Ljubljaa 09 MATEMATIKA Predmeti izpiti katalog za splošo maturo Predmeti izpiti katalog se uporablja od spomladaskega izpitega roka 0, dokler i določe ovi Veljavost kataloga za leto, v katerem bo kadidat opravljal maturo, je avedea v Maturitetem izpitem katalogu za splošo maturo za tisto leto
PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA SPLOŠNO MATURO MATEMATIKA Država predmeta komisija za matematiko za splošo maturo Katalog so pripravili: dr Iztok Baič mag Jaka Erker Mateja Fošarič mag Alojz Grahor Tatjaa Levstek mag Mateja Škrlec ddr Jaez Žerovik Recezeta: dr Damja Kobal Mirko Škof Jezikovi pregled: mag Berarda Krafogel Katalog je določil Strokovi svet Republike Sloveije za splošo izobraževaje a svoji 00 seji 0 6 09 i se uporablja od spomladaskega izpitega roka 0, dokler i določe ovi katalog Veljavost kataloga za leto, v katerem bo kadidat opravljal maturo, je avedea v Maturitetem izpitem katalogu za splošo maturo za tisto leto Državi izpiti ceter, 09 Vse pravice pridržae Izdal i založil: Državi izpiti ceter Predstavik: dr Darko Zupac Uredili: mag Aleš Drolc dr Adrejka Slavec Gorik Joži Trkov Oblikovaje i prelom: Nia Matijaš Čese Ljubljaa 09 ISSN 3-4488
KAZALO UVOD 4 IZPITNI CILJI 5 3 ZGRADBA IN OCENJEVANJE IZPITA 6 3 Shema izpita 6 3 Tipi alog i ocejevaje 7 33 Merila ocejevaja izpita i posamezih delov 8 4 IZPITNE VSEBINE IN CILJI 9 4 Osove logike 9 4 Možice 9 43 Številske možice 0 44 Algebrski izrazi, eačbe i eeačbe 45 Potece i korei 46 Geometrija v ravii i prostoru 3 47 Geometrijski liki i telesa 4 48 Vektorji v ravii i prostoru 4 49 Pravokoti koordiati sistem v ravii 5 40 Fukcije 5 4 Stožice 9 4 Zaporedja i vrste 0 43 Difereciali raču 44 Itegralski raču 45 Kombiatorika 46 Verjetosti raču 47 Statistika 3 5 PRIMERI NALOG ZA PISNI IZPIT 4 5 Primeri alog izpite pole 4 5 Primeri alog izpite pole 7 6 USTNI IZPIT 9 7 KANDIDATI S POSEBNIMI POTREBAMI 3 8 LITERATURA 3 9 DODATEK 33 9 Matematiče ozake 33 9 Formule i izreki 37
UVOD Predmeti izpiti katalog za splošo maturo matematika (v adaljjem besedilu katalog) opredeljuje izpit sploše mature iz predmeta, kot to zahtevajo Zako o maturi i ustrezi podzakoski predpisi ter sklepi Države komisije za splošo maturo o strukturi izpitov i predmetih izpitih katalogih, opredeljeih v veljavem Maturitetem izpitem katalogu za splošo maturo Matematika je obvezi predmet sploše mature Izpite vsebie i cilji sledijo vsebiam i ciljem iz učega ačrta za matematiko za gimazijo, ki opredeljuje splošo zaje, posebo zaje i izbire vsebie Sploša matura iz matematike se lahko opravlja a osovi (OR) ali a višji ravi zahtevosti (VR) Na osovi ravi se preverjajo splošo zaje, a višji ravi zahtevosti pa splošo i tudi posebo zaje Zak zazamuje vsebie i cilje, ki se preverjajo le a VR Uči ačrt Matematika [Elektroski vir]: gimazija: sploša, klasiča i strokova gimazija: obvezi predmet i matura (560 ur)/predmeta komisija Amalija Žakelj [et al] - Ljubljaa: Miistrstvo za šolstvo i šport: Zavod RS za šolstvo, 008 http://portalmssedussi/msswww/programi0/programi/gimazija/uci_acrtihtm 4 Matematika
IZPITNI CILJI Izpit sploše mature preverja, ali kadidat za: brati matematiča besedila i jih korekto iterpretirati; atačo predstaviti matematiče vsebie v pisi obliki, v tabelah, grafih ali diagramih; račuati s števili, oceiti i zapisati rezultat z določeo atačostjo ter presoditi jegovo veljavost; pri račuaju uporabiti primero metodo; uporabljati ustrezo tehologijo pri reševaju matematičih problemov; uporabljati geometrijsko orodje za ačrtovaje; iterpretirati, preoblikovati i pravilo uporabljati matematiče trditve, izražee z besedami ali s simboli; prepozati i uporabljati odose med geometrijskimi objekti v ravii i prostoru; logičo sklepati iz daih matematičih podatkov; prepozati vzorce i strukture v različih situacijah; aalizirati probleme i izbrati ustreze ačie reševaja; videti i izkoristiti soodvisost različih vej (področij) matematike; uporabiti kombiacijo več matematičih vešči i tehik pri reševaju problemov; predstaviti matematiči izdelek logičo i jaso, z uporabo ustreze simbolike i termiologije; uporabiti matematičo zaje v vsakdajih življejskih situacijah; uporabiti matematiko kot sredstvo komuikacije s poudarkom a atačem izražaju V predmetem izpitem katalogu uporabljei samostaliki moškega spola, ki se pomesko i smiselo vežejo a sploša, skupa poimeovaja (pr kadidat, ocejevalec), veljajo tako za osebe žeskega kot moškega spola Matematika 5
3 ZGRADBA IN OCENJEVANJE IZPITA 3 Shema izpita Shema izpita a osovi i a višji ravi je eaka Pisi izpit zuaji del izpita Izpita pola Trajaje Delež pri ocei Ocejevaje Pripomočki Priloga 90 miut 40 % zuaje alivo pero ali kemiči svičik, svičik, radirka i geometrijsko orodje 3 90 miut 40 % zuaje alivo pero ali kemiči svičik, svičik, radirka, geometrijsko orodje 3 i račualo 4 Skupaj 80 miut 80 % Priloga s formulami je del izpite pole Priloga s formulami je del izpite pole Po zaključku pisaja Izpite pole, tj pred začetkom pisaja Izpite pole, je 30-miuti odmor Usti izpit otraji del izpita Trajaje Delež pri ocei Ocejevaje Pripomočki 3 vprašaja do 0 miut 0 % otraje alivo pero ali kemiči svičik, svičik, radirka, geometrijsko orodje 3 Skupaj do 0 miut 0 % 3 Šestilo i ravilo (lahko tudi trikotik) 4 Račualo je elektrosko račualo, ki omogoča delo z osovimi račuskimi operacijami i e podpira: možosti komuikacije z okolico»zuajim svetom«, shrajevaja podatkov iz okolice oziroma zuajega sveta, shrajevaja predhodo aložeih podatkov, simbolega račuaja, programiraja ovih fukcij, risaja grafov fukcij 6 Matematika
3 Tipi alog i ocejevaje PISNI IZPIT Pisa izpita a osovi i a višji ravi se razlikujeta po vsebii, tipih i zahtevosti alog ter deležih taksoomskih stopej Osova rave Izpita pola Tip aloge Število alog Ocejevaje Skupaj A kratke aloge B krajše strukturirae aloge A kratke aloge B krajše strukturirae aloge 8 6 8 6 vsaka aloga do 3 točke skupaj 0 točk vsaka aloga 5 do 8 točk skupaj 40 točk Skupaj 60 točk vsaka aloga do 3 točke skupaj 0 točk vsaka aloga 5 do 8 točk skupaj 40 točk Skupaj 60 točk 0 točk Višja rave Izpita pola Tip aloge Število alog Ocejevaje Skupaj B krajše strukturirae aloge C strukturirae aloge B krajše strukturirae aloge C strukturirae aloge 6 6 vsaka aloga 5 do 8 točk skupaj 40 točk vsaka aloga 9 do točk skupaj 0 točk Skupaj 60 točk vsaka aloga 5 do 8 točk skupaj 40 točk vsaka aloga 9 do točk skupaj 0 točk Skupaj 60 točk 0 točk USTNI IZPIT Usta izpita a osovi i a višji ravi se razlikujeta po vsebii, zahtevosti vprašaj i deležih taksoomskih stopej Osova i višja rave Tip aloge Število Ocejevaje vprašaje 3 vsako vprašaje 6 točk korekto matematičo izražaje Skupaj točki 0 točk Matematika 7
33 Merila ocejevaja izpita i posamezih delov 33 Deleži taksoomskih stopej Odstotki v spodji pregledici predstavljajo deleže alog, delov alog ali vprašaj pri posamezem delu izpita, ki pripadajo taksoomskim stopjam I, II ali III Taksoomske stopje Izpita pola i (OR ) Izpita pola i (VR) Usti izpit (OR) Usti izpit (VR) I pozavaje vsaj 30 % vsaj 0 % vsaj 30 % vsaj 0 % II razumevaje i uporaba III samostoja iterpretacija, vredoteje, samostojo reševaje ovih problemov 40 60 % 40 60 % 40 60 % 40 60 % ajveč 30 % ajveč 40 % ajveč 30 % ajveč 40 % Skupaj 00 % 00 % 00 % 00 % 33 Merila ocejevaja posamezih delov izpita Pisi izpit Naloge se ocejujejo v skladu z Navodili za ocejevaje Točkujejo se posamezi koraki reševaja alog Pri reševaju alog mora biti jaso i korekto predstavljea pot do rezultata z vmesimi račui i sklepi Pri ačrtovalih alogah morajo kadidati uporabljati geometrijsko orodje Usti izpit Odgovor a vsako od treh vprašaj a izpitem listku ocei šolska izpita komisija z ajmaj 0 i ajveč 6 točkami v skladu z avodili za ocejevaje ustega izpita Za korekto matematičo izražaje lahko kadidat v celoti dobi ajveč točki 333 Koča ocea Koča ocea izpita se določi a podlagi seštevka odstotih točk vseh delov izpita Pri izpiti poli lahko kadidat doseže ajveč 40 odstotih točk, pri izpiti poli ajveč 40 odstotih točk i pri ustem izpitu ajveč 0 odstotih točk maturitetega izpita Država komisija za splošo maturo a predlog Države predmete komisije za matematiko za splošo maturo določi merila za pretvorbo odstotih točk v ocee ( 5), a višji ravi pa tudi merila za pretvorbo odstotih točk v točkove ocee ( 8) Ta merila so v spomladaskem i jeseskem izpitem roku eaka 8 Matematika
4 IZPITNE VSEBINE IN CILJI Maturitete izpite vsebie i cilji, predstavljei v adaljevaju, sledijo veljavemu učemu ačrtu za matematiko, ki deli zaje a splošo zaje, posebo zaje i izbire vsebie Na osovi ravi sploše mature se preverja splošo zaje, a višji ravi pa splošo i posebo zaje Zaja izbirih vsebi učega ačrta se pri maturi e preverja Zak zazamuje vsebie i cilje, ki se preverjajo le a višji ravi 4 Osove logike Izjave i povezave med jimi Sestavljee izjave Vrsti red operacij Tavtologija Eakovrede izjave Kadidat zapiše izjavo, določi logičo vredost izjave, zapiše sestavljeo izjavo s simboli, izračua logičo vredost sestavljee izjave pri vseh vredostih eostavih izjav, ugotovi eakovredost dveh izjav 4 Možice Osovi pojmi: elemet, možica, pripadost elemeta možici, podmožica, praza možica, uiverzala možica Simboli zapisi Veov diagram Presek, uija, razlika, komplemet možic Lastosti operacij z možicami Poteča možica Karteziči produkt možic Moč možice Moč poteče možice Kadidat poza osove pojme i s simboli ozačuje odose med elemeti i možicami, uporablja različe ačie predstavitev možic, račua z možicami, poišče potečo možico koče možice, ariše graf kartezičega produkta dveh možic, uporablja formule za moč uije dveh ali treh možic ter moč kartezičega produkta kočih možic Matematika 9
43 Številske možice 43 Narava števila i cela števila Račuske operacije i jihove lastosti Praštevila i sestavljea števila Matematiča idukcija Desetiški mesti zapis Kriteriji deljivosti z, 3, 4, 5, 6, 8, 9 i 0 Relacija deljivosti Največji skupi delitelj i ajmajši skupi večkratik Osovi izrek o deljeju Evklidov algoritem i zveza med D i v Desetiški številski sestav Dvojiški številski sestav Kadidat poza pome aravih števil i razloge za vpeljavo celih števil ter primere jihove uporabe, uporablja račuske operacije v možici aravih i celih števil i a primerih utemelji jihove lastosti, predstavi arava i cela števila a številski premici, iduktivo sklepa, posplošuje, posplošitev dokaže ali ovrže i dokazuje z matematičo idukcijo, uporablja desetiški mesti zapis celega števila, utemelji i uporablja osove kriterije za deljivost, poza i uporablja lastosti relacije deljivosti, določi ajvečji skupi delitelj i ajmajši skupi večkratik dveh ali več celih števil, uporablja osovi izrek o deljeju celih števil, uporablja Evklidov algoritem za iskaje ajvečjega skupega delitelja, v problemskih alogah uporablja zvezo Dv = ab, pretvarja med desetiškim i dvojiškim številskim sestavom; 43 Racioala števila Račuske operacije i jihove lastosti Desetiški zapis racioalih števil Deleži i odstotki Proceti raču poza i utemelji razloge za vpeljavo racioalih števil, predstavi racioala števila a številski premici, račua z racioalimi števili, uporablja i utemelji decimali zapis racioalega števila ter razlikuje med desetiškimi i edesetiškimi ulomki, račua z decimalimi števili, uporablja deleže i odstotke ter proceti raču v alogah iz vsakdajega življeja i spreto uporablja račualo; 433 Reala števila Iracioala števila Reala števila a številski premici Itervali Koči decimali približki poza i utemelji razloge za vpeljavo realih števil, avede ekaj primerov iracioalih števil, kostruira ekatere kvadrate koree kot primere iracioalih števil z uporabo Pitagorovega izreka, 0 Matematika
Absoluta vredost realega števila i jee lastosti Eačbe z absoluto vredostjo Neeačbe z absoluto vredostjo Absoluta i relativa apaka iterpretira številsko premico kot realo os, zaokrožuje decimala števila, poveže geometrijsko i aalitičo predstavitev absolute vredosti realih števil, poeostavlja izraze z absoluto vredostjo ter reši preproste eačbe, reši preproste eeačbe z absoluto vredostjo realih števil, primerja pome absolute i relative apake ter ocei absoluto i relativo apako vsote, razlike, produkta i kvocieta dveh podatkov; 434 Kompleksa števila Geometrijska predstavitev kompleksih števil v ravii Račuske operacije i jihove lastosti Reševaje eačb z realimi koeficieti poza i utemelji razloge za vpeljavo kompleksih števil, predstavi komplekso število v kompleksi ravii, aalitičo i grafičo sešteva i odšteva kompleksa števila, moži kompleksa števila, izpelje pravilo za račuaje potec števila i, poišče povezavo med aalitičim i geometrijskim pomeom kojugiraega števila, poišče povezavo med aalitičim i geometrijskim pomeom absolute vredosti kompleksega števila, izpelje i uporablja pravilo za deljeje kompleksih števil, izračua obrato vredost kompleksega števila, poišče tudi komplekse rešitve eačbe 44 Algebrski izrazi, eačbe i eeačbe Račuske operacije z izrazi Poteciraje izrazov Razstavljaje izrazov Račuaje z ulomki Eačbe i eeačbe Lieara eačba Razcepa eačba Lieara eačba s parametrom Kadidat primerja i razlikuje zapis i pome izraza i eačbe ter spremeljivke i ezake, sešteva i moži algebrske izraze, uporablja i utemelji pravili za kvadrat i kub dvočleika, s pomočjo Pascalovega trikotika določi pravila za višje potece dvočleika i jih tudi uporablja, prepoza i uporablja ustrezi ači razstavljaja daega izraza: izpostavljaje, razlika kvadratov, vsota i razlika kubov, Viètovo pravilo, razstavljaje štiričleikov, Matematika
Lieara eeačba Lieara eeačba s parametrom razstavi izraze a ± b, račua z algebrskimi ulomki (vse štiri račuske operacije i izrazi z oklepaji), uporablja pravila za tvorbo ekvivaletih eačb i eačbe spreto rešuje, prepoza i reši liearo eačbo, prepoza i reši razcepe eačbe, spreto izraža ezake iz različih fizikalih ali kemijskih eačb, obravava lieare eačbe s parametrom, uporablja pravila za tvorbo ekvivaletih eeačb ter korake reševaja eeačb utemelji, prepoza i reši liearo eeačbo, obravava preproste lieare eeačbe s parametrom 45 Potece i korei Potece z aravim ekspoetom Potece s celim ekspoetom -ti korei Potece z racioalim ekspoetom Iracioale eačbe Kadidat utemelji i uporablja pravila za račuaje s potecami z aravim ekspoetom, utemelji i uporablja pravila za račuaje s potecami s celim ekspoetom i jih primerja s pravili za račuaje s potecami z aravim ekspoetom, razloži pome zapisov a - i a -, uporablja pravila za račuaje s kvadratimi korei, reši kvadrato eačbo x = aa, > 0, aî, z razstavljajem i s korejejem, primerja i utemeljuje reševaje preprostih eačb x = aa, Î, Î, v možici realih števil s korejejem i z razstavljajem, razloži i uporablja zvezo x = x, račua kubiče koree realih števil atačo (a pamet) i z račualom, razlikuje med določilimi pogoji za obstoj -tega korea realega števila (glede a koreski ekspoet i korejeec), spreto uporablja račualo za račuaje -tih koreov, Matematika
preoblikuje zapis -tega korea v zapis potece z racioalim ekspoetom, povezuje i primerja reševaje alog z -timi korei z reševajem s potecami z racioalim ekspoetom, prepoza iracioalo eačbo ter reši i utemelji korake pri reševaju iracioalih eačb i iterpretira rezultate 46 Geometrija v ravii i prostoru Kadidat Točke, premice i krožice v ravii Razdalja, daljica, osilka daljice, simetrala, poltrak, kot Vrste kotov i odosi med koti Trikotik, večkotik Zameite točke trikotika Togi premiki i skladost Vzporedi premik, zrcaljeje, vrtež, orietacija trikotika Pravokota projekcija Središči i obodi koti Kot v polkrogu Središči razteg, podobost Izreki v pravokotem trikotiku Paralelogram, romb, trapez Načrtovale aloge Kosiusi i siusi izrek Možice točk v prostoru Vzporedost i pravokotost premic i ravi v prostoru Pravokota projekcija premice a ravio usvoji pojme elemetare evklidske geometrije, razvije geometrijsko predstavo i skozi prakso spoza temelje stadarde matematiče teorije, poza defiicije i uporablja lastosti geometrijskih likov, uporablja zveze med otrajimi i zuajimi koti trikotika ter odose med straicami i koti trikotika, uporablja zvezo med obodim i središčim kotom ad istim lokom, za ločiti med skladima i podobima trikotikoma, uporabi izreke v pravokotem trikotiku, ačrta geometrijske like z geometrijskim orodjem i s programi za diamičo geometrijo, usvoji i uporablja zveze med straicami i koti v poljubem trikotiku, pri tem uporablja kosiusi i siusi izrek, preiskuje geometrijske probleme z uporabo IKT, razvije predstave o odosih med točkami, premicami i raviami v prostoru Matematika 3
47 Geometrijski liki i telesa Ploščie geometrijskih likov, Heroova formula Polmer trikotiku včrtaega i očrtaega kroga Geometrijska telesa: prizma, valj, piramida, stožec, krogla Površia i prostoria pokoče prizme, valja, piramide, stožca i krogle Cavalierijevo pravilo Poševa telesa Vrteie Geometrijski matematiči problemi Kadidat razvije i izboljša geometrijsko predstavo, uporablja obrazce za izražaje posamezih količi, kritičo ocei i presodi dobljee vredosti ter pazi a merske eote, uporabi usvojeo zaje raviske geometrije ter rešuje probleme v povezavi s polmerom trikotiku včrtaega i očrtaega kroga, opiše geometrijsko telo, uporabi usvojeo zaje kotih fukcij i geometrije a modelih geometrijskih teles, rešuje geometrijske probleme v povezavi s površio i prostorio teles ter kritičo ocei i presodi dobljee rezultate ter merske eote, rešuje geometrijske probleme s poševimi telesi, določi os vrteja i aalizira astalo vrteio glede a izbiro osi, rešuje probleme v povezavi s prostorio rotacijskih teles, prepoza geometrijski problem, ga predstavi, ugotovi, s katerimi pojmi, spremeljivkami i zvezami med jimi ga lahko rešuje, problem reši, rešitve predstavi i razmisli o jihovi smiselosti, pri reševaju geometrijskih problemov samostojo izbere i uporablja ustreze strategije i povezuje vsebie iz raviske i prostorske geometrije, rešuje geometrijske probleme z uporabo trigoometrije 48 Vektorji v ravii i prostoru Opredelitev vektorjev Seštevaje, možeje s skalarjem (sile) grafiča iterpretacija Koliearost, koplaarost grafiča iterpretacija Razvoj vektorjev po bazi (razstavljaje sile a kompoete), pravokota projekcija grafiča iterpretacija Lieara kombiacija vektorjev Lieara eodvisost vektorjev Kadidat ariše vektorje, grafičo sešteva i razstavlja vektorje ter moži vektorje s skalarjem, usvoji račuaje z vektorji a grafičem i račuskem ivoju, presodi koliearost i koplaarost vektorjev, presodi liearo eodvisost vektorjev, račua z vektorji, zapisaimi s koordiatami (kompoetami), izračua kot med vektorjema, dolžio vektorja i pravokoto projekcijo vektorja, 4 Matematika
Baza v ravii i prostoru Pravokoti koordiati sistem v ravii i prostoru; krajevi vektor točke Zapis vektorja s koordiatami (kompoetami) Račuske operacije z vektorji, zapisaimi s koordiatami (kompoetami) Pravokota projekcija vektorja a drug vektor Skalari produkt, kot med vektorjema i dolžia vektorja Uporaba vektorskega račua v trikotiku i paralelogramu, razmerja, težišče Povezava med skalarim produktom i kosiusim izrekom utemelji pravokotost i vzporedost vektorjev, razume pravokotost v prostoru 49 Pravokoti koordiati sistem v ravii Možice točk v ravii Razdalja med točkama v koordiati ravii Ploščia trikotika Kadidat uporablja pravokoti koordiati sistem v ravii, odčita i ariše možico točk v koordiati ravii ob daih pogojih, uporablja zvezo med urejeimi pari števil i točkami a ravii, izračua razdaljo med točkama, izračua ploščio trikotika ter uporabi formuli v matematičih problemih 40 Fukcije Defiicija fukcije Defiicija reale fukcije i lastosti realih fukcij reale spremeljivke (ijektivost, surjektivost, bijektivost, araščaje, padaje, sodost, lihost ) Sestavljee fukcije (kompozitum) fukcij Iverza fukcija Trasformacije v ravii Limita fukcije Posebi primeri limit Kadidat usvoji i uporablja pojem fukcije, usvoji i uporablja pojme: defiicijsko območje i zaloga vredosti fukcije, ijektiva, surjektiva, bijektiva fukcija, ariše, aalizira graf fukcije s pomočjo vzporedega premika i raztega, uporablja vzporedi premik, zrcaljeja i raztege pri reševaju problemskih alog, ugotovi obstoj iverze fukcije a preprostih primerih, zapiše je predpis i ariše graf iverze fukcije k dai fukciji, Matematika 5
Zvezost fukcije Lastosti zvezih fukcij a zaprtem itervalu Iskaje ičel z uporabo tehologije aalizira predpis i ariše graf fukcije z absoluto vredostjo, ariše graf stopičaste fukcije, razloži pojem limite v dai točki a ustrezo izbraih primerih, ki so grafiče, tabelariče ali aalitiče prezetacije fukcij, izračua limito fukcije i razloži pome dobljee limite vredosti, razloži pome limite v eskočosti, loči limito fukcije v eskočosti od eskoče limite, uporablja limito pri račuaju asimptot fukcij, prepoza zvezost fukcije, ki je podaa s svojim grafom, razloži zvezost s predpisom podae fukcije, poišče itervale, a katerih je daa fukcija zveza, sklepa o lastostih kokrete zveze fukcije a zaprtem itervalu, poišče ičlo ali točko a krivulji a predvideo atačost z uporabo tehologije; 40 Lieara fukcija Defiicija i lastosti lieare fukcije, graf lieare fukcije Eačbe premice v ravii Kot med premicama Lieara eačba Lieara eeačba Sistem liearih eačb Gaussova elimiacijska metoda Sistem liearih eeačb Modeliraje preprostih primerov iz vsakdajega življeja z liearo fukcijo zapiše predpis za lieare fukcije i ariše graf, poza i uporabi pome koeficietov v lieari fukciji, iterpretira i uporablja graf lieare fukcije v praktičih situacijah, izračua kot med premicama, poza pome različih oblik eačbe premice, v besedilu prepoza lieare odos i zapiše liearo eačbo, rešuje lieare eačbe, obravava preproste lieare eačbe, eeačbe i sisteme liearih eačb, izrazi problem kot sistem eačb i ga reši, reši preproste probleme iz vsakdajega življeja i jih ustrezo iterpretira, modelira preproste probleme iz vsakdajega življeja z liearo fukcijo; 6 Matematika
40 Poteča fukcija Defiicija i lastosti poteče fukcije z aravim ekspoetom Defiicija i lastosti poteče fukcije z egativim celim ekspoetom Modeliraje primerov iz vsakdajega življeja s potečo fukcijo prepoza potečo odvisost i jo razlikuje od drugih odvisosti (premosorazmerost ), ariše i aalizira graf poteče fukcije s pomočjo trasformacij, zapiše i modelira realističe pojave s potečo fukcijo i jih kritičo izbere; 403 Koreska fukcija Defiicija, lastosti i graf koreske fukcije obravava koresko fukcijo kot iverzo fukcijo k poteči fukciji; 404 Kvadrata fukcija Defiicija, lastosti i graf kvadrate fukcije Načii podajaja predpisa kvadrate fukcije Uporaba kvadrate fukcije ekstremali problemi Viètovi pravili Kvadrata eačba Presečišče parabole i premice Presečišče dveh parabol Kvadrata eeačba Sistem kvadratih eeačb Modeliraje primerov iz vsakdajega življeja s kvadrato fukcijo zapiše kvadrato fukcijo pri različih podatkih i ariše graf, iterpretira i uporabi graf kvadrate fukcije v praktičih situacijah, reši kvadrato eačbo i eeačbo, prevede problem v eačbo ali eeačbo i ga reši, bere matematičo besedilo, ga aalizira i predstavi, zapiše i modelira primere iz vsakdajega življeja s kvadrato fukcijo; 405 Ekspoeta fukcija Defiicija, lastosti i graf ekspoete fukcije Ekspoete eačbe Grafičo reševaje ekspoete eeačbe Ekspoeta rast Modeliraje realističih pojavov z ekspoeto fukcijo razlikuje, prepoza ekspoeto odvisost od drugih vrst odvisosti, poza i uporablja lastosti ekspoete fukcije, ariše graf ekspoete fukcije, uporabi vzporede premike i raztege grafa ekspoete fukcije, primerja potečo i ekspoeto rast, prepoza i reši ekspoete eačbe, zapiše i modelira primere iz vsakdajega življeja z ekspoeto fukcijo; Matematika 7
406 Logaritemska fukcija Defiicija, lastosti i graf logaritemske fukcije Logaritem i pravila za račuaje z logaritmi Desetiški i aravi logaritem Prehod k ovi osovi Logaritemske eačbe Braje logaritemske skale Modeliraje primerov iz vsakdajega življeja z logaritemsko fukcijo poza i uporablja lastosti logaritemske fukcije, ariše graf logaritemske fukcije, uporablja zvezo med ekspoeto i logaritemsko fukcijo, uporabi vzporede premike i raztege grafa logaritemske fukcije, uporablja pravila za račuaje z logaritmi, spoza število e i aravi logaritem, prepoza i reši logaritemske eačbe, primerja ekspoeto i logaritemsko rast, zapiše i modelira primere iz vsakdajega življeja z logaritemsko fukcijo; 407 Poliomska fukcija Defiicija, lastosti i graf poliomske fukcije Račuske operacije s poliomi Osovi izrek o deljeju poliomov Ničle poliomske fukcije Osovi izrek algebre i posledice Horerjev algoritem Aaliza grafa poliomske fukcije Poliomske eačbe Poliomske eeačbe Metoda bisekcije Modeliraje realističih pojavov s poliomi liearo i kvadrato fukcijo prepoza kot poseba primera poliomske fukcije, račua s poliomi, uporablja osovi izrek o deljeju poliomov, uporablja izrek o deljeju polioma z liearim poliomom, uporablja Horerjev algoritem za iskaje ičel poliomske fukcije, v problemskih alogah uporablja lastosti poliomov, ariše i iterpretira graf poliomske fukcije, uporablja metodo bisekcije, reši poliomske eačbe i eeačbe; 408 Racioala fukcija Defiicija, lastosti i graf racioale fukcije Ničle, poli i asimptote Racioale eačbe Racioale eeačbe poza i uporablja lastosti racioalih fukcij, ariše i iterpretira graf racioale fukcije, reši racioale eačbe, reši racioale eeačbe; 8 Matematika
409 Kote fukcije Defiicije i lastosti kotih fukcij v pravokotem trikotiku Defiicije kotih fukcij a eotski krožici Lastosti i grafi kotih fukcij Trasformacije grafov kotih fukcij Adicijski izreki Problemske aloge Faktorizacija i razčleitev produkta Račuaje vredosti krožih fukcij Grafi i lastosti krožih fukcij Trigoometrijske eačbe Kote fukcije v tehiki i aravoslovju zapiše i uporabi kote fukcije v pravokotem trikotiku, izpelje vredosti kotih fukcij za kote 0, 30, 45, 60, 90, izpelje i uporabi zveze med kotimi fukcijami istega kota, uporablja račualo, uporablja vredosti kotih fukcij za poljube kote, poza i uporabi lastosti kotih fukcij, poza i razloži pojme a različih reprezetacijah (tabela vredosti, graf, a eotski krožici, aalitičo), uporabi trasformacije grafov kotih fukcij, ariše i iterpretira grafe kotih fukcij, uporabi adicijske izreke, uporabi kote fukcije dvojih kotov, uporablja kote fukcije dvojih ( i polovičih) kotov pri trigoometrijskih eačbah i problemskih alogah, faktorizira izraze i jih za uporabiti pri eačbah, račua vredosti krožih fukcij, skicira graf krože fukcije, reši trigoometrijsko eačbo, iterpretira i aalizira aalitiče rešitve glede a dai problem, uporabi kote fukcije v problemskih situacijah, kjer je treba izračuati kot, rešuje preproste, sestavljee, avtetiče i izvire probleme 4 Stožice Algebrski zapis krivulj II reda Krožica v središči i premakjei legi Elipsa v središči i premakjei legi Hiperbola v središči legi Parabola v temeski legi Hiperbola i parabola v premakjei legi Tagete stožic Kadidat poišče primere stožic v aravi, primerja i uporablja aalitičo i geometrijsko defiicijo stožice, iterpretira krožico kot posebe primer elipse i izpelje eačbe elipse iz eačbe krožice z raztegom vzdolž izbrae osi, aalizira eačbo i grafičo predstavi krožice i elipse v središči i v premakjei legi, aalizira eačbo i grafičo predstavi hiperbole i parabole v temeski legi, Matematika 9
aalizira različe oblike eačbe parabole, kostruira stožice, ariše stožico tudi z uporabo primerega račuališkega programa, aalizira grafičo predstavitev hiperbole i parabole v premakjei legi, aalizira eačbo hiperbole i parabole v premakjei legi, aalitičo i grafičo obravava tageto stožice, aalitičo i grafičo določi presečišča stožice s premico i določi presečišča stožic v središči legi, utemelji smiselost rezultatov pri aalitiči obravavi presečišč, rešuje problemske aloge 4 Zaporedja i vrste Defiicija zaporedja Lastosti zaporedij (kočo, eskočo, mootoost, omejeost, kovergetost ) Aritmetičo zaporedje Geometrijsko zaporedje Vsota prvih čleov aritmetičega zaporedja i vsota čleov geometrijskega zaporedja Limita zaporedja Vrste Kovergeca geometrijske vrste Obresti raču Auitete Amortizacijski ačrt Kadidat avede primer, iduktivo sklepa, posplošuje i adaljuje zaporedje, ajde i zapiše zvezo med člei zaporedja, zapiše člee zaporedja pri daih začetih čleih i rekurzivi formuli, ugotovi i aalizira lastosti različo predstavljeih zaporedij (številske predstavitve, grafiči prikaz, aalitiči zapis ), bere i poazori različo podaa oziroma predstavljea zaporedja, uporabi lastosti zaporedij, apove i izračua limito zaporedja, razlikuje vrsto od zaporedja, razlikuje pojma kovergete i divergete vrste, izračua vsoto čleov zaporedja, izračua vsoto geometrijske vrste, razlikuje avado i obresto obrestovaje, razlikuje med koformo i relativo obresto mero, uporabi ačelo ekvivalece glavic, poišče reale primere obrestovaja, apove pričakovaja i se odloči a osovi simulativih izračuov, izračua auiteto i izdela amortizacijski ačrt 0 Matematika
43 Difereciali raču Difereči količik, odvod, geometrijski pome odvoda Pravila za odvajaje, odvodi osovih fukcij Uporaba odvoda Ekstremi, araščaje i padaje fukcije Drugi odvod fukcije Prevoj, koveksost i kokavost fukcije Zvezost odvedljivih fukcij Ekstremali problemi Modeliraje realih problemov i jihovo reševaje z uporabo metod diferecialega račua Kadidat opiše pojme diferecialega račua z uporabo grafičih, številskih ali aalitičih prezetacij, izračua vredost diferečega količika, izračua limito diferečega količika, razloži geometrijski pome odvoda, izpelje preprosta pravila odvajaja z uporabo defiicije odvoda, izpelje odvode fukcij z uporabo pravil za odvajaje, odvaja elemetare fukcije i kompozitum fukcij, račua odvod implicito podaih fukcij, ugotovi točke (e)odvedljivosti iz grafa, povezuje lastosti fukcij i je odvod (apoveduje lastosti, skicira graf ), zapiše eačbi tagete i ormale v dai točki krivulje, izračua preseči kot med krivuljama, aalizira fukcijo z odvodom (razloži ekstreme, določi itervale araščaja i padaja) i ariše graf, poveže pojma zvezosti i odvedljivosti fukcije a daem itervalu, reši preprost ekstremali problem, reši reale ekstremali problem i ga ustrezo iterpretira 44 Itegralski raču Nedoločei itegral (primitiva fukcija) Lastosti edoločeega itegrala Uvedba ove spremeljivke Itegracija»per partes«itegracija racioalih fukcij Določei itegral Lastosti določeega itegrala Kadidat razloži zvezo med odvodom fukcije i edoločeim itegralom, poza tabelo osovih itegralov i jeo povezavo s tabelo odvodov, uporablja lastosti edoločeega itegrala, itegrira z uvedbo ove spremeljivke, itegrira»per partes«, itegrira racioale fukcije (z razcepom a parciale ulomke), Matematika
Zveza med določeim i edoločeim itegralom Uporaba določeega itegrala (ploščie, prostorie vrtei ) poza geometrijski pome določeega itegrala, uporablja lastosti določeega itegrala, uporabi zvezo med določeim i edoločeim itegralom, reši preproste matematiče i reale probleme 45 Kombiatorika Osovi izrek kombiatorike, kombiatoričo drevo Pravilo vsote Permutacije Permutacije s poavljajem Variacije Variacije s poavljajem Kombiacije Biomski izrek Pascalov trikotik Kadidat izračua!, loči posameze kombiatoriče pojme, izračua vredost biomskega simbola, razvije poteco dvočleika 46 Verjetosti raču Osovi pojmi verjetostega račua: poskus, dogodek, vzorči prostor Račuaje z dogodki Subjektiva verjetost, empiriča verjetost, matematiča verjetost, verjetost dogodka Račuaje verjetosti asprotih dogodkov, vsote dogodkov Pogoja verjetost Verjetost produkta, eodvisa dogodka Zaporedje eodvisih poskusov Normala porazdelitev Kadidat zapiše dogodke i račua z jimi, poišče vse dogodke ekega poskusa, razlikuje med subjektivo, empiričo i matematičo verjetostjo, razume i poveže empiričo i matematičo verjetost, poza i uporablja defiicijo matematiče verjetosti, iz daih verjetosti posamezih dogodkov račua verjetosti drugih dogodkov, loči med pojmoma ezdružljiva i eodvisa dogodka, uporablja vzorči prostor Matematika
47 Statistika Osovi statističi pojmi Vrste podatkov Zbiraje podatkov Urejaje i strukturiraje podatkov Prikazovaje podatkov (stolpči, pozicijski, torti diagram, histogram, razsevi diagram, liijski i krivulji diagram, škatla z brki) Aritmetiča sredia, mediaa, modus Variacijski razmik, stadardi odklo, medčetrtiski razmik Statističa aloga Kadidat loči med preučevao začilostjo (spremeljivko), eoto, vredostjo spremeljivke, vzorcem, populacijo, prepoza preučevao začilost eote, razlikuje med opisimi ali kvalitativimi podatki, vrstimi ali ordialimi ter številskimi ali kvatitativimi podatki, zbere podatke, jih uredi i strukturira, izbere ustrezi diagram za prikaz podatkov, bere, izdela i iterpretira statističe diagrame, razvija kritiči odos do iterpretacije rezultatov, poza i uporablja različe ačie povzemaja podatkov, izbere primere ači povzemaja podatkov glede a vrsto podatkov, izračua, ocei i iterpretira sredjo vredost, modus i mediao kot mere osredijeosti podatkov, ocejuje preproste povezave med statističimi spremeljivkami, izračua, ocei i iterpretira variacijski razmik, stadardi odklo i medčetrtiski razmik kot mere razpršeosti podatkov, uporabi zaje o delu s podatki v celovitem postopku empiričega preiskovaja (izbere temo, postavi preiskovalo vprašaje, zbere podatke, jih uredi i strukturira, aalizira, prikaže i iterpretira rezultate) Matematika 3
5 PRIMERI NALOG ZA PISNI IZPIT 5 Primeri alog izpite pole Naloge v izpitih polah se rešujejo brez uporabe račuala 5 Primer kratke aloge Rešite eačbo lx + l= le ( točki) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila zapisaa rešitev x = e Le upoštevaje, da je l= 0 ali le = točka Skupaj 4 Matematika
5 Primer krajše strukturirae aloge V ravii, opremljei s koordiatim sistemom, arišite krožico z eačbo x + y - 4x + y+ = 0 Račusko pokažite, da točka A( 0, - ) leži a dai krožici Zapišite koordiati točke B, če je tetiva AB premer krožice y x (8 točk) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila 5 Slika y x Le preoblikovaje eačbe v obliko ( x - ) + ( y+ ) = 4 3 točke (vsak od čleov po točko) Če kadidat krožico ariše pravilo iz apačo preoblikovae eačbe, dobi * točko A S B Skupaj 8 vstavitev koordiat točke A v eačbo i dokaz eakosti zapis točke B ( 4, ) * + Matematika 5
53 Primer strukturirae aloge Daa je fukcija f : ( 0, ) s predpisom f( x) = lx Rešite eačbo f( x) = f( x) Dokažite, da je f( ) f( ) f( ) + = 3 3 3 Dokažite z matematičo (popolo) idukcijo, da za vsako aravo število velja f ( ) + f ( ) + f 3 3 ( 4) + + f ( ) = f + ( + ) (3 točke) (3 točke) (4 točke) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila 3 rešitev x = Le preoblikovaje eačbe v obliko, pr 4lx = l( x) točka Le atilogaritmiraje, pr x = x * točka Če kadidat e izloči eustrezih rešitev, te točke e dobi Skupaj 3 astavek, pr f + f = l + l 3 3 Skupaj 3 ( ) ( ) ( ) preoblikovaje, pr l + l = l 3 3 ( ) ( ) ugotovitev = f ( ) l 3 3 3 dokaz pravilosti trditve za =, pr f( ) = f( + ) Skupaj 4 * zapis ali upoštevaje vsote + čleov, pr f ( ) + f 3 ( 3) + f( 4) + ( ) f + ( ) + f + + + upoštevaje idukcijske predpostavke, pr f ( ) + f 3 ( 3) + f( 4) + f ( ) f + + ( + ) ( ) f + ( ) + + = = f + + + izraču i koča ugotovitev, pr f ( ) + f + ( ) = l + l + = + + + + ( + ) f ( ) = l = + + + 6 Matematika
5 Primeri alog izpite pole Naloge v izpitih polah se lahko rešujejo z uporabo račuala 5 Primer kratke aloge Hipoteuza AB v pravokotem trikotiku D ABC meri 6,33 cm Velikost kota CAB je a = 33 33 Izračuajte dolžio straice AC Rezultat zaokrožite a stotiko cetimetra ( točki) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila zapisaa rešitev AC 5 5,8 cm Le zapis ali upoštevaje, da je cosa = AC točka AB Skupaj 5 Primer krajše strukturirae aloge Imamo dve prazi cisteri, ki imata obliko pokočega valja i stojita a osovih ploskvah Prva cistera ima obliko valja s polmerom 3 dm Vajo alijemo 0 litrov jabolčega soka i jo tako apolimo do dveh tretji Izračuajte višio cistere Rezultat zaokrožite a desetiko decimetra (3) Druga cistera ima obliko eakostraičega valja (osi presek je kvadrat) Vajo alijemo 0 litrov jabolčega soka i jo tako apolimo do vrha Izračuajte polmer cistere Rezultat zaokrožite a desetiko decimetra (3) (6 točk) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila 3 izračua približek višie cistere, pr v 6,4 dm Le zapis ali uporaba formule, pr V =p r h točka Le zapis ali upoštevaje, da je 0 3 V 3 izračua približek polmera eakostraičega valja, pr r,7 dm ali h = v točka 3 Le zapis ali upoštevaje, da je višia eakostraičega valja eaka premeru osove ploskve točka 3 Le zapisaa eačba, pr 0 = p r točka Skupaj 6 Če kadidat ikjer pri rezultatih e zapiše eot, v celoti izgubi točko Matematika 7
53 Primer strukturirae aloge V učilici je 40 stolov, ki so razdeljei v pet vrst tako, da je v vsaki vrsti eako število stolov Na stole se aključo posede osem dijakov: Maja, Eva, Ela, Ja, Tim, Nik, Luka i Frace Izračuajte verjetosti dogodkov: A prva vrsta ostae praza, B v prvi vrsti so zasedei atako trije stoli, C vsi dijaki so se posedli v isto vrsto (7 točk) Maja, Eva, Ela, Ja, Tim, Nik, Luka i Frace ob popoldevih igrajo družabe igre Vsak atako ekrat vrže pošteo igralo kocko Izračuajte verjetosti dogodkov: D ihče e vrže šestice, E atako dva vržeta šestico (3 točk) Naloga Točke Rešitev Dodata avodila izračuao število vseh izidov, pr 40 ( ) = 8 izračuaa verjetost, pr P( A ) = 058300 76904685 izračuaa verjetost, pr P( B ) = 77056 76904685 izračuaa verjetost, pr PC ( ) = 5 76904685 Le število ugodih izidov m 3 A = ( ) 8 točka Upoštevamo tudi pravilo zaokrože rezultat, pr P( A) 0,3677 Le 8 3 B ( )( ) m = 3 5 = 77056 točka Upoštevamo tudi pravilo zaokrože rezultat, pr P( B) 0,46637 Le ugotovitev, da je m C = 5 točka Upoštevamo tudi pravilo zaokrože rezultat, pr ( ) -8 PC 5 0,0000000650 = 6,50 0 Skupaj 7 Reševaje z variacijami se točkuje eakovredo ( ) 5 ( ) 8 P D = 6 5 0,33 Skupaj 3 6 ( ) 8 5 ( )( 6) ( 6) 6 5 ( ) ( ) P E = = = 8 5 0,60 6 6 6 Le zapis 5 ( ) ( ) 6 6 točka 8 Matematika
6 USTNI IZPIT Kadidat opravlja usti izpit pred šolsko izpito komisijo, ki skrbi za pravilo izvedbo izpita, ocei kadidatov uspeh v točkah i poskrbi za pravile izraču točk Kadidat odgovarja a vprašaja z izpitega listka za usti izpit Ta listek vsebuje tri vprašaja, ki jih sestavi Država predmeta komisija za matematiko za splošo maturo Izpraševalec lahko kadidatu postavlja dodata vprašaja, s katerimi razčlejuje vprašaja z izpitega listka, pri čemer e razširja vsebie zapisaega vprašaja Kadidat ima pravico do 5-miute priprave a usti izpit i pravico ekrat zamejati izpiti listek Usti izpit traja ajveč 0 miut Primer izpitega listka za osovo rave Defiirajte praštevilo i sestavljeo število Naštejte tri praštevila i tri sestavljea števila Kako razcepimo aravo število > ( ) a prafaktorje? Ali je praštevilski razcep eoliče? Razložite Koliko je vseh praštevil? Kako ugotovimo, ali je dao aravo število praštevilo? ( točki) (3 točke) ( točka) Povejte geometrijsko defiicijo elipse i jo razložite ( točki) Zapišite splošo eačbo elipse v izhodišči legi i splošo eačbo elipse v premakjei legi Zapišite primer eačbe elipse v izhodišči legi i elipso arišite ( točki) ( točki) 3 Povejte defiicijo odvoda fukcije f v dai točki i jo razložite Kakše je geometrijski pome odvoda fukcije f v dai točki? ( točki) ( točka) Navedite pravila za račuaje odvoda vsote i produkta fukcij ter odvoda produkta fukcije s številom Za vsako pravilo povejte primer (3 točke) Matematika 9
Primer izpitega listka za višjo rave Defiirajte praštevilo i sestavljeo število Naštejte tri praštevila i tri sestavljea števila Kako razcepimo aravo število > ( ) a prafaktorje? Ali je praštevilski razcep eoliče? Razložite Dokažite, da je praštevil eskočo mogo ( točki) ( točki) ( točki) Povejte geometrijsko defiicijo elipse i jo razložite ( točki) Zapišite splošo eačbo elipse v izhodišči legi i splošo eačbo elipse v premakjei legi Zapišite primer eačbe elipse v premakjei legi i elipso arišite ( točki) ( točki) 3 Povejte defiicijo odvoda fukcije f v dai točki i jo razložite Kakše je geometrijski pome odvoda fukcije f v dai točki? ( točki) ( točka) Izberite si primer elieare odvedljive fukcije f : i po defiiciji izpeljite je odvod Navedite pravilo za račuaje odvoda kvocieta fukcij ( točki) ( točka) Država predmeta komisija za matematiko za splošo maturo lahko vprašaja za usti izpit spremija, izloča i dopoljuje Sezam ustih vprašaj bo vsako leto do koca jauarja objavlje a spleti strai Državega izpitega cetra (https://wwwricsi/splosa_matura/predmeti/matematika/) 30 Matematika
7 KANDIDATI S POSEBNIMI POTREBAMI Z Zakoom o maturi i a jegovi podlagi sprejetimi podzakoskimi akti je določeo, da kadidati opravljajo maturo pod eakimi pogoji Kadidatom s posebimi potrebami, ki so bili usmerjei v izobraževale programe z odločbo o usmeritvi, v utemeljeih primerih pa tudi drugim kadidatom (poškodba, boleze), se lahko glede a vrsto i stopjo primajkljaja, ovire oziroma motje prilagodi ači opravljaja mature i ači ocejevaja zaja 5 Može so te prilagoditve: opravljaje mature v dveh delih, v dveh zaporedih izpitih rokih; podaljšaje časa opravljaja (tudi odmorov; mogočih je več krajših odmorov) i prekiitev izpita sploše mature po potrebi; 3 prilagojea oblika izpitega gradiva (pr brajeva pisava, povečava, zapis besedila a zgoščeki, zvoči zapis besedila a zgoščeki ipd); 4 posebe prostor; 5 prilagojea delova površia (dodata osvetlitev, možost dviga mize ipd); 6 uporaba posebih pripomočkov (račualika, brajevega pisalega stroja, ustrezih pisal, folij za pozitivo risaje ipd); 7 izpit s pomočikom (pr pomočikom bralcem, pisarjem, tolmačem v sloveski zakovi jezik, pomočikom za slepe i slabovide); 8 uporaba račualika za braje i/ali pisaje; 9 prireje usti izpit i izpit slušega razumevaja (oprostitev, braje z ustic, prevajaje v sloveski zakovi jezik); 0 prilagojeo ocejevaje (pr apake, ki so posledica kadidatove motje, se e upoštevajo; pri ocejevaju zuaji ocejevalci sodelujejo s strokovjaki za komuikacijo s kadidati s posebimi potrebami) 5 Besedilo velja za vse predmete sploše mature i se smiselo uporablja pri posamezem izpitu sploše mature Matematika 3
8 LITERATURA Učbeiki i uča sredstva, ki jih je potrdil Strokovi svet Republike Sloveije za splošo izobraževaje, so zbrai v Katalogu učbeikov za sredjo šolo i objavljei a spleti strai Zavoda Republike Sloveije za šolstvo wwwzrsssi 3 Matematika
9 DODATEK 9 Matematiče ozake V tem poglavju so predstavljee ekatere matematiče ozake, ki se uporabljajo pri maturitetih izpitih iz matematike Sezam e vsebuje vseh matematičih ozak Ozake, ki jih ajdemo a spodjem sezamu, a izpitih polah e bodo ujo dodato razložee Ozake, ki bodo uporabljee a izpitu i jih a spodjem sezamu i, bodo dodato defiirae i razložee Logika Ù,& kojukcija Ú Þ Û disjukcija implikacija ekvivaleca Ø A, A egacija izjave A Možice " za vsak Î Ï {,, } obstaja je elemet i elemet x x možica z elemeti x x, { x; }, { x {} možica vseh x, takih, da ma ( ), A število elemetov (moč) možice A A, ( A) poteča možica možice A, { } praza možica uiverzala možica (uiverzum) C A, A komplemetara možica možice A È { 0} 0 možica aravih števil možica celih števil + možica pozitivih celih števil + - + možica egativih celih števil možica racioalih števil možica pozitivih racioalih števil možica egativih racioalih števil možica realih števil možica pozitivih realih števil Matematika 33
+ 0 - Ì, Í možica eegativih realih števil možica egativih realih števil možica kompleksih števil je podmožica Relacije i operacije Ë, i podmožica È Ç uija presek karteziči produkt \, razlika možic [ a, b ] zaprti iterval { x Î {; a x b} [ a, b ) iterval { x Î {; a x < b} ( a, b ] iterval { x Î {; a < x b} ( a, b ) odprti iterval { x Î {; a < x < b} ( a, b ) urejei par = je eako ¹ i eako =,» je približo eako < je majše je majše ali eako > je večje ³ je večje ali eako + plus - mius, krat :, deljeo ab a deli b Da (, b ) ajvečji skupi delitelj števil a i b va (, b ) ajmajši skupi večkratik števil a i b å Kompleksa števila a zak za vsoto absoluta vredost števila a i Rez Imz z z, z * imagiara eota reali del kompleksega števila z imagiari del kompleksega števila z absoluta vredost kompleksega števila z kojugirao komplekso število k z 34 Matematika
Geometrija Vektorji d( A, B ) razdalja med točkama A i B AB @ dolžia daljice AB kot trikotik je vzporede je pravokote je sklade ~ je podobe vektor AB, vektor a AB, a sa a b produkt vektorja a s številom (skalarjem) s skalari produkt vektorjev kkk a i b i, j, k vektorji stadarde ortoormirae baze a = ( a, a, a3) vektor s koordiatami (kompoetami) a, a, a 3 a dolžia vektorja a r krajevi vektor točke A A Ax (, y ) točka A v ravii s koordiatama x i y Ax (, y, z ) točka A v prostoru s koordiatami x, y i z S, p ploščia lika Fukcije V P prostoria telesa površia telesa f : A B f je preslikava (fukcija) iz A v B x f( x) x se preslika v f( x ) D f Z f f - defiicijsko območje fukcije f zaloga vredosti fukcije f iverza fukcija fukcije f f g kompozitum (sestava) fukcij f i g lim f( x) x a ( ), { } limita fukcije f, ko gre x proti a a a zaporedje s splošim čleom a lim a limita zaporedja s splošim čleom a df f, (prvi) odvod fukcije f d x ( ) ò f x d x, ò f edoločei itegral fukcije f Matematika 35
b ( ) ò f x dx določei itegral fukcije f v mejah od a do b a Kombiatorika Verjetosti raču Statistika P m, m,, mk število permutacij elemetov brez poavljaja P število permutacij elemetov s poavljajem! r V fakulteta, faktorialo število variacij med elemeti brez poavljaja reda r ( p) V r število variacij med elemeti s poavljajem reda r ( r ) biomski simbol ( ad r ) r C G N število kombiacij med elemeti brez poavljaja reda r gotovi dogodek emogoči dogodek E, E, E 3, elemetari dogodki A, A dogodku A asproti dogodek AÈ B+ A+ B vsota dogodkov A i B AÇ BAB, produkt dogodkov A i B A\ B, A- B razlika dogodkov A i B AÌ B A je ači dogodka B ( ) P A P( A/ B ) x, m verjetost dogodka A verjetost dogodka A pri pogoju B (pogoja verjetost) povpreča vredost s s disperzija, variaca stadarda deviacija, stadardi odklo 36 Matematika
9 Formule i izreki V tem poglavju so avedee formule i izreki, ki bodo priložei izpitim polam Od kadidatov se pričakuje, da te formule i izreke pozajo, razumejo i jih zajo uporabljati List s formulami a višji ravi vsebuje vse formule i izreke s sezama formul a osovi ravi i ekatere druge formule iz vsebi posebega zaja, ki se a osovi ravi e preverjajo Matematika 37
9 Formule, priložee izpiti poli, osova rave (Vsota i razlika kubov) Za poljuba, a b Î velja a 3 ± b 3 = ( a ± b)( a ab + b ) b (Evklidov i višiski izrek) Pravokoti trikotik ima kateti a i b ter hipoteuzo c Višia a hipoteuzo je v c, pravokota projekcija katete a a hipoteuzo je a, pravokota projekcija katete b a hipoteuzo pa b Tedaj velja, a = ca b = cb, v c = ab (Polmera trikotiku včrtaega i očrtaega kroga) Trikotik ima straice a, b i c, polovica obsega je s = a + b+ c, ploščia je S, polmer daemu trikotiku včrtaega kroga je r i polmer S daemu trikotiku očrtaega kroga je R Tedaj je r = i R = abc s 4S (Heroova formula) Trikotik ima straice a, b i c, polovica obsega je s = a + b+ c Tedaj je jegova ploščia S = s( s-a)( s-b)( s- c) (Ploščia trikotika) Naj bodo Ax (, y ), Bx (, y ) i (, ) oglišči, 3 3 = - 3 - - 3 - - A B i C je S ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) (Krogla) Površia i prostoria krogle s polmerom r sta (Adicijski izreki) Za poljuba x, y Î velja si( x ± y) = sixcosy± cosxsiy, ( ) Za poljuba x y {\ p { k k } C x y točke v ravii Ploščia trikotika z P = 4 p r, V = 4pr 3 cos x ± y = cosxcosy sixsiy, Î +p ; Î, za katera je x + y ¹ p +p k za poljube k Î i tax ± tay taxtay ¹-, velja ta( x ± y) = taxtay (Kote fukcije polovičih kotov) cos Za poljube x Î velja si x = - x, Za poljube x Î {\{ p+p k; k Î } velja cos x = + cosx ta x = six + cos x (Elipsa) Elipsa v ravii ima polosi a i b ( a > b), jea lieara ekscetričost je e, jea umeriča ekscetričost je e Tedaj velja e = a - b, e = e a (Hiperbola) Hiperbola v ravii ima realo polos a i imagiaro polos b, jea lieara ekscetričost je e, jea umeriča ekscetričost je e Tedaj velja (Parabola) Parabola v ravii z eačbo y dae parabole pa je p x =- 3 e = a + b, e = e a p = px ima gorišče v G æ ç, 0 ö è ø, eačba premice vodice = + (Aritmetičo zaporedje) Vsota prvih čleov aritmetičega zaporedja ( a ) je S ( a a) (Geometrijsko zaporedje) Vsota prvih čleov geometrijskega zaporedja ( a ) s kvocietom q Î ( ) je S a = q - (Limiti) lim ( ) q - + = e i, če je q ¹, i S = a, če je q = lim six = x x 0 38 Matematika
9 Formule, priložee izpiti poli, višja rave (Vsota i razlika potec z aravim ekspoetom) Za poljuba a, b Î i za poljubo aravo število velja + + - - - - a + b = ( a + b)( a - a b + a b -¼+ a b - ab + b ), ( )( - - -3-3 - - a - b = a- b a + a b+ a b +¼+ a b + ab + b ) (Evklidov i višiski izrek) Pravokoti trikotik ima kateti a i b ter hipoteuzo c Višia a hipoteuzo je v c, pravokota projekcija katete a a hipoteuzo je a, pravokota projekcija katete b a hipoteuzo pa b Tedaj velja, a = ca b = cb, v c = ab (Polmera trikotiku včrtaega i očrtaega kroga) Trikotik ima straice a, b i c, polovica obsega je s = a + b+ c, ploščia je S, polmer daemu trikotiku včrtaega kroga je r i polmer daemu trikotiku očrtaega kroga je R Tedaj je r = S i s R = abc 4S (Heroova formula) Trikotik ima straice a, b i c, polovica obsega je s = a + b+ c Tedaj je jegova ploščia S = s( s-a)( s-b)( s- c) (Ploščia trikotika) Naj bodo Ax (, y ), Bx (, y ) i (, ) oglišči, C x y točke v ravii Ploščia trikotika z 3 3 = - 3 - - 3 - - A B i C je eaka S ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) 4 (Krogla) Površia i prostoria krogle s polmerom r sta P = 4 p r, V = pr 3 (Razdalja točke od premice) Naj bodo a, b, c, x0, y0 Î i aj a i b e bosta oba eaka 0 Razdalja točke (, ) T x y od premice p, podae z eačbo ax + by - c = 0, je 0 0 0 0 0 (, p) = dt 0 ax + by -c a + b (Logaritem) Naj bosta a > 0, a ¹, b > 0, b ¹ Tedaj za vsak x > 0 velja (Adicijski izreki) Za poljuba x, y Î velja si( x ± y) = sixcosy± cosxsiy, cos( x ± y) = cosxcosy sixsiy Za poljuba x y { p { k k } 3 logb x loga x = log a, Î \ +p ; Î, za katera je x + y ¹ p +p k za poljube k Î i tax ± tay taxtay ¹-, velja ta( x ± y) = taxtay (Kote fukcije polovičih kotov) Za poljube x Î velja si x -cosx =, cos x = + cosx Za poljube x Î {\{ p+p k; k Î } velja ta x = six + cos x (Faktorizacija vsote i razlike kotih fukcij) Za poljuba x, y Î velja x ± y x y six ± siy = si cos, x + y x -y cosx + cosy = cos cos, x + y x -y cosx - cosy =- si si b Matematika 39
(Razčleitev produkta kotih fukcij) Za poljuba x, y Î velja six siy =- ( cos( x + y) -cos( x - y) ), cosx cosy = ( cos( x + y) + cos( x - y) ), six cosy = ( si( x + y) + si( x - y) ) (Elipsa) Elipsa v ravii ima polosi a i b ( a > b), jea lieara ekscetričost je e, jea umeriča ekscetričost je e Tedaj velja e = a - b, e = e a (Hiperbola) Hiperbola v ravii ima realo polos a i imagiaro polos b, jea lieara ekscetričost je e, jea umeriča ekscetričost je e Tedaj velja (Parabola) Parabola v ravii z eačbo y dae parabole pa je p x =- e = a + b, e = e a p = px ima gorišče v G æ ç, 0 ö è ø, eačba premice vodice (Aritmetičo zaporedje) Vsota prvih čleov aritmetičega zaporedja ( a ) je S = ( a + a) (Geometrijsko zaporedje) Vsota prvih čleov geometrijskega zaporedja ( a ) s kvocietom q Î ( ) je S a q - = q - (Limiti) lim ( ) + e = i lim six = x 0 x, če je q ¹, i S = a, če je q = (Nedoločei itegral) Naj bo a Î { { 0 } Tedaj je za vsak C Î ò dx arcta x C i x + a = a a + dx ò = arcsix + C -x (Itegracija po delih) Naj bo D Í i u, v : D odvedljivi fukciji Tedaj velja ò u v = u v- ò v u (Volume rotacijskega telesa) Naj bo f :[ a, b ] zveza fukcija Volume telesa, ki ga dobimo tako, da lik, ki ga omejujejo graf fukcije f, abscisa os ter premici x = a i x = b, zavrtimo okrog abscise osi za 360, b ( ) d je V = p f( x) ò x a (Beroullijeva formula) Naj bo p verjetost, da se v daem poskusu zgodi dogodek A Verjetost, da se dogodek A v zaporedih poovitvah poskusa zgodi atako k -krat, je æö k -k P (, p, k) = p ( - p) ç k çè ø 40 Matematika