10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega parametra. Opazujemo npr. F (t, x) = t f(x) + (1 t) g(x), kjer je 0 t 1 in poznamo rešitve g(x) = 0. S sledenjem krivulji od t = 0 do t = 1 dobimo rešitve f(x) = 0.
Metoda zveznega nadaljevanja in diferencialne enačbe Povezava z diferencialnimi enačbami je naslednja. Z odvajanjem po t dobimo kar nam da začetni problem kjer je g(x 0 ) = 0. F t (t, x) + F x (t, x) ẋ = 0, ẋ = F x (t, x) 1 F t (t, x), x(0) = x 0, Z metodami za reševanje začetnih problemov lahko sledimo rešitvi, poleg tega pa pri vsaki vrednosti t lahko upoštevamo še, da mora za x(t) veljati F (t, x(t)) = 0.
Prediktor-korektor sledenje homotopske krivulje a) prediktor: Iz točke (t, x(t)) z eno izmed metod za reševanje začetnega problema izračunamo prediktor x (P ) (t + h), ki je približek za rešitev v točki t + h. b) korektor: Z eno izmed metod za reševanje nelinearnega sistema rešimo sistem F (t + h, x(t + h)) = 0, za začetni približek pa vzamemo (t + h, x (P ) (t + h)).
11.1 Parcialne diferencialne enačbe Če iščemo funkcijo več spremenljivk in v diferencialni enačbi nastopajo parcialni odvodi več kot ene spremenljivke, potem je to parcialna diferencialna enačba (PDE). Če se omejimo na funkcije dveh spremenljivk u(x, y), potem v diferencialni enačbi drugega reda nastopajo u xx, u xy, u yy, u x, u y, u in funkcije x in y. Če u in vsi njeni odvodi nastopajo linearno, imamo linearno PDE. Npr. (x 2 + y 2 )u x + u xy 3u = 0 je linearna PDE, (x 2 + y 2 )u 2 x + u xu y 3u = 0 ni linearna PDE. Pri kvazi linearni PDE najvišji odvodi nastopajo linearno, nižji odvodi pa lahko nelinearno, npr. uu xx + u x u xy + u 2 y 2 u yy = u 2 y.
Karakteristike PDE drugega reda Splošna kvazi linearna PDE (dveh spremenljivk) drugega reda ima obliko kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y. au xx + bu xy + cu yy = f, (1) Če predpostavimo, da je u na območju reševanja zvezna funkcija x in y, potem za diferencial velja du = u u dx + x y dy. Če to odvajamo po x in y dobimo ( ) u d x ( ) u d y = 2 u x 2dx + 2 u dy, (2) x y = 2 u x y dx + 2 u dy. (3) y2
Enačbe (1), (2), (3) lahko združimo v matrično obliko a b c u xx dx dy 0 u xy = 0 dx dy u yy f d(u x ). d(u y ) V poljubni točki (x, y) lahko izračunamo u xx, u xy, u yy, če poznamo smeri dx, dy in d(u x ), d(u y ). Če pa je smer taka, da je a b c dx dy 0 0 dx dy ( ) dy 2 ( ) dy = a b dx dx + c = 0, potem je sistem singularen. Rešitvi zgornje t.i. karakteristične enačbe sta smeri karakteristik kjer sta λ 1 in λ 2 ničli karakteristične enačbe. dy dx = λ 1 in dy dx = λ 2,
V primeru smeri karakteristike so odvodi u xx, u xy, u yy končni le, če desni vektor f d(u x ) d(u y ) leži v prostoru, ki ga razpenja matrika a b c dx dy 0, 0 dx dy oziroma velja f b c d(u x ) dy 0 d(u y ) dx dy = a f c dx d(u x ) 0 0 u(u y ) dy = a b f dx dy d(u x ) 0 dx d(u y ) = 0. Iz srednje determinante dobimo navadno diferencialno enačbo a dy d(u x ) f dx dy + c dx d(u y ) = 0, ki velja vzdolž karakteristike, kjer drugi parcialni odvodi niso definirani.
Klasifikacija PDE drugega reda Imamo PDE drugega reda au xx + bu xy + cu yy = f, kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y. Glede na karakteristično enačbo a dy 2 b x dy + c dx 2 = 0 klasificiramo PDE drugega reda na eliptični tip, kjer je b 2 4ac < 0, parabolični tip, kjer je b 2 4ac = 0, hiperbolični tip, kjer je b 2 4ac > 0. Za karakteristike velja: pri eliptični PDE sta karakteristiki kompleksni, pri parabolični PDE je karakteristika ena sama, pri hiperbolični PDE imamo dve različni realni karakteristiki.
Transformacija v standardno obliko Imamo linearno PDE drugega reda au xx + bu xy + cu yy + eu x + gu y + ru = f(x, y), kjer so a, b, c, e, g, r konstante. Standardna oblika je, kadar je b = 0 in ni člena z mešanim odvodom u xy. Kadar je b 0, se ga da uničiti s substitucijo p = x cos α + y sin α q = x sin α + y cos α, kjer je α podan z tan(2α) = b. Gre za rotacijo za kot α v pozitivni smeri. Dobimo a c Au pp + Cu qq + Eu p + Gu q + ru = F (p, q), kjer je A = a cos 2 α + b sin α cos α + c sin α 2 C = a sin 2 α b sin α cos α + c cos α 2 E = e cos α + g sin α G = g cos α e sin α.
Parabolične PDE Standardna oblika je npr. Enačba za prevajanje toplote (po palici) u t = c 2 u xx + f(x, t).
Eliptične PDE Standardni obliki sta npr. Poissonova enačba u xx + u yy = f(x, y), Laplaceova enačba u xx + u yy = 0.
Hiperbolične PDE Standardna oblika je npr. Valovna enačba (nihanje strune) u tt = k 2 u xx + f(x, t).
Robni in začetni pogoji Enolično rešitev PDE določajo robni in začetni pogoji, odvisno od tipa enačbe. Če iščemo rešitev PDE na območju Ω, potem so robni pogoji sestavljeni iz vrednosti u oziroma normalnih odvodov u na robu Ω. Imamo: Dirichletov pogoj: (x, y) Ω. Podana je vrednost u na robu, torej u(x, y) = g(x, y) za Neumannov pogoj: Podana je vrednost prvega odvoda u v smeri normale na robu, torej u (x, y) = g(x, y) za (x, y) Ω. N Robbinsov (mešani) pogoj: Linearna kombinacija Dirichletovega in Neumannovega pogoja. Če je ena izmed spremenljivk čas t, potem so začetni pogoji vrednosti u in odvodov pri času t = 0.
11.2 Parabolična parcialna diferencialna enačba Rešujemo diferencialno enačbo za u(x, t) u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0 z začetnim pogojem u(x, 0) = f(x) in robnima pogojema u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t). Enačba predstavlja prevajanje toplote po enodimenzionalnem telesu. Interval [0, 1] ekvidistantno razdelimo s točkami x 0 = 0, x 1,..., x n, x n+1 = 1, kjer je x = 1 n+1, t pa je sprememba na časovnem nivoju.
Eksplicitna metoda Odvod po času zapišemo z enostransko diferenco, drugi odvod po kraju pa s simetrično diferenco. u i,j+1 u ij = u i 1,j 2u ij + u i+1,j. t ( x) 2 Če označimo λ = t ( x) 2, dobimo direktno enačbo za u i,j+1 na naslednjem časovnem nivoju u i,j+1 = λu i 1,j + (1 2λ)u ij + λu i+1,j, i = 1,..., n. Pogoj za konvergenco je λ 1 2, najboljša izbira pa je λ = 1 6.
Konvergenca eksplicitne metode Lokalna napaka eksplicitne sheme je ( τ ij = u t (x i, t j ) u ) i,j+1 u ij t = 1 2 tu tt(x i, ξ) + 1 12 ( x)2 u xxxx (η, t j ). ( u xx (x i, t j ) u ) i 1,j 2u ij + u i+1,j x 2 Globalna napaka je e ij = u ij u(x i, t j ). Zaradi eksplicitne sheme velja e i,j+1 = λe i 1,j + (1 2λ)e ij + λe i+1,j tτ ij. Označimo E j = max i e ij in T = max τ ij. Zaradi λ 1/2 velja E j+1 E j + tt, kar pomeni E n E 0 + t n T in sledi U(x i, t j ) u ij E 0 + t j O( t + x 2 ).
Implicitna metoda u i,j+1 u ij t = u i 1,j+1 2u i,j+1 + u i+1,j+1 ( x) 2. Dobimo tridiagonalni sistem za vrednosti u i,j+1 na naslednjem časovnem nivoju λu i 1,j+1 + (1 + 2λ)u i,j+1 λu i+1,j+1 = u ij, i = 1,..., n. Implicitna shema konvergira za vsak λ.
Konvergenca implicitne metode Lokalna napaka implicitne sheme je ( τ ij = u t (x i, t j ) u ) i,j u i,j 1 t = 1 2 tu tt(x i, ξ) + 1 12 ( x)2 u xxxx (η, t j ). ( u xx (x i, t j ) u ) i 1,j 2u ij + u i+1,j x 2 Globalna napaka je e ij = u ij u(x i, t j ). Zaradi implicitne sheme velja (1 + 2λ)e i,j = e i,j 1 + λ(e i 1,j + e i 1,j ) tτ ij. Označimo E j = max i e ij in T = max τ ij. Dobimo (1 + 2λ) e i,j E j 1 + 2λE j + tt, kar pomeni E j E j 1 + tt, od tod E n E 0 + t n T in U(x i, t j ) u ij E 0 + t j O( t + x 2 ).
Crank-Nicolsonova metoda Vzamemo povprečje implicitne in eksplicitne metode: u i,j+1 u ij = 1 ( ui 1,j 2u ij + u i+1,j + u ) i 1,j+1 2u i,j+1 + u i+1,j+1. t 2 ( x) 2 ( x) 2 Spet dobimo tridiagonalni sistem za vrednosti u i,j+1, i = 1,..., n: λu i 1,j+1 + 2(1 + λ)u i,j+1 λu i+1,j+1 = λu i 1,j + 2(1 λ)u ij + λu i+1,j. Tako kot implicitna shema tudi Crank-Nicolsonova metoda konvergira za vsak λ. Prednost te metode je, da je napaka sedaj reda O(( x) 2 + ( t) 2 ) namesto O(( x) 2 + t) pri eksplicitni ali implicitni metodi, zato lahko uporabimo večji časovni korak.
Parabolična parcialna diferencialna enačba v več dimenzijah Če imamo npr. u t = u xx + u yy, (x, y) Ω = [0, 1] [0, 1], t > 0 z začetnim pogojem u(x, y, 0) = f(x, y) in robnimi pogoji u(x, y, t) = g(x, y, t) za (x, y) Ω, jo lahko podobno kot v eni dimenziji rešujemo z eksplicitno in implicitno metodo. Npr. eksplicitna metoda: u i,j,k+1 u i,j,k t = u i 1,j,k 2u ijk + u i+1,j,k x 2 + u i,j 1,k 2u ijk + u i,j+1,k y 2.
11.2 Eliptična parcialna diferencialna enačba Za zgled eliptične parcialne diferencialne enačbe bomo vzeli Poissonovo enačbo u xx + u yy = f za u(x, y) na območju Ω = [a, b] [c, d] z robnim pogojem u(x, y) = g(x, y) za (x, y) Ω. Pri diferenčni metodi območje Ω prekrijemo s pravokotno mrežo, kjer intervala [a, b] in [c, d] ekvidistantno razdelimo s točkami x 0 = a, x 1,..., x n, x n+1 = b in y 0 = c, y 1,..., y m, y m+1 = d. Razmika označimo z x in y.
Pettočkovna shema Če druga parcialna odvoda po x in y aproksimiramo s simetričnimi diferencami, dobimo pettočkovno shemo: z enačbami u i 1,j 2u ij + u i+1,j x 2 + u i,j 1 2u ij + u i,j+1 y 2 = f ij.
Sistem Enačbe za vse u ij sestavimo v linearni sistem, ki ima bločno tridiagonalno obliko. V primeru, ko sta x in y enaka, dobimo T I A = I T......... I, I T kjer je T = 4 1 1 4......... 1 1 4. Napaka pettočkovne aproksimacije je O( x 2 + y 2 ), enako pa tudi za numerično aproksimacijo, ki jo dobimo z reševanjem sistema Au = b, velja, da je napaka O( x 2 + y 2 ). Za reševanje sistema uporabimo metode za razpršene matrike, saj ima matrika v vsaki vrstici največ 5 neničelnih elementov.
Krivi robovi V primeru, ko območje Ω ni pravokotnik, poznamo pa vrednosti na robu Ω, moramo v točkah zraven roba drugače aproksimirati odvode. Namesto točk 1 in 2 v enačbi v točki 0 uporabimo točki A in B, ki sta na robu Ω. Naj bo razdalja med 0 in A enaka θ 1 h, 0 < θ 1 < 1. Iz razvojev v Taylorjevo vrsto sledi: u 0 = 1 ( 1 x h θ 1 (1 + θ 1 ) u A 1 θ 1 u 0 θ ) θ 1 1 + θ u 3 + O(h 2 ), 2 u 0 = 1 ( 2 x 2 h 2 θ 1 (1 + θ 1 ) u A 2 u 0 + 2 ) u 3 + O(h). θ 1 1 + θ 1 Podobno naredimo za u 0 y in 2 u 0 y 2.
Globalna napaka Lokalna napaka pettočkovne aproksimacije je τ(x, y) := u(x, y) h u(x, y), kjer je h u(x, y) = + u(x x, y) + u(x, y) + u(x + x, y) x 2 u(x, y y) + u(x, y) + u(x, y + y) y 2. Velja τ(x, y) = 1 12 (u xxxx(x + α x) x 2 + u yyyy (x, y + β y) y 2 ) za α, β < 1. Če označimo zgornji meji za u xxxx in u yyyy z M 4 x in M 4 y, dobimo Za globalno napako potem velja τ(x, y) 1 12 (M 4 x x2 + M 4 y y2 ). max i,j u(x i, y i ) u ij (x n+1 x 0 ) 2 2 max i,j τ(x i, y j ), torej u(x i, y i ) u ij (x n+1 x 0 ) 2 (Mx 4 24 x2 + My 4 y2 ).
11.3 Hiperbolična parcialna diferencialna enačba Zgled za hiperbolično parcialno diferencialno enačbo je valovna enačba za u(x, t) u tt = α 2 u xx, 0 < x < 1, t > 0 z začetnimi pogoji u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x) in robnimi pogoji u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0. Interval [0, 1] ekvidistantno razdelimo s točkami x 0 = 0, x 1,..., x n, x n+1 = 1, kjer je x = 1 n+1, t pa je sprememba na časovnem nivoju.
Simetrične diference Če uporabimo simetrično diferenco za u tt in u xx, dobimo u i,j 1 2u ij + u i,j+1 t 2 i = 1,..., n, j = 1, 2,.... α 2 u i 1,j 2u ij + u i+1,j x 2 = 0, Če označimo λ = α t x dobimo u i,j+1 = 2(1 λ 2 )u ij + λ 2 (u i+1,j + u i 1,j ) u i,j 1. Če je u j+1 = u 1,j+1. u n,j+1, potem velja u j+1 = Au j u j 1, kjer je 2(1 λ 2 ) λ 2 A = λ 2 2(1 λ 2 )......... λ 2 λ 2 2(1 λ 2 ).
Začetne vrednosti Če uporabljamo simetrične diference, potem za izračun vrednosti u j+1 potrebujemo vrednosti prejšnjih dveh časovnih nivojev u j in u j 1. Težava se pojavi na začetku, ko poznamo le u 0, ne pa tudi u 1 za izračun u 2. Nivo u 1 izračunamo s pomočjo začetnega pogoja u t (x, 0) = g(x). Formula je u i,1 = (1 λ 2 )f i + λ2 kjer je f i = f(x i ) in g i = g(x i ). 2 (f i+1 + f i 1 ) + tg i, Izpeljava: u(x i, t 1 ) = u(x i, 0) + u t (x i, 0) + t2 2 u tt(x i, 0) + t3 6 u ttt(x i, µ). u t (x i, 0) = g(x i ), u tt (x i, 0) = α 2 u xx (x i, 0), u xx (x i, 0) pa aproksimiramo z f i 1 2f i +f i+1 x 2.
Stabilnost, konvergenca Lokalna napaka formule je O( x 2 + t 2 ) oziroma natančneje τ ij = 1 12 ( ) t 2 u tttt (x i, µ)) α 2 x 2 u xxxx (η, t j ). Eksplicitna metoda je stabilna pri pogoju λ 1. Podobno kot pri paraboličnih PDE tudi za hiperbolične PDE obstajajo implicitne metode, ki so brezpogojno stabilne. Hiperbolične metode lahko rešujemo tudi z metodo karakteristik.
11.4 Ostale metode Poleg diferenčnih metod za reševanje PDE uporabljamo tudi druge metode. Denimo, da rešujemo L(u) = f, kjer je L dan linearen operator (v našem primeru diferencialni operator) in f dana funkcija, iščemo pa u, ki zadošča še podanim začetnim in robnim pogojem. Pri Galerkinovi metodi iščemo rešitev u kot linearno kombinacijo vnaprej določenih baznih (testnih) funkcij u 1,..., u k. Ker prava rešitev ponavadi ne leži v prostoru, ki ga razpenjajo bazne funkcije, dobimo približno rešitev. Koeficiente c 1,..., c k v u = k i=1 c iu i lahko določimo na več načinov. Klasični Galerkin: zahtevamo, da bo ostanek k i=1 c il(u i ) f pravokoten na testne funkcije u 1,..., u k. Dobimo linearni sistem k c i u j, L(u i ) = u j, f. i=1
Metoda kolokacij: izberemo k točk x 1,..., x k in zahtevamo, da je enakost izpolnjena v teh točkah: k c i L(u i )(x j ) = f(x j ), j = 1,..., k. i=1 Posplošitev kolokacije, kjer izberemo m > k točk. Potem dobimo m enačb in poiščemo rešitev po metodi najmanjših kvadratov. Pri Rayleigh-Ritzevi metodi reševanje L(u) = f prevedemo na iskanje funkcije, ki minimizira določeni integral. Podobno kot pri Galerkinu potem iščemo rešitev v obliki linearne kombinacije baznih funkcij. Če za bazne funkcije izberemo kosoma linearne funkcije (oblike a+ bx + cy) na triangulaciji območja Ω, potem dobimo metodo končnih elementov. To ni edina možnost, saj lahko npr. uporabljamo tudi razdelitev območja na pravokotnike in funkcije oblike a + bx + cx + dxy.