Primer modeliranja z DE MODEIANJE Tripsin je encim rebušne slinavke, ki nasane iz ripsinogena. V reakciji nasopa ripsin ko kaalizaor, zao je hiros nasajanja ripsina sorazmerna z njegovo koncenracijo.... začena koncenracija ripsina ()... koncenracija ripsina v času =k... hiros nasajanja je sorazmerna koncenraciji začeni problem: () k rešiev: = e k e k Model napoveduje eksponenno in neomejeno raskoličine ripsina. To se v resnici ne more zgodii, zao moramo poiskai usreznejši model. 1
MODEIANJE Med reakcijo se ripsinogen porablja: iz vsake molekule ripsinogena nasane ena molekula ripsina. Zao privzamemo, da je hiros reakcije sorazmerna ako koncenraciji ripsina, ko koncenraciji ripsinogena. Če je skupna koncenracija ripsina in ripsinogena C, začena koncenracija ripsina pa dobimo začeni problem: k( C ) () d d 1 k d k d ln k ( C ) ( C ) C C C C Ck C e () C 1 1 e Ck ogisična krivulja: model predvideva, da bo koncenracija ripsina zrasla do prvone koncenracije ripsinogena, poem pa se bo usalila. 2
MODEIANJE ogisična krivulja je dober model za omejeno ras, vendar ni vedno povsem usrezna. Npr. pri umorjih ševilo rakasih celic najprej narašča eksponencialno, poem pa se ras umiri in sčasoma usavi. S poskusi so ugoovili, da krivulja naraščanja ni logisična emveč.im. Gomperzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nasopi precej prej ko pri logisični). Gomperzova krivulja Gomperzova funkcija logisična krivulja () e a k(1 e ) 3
MODEIANJE Eksperimenalno ugoovljeno zakonios poskusimo razložii ako, da pogledamo, kaeri diferencialni enačbi usreza Gomperzova funkcija. a a e e ak e e k(1 e ) k(1 e ) a a () a Diferencialna enačba e pomeni, da ševilo rakasih celic narašča sorazmerno z velikosjo umorja, vendar se sorazmernosni fakor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno: a ( e ) s saranjem se reprodukivna moč celic zmanjšuje a ( e ) reprodukivni fakor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom ševila celic v umorju, ker se v noranjosi umorja usvari nekroično območje 4
INEANE ENAČBE INEANE 1. EDA a( ) b( ) splošna DE 1. reda : a( ) je linearna funkcija (na prosoru zvezno odvedljivih funkcij) 1. rešive linearne enačbe ( ) b so oblike, kjer je neka rešiev enačbe, pa elemen ničelne množice za P H P H 2. ničelno množico za vorijo rešive enačbe ( ) : a homogena DE 1. reda d a( ) a( ) d Ce a( ) d ( ) Elemeni ničelne množice so oblike A H Ce ( A je primiivna funkcija za a ). 3 ( ) A( ) A( ). P e b e d je rešiev splošne DE A( ) A( ) A( ) A( ) P e a b e d e b e a P b ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) b( ) P P 5
INEANE ENAČBE EŠEVANJE DE 1. EDA a( ) b( ) 1. izračunamo inegral A( ) a( ) d; A ( ) 2. izračunamo inegral B( ) b( ) e d ; 3. splošna rešiev enačbe je e B C A( ) ( ) ( ( ) ) sin( ) 1 sin( ) 1 A( ) d ln sin ln B( ) e d sin d cos 1 ( ) cos C 6
INEANE ENAČBE ZAČETNI POBEM ZA DE 1.EDA a( ) b( ) izračunamo ( ) A( ) a( ) d A( ) B( ) b( ) e d rešiev e B A ( ) ( ) ( ( ) ) 2 3 () 1 A( ) 2d 2 2 3 2 3 B( ) 3e d e 3 3 e e 2 2 ( ) 1 3 e 2 7
MODEIANJE - EEKTIČNI KOG vir napeosi: E=E() padec napeosi na uljavi: E =I E =I padec napeosi na uporu: Kirchhoffov zakon: E=E +E Kakšen je ok v krogu s konsannim virom napeosi E? 1 I I E I() E I A() d E E B e d e ( ) 1 I E ( ) 1 e 1 I I E() DE 1.reda 8
MODEIANJE 1 I I E sin izmenični vir napeosi E( ) E sin I() A() d B( ) e E sin d uporabimo: E 2 2 a a e e sinb d asinb bcosb a b e E sin cos e sin cos E E I sin cos e uporabimo: E E sin( ) e arcg 2 2 a b a b sin cos sin, kjer je arcg b a 9
EŠJIVOST DIFEENCIANIH ENAČB EŠJIVOST DE 1. EDA Začeni problem ( ) () 1 nima rešiev, ker je edina rešiev enačbe ( ) dana s funkcijo 1 Začeni problem ima za edi no rešiev () 1 ( ) 1 1 Začeni problem ima neskončn o rešiev oblike () 1 ( ) C 1. 1
EŠJIVOST DIFEENCIANIH ENAČB PICADOVA ITEACIJSKA METODA Numerična meoda za reševanje DE 1.reda, ki obenem daje zadosne pogoje za rešljivos DE 1.reda. ešiev začenega problema zapišemo ko inegralsko enačbo f (, ) ( ) ki je primerna za reševanje z meodo ieracij. ( ) f (, ( )) d, (Podobno smo pri Newonovi meodi enačbo f()= preoblikovali v =g().) Tvorimo zaporedje funkcij (), 1 (), 2 (),... po rekurzivnem pravilu: ( ), ( ) f (, ( )) d n 1 Za vse n je ( ), ( ) f (, ( )), za limio ( ) lim ( ) pa velja: n n 1 n n n ( ) lim f (, ( )) f (,lim ( )) f (, ( )) in ( ) lim ( ) n n n n n n (če je f zvezna in če smemo odvajai limio) n limina funkcija () je rešiev začenega problema. 11
EŠJIVOST DIFEENCIANIH ENAČB () 1 ( ) 1 ( ) 1 1 d 1 1 ( ) 1, ( ) 1 ( ) d n 1 2 2( ) 1 (1 ) d 1 2 3( ) 1 (1 ) d 1 6 Talorjeva vrsa za funkcijo ()=e. n 3... () 1 2 12
EŠJIVOST DIFEENCIANIH ENAČB Če so izpolnjeni določeni pogoji, Picardove ieracije konvergirajo proi rešivi začenega problema, dobljena rešiev pa je enolična. Če sa f(,) in f (,) zvezni na neki okolici očke (, ) poem začeni problem f (, ) ( ) ima naanko eno rešiev =() na neki okolici očke. 1 () 2 ( ) g ešive ni zmeraj mogoče podaljšai na celo realno os! 13