 4) 5)+44 + 500+56 ) 4 ) Zgled 5: Poenostvi izrz :. b b 4 Uporbimo prvil z rčunnje s potencmi. Njprej odprvimo oklepje: ) 4 ) : ) b b 4 b ) : 4 ) b 4 ) b 6 : 4 b 4 Negtivne eksponente pri enočlenikih spremenimo v pozitivne tko, d potence s tkimi eksponenti preselimo iz števc v imenovlec li obrtno. Istočsno še deljenje spremenimo v mnoˇzenje in n koncu še uporbimo prvil o mnoˇzenju in deljenju potenc z isto osnovo: b 6 : 4 b 4 b 6 4b4 b b Zgled 6: Zelo velik li zelo mjhn števil lhko predstvimo v eksponentni li znnstveni oblik uporbljmo tudi izrz stndrdn oblik). Recimo Avogdrovo število 60 00 000 000 000 000 000 000 zpišemo v obliki 6, 0 0 li v obliki 60, premer vodikoveg tom 0, 000 000 000 5cm p v obliki, 50 0 cm. V splošnem im eksponentni zpis števil obliko 0 n, kjer je < 0, n p je celo število. Rešimo nslednje nloge:. Zpiši v znnstveni obliki nslednj števil: 0, 000 000 000 000 000 000 000 00 67 g ms vodikoveg tom), 50 000 000 km površin Zemlje), 00 000 km/s hitrost svetlobe). Nek zvezd je 500 svetlobnih let oddljen od Zemlje. Svetlobno leto je dolˇzin, ki jo svetlob prepotuje v enem neprestopnem) letu. Kolik je rzdlj od Zemlje do te zvezde v km? Zpiši v znnstveni obliki.. Oceni brez uporbe rčunl rezultt rčun 00000 0, 000000000 00000 0, 0000000005 V mestnem decimlnem desetiškem) zpisu so celi deli sestvljeni iz enic, desetic, stotic in tko dlje. Števk n mestu enic pomeni po eno enoto preštevnj, števk n mestu enic pomeni po deset enot števk recimo
pomeni 0 osnovnih enot), n mestu stotic vsk števk pomeni po sto osnovnih enot. Količine, ki so mnjše od ene enote rzdelimo n desetine, stotine, tisočine... osnovne enote. Z primer vzemimo število,4567. Zpis teg števil pomeni smo krjši zpis vsote 0 + 0 + 0 0 + 40 + 50 + 6 0 + 70 4. V splošnem pomeni števk n n-tem mestu levo od decimlne vejice po 0 n osnovnih enot 0 0, 0, 0,...), števk n n-tem mestu desno od decimlne vejice p po 0 n 0 n osnovne enote. Uporbimo opisno n primeru mse vodikoveg tom 0, 000 000 000 000 000 000 000 00 67 g. Prv neničeln števk se nhj n 4 tem decimlnem mestu n desni, drug in tretj neničeln števk p n 5 in 6 mestu. Zto je 0, 000 000 000 000 000 000 000 00 67 0 4 + 60 5 + 70 6. N desni strni izspostvimo fktor 0 4. Dobimo: 0, 000 000 000 000 000 000 000 00 67 0 4 + 60 5 + 70 6 0 4 +60 + 7 0 ), 670 4 Površino Zemlje zpišemo v obliki 50 000 000 km 5, 0 8 km, hitrost svetlobe p je enk 00 000 km/s 0 5 km/s 0 8 m/s. V drugem primeru njprej izrčunjmo, koliko km pomeni eno svetlobno leto: svetlobno leto 0 5 km/s654600s 0 5, 650, 40, 60. 950 km 9, 50 km Zto je zvezd iz nloge oddljen od Zemlje 500 svetlobnih let 50 9, 50 km 47, 50 4 km. 50 5 km Še zdnj nlog. Števil, ki nstopjo v rčunu zpišimo v znnstveni obliki: 00000, 00 0 7, 0, 000000000, 00 9, 00000 0 5, 0, 0000000005, 0005 0 7 Zto je 00000 0, 000000000 00000 0, 0000000005. 07 0 9 0 5 0 7 0, 00 0, Zgled 7: Poenostvi izrz. b b : b b. x 6x x 9x : x + 4x + 4x x + x 4x x 4 Izrz bomo poenostvili n dv nčin. N prvi nčin potence z negtivno stopnjo spremenimo v potence s pozitivno stopnjo in porčunmo z dobljenimi dvojnimi ulomki: b b : b b b : b b b b b : b b b b b ) b b : b )b b b ) b b b b ) b+) b b +b 4
V drugem nčinu reševnj uporbimo prvilo rzširjnj ulomkov. Zčnemo lhko enko kot v prvem nčinu, potem p dobljen dvojn ulomk rzširimo s skupnim imenovlcem števc in imenovlc dvojneg ulomk: b b : b b b b : b b b b b b b b : b b b ) b b b ) b+ ) b +b Rhl sprememb drugeg nčin reševnj je, če rzširimo ulomek ˇze pred spremembo v dvojne ulomke: b b : b b b b b b : b b b b b b : b b b ) b b b ) b+) b +b Drugi izrz preoblikujemo z zdnjim opisnim nčinom. Ustrezne komentrje nj postvi brlec sm. x 6x x x 9x x : x + 4x + 4x x 4 x + x 4x x 4 x 4 x x 6x x 9 : x + 4x + 4x x + x 4x xx x 6) x )x+) : xx + 4x+4) x x+) 4x+ ) x x ) x+) x ) x+) x+) x ) x+ ) x x+) x Zgled 8: Poenostvi izrz ) m + m ), če je m nrvno število m N). m + ) m ) Uredimo števec in imenovlec ter ju rzstvimo: ) m + m ) m + m ) m + ) m) m + m) m +) m + )) 6m 6 + ) ) 6m +) Zto je ) m + m ) m + ) m ) 6m 6 + ) 6m + ) + 4 Nloge. Zpiši števil, 4, 8, 6,, 0.5, 0.5 in 0.5 kot potenco z osnovo.. Zpiši števil, 9, 7, 8, 0. in 0. kot potenco z osnovo. [ 0,,, 4, 5,,, ] [ 0,,, 4,, ]. Preveri prvilnost nslednje tbele: 5
- - - 4 0, 5 4 8 6 9 9 7 8 6 4 0, 5 6 64 56 0, 5 5 65 8 0, 5 4 0, 5 7 4 64 5 5 0, 008 5 0, 04 5 V tbeli so v prvi vrstici zpisni eksponenti, v prvem stolpcu osnove, v ostlih celich tbele p so izrčunne ustrezne potence. 4. Poenostvi: 8x [x, 4, 8 ] ) x 5 : x x 7 b) 5 7 9 c) 8x) : 6x ) 9 ) 5. Poenostvi: ) 50 0 40 ) ) b) 5 4 ) 7 : 4 5) 5 ) 49 [600, 5] 6. Preveri nslednji enkosti: ) 8xy 4 ) : 4x y 7 ) : x y 5 ) y ) b) b 5 b 5 : ) 7 7. Poenostvi: ) 5 b ) : 50 8 b 6) b) ) b 7 40 4 : b b ) 8 [ 0, 44 b)4 ] 8. Zpiši pribliˇzne rezultte nslednjih rčunov brez uporbe rčunl: ) 0, 0000045 0, 00 : 0, 0000000060057 b) 0, 0000 40, 00 [0 00, 000] 9. Poenostvi nslednj izrz: ) b ) : b ) b) 4x x+ 4 x x x [ b b+), 5 4 ] 6