Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na ravnini in a 1,a 2 poljubni števili. 1 2 r a1 v1 a2 v2 Izraz a v a v a v imenujemo linearna kombinacija vektorjev v, v,, v 1 1 2 2 n n 1 2 n Podobno je polinom a a x a x a x x x x x 2 n 0 1 2 n 0 1 2 n linearna kombinaci ja potenc,,,,. Množico, v kateri lahko tvorimo linearne kombinacije (in za katere veljajo običajna računska pravila) imenujemo linearni prostor ali vektorski prostor. Dovolj je, če preverimo, ali so linearne kombinacije dveh vektorjev a v a v 1 1 2 2 vsebovane v množici. Primeri linearnih prostorov so še realna in kompleksna števila, funkcije, ipd. Cela števila niso linearni prostor, ker pri množenju z realnimi števili ne dobimo nujno cela števila. Pozitivna realna števila niso linearni prostor, ker v njih ne moremo odštevati. MATEMATIKA 1 1
Najbolj značilni primer vektorskega prostora tvorijo realne n-terice. Elementi so oblike (x 1,x 2,...,x n ) R n, seštevamo in množimo jih po komponentah: (x 1,x 2,...,x n )+(y 1,y 2,...,y n )=(x 1 +y 1,x 2 +y 2,...,x n + y n ) k (x 1,x 2,...,x n )=(k x 1, k x 2,..., k x n ) V vektorskem prostoru lahko ene elemente izrazimo kot linearne kombinacije drugih elementov. Včasih vse elemente izrazimo s pomočjo zelo majhnega števila vektorjev. (2,3, 5) 2 (1,0,0) 3 (0,1,0) 5 (0,0,1) ali v splošnem ( x, x,, x ) x (1,0,,0) x (0,1,,0) x (0,, 0,1) 1 2 n 1 2 n polinomi kompleksna števila x 3 2 4 4 2 1 3 x 1 x x i 1 2 3 2 3 i MATEMATIKA 1 2
Naj bo 3 V ( x, y, z) ; x 2y z 0. Za ( x, y, z),( x, y, z ) V, a, a dobimo a ( x, y, z) a ( x, y, z ) ( ax a x, ay a y, az a z ) ax a x 2 ay a y az a z a ( x 2 y z) a ( x 2 y z ) 0 0 0 V je tudi vektorski prostor, ki ga tvorijo trojice (oz. vektorji v prostoru), vendar ne vse. in Za podmnožico vektorskega prostora, ki je tudi sama podprostor, pravimo, da je vektorski podprostor. Ravnine in premice skozi izhodišče so podprostori v prostoru vseh vektorjev v R 3. Ravnina, ki ne gre skozi izhodišče, ni podprostor prostora vektorjev v R 3. Polinomi, ki imajo ničlo v točki 1 so podprostor v vektorskem prostoru vseh polinomov. Vzemimo polinoma p( x), q( x), za katera je p(1) q(1) 0: tedaj je ( a p b q)(1) ap(1) bq(1) 0. Ali je mogoče v vsakem vektorskem prostoru izbrati nekaj vektorjev in s pomočjo njih izraziti vse ostale? MATEMATIKA 1 3
Množica vektorjev B je baza vektorskega prostora V, če lahko vsak vektor iz V na en sam način izrazimo kot linearno kombinacijo elementov B. Baza vektorskega prostora mora biti `ravno prav velika : če je premajhna, se nekaterih elementov V ne bo dalo izraziti z elementi baze; če ima preveč elementov pa se bo dalo elemente V izraziti na (pre)več različnih načinov. Vektor v lahko na en sam način zapišemo kot linearno kombinacijo vektorjev v, v,..., v, če ima enačba x v x v x v = v 1 1 2 2 Če v lahko zapišemo na dva različna načina: potem je n n eno samo rešitev. v x v x v x v = x v x v x v 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n x x v x x v x x v = 0 neničelni zapis vektorja 0. 1 1 1 2 2 2 n n n, 1 2 n Vektorji v, v,..., v so linearno neodvisni, če ima enačba x v x v x v = 0 1 2 n 1 1 2 2 n n eno samo rešitev in sicer x x x = 0. 1 2 n Zapis vektorja kot linearne kombinacije neodvisnih vektorjev je vedno enoličen. MATEMATIKA 1 4
V vektorskem prostoru V imamo neskončno mnogo možnih izbir za bazo, vsem tem bazam pa je skupno le to, da imajo enako mnogo elementov. Številu elementov baze pravimo dimenzija prostora V in ga označimo dimv. V vektorskem prostoru R 3 lahko za bazo vzamemo vektorje (1,0,0), (0,1,0) in (0,0,1). Poljuben vektor lahko zapišemo kot linearno kombinacijo teh treh in sicer na en sam način: Dimenzija prostora R 3 je 3. ( x, x, x ) x (1,0,0) x (0, 1,0) x (0,0,1) 1 2 3 1 2 3 Podobno je dimenzija prostora R n enaka n. V vektorskem prostoru vseh polinomov lahko za bazo vzamemo vse potence: 1,x, x 2, x 3,... Vektorski prostor vseh polinomov je neskončnodimenzionalen. Kompleksna števila so dvodimenzionalni vektorski prostor z bazo: 1,i. MATEMATIKA 1 5
Premica skozi izhodišče je vektorski prostor, v katerem lahko za bazo vzamemo (katerikoli) njen smerni vektor. Premica skozi izhodišče je enodimenzionalni vektorski prostor. 0 r Ravnina skozi izhodišče je vektorski prostor, v katerem lahko za bazo vzamemo katerakoli vektorja, ki ležita v ravnini, vendar ne na isti premici. Ravnina je dvodimezionalni vektorski prostor. r 2 0 r 1 V ravnini z enačbo x+y+2z=0 lahko za bazo vzamemo vektorja (2,0,-1) in (0,2,-1): x y x y Če za ( x, y, z) velja x y 2z 0, potem je z in ( x, y, z) (2,0, 1) (2,0, 1). 2 2 2 2 V vektorskem prostoru R 3 lahko za bazo vzamemo katerekoli tri vektorje, ki ne ležijo v isti ravnini. MATEMATIKA 1 6
LINEARNE FUNKCIJE V,W linearna prostora. Funkcija L:V W je linearna, če ohranja linearne kombinacije, tj. če velja L( a v a v a v ) = a L( v ) a L( v ) a L( v ) 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n Zadošča preveriti, če velja L( a v a v ) = a L( v ) a L( v ). 3 2 L :, L( x, y, z) ( x, y 2 z) je linearna. 1 1 2 2 1 1 2 2 La( x, y, z) a ( x, y, z ) L( ax a x, ay a y, az a z ) ax a x, ay a y 2( az a z ) a( x, y 2 z) a ( x, y 2z ) al( x, y, z) a L( x, y, z ) 2 L :, L( x, y) x 2y K K x y x y 2 :, (, ) 2 1 je linearna. ni linearna. K a( x, y) a ( x, y ) L( ax a x, ay a y ) ax a x 2( ay a y ) 1 ak( x, y) a K( x, y ) a( x 2y 1) a ( x 2y 1) ax a x 2( ay a y) a a' Odvajanje je linearna preslikava, saj velja (a u(x)+b v(x))'=a u'(x)+b v'(x). MATEMATIKA 1 7
LINEARNE ENAČBE Linearna enačba je enačba oblike L(x)=w kjer je L:V W linearna funkcija in w W. 2 2x 3y 2 je linearna enačba, kjer je L :, L( x, y) 2x 3 y, w 2 2x y 1 x 2y 3 je linearna enačba, kjer je L L x y x y x y w 2 2 :, (, ) (2, 2 ), (1,3) Z ustrezno izbrano linearno funkcijo L in vektorjem w lahko poljubni sistem linearnih enačb strnjeno zapišemo kot eno linearno enačbo. f ( x) 2 f ( x) x 1 je diferencialna enačba, ki jo lahko zapišemo kot linearno enačbo L( f ) w za L : odvedljive funkcije funkcije, L( f ) f 2 f in w x 1 MATEMATIKA 1 8
Želimo odgovoriti na dve vprašanji: a) Ali je enačba L(x)=w rešljiva? b) Če je enačba rešljiva, kaj so vse njene rešitve? Za linearno funkcijo L:V W vpeljemo: Z ( L) L( v) W; v V zaloga vrednosti L 'slika' L N ( L) v V ; L( v) 0 ničelna množica L 'jedro' L N(L) je podprostor prostora V, Z(L) pa je podprostor prostora W. Res, če sta v,v' N(L), potem je L(av+a'v')=aL(v)+a'L(v')=0, torej je tudi av+a'v' N(L). Poleg tega, za L(v),L(v') Z(L) je al(v)+a'l(v')=l(av+a'v'), torej je tudi al(v)+a'l(v') Z(L). Vsota dimenzij zaloge vrednosti in ničelne množice je ravno dimenzija V. dim Z(L)+dim N(L)=dim V Izberimo bazo L(x 1 ),, L(x i ) za Z(L) in bazo y 1,, y j za N(L). Za vsak v V lahko enolično izrazimo L(v)= a 1 L(x 1 )+ +a i L(x i )= L(a 1 x 1 + +a i x i ). Tedaj je v-(a 1 x 1 + +a i x i ) v ničelni množici L in ga lahko enolično izrazimo kot v-(a 1 x 1 + +a i x i )= b 1 y 1 + +b j y j. Sklepamo, da lahko v enolično izrazimo kot v=a 1 x 1 + +a i x i + b 1 y 1 + +b j y j, torej je dimenzija V enaka i+j. MATEMATIKA 1 9
Naj bo ena x rešitev enačbe : L( x ) w. 0 0 Če je x x N ( L), potem je tudi rešitev x 1 0 1 enačbe, ker je L( x ) L( x x x ) L( x ) L( x x ) w 0 w. 1 0 1 0 0 1 0 L( x1) w, potem L 1 0 torej je 1 0 Obrat no, če je je ( x x ) w w 0, x x N ( L). a) Enačba L(x)=w rešljiva, če je w Z(L). b) Če je L(x 0 )=w, potem so vse rešitve enačbe dane z x0 N ( L) x0 v; v N ( L). Velikost jedra N(L) funkcije L določa velikost množice rešitev enačbe L(x)=w: Če je dimenzija vektorskega prostora N(L) enaka n, potem lahko zapišemo splošno rešitev v kateri nastopa n parametrov. Pravimo, da je množica rešitev n-parametrična. Če je x 0 rešitev enačbe L(x)=w in če je v 1, v 2,..., v n baza prostora N(L), potem je splošna rešitev enačbe dana z x=x 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2 + +t n v n, kjer so t 1, t 2,, t n poljubna realna števila. MATEMATIKA 1 10
Rešimo enačbo (1,0,2) x (2,1,0). 3 3 Funkcija L :, L( x) v x je linearna velja v a x b y a v x b v y, zato je (1,0,2) x (2,1,0) linearna enačba. V zalogi vrednosti funkcije L( x) (1,0,2) x so vektorji, ki so pravokotni na (1,0,2), zato (2,1,0) Z( L) in enačba ni rešljiva. Rešimo enačbo (1,0,2) x (2,1, 1). Vektor (2,1, 1) je pravokoten na (1,0,2) zato je vsebovan v zalogi Z( L) funkcije L( x) (1,0,2) x. Enačba je rešljiva. Eno rešitev enačbe dobimo tako, da vzamemo primerno dolg vektor v smeri, ki je pravokotna na (1,0,2) in (2,1,-1): 1 (1,0, 2) (2,1, 1) ( 2,5,1) in (1,0, 2) ( 2,5,1) ( 10, 5,5) 5 (2, 1, 1), zato lahko vzamemo x0 (2, 5, 1). 5 Jedro funkcije L( x) (1,0,2) x tvorijo vektorji, ki so vzporedni z (1,0,2). Prostor je enodimenzionalen, za bazo lahko vzamemo kar vektor Splošna rešitev enačbe (1,0, 2) x (2,1, 1) (1, 0,2). 1 2 1 je x (2, 5, 1) t (1,0,2) ( t, 1,2 t ) 5 5 5. MATEMATIKA 1 11